Chuyên đề Khảo sát hàm số - Ôn thi Toán đại học

OÂN TAÄP VEÀ HAØM SOÁ BAÄC 3 (Trung taâm Luyeän thi ñaïi hoïc Vónh Vieãn) Giaû söû : y = ax3 + bx2 + cx + d vôùi a ¹ 0 coù ñoà thò laø (C). y’ = 3ax2 + 2bx + c, y” = 6ax + 2b 1) y” = 0 Û x = (a ¹ 0 ) x = laø hoaønh ñoä ñieåm uoán. Ñoà thò haøm baäc 3 nhaän ñieåm uoán laøm taâm ñoái xöùng. 2) Ñeå veõ ñoà thò 1 haøm soá baäc 3, ta caàn bieát caùc tröôøng hôïp sau : i) a > 0 vaø y’ = 0 voâ nghieäm Þ haøm soá taêng treân R (luoân luoân taêng) ii) a < 0 vaø y’ = 0 voâ nghieäm Þ haøm soá giaûm (nghòch bieán) treân R (luoân luoân giaûm) iii) a > 0 vaø y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 vôùi x1 < x2 Þ haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x1 vaø ñaït cöïc tieåu taïi x2. Ngoaøi ra ta coøn coù : + x1 + x2 = 2x0 vôùi x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán. + haøm soá taêng treân (-¥, x1) + haøm soá taêng treân (x2, +¥) + haøm soá giaûm treân (x1, x2) iv) a < 0 vaø y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 vôùi x1 < x2 Þ haøm ñaït cöïc tieåu taïi x1 vaø ñaït cöïc ñaïi taïi x2 thoûa ñieàu kieän x1 + x2 = 2x0 (x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán). Ta cuõng coù : + haøm soá giaûm treân (-¥, x1) + haøm soá giaûm treân (x2, +¥) + haøm soá taêng treân (x1, x2) 3) Giaû söû y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät vaø y = k(Ax + B)y’ + r x + q vôùi k laø haèng soá khaùc 0; thì phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm cöïc trò laø y = r x + q 4) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät Û 5) Giaû söû a > 0 ta coù : i) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät > a Û ii) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät < a Û Töông töï khi a < 0 . 6) Tieáp tuyeán : Goïi I laø ñieåm uoán. Cho M Î (C). Neáu M º I thì ta coù ñuùng 1 tieáp tuyeán qua M. Neáu M khaùc I thì ta coù ñuùng 2 tieáp tuyeán qua M. Bieän luaän soá tieáp tuyeán qua 1 ñieåm N khoâng naèm treân (C) ta coù nhieàu tröôøng hôïp hôn. 7) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät caùch ñeàu nhau Û y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät vaø y(x0) = 0 (x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán) 8) Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình : ax3 + bx2 + cx + d = 0 (1) (a ¹ 0) khi x = a laø 1 nghieäm cuûa (1). Neáu x = a laø 1 nghieäm cuûa (1), ta coù ax3 + bx2 + cx + d = (x - a)(ax2 + b1x + c1) nghieäm cuûa (1) laø x = a vôùi nghieäm cuûa phöông trình ax2 + b1x + c1 = 0 (2). Ta coù caùc tröôøng hôïp sau: i) neáu (2) voâ nghieäm thì (1) coù duy nhaát nghieäm x = a ii) neáu (2) coù nghieäm keùp x = a thì (1) coù duy nhaát nghieäm x = a iii) neáu (2) coù 2 nghieäm phaân bieät ¹ a thì (1) coù 3 nghieäm phaân bieät iv) neáu (2) coù 1 nghieäm x = a vaø 1 nghieäm khaùc a thì (1) coù 2 nghieäm. v) neáu (2) coù nghieäm keùp ¹ a thì (1) coù 2 nghieäm BAØI TAÄP OÂN VEÀ HAØM BAÄC 3 Cho hoï ñöôøng cong baäc ba (Cm) vaø hoï ñöôøng thaúng (Dk) laàn löôït coù phöông trình laø y = -x3 + mx2 - m vaø y = kx + k + 1. (I) PHAÀN I. Trong phaàn naøy cho m = 3. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. 1) Goïi A vaø B laø 2 ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu cuûa (C) vaø M laø ñieåm baát kyø treân cung AB vôùi M khaùc A , Bø . Chöùng minh raèng treân (C) ta tìm ñöôïc hai ñieåm taïi ñoù coù tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán taïi M vôùi (C). 2) Goïi D laø ñöôøng thaúng coù phöông trình y = 1. Bieän luaän soá tieáp tuyeán vôùi (C) veõ töø E Î D vôùi (C). 3) Tìm E Î D ñeå qua E coù ba tieáp tuyeán vôùi (C) vaø coù hai tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi nhau. 4) Ñònh p ñeå treân (C) coù 2 tieáp tuyeán coù heä soá goùc baèng p, trong tröôøng hôïp naøy chöùng toû trung ñieåm cuûa hai tieáp ñieåm laø ñieåm coá ñònh. 5) Tìm M Î (C) ñeå qua M chæ coù moät tieáp tuyeán vôùi (C). (II) PHAÀN I I.Trong phaàn naøy cho tham soá m thay ñoåi. 6) Tìm ñieåm coá ñònh cuûa (Cm). Ñònh m ñeå hai tieáp tuyeán taïi hai ñieåm coá ñònh naøy vuoâng goùc nhau. 7) Ñònh m ñeå (Cm) coù 2 ñieåm cöïc trò. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm cöïc trò. 8) Ñònh m ñeå (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät. 9) Ñònh m ñeå : a) haøm soá ñoàng bieán trong (1, 2). b) haøm soá nghòch bieán trong (0, +¥). 10) Tìm m ñeå (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm coù hoaønh ñoä taïo thaønh caáp soá coäng. 11) Tìm ñieàu kieän giöõa k vaø m ñeå (Dk) caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät. Tìm k ñeå (Dk) caét (Cm) thaønh hai ñoaïn baèng nhau. 12) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (Cm) vaø ñi qua ñieåm (-1, 1). 13) Chöùng minh raèng trong caùc tieáp tuyeán vôùi (Cm) thì tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc lôùn nhaát. BAØI GIAÛI PHAÀN I : m = 3 Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (ñoäc giaû töï laøm) 1) Goïi n laø hoaønh ñoä cuûa M. Vì haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi x = 0 vaø ñaït cöïc ñaïi taïi x = 2 neân 0 < n < 2; y' = – 3x2 + 6x Þ heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán taïi M laø k1 = – 3n2 + 6n Î (0, 3] (vì n Î (0, 2)). Ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán taïi M coù heä soá goùc laø k2 = (vôùi 0 < k1 £ 3). Hoaønh ñoä cuûa tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán M laø nghieäm cuûa – 3x2 + 6x = (= k2) Û 3x2 – 6x = 0. Phöông trình naøy coù a.c < 0, " k1 Î (0, 3] neân coù 2 nghieäm phaân bieät, " k1 Î (0, 3]. Vaäy treân (C) luoân coù 2 ñieåm phaân bieät maø tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán taïi M. 2) E (e, 1) Î D. Phöông trình tieáp tuyeán qua E coù daïng y = h(x – e) + 1 (D). (D) tieáp xuùc (C) Û heä coù nghieäm. Þ Phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa (D) vaø (C) laø : – x3 + 3x2 – 3 = (– 3x2 + 6x)(x – e)+ 1 (1) Û – x3 + 3x2 – 4 = x(– 3x + 6)(x – e) Û (x – 2)(x2 – x – 2) = 3x(x – 2)(x – e) Û x = 2 hay x2 – x – 2 = 3x2 – 3ex Û x = 2 hay 2x2 – (3e – 1)x + 2 = 0 (2) (2) coù D = (3e – 1)2 – 16 = (3e – 5)(3e + 3) (2) coù nghieäm x = 2 Û 8 – 2(3e – 1) + 2 = 0 Û e = 2 Ta coù D > 0 Û e . Bieän luaän : i) Neáu e 2 Þ (1) coù 3 nghieäm phaân bieät Þ coù 3 tieáp tuyeán. ii) Neáu e = – 1 hay e = hay e = 2 Þ (1) coù 2 nghieäm Þ coù 2 tieáp tuyeán. iii) Neáu – 1 < e < Þ (1) coù 1 nghieäm Þ coù 1 tieáp tuyeán. Nhaän xeùt : Töø ñoà thò, ta coù y = 1 laø tieáp tuyeán taïi (2, 1) neân phöông trình (1) chaéc chaén coù nghieäm x = 2, " e. 3) Vì y = 1 laø tieáp tuyeán qua E (e, 1), " e vaø ñöôøng x = a khoâng laø tieáp tuyeán neân yeâu caàu baøi toaùn. Û (2) coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 thoûa : y'(x1).y'(x2) = – 1 Û Û Û Û e = . Vaäy E 4) Tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán (vôùi (C)) coù heä soá goùc baèng p laø nghieäm cuûa : y' = p Û 3x2 – 6x + p = 0 (3) Ta coù D' = 9 – 3p > 0 Û p < 3 Vaäy khi p < 3 thì coù 2 tieáp tuyeán song song vaø coù heä soá goùc baèng p. Goïi x3, x4 laø nghieäm cuûa (3). Goïi M3 (x3, y3); M4 (x4, y4) laø 2 tieáp ñieåm. Ta coù : Vaäy ñieåm coá ñònh (1, –1) (ñieåm uoán) laø trung ñieåm cuûa M3M4. 5) Caùch 1 : Ñoái vôùi haøm baäc 3 (a ¹ 0) ta deã daøng chöùng minh ñöôïc raèng : " M Î (C), ta coù : i) Neáu M khaùc ñieåm uoán, ta coù ñuùng 2 tieáp tuyeán qua M. ii) Neáu M laø ñieåm uoán, ta coù ñuùng 1 tieáp tuyeán qua M. Caùch 2 : Goïi M(x0, y0) Î (C). Phöông trình tieáp tuyeán qua M coù daïng : y = k(x – x0) (D) Phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa (D) vaø (C) laø : ( 5 ) Û Û Û Û Û Do ñoù, coù ñuùng 1 tieáp tuyeán qua M (x0, y0) Î (C) Û Suy ra, y0 = 1. Vaäy M(1, –1) (ñieåm uoán). Nhaän xeùt : vì x0 laø 1 hoaønh ñoä tieáp ñieåm neân pt (5) chaéc chaén coù nghieäm keùp laø x0 Phaàn II : Tham soá m thay ñoåi. y' = – 3x2 + 2mx 6) (Cm) qua (x, y), "m Û y + x3 = m (x2 – 1) , "m Û Vaäy (Cm) qua 2 ñieåm coá ñònh laø H(1, –1) vaø K(–1, 1). Vì y' = – 3x2 + 2mx neân tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi H vaø K coù heä soá goùc laàn löôït laø : a1 = y'(1) = – 3 + 2m vaø a2 = y'(–1) = –3 – 2m. 2 tieáp tuyeán taïi H vaø K vuoâng goùc nhau. Û a1.a2 = – 1 Û 9 – 4m2 = – 1 Û m = . 7) Haøm coù cöïc trò Û y' = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät. Û 3x2 = 2mx coù 2 nghieäm phaân bieät. Û x = 0 vaø x = laø 2 nghieäm phaân bieät. Û m ¹ 0. Khi ñoù, ta coù : vaø phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 cöïc trò laø : (vôùi m ¹ 0) 8) Khi m ¹ 0, goïi x1, x2 laø nghieäm cuûa y' = 0, ta coù : x1.x2 = 0 vaø x1 + x2 = Þ y(x1).y(x2) = = = Vôùi m ¹ 0, ta coù y(x1).y(x2) < 0 Û Û Vaäy (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät. Û Û Nhaän xeùt : i) Khi thì phöông trình y = 0 coù 2 nghieäm aâm vaø 1 nghieäm döông. ii) Khi thì phöông trình y = 0 coù 2 nghieäm döông vaø 1 nghieäm aâm. 9) a) Haøm ñoàng bieán treân (1,2) Û – 3x2 + 2mx ³ 0, "x Î (1,2). Neáu m ¹ 0 ta coù hoaønh ñoä 2 ñieåm cöïc trò laø 0 vaø . i) Neáu m < 0 thì haøm chæ ñoàng bieán treân . Vaäy loaïi tröôøng hôïp m < 0 ii) Neáu m = 0 Þ haøm luoân nghòch bieán (loaïi). iii) Neáu m > 0 thì haøm chæ ñoàng bieán treân Do ñoù, ycbt Û m > 0 vaø Û b) Töø caâu a, ta loaïi tröôøng hôïp m > 0. Khi m £ 0 ta coù haøm soá nghòch bieán treân vaø haøm soá cuõng nghòch bieán treân [0, +¥). Vaäy ñeå haøm nghòch bieán treân [0, +¥) thì m £ 0. Ghi chuù : neân laäp baûng bieán thieân ñeå thaáy roõ raøng hôn. 10) y" = – 6x + 2m , y" = 0 Û x = (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm caùch ñeàu nhau. Û y = 0 coù 3 nghieäm phaân bieät vaø ñieåm uoán naèm treân truïc hoaønh. Û Û 11) Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (Cm) vaø (Dk) laø – x3 + mx2 – m = kx + k + 1 Û m(x2 – 1) = k(x + 1) + 1 + x3 Û x + 1 = 0 Ú m(x – 1) = k + 1 – x + x2 Û x = – 1 hay x2 – (m + 1)x + k + m + 1 = 0 (11) a) Do ñoù, (Dk) caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät Û (11) coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc – 1 Û Û (*) b) Vì (Dk) qua ñieåm K(–1,1) Î (Cm) neân ta coù : (Dk) caét (Cm) thaønh 2 ñoaïn baèng nhau. Þ (Dk) qua ñieåm uoán cuûa (Cm) Þ Þ (**) Vaäy ycbt Û k thoûa (*) vaø (**). 12) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (Cm) ñi qua (–1,1) coù daïng : y = k(x + 1) + 1 (Dk) Vaäy, phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa (Dk) vaø (Cm) laø : – x3 + mx2 – m = (– 3x2 + 2mx)(x + 1) + 1 (12) Û m(x2 – 1) = (– 3x2 + 2mx)(x + 1) + 1 + x3 Û x + 1 = 0 Ú m(x – 1) = – 3x2 + 2mx + 1 – x + x2 Û x = – 1 hay 2x2 + (1 – m)x – m – 1 = 0 (13) Û x = – 1 Ú y' (–1) = – 2m – 3 = (m2 – 2m – 3) Vaäy phöông trình cuûa 2 tieáp tuyeán qua (–1, 1) laø : y = – (2m + 3)(x + 1) + 1 y = (m2 – 2m – 3)(x + 1) + 1 Nhaän xeùt : Coù 1 tieáp tuyeán taïi tieáp ñieåm (–1, 1) neân phöông trình (12) chaéc chaén coù nghieäm keùp laø x = – 1 vaø phöông trình (13) chaéc chaén coù nghieäm laø x = – 1. 13) Caùc tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi tieáp ñieåm cuûa hoaønh ñoä x coù heä soá goùc laø : h = – 3x2 + 2mx Ta coù h ñaït cöïc ñaïi vaø laø max khi (hoaønh ñoä ñieåm uoán) Vaäy tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc lôùn nhaát. Nhaän xeùt : Ghi chuù : Ñoái vôùi haøm baäc 3 y = ax3 + bx2 + cx + d, ta coù : i) Neáu a > 0 thì tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc nhoû nhaát. ii) Neáu a < 0 thì tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc lôùn nhaát. PHAÏM HOÀNG DANH (Trung taâm Luyeän thi ñaïi hoïc Vónh Vieãn)