Chuyên đề Mô hình hoá thực nghiệm đa nhân tố bậc một đầy đủ và rút gọn

gi¸ trÞ trung b×nh. Thø tù tiÕn hµnh thùc nghiÖm ph¶i ngÉu nhiªn ®Ó tr¸nh sai sè hÖ thèng. 16 sè ngÉu nhiªn cña 32 thùc nghiÖm lÆp nh• sau: 2, 15, 9, 5, 12, 14, 8, 13, 16, 1, 3, 7, 4, 6, 11, 10. 15, 13, 10, 5, 14, 4, 6, 1, 7, 8, 3, 2, 9, 12, 11, 16. B•íc 3: §¸nh gi¸ sù lÆp l¹i cña thÝ nghiÖm. TiÕn hµnh ®¸nh gi¸ sù lÆp l¹i cña thÝ nghiÖm theo chuÈn Cochran: Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 57 GtÝnh =   N 1u 2 2 Su (max)Su víi u: thùc nghiÖm thø u 7.10 m: sè thùc nghiÖm lÆp l¹i Gb¶ng(p,f1,f2): víi: f1 = m - 1 vµ f2 = N(m-1). NÕu GtÝnh < Gb¶ng th× GtÝnh lµ kh«ng ®¸ng tin cËy, khi ®ã Su 2(max) lµ sai sè lín nhÊt cña thùc nghiÖm kh«ng lín h¬n tæng sai sè toµn bé thùc nghiÖm. VËy thùc nghiÖm lÆp l¹i. NÕu GtÝnh > Gb¶ng, thùc nghiÖm kh«ng lÆp l¹i th× m ph¶i t¨ng lªn cho ®Õn khi GtÝnh < Gb¶ng v× khi lµm thªm thùc nghiÖm sÏ cho x cµng gÇn gi¸ trÞ thùc. B•íc 4. TÝnh c¸c hÖ sè håi qui b»ng c¸c c«ng thøc sau: N yx b N 1u iuiu i   N yxx b N 1u iujuiu ij   7.11 N yixxx b N 1u kujuiu ijk   7.12 B•íc 5. §¸nh gi¸ tÝnh cã nghÜa cña hÖ sè håi qui: V× b* chØ ra ¶nh h•ëng ®Þnh tÝnh vµ ®Þnh l•îng cña c¸c yÕu tè lªn kÕt qu¶ thùc nghiÖm, nªn ph¶i cã bi > sai sè cu¶ thùc nghiÖm th× khi ®ã gi¸ trÞ cña hÖ sè b i míi gäi lµ cã nghÜa.V× vËy, mét hÖ sè håi qui ®•îc coi lµ cã nghÜa nÕu tho¶ m·n bÊt ®¼ng thøc sau: ti tinh > ti b¶ng (P,f) Víi: ti tinh ib i S b  7.13 trong ®ã : N S S 2 0 i 2 b  7.14 víi ; 1 1 22 0    N u uSN S vµ N yy S uiuu   22 )( 7.15 f = N(m - 1) N: sè thùc nghiÖm. m: sè thùc nghiÖm lÆp l¹i. Nh÷ng hÖ sè nµo kh«ng tho¶ m·n bÊt ®¼ng thøc trªn th× ®•îc lo¹i bá khái ph•¬ng tr×nh håi qui. ViÖc lo¹i bá nµy chØ ph¶n ¸nh ¶nh h•ëng cña nh©n tè cã hÖ sè bá ®i lªn kÕt qu¶ thùc nghiÖm nhá h¬n sai sè thùc nghiÖm. B•íc 6. §¸nh gi¸ tÝnh phï hîp cña ph•¬ng tr×nh håi qui t×m ®•îc: §¸nh gi¸ tÝnh phï hîp cña ph•¬ng tr×nh håi qui lµ ®¸nh gi¸ m« h×nh thu ®•îc m« t¶ thÝ nghiÖm ®óng hay ch•a ®óng. Sö dông bÊt ®¼ng thøc: Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 58 FtÝnh < Fb¶ng(P,f1,f2) 7.16 Víi: f1 = N - n -1 , f2 = N(m - 1) N: sè thùc nghiÖm. n: sè nh©n tè ¶nh h•ëng lªn kÕt qu¶ thùc nghiÖm. m: sè lÇn lÆp l¹i cña thùc nghiÖm. S2phï hîp FtÝnh = 7.17 S02 Víi:    N 1u 2 u 2 0 SN 1S , S2phï hîp=      N 1u 2 uu )yˆy(1nN m 7.18 Trong ®ã: - uyˆ : kÕt qu¶ thùc nghiÖm thø u tÝnh theo ph•¬ng tr×nh håi qui sau khi ®· lo¹i bá nh÷ng hÖ sè kh«ng cã nghÜa. - uy : gi¸ trÞ trung b×nh cña m lÇn thùc nghiÖm cña thùc nghiÖm thø u. - uy - uyˆ : sai sè gi÷a lý thuyÕt vµ thùc nghiÖm ë thùc nghiÖm thø u. NÕu FtÝnh < Fb¶ng th× sai kh¸c gi÷a lý thuyÕt vµ thùc nghiÖm lµ kh«ng ®¸ng tin cËy, nªn m« h×nh m« t¶ ®óng thùc nghiÖm. ý nghÜa h×nh häc cña ph•¬ng tr×nh håi qui: Ph•¬ng tr×nh håi qui m« t¶ 1 mÆt (MÆt môc tiªu cña 2 nh©n tè lµ mÆt ph¼ng, 3 nh©n tè lµ mÆt khèi 3 chiÒu, n nh©n tè lµ mÆt khèi n chiÒu). Gi¶ sö cã 2 nh©n tè x1 vµ x2, thùc hiÖn 4 thÝ nghiÖm sÏ vÏ ®•îc mét mÆt ph¼ng. x1 +1 TN2 TN3 +1 0' o + -1 TN1 TN4 +2 0 -1 o +1 x2 C«ng thøc tÝnh gi¸ trÞ thËt ®Ó lµm thùc nghiÖm ( xi lµ gi¸ trÞ m· ho¸ cã hai gi¸ trÞ 1): Xi thùc - Xi gèc xi = 7.19 i tõ ®ã suy ra : Xi thùc = X i gèc + .xi 7.20 ChuyÓn gi¸ trÞ thËt thµnh gi¸ trÞ m· ho¸ lµ ®•a ph•¬ng tr×nh håi qui vÒ d¹ng chÝnh t¾c (chuyÓn hÖ trôc to¹ ®é), cã nghÜa lµ chuyÓn gèc to¹ ®é tõ 0 vÒ 0' vµ ®¬n vÞ míi tÝnh lµ i*. Víi 3 nh©n tè, mÆt môc tiªu ®•îc m« t¶ b»ng mét khèi hép. Mçi ®Ønh ®Æc tr•ng cho mét thÝ nghiÖm trong b¶ng ma trËn thùc nghiÖm (xem môc 9.4). VÝ dô 7.1: Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 59 Nghiªn cøu ®é dÉn nhiÖt cña phÇn th¨ng hoa sinh ra khi clo hãa xØ titan nãng ch¶y. §Ó tÝnh to¸n vÒ c¸c m¸y cña hÖ thèng ng•ng tô khi thiÕt kÕ m¸y clo hãa, ta cÇn ph¶i biÕt hÖ sè dÉn nhiÖt riªng cña phÇn th¨ng hoa. §é dÉn nhiÖt ®•îc x¸c ®Þnh theo nhiÖt ®é cña nã, mËt ®é cña chÊt vµ thµnh phÇn hãa häc. C¸c biÕn ®éc lËp ®•îc chän lµ:1/ Z1: nhiÖt ®é, 0C; 2/ Z2: hµm l•îng Clo trong phÇn th¨ng hoa, % träng l•îng; 3/ Z3: tØ sè nång ®é SiO2 vµ TiO2 trong phÇn th¨ng hoa. §Ó thuËn tiÖn cho viÖc nghiªn cøu ng•êi ta ®•a vµo biÕn ¶o x0, x0 = 1 vµ ta cã ma trËn qui ho¹ch víi biÕn ¶o ®•îc tr×nh bµy trong ma trËn quy ho¹ch víi biÕn ¶o 23 B¶ng 7.4 Sè thø tù thÝ nghiÖm x0 x1 x2 x3 y Sè thø tù thÝ nghiÖm x0 x1 x2 X3 y 1 + + + + y1 5 + + + - y5 2 + - - + y2 6 + - - - y6 3 + + - + y3 7 + + - - y7 4 + - + + y4 8 + - + - y8 b1 = (1.296-1.122+1.239-1.586+1.232-1.292+1.339-1.383) /8 = - 34,625 B»ng c¸ch t•¬ng tù, ta cã: b2 = 63,125; b3 = -0,375; b0 = 311,125 B¶ng 7.5- Ph•¬ng ¸n tiÕn hµnh thÝ nghiÖm ®•îc viÕt d•íi d¹ng ma trËn 23 C¸c yÕu tè theo tØ lÖ xÝch tù nhiªn C¸c yÕu tè trong hÖ m· hãa Sè thø tù thÝ nghiÖm Z1 Z2 Z3 x1 x2 x3 y 1 300 45 1,25 + + + 296 2 200 35 1,25 - - + 122 3 300 35 1,25 + - + 239 4 200 45 1,25 - + + 586 5 300 45 0,75 + + - 232 6 200 35 0,75 - - - 292 7 300 35 0,75 + - - 339 8 200 45 0,75 - + - 383 NÕu dïng m« h×nh ®Çy ®ñ h¬n: y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b12x1x2 + b13x1x3 + b23x2x3 Ta cã ma trËn qui ho¹ch thÝ nghiÖm ®•îc më réng trong b¶ng sau : B¶ng 7.6- Ma trËn thùc nghiÖm më réng 23 Stt x0 x1 X2 x3 x1x2 x1x3 x2x3 y Cal/m.hC yˆ (yi - yˆ) 1 + + + + + + + 296 331,125 1233,765 2 + - - + + - - 122 139,875 319,515 3 + + - + - + - 239 221,875 293,265 4 + - + + - - + 586 551,625 1181,640 5 + + + - + - - 232 196,875 1233,765 6 + - - - + + + 292 274,125 319,515 7 + + - - - - + 339 356,125 293,265 8 + - + - - + - 383 417,375 1181,640 Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 60 b12 = (1.296 + 1.122 - 1.239 - 1.586 + 1.232 + 1.292 - 1.339 - 1.383) /8 = -75,625 b13 = -8,625; b23 = 67,125. Trong vÝ dô trªn v× kh«ng lµm thÝ nghiÖm lÆp l¹i tÊt c¶ c¸c thÝ nghiÖm, nªn ®Ó x¸c ®Þnh ph•¬ng sai lÆp l¹i ( sai sè thÝ nghiÖm ) ta lµm 3 thÝ nghiÖm lÆp ë t©m vµ nhËn ®•îc ba gi¸ trÞ cña hµm môc tiªu y nh• sau: y 1 0 2 9 5 y 2 0 3 1 2 y 30 2 9 3 300 3 y y 3 1u 0 u 0    7.21 69,3 8 440,10 N S S 440,10S;109 13 )yy( S th b th 3 1u 200 u 2 th j        7.22 TÝnh cã nghÜa cña c¸c hÖ sè håi qui ®•îc kiÓm ®Þnh theo tiªu chuÈn t: jb j j S b t  7.23 311,125 t0 = = 84,315; t1 = 9,38; t2 = 17,107; 3,69 t3 = 0,1016; t12 = 20,4945; t13 = 2,3373; t23 = 18,1910 Tra b¶ng tp (f) víi p = 0,05; f = 2. ®•îc : t0,05 (2) = 4,3 Bëi v× t3 < tp (f), t13 < tp (f) do ®ã c¸c hÖ sè b3, b13 bÞ lo¹i ra khái ph•¬ng tr×nh håi qui vµ ph•¬ng tr×nh víi c¸c hÖ sè cßn l¹i cã d¹ng: yˆ = 311,125 - 34,625x1 + 63,125x2 - 75,625x1x2 + 67,125x2x3 7.24 Sù phï hîp cña ph•¬ng tr×nh håi quy víi thùc nghiÖm ®•îc kiÓm ®Þnh theo chuÈn Fisher: 2 th 2 phh S S F  7.25 7914,2018 3 3742,6056 )( 1 2 2       LN yy S N i ii phh 7.26 Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 61 5210,18 109 7914,2018 S S F 2 th 2 phh  7.27 Tra b¶ng F1-p (f1, f2) víi= 0,05; f1 = 3, f2 = 2 tra b¶ng ta cã : F0,95(3,2) = 19,2 F < F1- p (f1,f2) do ®ã ph•¬ng tr×nh håi quy t×m ®•îc m« t¶ ®óng víi thùc nghiÖm. VÝ dô 7.2: Nghiªn cøu ¶nh h•ëng cña 3 nh©n tè tíi hiÖu suÊt s¶n phÈm y: 1/ nhiÖt ®é t0C trong kho¶ng 100 - 2000C, 2/ ¸p suÊt P = 2 - 6 atm (20 - 60 KgC/cm2) vµ 3/ thêi gian= 10 - 30 phót. Møc cao theo nhiÖt ®é z1max = 2000C, møc thÊp z1min = 1000C, z01 = 1500C, z1 = 500C: 2 110 1 minmax zz z  2 11 1 minmax zz z  7.28 §èi víi nh©n tè bÊt kú zj chóng ta cã: 2 0 min j max j j zz z   víij = 1, 2, ..., n vµ 2 min j max j j zz z   §iÓm cã to¹ ®é (z01, z 0 2, ..., z 0 n) ®•îc gäi lµ t©m ma trËn ®«i khi ng•êi ta gäi lµ møc gèc; Tõ hÖ to¹ ®é gi¸ trÞ thùc z1, z2, ..., zn chóng ta chuyÓn ®Õn hÖ to¹ ®é m· ho¸ kh«ng thø nguyªn x1, x2, ..., xn. C«ng thøc chuyÓn hay lµ m· ho¸ cã d¹ng: j jj j z zz x    0 j = 1, 2, ..., n 7.29 (-1,-1,-1) (1,-1,-1) (-1,-1,1) (1,1,1) 3 (-1,1,-1) 7 8 4 (-1,1,1) 5 6 2 (0,0,0) x (T)1 x (p)2 x ( )3  H×nh 7.2. VÞ trÝ c¸c ®iÓm trong kh«ng gian nh©n tè ®èi víi ma trËn 23. Trong hÖ to¹ ®é kh«ng thø nguyªn, møc cao b»ng +1, møc thÊp b»ng -1, to¹ ®é cña t©m ma trËn b»ng 0 vµ trïng víi gèc to¹ ®é. Trong bµi to¸n cña chóng ta n = 3. Sè tæ hîp N tõ Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 62 ba nh©n tè cña hai møc b»ng N = 2n = 23 = 8. Chóng ta cã ma trËn tiÕn hµnh thÝ nghiÖm ghi trong b¶ng 7.7. Gi¸ trÞ hiÖu suÊt y thu ®•îc nhê thùc hiÖn ma trËn thùc nghiÖm ®•îc chØ ra ë cét cuèi cña b¶ng. Ma trËn ®•îc m· ho¸ tr×nh bµy trªn b¶ng 7.7 cã thÓ minh ho¹ b»ng h×nh häc d•íi d¹ng mét khèi lËp ph•¬ng (h×nh 7.2). T¸m ®Ønh cña nã lµ t¸m ®iÓm thÝ nghiÖm. B¶ng 7.7 Gi¸ trÞ c¸c nh©n tè theo gi¸ trÞ thùc theo gi¸ trÞ m· ho¸ HiÖu suÊt Sè thÝ nghiÖm z1 z2 z3 x1 x2 x3 Y 1 100 20 10 -1 -1 -1 2 2 200 20 10 +1 -1 -1 6 3 100 60 10 -1 +1 -1 4 4 200 60 10 +1 +1 -1 8 5 100 20 30 -1 -1 +1 10 6 200 20 30 +1 -1 +1 18 7 100 60 30 -1 +1 +1 8 8 200 60 30 +1 +1 +1 12 z j lµ ®¬n vÞ thay ®æi hoÆc lµ kho¶ng biÕn thiªn theo trôc zj. Chóng ta ghi ma trËn m· ho¸ ë 23 vµ kÕt qu¶ thÝ nghiÖm, ®ång thêi ®•a cét biÕn sè ¶o x0 = 1 vµo. B¶ng 7.8 ThÝ nghiÖm x0 x1 x2 x3 y ThÝ nghiÖm x0 x1 x2 x3 y 1 +1 -1 -1 -1 y1 5 +1 -1 -1 +1 y5 2 +1 +1 -1 -1 y2 6 +1 +1 -1 +1 y6 3 +1 -1 +1 -1 y3 7 +1 -1 +1 +1 y7 4 +1 +1 +1 -1 y4 8 +1 +1 +1 +1 y8 Ma trËn thiÕt kÕ trong b¶ng 7.8 cã ®Çy ®ñ c¸c tÝnh chÊt 7.7, 7.8, vµ 7.9. TÝnh chÊt thø nhÊt (ph•¬ng tr×nh 7.7) - lµ tÝch v« h•íng b»ng kh«ng cña tÊt c¶ c¸c vect¬ - c¸c cét ®•îc gäi lµ tÝch trùc giao ma trËn thiÕt kÕ. Nhê tÝnh chÊt nµy, gi¶m ®•îc rÊt nhiÒu khã kh¨n liªn quan tíi viÖc tÝnh to¸n c¸c hÖ sè ph•¬ng tr×nh håi qui, v× ma trËn thèng kª (X*X) trë thµnh chÐo vµ c¸c phÇn tö chÐo cña nã b»ng sè thÝ nghiÖm trong ma trËn thiÕt kÕ N. C¸c phÇn tö chÐo cña ma trËn hiÖp biÕn (X*X)-1 cã d¹ng: Cjj = 1/N 7.30 Nh• vËy, cã thÓ tÝnh ®•îc vect¬ hÖ sè håi qui B: B =                                                                                 N yx . . N yx N yx yx . . yx yx N/ . . N/ N/ YX)XX( b . . b b iki ii ioi iki ii ioi ** k 11 1 1 0 10 1 01 7.31 Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 63 Do ®ã hÖ sè bÊt kú cña ph•¬ng tr×nh håi qui bj ®Òu ®•îc x¸c ®Þnh b»ng tÝch v« h•íng cét y víi cét xj t•¬ng øng chia cho sè thÝ nghiÖm trong ma trËn thiÕt kÕ N    N i ijij yxN b 1 1 7.32 NÕu sö dông ma trËn tr×nh bµy trªn b¶ng 7.7, tr•íc tiªn chóng ta sÏ tÝnh ®•îc hÖ sè håi qui cña hÖ ph•¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh:  y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 7.33 VÝ dô nh• muèn x¸c ®Þnh hÖ sè b1 ë x1 th× cÇn ph¶i cã tæng c¸c tÝch: x1 y x1y                                                                                                 12 8 18 10 8 4 6 2 12 5 18 10 8 4 6 2 1 1 1 1 1 1 1 1 5,2 8 20 20 8 1 1 1 8 1 1       N yx b yx i ii i ii 7.34 T•¬ng tù chóng ta nhËn ®•îc: b0 = 8,5 b2 = -0,5 b3 = +3,5 NÕu kh¶o s¸t ph•¬ng tr×nh håi qui ®Çy ®ñ h¬n cã c¸c hÖ sè t•¬ng t¸c  y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b13x1x3 + b23x2x3 + b12x1x2 + b123x1x2x3 7.35 th× ®Ó x¸c ®Þnh c¸c hÖ sè b12, b13, b23 (hiÖu øng t•¬ng t¸c ®«i) vµ b123 (hiÖu øng t•¬ng t¸c ba), cÇn thiÕt ph¶i më réng ma trËn ë b¶ng 7.8 nh• nã ®· ®•îc chØ ra ë b¶ng 7.9. B¶ng 7.9 – Ma trËn thùc nghiÖm bËc mét ®Çy ®ñ ThÝ nghiÖm x0 x1 x2 x3 x1x2 x1x3 x2x3 x1x2x3 Y 1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 2 2 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 6 3 +1 -1 +1 -1 +1 +1 +1 +1 4 4 +1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 8 5 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 10 6 +1 +1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 18 7 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 8 8 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 12 HÖ sè t•¬ng t¸c ®•îc x¸c ®Þnh b»ng c¸c hiÖu øng tuyÕn tÝnh t•¬ng tù, vÝ dô nh• ®Ó x¸c ®Þnh hÖ sè b12 cÇn thiÕt ph¶i cã . C¸c hÖ sè cßn l¹i còng x¸c ®Þnh b»ng c¸ch t•¬ng tù: b13 = +0,5 b23 = -1,5 b123 = 0,11 NÕu lµm thªm thÝ nghiÖm lÆp, cã thÓ x¸c ®Þnh S2lÆp, ®Ó kiÓm tra tÝnh cã nghÜa cña c¸c hÖ sè håi qui, cßn khi cã mÆt c¸c bËc tù do th× kiÓm tra ®•îc tÝnh phï hîp cña ph•¬ng tr×nh. x1x2 y x1x2y Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 64                                                                                                 12 8 18 10 8 4 6 2 12 5 18 10 8 4 6 2 1 1 1 1 1 1 1 1 50 8 4 4 8 1 21 12 8 1 2 , N y)xx( b y)xx( i ti i iii       7.36 Do ma trËn t•¬ng quan (X*X)-1 ®èi víi thÝ nghiÖm thiÕt kÕ lµ ma trËn chÐo                  N N N XX /10 . . /1 0/1 )( 1* 7.37 nªn c¸c hÖ sè ph•¬ng tr×nh håi qui kh«ng t•¬ng quan víi nhau. Cã thÓ kiÓm tra tÝnh cã nghÜa cña c¸c hÖ sè ph•¬ng tr×nh håi qui ®èi víi tõng hÖ sè riªng biÖt b»ng c¸ch sö dông chuÈn t . ViÖc lo¹i trõ hÖ sè kh«ng cã nghÜa ra khái ph•¬ng tr×nh håi qui 7.35 kh«ng ¶nh h•ëng tíi c¸c gÝa trÞ kh¸c. Lóc ®ã c¸c hÖ sè ®•îc chän läc bi lµ hÖ sè biÓu kiÕn, •íc l•îng thuÇn nhÊt (kh«ng suy biÕn) ®èi víi mäi hÖ sè thùcj: bjj 7.38 tøc lµ c¸c gi¸ trÞ hÖ sè ph•¬ng tr×nh håi qui ®Æc tr•ng cho sù ®ãng gãp cña mçi thµnh phÇn vµo gi¸ trÞ y. C¸c phÇn tö chÐo cña ma trËn t•¬ng quan b»ng nhau, bëi vËy tÊt c¶ hÖ sè ph•¬ng tr×nh (7.33) vµ (7.35) ®•îc x¸c ®Þnh víi ®é chÝnh x¸c nh• nhau: N/ss sinhi¸tbj  7.39 VÝ dô nh• ë ma trËn t©m ®Æt thªm ba thÝ nghiÖm lÆp vµ nhËn ®•îc c¸c gi¸ trÞ y sau ®©y: y1 0 = 8 y2 0 =9 y3 0 = 8,8 Tõ ®ã 68 3 3 1 0 0 , y y i i    28,0 2 )( 2 03 1 0 2      yy s i i lap 7.40 slÆp = 0,55 20 8 550 ,,s bj  Chóng ta ®¸nh gi¸ tÝnh cã nghÜa cña c¸c hÖ sè theo chuÈn t: t0 = 20 58 0 0 , , s b b  = 42,5 t1 = 20 52 1 1 , , s b b  = 12,5 Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 65 t2 = 2 2 bs b = 2,5 t3 = 3 3 bs b = 17,5 t12 = 12 12 bs b = 2,5 t13 = 13 13 bs b = 2,5 7.41 t23 = 23 23 bs b = 7,5 t123 = 123 123 bs b = 1,25 §èi víi ®é kh«ng tin cËy thèng kª p = 0,05 vµ sè bËc tù do f = 2, gi¸ trÞ chuÈn t tra ë b¶ng tb (f) = 4,3. Nh• vËy, c¸c hÖ sè b2, b12, b13 vµ b123 kh«ng cã nghÜa, vµ nªn lo¹i chóng ra khái ph•¬ng tr×nh håi qui. Sau khi lo¹i c¸c hÖ sè kh«ng cã nghÜa, ph•¬ng tr×nh håi qui cã d¹ng: y = 8,5 + 2,5x1 + 3,5x3 - 1,5x2x3 7.42 Chóng ta h·y kiÓm tra tÝnh phï hîp cña ph•¬ng tr×nh thu ®•îc theo chuÈn F: F = 2 2 laps s trong ®ã s2 = 4 6 8 1 2     lN )yy( i ii = 1,5 7.43 s2lÆp = 0,28 ë ®©y l lµ sè hÖ sè cã nghÜa trong ph•¬ng tr×nh håi qui b»ng 4. Lóc ®ã F = 280 51 , , = 5,3 Gi¸ trÞ chuÈn F tra b¶ng ®èi víi p = 0,05, f1 = 4, f2 = 2 b»ng: Fp = (f1f2) = 19,3. VËy: F < Fp(f1f2). Do ®ã ph•¬ng tr×nh (7.42) m« t¶ ®óng thùc nghiÖm. VÝ dô 7.3: M« h×nh ho¸ thùc nghiÖm ®Çy ®ñ lo¹i 22 víi hai thÝ nghiÖm lÆp t¹i mçi ®iÓm cña kh«ng gian nh©n tè. Ma trËn vµ c¸c kÕt qu¶ thùc nghiÖm ®•îc ghi ë b¶ng 7.10. B¶ng 7.10. Ma trËn thùc nghiÖm vµ c¸c kÕt qu¶ tÝnh to¸n. Ma TrËn KÕt qu¶ hµm môc tiªu TÝnh to¸n X0 x1 x2 yu1 yu2 yu ~yu y yu u~  y yu u~ 2  2uu y~yn  2us u 2 ufs 1 +1 -1 -1 4,5 5,5 5,0 4,59 0,41 0,16 0,32 0,5 0,5 2 +1 +1 -1 3,0 __ 3,0 3,79 0,79 0,64 0,64 0 0 3 +1 -1 +1 2,0 2,0 2,0 1,89 0,11 0,01 0,02 0 0 4 +1 +1 +1 0,5 1,5 1,0 1,09 0,09 0,01 0,02 0,5 0,5  1 00,  1 0, X¸c ®Þnh c¸c hÖ sè cña m« h×nh to¸n häc vµ tiÕn hµnh ph©n tÝch thèng kª. 1. ViÖc tÝnh to¸n c¸c hÖ sè cña ph•¬ng tr×nh håi qui ®•îc thùc hiÖn ë d¹ng ma trËn: Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 66 X               1111111 1111111 1111111 ; XT                               111 111 111 111 111 111 111 7.44 XTX              711 171 117 7.45 XTY                                                  7 9 19 5,1 0,2 5,5 5,0 0,2 0,3 5,4 1111111 1111111 1111111 7.46 (XT)X-1               15,0025,0025,0 025,015,0025,0 025,0025,015,0 7.47 b0 = 0,15(+19) + 0,025(-9) + (-0,025) (-7) = 2,80; b1 = 0,025(+19) + 0,15(-9) + (-0,025)(-7) = -0,70; b2 = (-0,025)(+19) + (-0,025)(-9) + 0,15(-7) = -1,30. 2. TÝnh to¸n sai sè thÝ nghiÖm: 2 1s = (4,5 - 5,0) 2 + (5,5 - 5,0)2 = 0,5; 2 2s = 0; 2 3s = 0; 2 4s = 0,5;   4 1u 2 us = 1,0. c«ng thøc tÝnh ph•¬ng sai trung b×nh cña tËp sè liÖu nh• sau: Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 67    N u u u N u u f Sf s 2 2 0 7.48 do ®ã ta tÝnh ®•îc: 33,0 3 5,00015,0s20   , víi fu = 3; Ng•êi ta cã thÓ sö dông chuÈn F ®Ó ®¸nh gi¸ tÝnh ®ång nhÊt cña c¸c kÕt qu¶ thÝ nghiÖm, khi ®ã tÝnh theo c«ng thøc sau: F tÝnh= 2 min 2 max u u S S < Fb 7.49 Trong ®ã fumax = mumax – 1 , fumin = mmin – 1; v× vËy theo c«ng thøc (7.49) ta cã: Ft = 1 5,0 5,0  vµ Ft < Fb , VËy ph•¬ng sai lµ ®ång nhÊt, cã nghÜa lµ c¸c kÕt qu¶ thÝ nghiÖp lÆp l¹i. 3. TÝnh c¸c hÖ sè håi qui: 4 33,0 s2b i  = 0,082, ibs = 0,29; tb = 3,18; bi = 0,91. c¸c hÖ sè b0 vµ b2 lµ cã gi¸ trÞ. 4. §¸nh gi¸ tÝnh phï hîp cña ph•¬ng tr×nh håi qui: 34 00,12  phs = 1,00; Ft = 3 33,0 00,1  , Fb = 10,1 (fph = 1, f0 = 3, q = 0,05). V× Ft < Fb, nªn cã thÓ coi ph•¬ng tr×nh håi qui t×m ®•îc lµ phï hîp víi thùc nghiÖm vµ cã thÓ chuyÓn sang t×m ®iÒu kiÖn tèi •u theo ®•êng dèc nhÊt. VÝ dô 7.4: KÕt qu¶ m« h×nh ho¸ thùc nghiÖm ®Çy ®ñ 3 nh©n tè cña qu¸ tr×nh ®iÒu chÕ d•îc phÈm Carbometoxy Sunphanyl Guanydin cho ë b¶ng 7.11. Trong ®ã : 1/ x1 lµ tû sè dung m«i trªn chÊt c¬ b¶n, g/l. 2/ x2 lµ nhiÖt ®é chÊt (khèi l•îng) ph¶n øng, 0C. 3/ x3 lµ thêi gian ph¶n øng, phót. Hµm môc tiªu y lµ hiÖu suÊt s¶n phÈm tÝnh theo phÇn tr¨m. Tõ c¸c kÕt qu¶ tr×nh bÇy trªn b¶ng 7.11, tÝnh c¸c hÖ sè håi qui, ta thu ®•îc c¸c kÕt qu¶ sau: b0 = 23,8; b3 = 9,36; b23 = 3,77; b1 = 1,78; b12 = 0,17; b123 = 1,00; b2 = 10,23; b13 = -0,79; Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 68 ;970,02 phs sbi 2 0 0144 , ; s bi 0 12, ; bi = 2,78 . 0,12 = 0,31 trõ b12 kh«ng cã nghÜa, c¸c hÖ sè cßn l¹i ®Òu cã nghÜa. B¶ng 7.11. Ma trËn vµ kÕt qu¶ thùc nghiÖm. Tªn gäi x1 x2 x3 Møc kh«ng 0,7 135 30 Kho¶ng thay ®æi 0,2 5 15 Møc trªn 0,9 140 45 Møc d•íi 0,5 130 15 C¸c thÝ Ma trËn thùc nghiÖm Hµm môc tiªu NghiÖm x0 x1 X2 x3 Y 1 +1 +1 +1 +1 46,80 2 +1 +1 -1 +1 20,47 3 +1 -1 -1 +1 16,80 4 +1 -1 -1 -1 5,08 5 +1 +1 +1 -1 24,15 6 +1 +1 -1 -1 8,89 7 +1 -1 +1 -1 16,63 8 +1 -1 +1 +1 46,45 §¸nh gi¸ tÝnh phï hîp cña ph•¬ng tr×nh håi qui thu ®•îc : s0 2 = 0,115; f0 = 4; fph = 7; Fb = 4,12. Ft = 0 970 0 115 , , = 8,4, F t > Fb. Do ®ã m« h×nh tuyÕn tÝnh t×m ®•îc kh«ng phï hîp víi thùc nghiÖm. VÝ dô 7.5 : Ng•êi ta ®· nghiªn cøu qu¸ tr×nh t¸ch thñy ng©n ra khái kiÒm ¨n da nhê mét chÊt t¸ch ®Æc biÖt trong lß ph¶n øng tuÇn hoµn cã m¸y khuÊy. Qu¸ tr×nh t¸ch phô thuéc vµo : 1/ Tèc ®é quay cña m¸y khuÊy, x1 vßng/phót; 2/ NhiÖt ®é dung dÞch, x2 0C vµ 3/ Thêi gian dung dÞch ë trong lß, x3 phót. B¶ng 7.12- Ma trËn vµ kÕt qu¶ thùc nghiÖm. Tªn X1 X2 X3 C¸c sè liÖu Møc gèc, Xi0 2500 100 45 b11=0 b120 Kho¶ng thay ®æi,Xi 500 10 15 B22=0 b130 b123=0 Møc cao, Xib 3000 110 60 b33=0 b230 Møc thÊp, Xin 2000 90 30 Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 69 ThÝ nghiÖm x0 Ma trËn M· ho¸ Gi¸ trÞ hµm môc tiªu C¸c phÐp tÝnh x1 x2 x3 yu1.104 42 10.y u 410.yu 102 10.su 410.y~u   82u 10.y~y  1 +1 +1 +1 +1 1,09 0,71 0,90 7,22 0,514 0,1521 2 +1 -1 +1 +1 1,34 0,94 1,14 8,00 1,414 0,0729 3 +1 +1 -1 +1 3,07 2,65 2,86 8,82 2,646 0,0441 4 +1 -1 -1 +1 3,42 3,02 3,22 8,00 3,546 0,1089 5 +1 +1 +1 -1 2,90 2,50 2,70 8,00 2,356 0,1156 6 +1 -1 +1 -1 3,01 2,59 2,80 8,82 3,256 0,2116 7 +1 +1 -1 -1 3,74 3,34 3,54 8,00 4,488 0,9025 8 +1 -1 -1 -1 6,64 6,26 6,45 7,22 5,388 1,0820 =64,08 x10-10 =2,4897 x10-8 §Ó kiÓm tra tÝnh lÆp l¹i cña tnùc nghiÖm , ta tÝnh: 1378,0 1008,64 1082,8 10 10      tG < Gb = 0,679 Gi¸ trÞ tra b¶ng Gb t×m ®•îc khi f1 = 1, f2 = 8, q = 0,05 (xem phô lôc) TÝnh ph•¬ng sai cña thÝ nghiÖm: 8 12 0 s 64,08 . 10-10 = 8,01 . 10-10 §¸nh gi¸ tÝnh cã nghÜa cña c¸c hÖ sè håi quy: tÝnh ph•¬ng sai cña c¸c hÖ sè trong ph•¬ng tr×nh håi qui theo c«ng thøc (7.23): sb i 2 108 01 10 8   , = 1,00 . 10-10 ; sbi   1 00 10 10, = 1,00 . 10-5 . Ta t×m ®•îc kho¶ng tin cËy ®èi víi bi theo c«ng thøc sau: ibbi stb  = 2,3 . 100 . 10-5 = 0,23 . 10-4 ; 7.50 tb [f = N (m - 1) = 8 (2 - 1) = 8 , q = 0,05] = 2,3. Theo ®iÒu kiÖn : ib > ib 7.51 th× tÊt c¶ c¸c hÖ sè ®Òu cã nghÜa. §Ó ®¸nh gi¸ tÝnh phï hîp cña ph•¬ng tr×nh håi qui, ta tÝnh ph•¬ng sai phï hîp theo c¸c kÕt qu¶ cña cét cuèi cña b¶ng 7.12 vµ c«ng thøc ( 7.15 ): 82 104897,2 48 2   phs = 1,2448 . 10-8 . TÝnh phï hîp cña ph•¬ng tr×nh ®•îc ®¸nh gi¸ theo c¸c ®iÒu kiÖn (7.16) : Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 70 Ft = 8 8 1008,0 102448,1     = 15 > Fb = 3,84 (fph = 4, f0 = 8, q = 0,05). Ph•¬ng tr×nh håi qui thu ®•îc m« t¶ kh«ng phï hîp c¸c sè liÖu thÝ nghiÖm. VÝ dô 7.6.: Bµi to¸n tèi •u hãa qu¸ tr×nh chiÕt trong c«ng nghÖ, lÊy thêi gian ng©m nguyªn liÖu X1 (h) vµ sè lÇn chiÕt X2 (lÇn) lµ nh÷ng nh©n tè ®éc lËp. LÊy hiÖu suÊt chiÕt y tÝnh theo phÇn tr¨m lµm tham sè tèi •u. Ng•êi ta ®· tiÕn hµnh m« h×nh ho¸ thùc nghiÖm ®Çy ®ñ lo¹i 22 víi 5 thÝ nghiÖm ë t©m (b¶ng 7.13). Theo c¸c c«ng thøc tÝnh hÖ sè håi qui, ta tÝnh ®•îc hÖ sè ph•¬ng tr×nh håi qui cã d¹ng: y = b0 + b1x1 + b2x2 + b12x1x2; b0 = (30 + 40 + 50 + 90 + 54 + 58 + 56 + 56 + 59) : 9 = 54,8; b1 = (-30 - 40 + 50 + 90) : 4 = 17,5; b2 = (-30 + 40 - 50 + 90) : 4 = 12,5; vµ b12 = (30 - 40 - 50 + 90) : 4 = 7,5. B¶ng 7.13. Ma trËn thùc nghiÖm lo¹i 22 víi c¸c thÝ nghiÖm ë t©m. X1 X2 ThÝ nghiÖm x1 x2 Y TN y TÝnh a i c i ThÝ nghiÖm 1 2 3 4 2 x1 - - + 5 3 x2 - + - y thÝ nghiÖn 30 40 50 yˆ tÝnh 32,3 42,3 52,3 4 5 6 7 8 9 + 0 0 0 0 0 + 0 0 0 0 0 90 54 58 56 56 59 92,3 54,8 54,8 54,8 54,8 54,8 Ph•¬ng sai s2 = 4,30 ®Æc tr•ng cho sai sè thÝ nghiÖm, qua kÕt qu¶ cña 5 thÝ nghiÖm lÆp ë t©m. NÕu coi sù ph©n bè c¸c gi¸ trÞ thu ®•îc t¹i mçi ®iÓm cña ma trËn lµ chuÈn t¾c th× cã thÓ tiÕn hµnh ph©n tÝch ph•¬ng tr×nh håi qui. TÊt c¶ c¸c hÖ sè cña ph•¬ng tr×nh håi qui ®Òu cã nghÜa víi ®é tin cËy ph•¬ng sai s(p = 0,95), ph•¬ng sai phï hîp tÝnh ®•îc sR 2 = 52,56 : (9 - 4) = 10,51; nh• vËy, ®¸nh gi¸ theo chuÈn F ta cã FtÝnh = 10,51 : 4,3 = 2,4 < F0,05(5; 4) = 6,26. Ph•¬ng tr×nh håi qui phï hîp víi c¸c kÕt qu¶ thÝ nghiÖm cã d¹ng: y = 54,8 + 17,5 . x1 + 12,5x2 + 7,5x1x2 . Ta cã thÓ dùng ®å thÞ nh÷ng ®•êng hiÖu suÊt chiÕt nh• nhau (h×nh 7.4). C¹nh mçi ®•êng cã chØ râ phÇn tr¨m hiÖu suÊt chiÕt vµ mçi ®iÓm cña ®•êng ®ã cã täa ®é X1 vµ X2. VÝ dô ®èi víi ®iÓm A trªn ®•êng 70% øng víi X1 = 5 giê vµ X2 = 6 lÇn chiÕt khi ®ã cã hiÖu suÊt chiÕt lµ 70% . ViÖc nghiªn cøu c¸c ®•êng hiÖu suÊt chiÕt b»ng nhau cã thÓ gi¶i quyÕt ®•îc nh÷ng vÊn ®Ò thùc tÕ. VÝ dô, nÕu nguyªn liÖu rÊt quý vµ tr÷ l•îng cña nã cã h¹n th× tõ nguyªn liÖu ®ã nªn Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 71 chiÕt víi hiÖu suÊt s¶n phÈm h÷u Ých nhiÒu h¬n so víi tr•êng hîp nguyªn liÖu rÎ vµ chi phÝ cho viÖc chiÕt t¨ng ®¸ng kÓ cïng víi sè phÇn tr¨m khai th¸c s¶n phÈm tõ mét ®¬n vÞ nguyªn liÖu còng t¨ng. Gi¶ sö tr•êng hîp thø nhÊt x¶y ra, ®Ó thùc hiÖn bµi to¸n ®ßi hái hiÖu suÊt chiÕt kh«ng Ýt h¬n 60%. Lóc ®ã ®iÒu kiÖn tèi •u sÏ lµ kho¶ng 4 lÇn chiÕt trong 5 giê 20 phót mét, bëi v× khi ®ã còng sÏ tiªu hao mét kho¶ng thêi gian tèi thiÓu (gÇn 21 giê so víi c¸c ®iÒu kiÖn kh¸c). NÕu nguyªn liÖu rÊt rÎ, cã thÓ thu ®•îc mét l•îng s¶n phÈm cã Ých nh• vËy khi t¸ch ra kh«ng ph¶i 60% mµ vÝ dô nh• 30% (2 lÇn chiÕt trong 2 giê) sau khi t¨ng tiªu hao nguyªn liÖu 2 lÇn. Nãi c¸ch kh¸c ë ®©y cÇn ph¶i tÝnh to¸n ®Õn kinh tÕ, nguån dù tr÷ vµ c¸c thø kh¸c. Cã thÓ dùng ®•îc nh÷ng