Chuyên đề Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

: Với dãy số này nếu ta đặt = + .2nn nu x y thì khi thay vào công thức truy hồi của dãy ta không xác định được y ! Nên ta sẽ tìm cách giải khác cho bài toán này. Ta viết lại công thức truy hồi của dãy như sau: - - -- - - =1 1 2( 2 ) 2( 2 ) 3.2nn n n nu u u u Đặt -= - 12n n nx u u , ta có: -- =12 3.2nn nx x . Áp dụng kết quả 2, ta có: 1(6 5).2nnx n -Þ = - 112 (6 5).2nn nu u n --Þ - = - 1 1 1 2 1 0 0( 2 ) 2( 2 ) ... 2 ( 2 ) 2 .n nn n n n nu u u u u u u u-- - -Þ = - + - + + - + 1 1 1 1 2 (6 5) 2 2 6 5 2 n n n n n i i i i n- - = = é ù = - + = - +ê ú ê úë û å å 1 2 1 ( 1)6 5 2 2 (3 2 2)22 n nn n n n n- -é ù+= - + = - +ê ú ë û . Lưu ý : Từ CTTQ của dãy ( )nu ta có thể giải bài toán trên theo cách khác như sau Đặt 2.2nn nu x yn= + . Ta có: 1 24 4 2 .2 3.2n nn n nx x x y- -- + + = . Ta chọn 3 2y = Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 15 - 0 1 1 2 1; 0( ) : 4 4 0 2n n n n x xx x x x n- - ì = =ïÞ í - + = " ³ïî . Áp dụng kết quả 4, ta được 1 1 2 1 2 1(2 2 )2 (2 2 ).2 3 .2 (3 2 2)2n n n nn nx n u n n n n- - - -= - Þ = - + = - + . Từ ba ví dụ trên ta rút ra được nhận xét sau: Dạng 8: Cho dãy số ( )nu xác định bởi: 0 1 1 2 ; . . . ; 2nn n n u u u b u c u d na- - ìï í + + = " ³ïî . Để xác định CTTQ của dãy ( )nu ta làm như sau: · Nếu phương trình : 2 0 (1)X bX c+ + = có hai nghiệm phân biệt khác a thì ta đặt 2 . n n n du x a b c a a a a = + + + , ta có: 1 1. . 0n n na x bx c x+ -+ + = . Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được n nx uÞ . · Nếu x a= là nghiệm đơn của (1) thì ta đặt: 2 .2 n n n du x nb c a a= - + , ta có: 1 1. . 0n n na x bx c x+ -+ + = .Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được n nx uÞ . · Nếu x a= là nghiệm kép của (1) thì ta đặt: 2 2. .4 n n n du x nb c a a a = + + , ta có: 1 1. . 0n n na x bx c x+ -+ + = .Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được n nx uÞ . Với cách xây dựng tương tự ta cũng có được các kết quả sau Dạng 9: Cho dãy ( ) :nu 1 2 3 2 1 1 , , 0 2n n n n u x u y u z au bu cu du n+ + - ì = = =ï í + + + = " ³ïî .Để xác định CTTQ của dãy ta xét phương trình: 3 2 0ax bx cx d+ + + = (1) ( (1)gọi là phương trình đặt trưng của dãy). · Nếu (1) có ba nghiệm phân biệt 1 2 3 1 2 3, , n n nnx x x u x x xa b gÞ = + + . Dựa vào 0 1 2, ,u u u ta tìm được , ,a b g . · Nếu (1) có một nghiệm đơn, 1 nghiệm kép: 1 2 3 1 3( ) .n nnx x x u n x xa b g= ¹ Þ = + + Dựa vào 0 1 2, ,u u u ta tìm được , ,a b g . · Nếu (1) có nghiệm bội 3 21 2 3 1( ) nnx x x u n n xa b g= = Þ = + + . Dựa vào 0 1 2, ,u u u ta tìm được , ,a b g . Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 16 - Ví dụ 1.16: Tìm CTTQ của dãy ( ) :nu 1 2 3 1 2 3 0, 1, 3, 7 11. 5. , 4n n n n u u u u u u u n- - - ì = = =ï í = - + " ³ïî Giải : Xét phương trình đặc trưng : 3 27 11 5 0x x x- + - = Phương trình có 3 nghiệm thực: 1 2 31, 5x x x= = = Vậy 5nna na b g= + + Cho 1, 2, 3n n n= = = và giải hệ phương trình tạo thành, ta được 1 3 1, , 16 4 16a b g= - = = Vậy ( ) 11 3 11 .5 16 4 16 -= - + - + nna n . Ví dụ 1.17: Tìm CTTQ của dãy số 0 1 1 0 1 1 2; 2( ),( ) : 11; 2 n n n n n n n n u u u vu v nv v u v - - - - ì = = +ï " ³í = = +ïî . Giải: Ta có: 1 2 2 1 2 1 22 2 2 2( 2 )n n n n n n n nu u u v u u u u- - - - - - -= + + = + + - 1 24 3n n nu u u- -Þ = - và 1 5u = Áp dụng kết quả 4, ta có: 1 1 1 1 3 1 322 2 n n n n n nu v u u + + + + - + = Þ = - = . Tương tự ta có kết quả sau: Dạng 10: Cho dãy 1 1 1 1 ( ),( ) : n n n n n n n n x px qy x ax y y ry sx y b + + ì = + =ï í = + =ïî . Để xác định CTTQ của hai dãy ( ),( )n nx y ta làm như sau: Ta biến đổi được: 1 1( ) ( ) 0n n nx p s x ps qr x+ -- + + - = theo kết quả 4 ta xác định được nx , từ đây thay vào hệ đã cho ta có được ny . Chú ý : Ta có thể tìm CTTQ của dãy số trên theo cách sau: Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 17 - Ta đưa vào các tham số phụ l , 'l 1 1 1 1 ( )( ) '' ( ' )( )' n n n n n n n n q rx y p s x ys p q rx y p s x yp s ll l l ll l l + + + + ì - - = - -ïï -Þ í +ï + = + + ï +î Ta chọn l , 'l sao cho 1 1 1 1 ( )( ) ' ' ( ' )( ' )' ' n n n n n n n n q r x y p s x ys p q r x y p s x y s p ll l l ll l l l ll l + + + + ì - =ï ì - = - -ï ï- Þí í+ + = + +ïï î= ï +î 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ' ( ' ) ( ' ) n n n n n n x y p s x y x y p s x y l l l l l l + + + + ì - = - -ï í + = + +ïî giải hệ này ta tìm được ( ) ( ), n nx y . Ví dụ 1.18: Tìm CTTQ của dãy 1 1 1 1 ( ) : 2 23 4 n n n n u u uu nu - - ì = ï í = " ³ï +î . Giải: Ta có 1 1 1 3 41 3 122 2 n n n n u u u u - - - + = = + . Đặt 1n n x u= , ta có: 1 1 1 32 2n n x x x - ì = ï í = +ïî . Áp dụng kết quả 1, ta được: 1 1 5.2 3 2 2 5.2 3 n n n nx u - - - = Þ = - Ví dụ 1.19: Tìm CTTQ của dãy số 1 1 1 2 ( ) : 9 24 25 13 n n n n u u uu nu - - ì = ï - -í = " ³ï +î . Giải: Bài toán này không còn đơn giải như bài toán trên vì ở trên tử số còn hệ số tự do, do đó ta tìm cách làm mất hệ số tự do ở trên tử số. Muốn vậy ta đưa vào dãy phụ bằng cách đặt n nu x a= + . Thay vào công thức truy hồi, ta có: 2 1 1 1 1 9 9 24 ( 9 5 ) 5 22 24 5 5 13 5 5 13 n n n n n n x a a x a ax a xx a x a - - - - - - - - - - - - + = Þ = + + + + Ta chọn 2 1: 5 22 24 0 2 4a a a a x+ + = Þ = - Þ = Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 18 - 1 1 1 1 1 1 3 1 11.3 10 455 3 4 11.3 10 n n n n n n n n n xx xx x x x - - - - - - Þ = Þ = + Þ = Þ = + - 1 1 22.3 242 11.3 10 n n n nu x - - - + Þ = - = - . Dạng 11: Cho dãy (xn): 11 1 ; 2nn n pu qu u nru sa - - + = = " ³ + . Để tìm CTTQ của dãy (xn) ta làm như sau: Đặt n nu x t= + , thay vào công thức truy hồi của dãy ta có: 2 1 1 1 1 ( ) ( )n n n n n px pt q p rt x rt p s t qx tru rt s rx rt s - - - - + + - - + - + = - = + + + + (1). Ta chọn 2: ( ) 0t rt s p t q+ - - = . Khi đó ta chuyển (1) về dạng: 1 1 1 n n a bx x - = + Áp dụng kết quả 1, ta tìm được 1 nx , từ đó suy ra n nx uÞ . Ví dụ 1.21: Xác định CTTQ của hai dãy số 1 1 2( ),( ) : 1n n uu v v ì =ï í =ïî và 2 2 1 1 1 1 2 22 n n n n n n u u v nv u v - - - - ì = +ï " ³í =ïî . Giải: Ta có: 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 ( 2 ) 2 2 2 2 ( 2 ) n n n n n n n n n n n n n n u u v u v u v v u v u v u v - - - - - - - - ìì = + + = +ï ïÞí í = - = -ï ïî î 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 ( 2 ) (2 2) 2 ( 2 ) (2 2) n n n n n n n n u v u v u v u v - - - - ì + = + = +ïÞ í ï - = - = -î 1 1 1 1 2 2 2 2 1 (2 2) (2 2)2 1 (2 2) (2 2) 2 2 n n n n n n u v - - - - ì é ù= + + -ï ê úï ë ûÞ í é ùï = + - -ê úë ûïî . Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 19 - Nhận xét: Từ 2 1 2 22 2 11 11 1 1 1 1 1 1 1 2 22 2 2 2 n nn n nn n n n n n n n n n n u vu u vu u v v u v v u v u v - -- -- - - - - - - - æ ö +ç ÷ç ÷ì += +ï è øÞ = =í = æ öïî ç ÷ç ÷ è ø Do vậy nếu ta đặt nn n ux v= ta được dãy số 1 2 1 1 2 ( ) : 2 2 n n n n x x xx x - - ì = ï +í =ï î . Ta có bài toán sau: Ví dụ 1.22: Xác định CTTQ của dãy số 1 2 1 1 2 ( ) : 2 22 n n n n x x xx nx - - ì = ï +í = " ³ï î . Giải: Xét hai dãy 1 1 2( ),( ) : 1n n uu v v ì =ï í =ïî và 2 2 1 1 1 1 2 22 n n n n n n u u v nv u v - - - - ì = +ï " ³í =ïî . Ta chứng minh nn n ux v= (*). · 22 2 2 2 2un x nv= Þ = = Þ = (*) đúng. · Giả sử 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 (*)2 2 n n n n n n n n n n n n u x u v ux xv x u v v - - - - - - - - - + + = Þ = = = Þ được chứng minh Theo kết quả bài toán trên, ta có: 1 1 1 1 2 2 2 2 (2 2) (2 2)2 (2 2) (2 2) n n n nnx - - - - + + - = + - - . Dạng 12: 1) Từ hai ví dụ trên ta có được cách tìm CTTQ của hai dãy số ( ),( )n nu v được xác định bởi: 2 2 1 1 1 1 1 1 . ; 2 ; n n n n n n u u a v u v v u v a b - - - - ì = + =ï í = =ïî (trong đó a là số thực dương) như sau: Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 20 - Ta có: 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 . ( ( ) . 2 . ( ( ) n n n n n n n n n n n n n n u u a v u au u au a v a v u u au u au - - - - - - - - - - ìì = + + = +ï ïÞí í = - = -ï ïî î 1 1 1 1 2 2 2 2 1 ( ) ( )2 1 ( ) ( ) 2 n n n n n n u a a v a a a a b a b a b a b - - - - ì é ù= + + -ï ê úï ë ûÞ í é ùï = + - -ê úë ûïî . 2) Áp dụng kết quả trên ta tìm được CTTQ của dãy 1 2 1 1 ( ) : 2 n n n n x x x ax x a - - ì = ï +í =ï î . Xét hai dãy 2 2 1 1 1 1 1 1 . ; ( ),( ) : 2 ; 1 n n n n n n n n u u a v uu v v v u v a- - - - ì = + =ï í = =ïî Khi đó: 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n u a ax av a a a a a a - - - - + + - = = + + - . Ví dụ 1.23: Cho dãy 1 2 1 1 1 ( ) : 5 24 8 2n n n n u u u u u n- - ì =ï í = + - " ³ïî . Tìm nu ? Giải: Ta có: 2 3 49; 89; 881u u u= = = . Giả sử: 1 2n n nu xu yu- -= + 9 89 10 89 9 881 1 x y x x y y ì ì+ = =ï ïÞ Ûí í+ = = -ï ïî î . Ta chứng minh: 1 210n n nu u u- -= - 3n" ³ Từ công thức truy hồi của dãy ta có: 2 21 1( 5 ) 24 8n n nu u u- -- = - 2 2 1 110 8 0n n n nu u u u- -Û - + + = (1) thay n bởi 1n - , ta được: 2 2 2 2 1 110 8 0n n n nu u u u- - - -- + - = (2) . Từ 2(1),(2) ,n nu u-Þ là hai nghiệm của phương trình : 2 21 110 8 0n nt u t u- -- + - = Áp dụng định lí Viet, ta có: 2 110n n nu u u- -+ = . Vậy ( ) ( )1 16 2 6 25 2 6 5 2 62 6 2 6 n n nu - -- + = - + + . Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 21 - Dạng 13: 1) Dãy 1 2 1 1 1 ( ) : 5 8 2n n n n u u u u au n- - ì =ï í = + - " ³ïî là dãy nguyên 24aÛ = . Thật vậy: 2 5 8 5u a t= + - = + ( 8t a= - Î ¥ ) 2 23 5 ( 8)( 5) 8u t tÞ = + + + - 2 2 2 3 ( ) ( 8)( 5) 8 ( )u f t t t m mÞ Î Û = + + - = ΢ ¢ . Mà 2 2 2 2( 5 4) ( ) ( 5 14)t t f t t t+ + < < + + kết hợp với ( )f t là số chẵn ta suy ra 2 5m t t x= + + với { }6,8,10,12x Î . Thử trực tiếp ta thấy 4 24t a= Þ = . 2) Với dãy số 1 2 1 1 ( ) : 2n n n n u u u au bu c n a - - ì =ï í = + + " ³ïî , với 2 1a b- = ta xác định CTTQ như sau: Từ dãy truy hồi 2 2 2 21 1 1 1( ) 2 0n n n n n n nu au bu c u au u u c- - - -Þ - = + Û - + - = Thay n bởi 1n - , ta có: 2 22 1 2 12 0n n n nu au u u c- - - -- + - = 2 12n n nu u au- -Þ + = . 3) Với dãy 1 1 2 1 ( ) : 2nn n n u uu u n a cu b a - - ì = ïï í = " ³ ï + +ïî ,trong đó 0; 1aa > > ; 2 1a b- = ta xác định CTTQ như sau: Ta viết lại công thức truy hồi dưới dạng: 2 1 1 1 n n n a bcu u u- - = + + . Đặt 1n n x u= Ta có 21 1n n nu au bx c- -= + + đây là dãy mà ta đã xét ở trên. Ví dụ 1.24: Cho dãy 1 2 2 1 2 1 ( ) : 2 2n nn n u u u uu nu - - ì = = ï +í = " ³ï î . Tìm nu ? Giải: Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 22 - Ta có: 3 4 53; 11; 41u u u= = = . Ta giả sử 1 2n n nu xu yu z- -= + + .Từ 3 43; 11;u u= = 5 41u = ta có hệ phương trình: 1 2 3 4 3 11 1 4 11 3 41 0 n n n x y z x x y z y u u u x y z z - - ì ì+ + = = ï ï + + = Û = - Þ = -í í ï ï+ + = =î î Ta chứng minh 1 2 1 2 1( ) : 4 3n n n n u uu u u u n- - ì = =ï í = - " ³ïî · Với 3 2 13 4 3 3n u u u n= Þ = - = Þ = đúng · Giả sử 1 24k k ku u u- -= - . Ta có: ( )22 2 21 2 1 1 2 2 1 1 1 1 4 22 16 8 2k kk k k k k k k k k u uu u u u uu u u u - - - - - - + - - - - ++ - + + = = = 2 1 1 2 1 3 1 2 3 1 16 8 16 8k k k k k k k k k u u u u u u u uu - - - - - - - - - - + = = - + 1 2 2 3 14(4 ) (4 ) 4k k k k k ku u u u u u- - - - -= - - - = - Theo nguyên lí quy nạp ta có đpcm ( ) ( )1 13 1 3 12 3 2 32 3 2 3 n n nu - -+ - Þ = - + + . Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 23 - II. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ Nhiều dãy số đại số có công thức truy hồi phức tạp trở thành đơn giản nhờ phép thế lượng giác. Khi trong bài toán xuất hiện những yếu tố gợi cho ta nhớ đến những công thức lượng giác thì ta có thể thử với phương pháp thế lượng giác. Ta xét các ví dụ sau Ví dụ 2.1: Cho dãy 1 2 1 1 ( ) : 2 2 1 2 n n n uu u u n- ì =ï í ï = - " ³î . Xác định CTTQ của dãy ( )nu . Giải: Từ công thức truy hồi của dãy, ta liên tưởng đến công thức nhân đôi của hàm số côsin Ta có: 21 2 1 2cos 2 cos 1 cos2 3 3 3u u p p p = = Þ = - = 2 3 4 2 4 82cos 1 cos cos3 3 3u u p p p Þ = - = Þ = .... Ta chứng minh 12cos 3 n nu p- = . Thật vậy · Với 2 1 2 2 22 cos cos3 3n u p p- = Þ = = (đúng) · Giả sử 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2cos 2 1 2cos 1 cos3 3 3 n n n n n nu u u p p p- - - - -= Þ = - = - = Vậy 12cos 3 n nu p- = 1n" ³ . Nhận xét: Với dãy số trên ta có thể sử dụng phương pháp thế lượng giác được khi 1 1u £ . Vậy trong trường hợp 1 1u > thì ta sẽ giải quyết như thế nào ? Khi đó để tìm CTTQ của dãy số ( )nu ta đặt 1 1 1( )2u a a= + ( trong đó 0a ¹ và cùng dấu với 1u ). Khi đó 2 2 42 32 2 4 1 1 1 1 1 1( 2 ) 1 ( ) ( )2 2 2u a a u aa a a = + + - = + Þ = + .... Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 24 - Ta chứng minh được 1 1 2 2 1 1( ) 12 n nnu a na - - = + " ³ . Trong đó a là nghiệm (cùng dấu với 1u ) của phương trình : 2 12 1 0a u a- + = . Vì phương trình này có hai nghiệm có tích bằng 1 nên ta có thể viết CTTQ của dãy như sau 1 12 2 2 2 1 1 1 1 1 1 12 n n nu u u u u - -é ù æ ö æ öê ú= - - + + -ç ÷ ç ÷ê úè ø è ø ë û . Ví dụ 2.2: Xác định CTTQ của dãy số 1 3 1 1 3 ( ) : 2 4 3 2 n n n n uu u u u n- - ì =ï í ï = - " ³î . Giải: Ta có: 2 3 1 2 3 3 3cos 4 cos 3cos cos 3 cos2 6 6 6 6 6u u u p p p p p = = Þ = - = Þ = ..... Bằng quy nạp ta chứng minh được: 13cos 6 n nu p- = . Nhận xét: 1) Để tìm CTTQ của dãy 1 3 1 1 ( ) : 4 3 2n n n n u p u u u u n- - ì =ï í = - " ³ïî , ta làm như sau · Nếu | | 1 0; : cosp pa p aé ù£ Þ $ Î =ë û . Khi đó bằng quy nạp ta chứng minh được : 1cos 3nnu a-= . · Nếu | | 1p > , ta đặt 1 1 1 2u a a æ ö = +ç ÷ è ø (a cùng dấu với 1u ) Bằng quy nạp ta chứng minh được 1 1 3 3 1 1 2 n nnu a a - - æ ö = +ç ÷ç ÷ è ø . Hay 1 13 3 2 2 1 1 1 1 1 1 12 n n nu u u u u - -é ù æ ö æ öê ú= - - + + -ç ÷ ç ÷ê úè ø è ø ë û . 2) Từ trường hợp thứ hai của bài toán trên, ta có cách tìm CTTQ của dãy số Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 25 - 1 3 1 1 ( ) : 4 3 2n n n n u p u u u u n- - ì =ï í = + " ³ïî bằng cách đặt 1 1 1( )2u a a= - . Khi đó bằng quy nạp ta chứng minh được : 1 1 1 1 3 3 3 2 2 1 1 1 13 1 1 1 1 12 2 n n n nnu a u u u ua - - - - é ùæ ö æ ö æ öê ú= - = + + + - +ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ê úè ø è øè ø ë û . Ví dụ 2.3: Tìm CTTQ của dãy 1 2 1 3 ( ) : 2 2 2 n n n uu u u n- ì =ï í ï = - " ³î . Giải: Đặt 3 cos , ;4 2 pa a p æ ö - = Î ç ÷ è ø , khi đó : 2 1 22cos 2(1 2cos ) 2cos2u ua a a= - Þ = - = - . Bằng quy nạp ta chứng minh được 12 cos2nnu a-= - . Ví dụ 2.4: Tìm CTTQ của dãy số 1 2 1 1 2( ) : 2 2 1 22 n n n u u u u n- ì =ï ï í - -ï = " ³ïî . Giải: Ta có: 2 1 2 2 2 1 sin 2(1 cos )1 6 6sin sin2 6 2 2 2.6u u p p p p - - - = = Þ = = = Bằng quy nạp ta chứng minh được: 1sin 2 .6n n u p - = . Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 26 - Ví dụ 2.5: Cho ,a b là hai số thực dương không đổi thỏa mãn a b< và hai dãy ( ),( )n na b được xác định: 1 1 1 1 1 1 ; .2 ; 22 n n n n n n a ba b b a a ba b a b n- - - ì + = =ïï í +ï = = " ³ ïî . Tìm na và nb . Giải: Ta có: 0 1ab< < nên ta đặt cos a b a= với 0; 2 pa æ ö Î ç ÷ è ø Khi đó: 21 (1 cos )cos cos2 2 2 bb ba baa a++= = = và 21 . cos cos2 2b bb b a a = = 2 21 1 2 2 cos cos2 2 cos .cos2 2 2 2 b ba ba b a a a a++ = = = và 2 2cos cos2 2 b b a a= . Bằng quy nạp ta chứng minh được: 2 2cos cos ...cos2 2 2n n a b a a a= và 2cos cos ...cos2 2 2n n b b a a a= . Ví dụ 2.6: Cho dãy 1 1 1 3 ( ) : 2 1 2 1 (1 2) n n n n u u uu n u - - ì = ïï + -í = " ³ï + -ïî . Tính 2003u (Trích đề thi Olympic 30 – 4 – 2003 Khối 11). Giải: Ta có 1 1 tan 8tan 2 18 1 tan 8 n n n u u u p p p - - + = - Þ = - Mà 1 2 tan tan3 83 tan tan( )3 3 81 tan tan3 8 u u p p p p p p p + = = Þ = = + - Bằng quy nạp ta chứng minh được tan ( 1)3 8nu n p pé ù = + -ê ú ë û . Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 27 - Vậy 2003 2002tan tan ( 3 2)3 8 3 4u p p p pæ ö æ ö = + = + = - +ç ÷ ç ÷ è ø è ø . Chú ý : Để tìm CTTQ của dãy 1 1 1 ( ) : 21 n n n n u a u u bu nbu - - ì = ï +í = " ³ï -î . Ta đặt tan ; tana ba b= = , khi đó ta chứng minh được: tan ( 1)nu na bé ù= + -ë û Ví dụ 2.7: Tìm CTTQ của dãy số 1 1 2 1 3 ( ) : 2 1 1 nn n n u uu u n u - - ì = ïï í = " ³ï + +ïî . Giải: Ta có: 2 1 1 1 1 11 n n nu u u- - = + + . Đặt 1n n x u= khi đó ta được dãy ( )nx được xác định như sau: 21 1 1 1 và 1 3 n n n x x x x- -= = + + . Vì 21 2 1 cos1 3cot cot 1 cot cot3 3 3 2.33 sin 3 x x p p p p p p + = = Þ = + + = = Bằng quy nạp ta chứng minh được: 1 1cot tan 1,2,...2 .3 2 .3n nn n x u np p - - = Þ = " = Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 28 - III. XÁC ĐỊNH CTTQ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH Trong mục này chúng tôi sử dụng một số kiến thức của toán cao cấp để xây dựng một phương pháp xác định CTTQ của dãy số. Phương pháp này đưa vòa chỉ mang tính chất tham khảo, đó là phương pháp hàm sinh. Phương pháp hàm sinh là một phương pháp hiện đại, sử dụng các kiến thức về chuỗi, chuỗi hàm (đặc biệt là công thức Taylor). Trước hết ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1: Cho dãy số 0 1 2, , ,..., ,...na a a a . Chuỗi hình thức 20 1 2( ) ... ...nnA x a a x a x a x= + + + + + gọi là hàm sinh của dãy ( )na Ta gọi đó là chuỗi hình thức vì ta không xét đến tính hội tụ hay tính giá trị của chuỗi mà ta chỉ xem đó như là một cách viết thuận tiện vậy. Ta đưa vào một số phép toán trên các chuỗi để xác định các hệ số cho các lũy thừa biến x . Định nghĩa 2: Với hai chuỗi bất kì 0 1( ) ... ...nnA x a a x a x= + + + + và chuỗi 2 0 1 2( ) ... ...nnB x b b x b x b x= + + + + + . Ta định nghĩa: ) a Phép cộng: 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ... ( ) ...nn nA x B x a b a b x a b x+ = + + + + + + + ) b Phép nhân với một số: 0 1. ( ) ... ...nnk A x ka ka ka x= + + + + ) c Tích hai chuỗi: 0 1( ). ( ) ... ...nnA x B x c c x c x= + + + + với 0 1 1 0 0 ... k k k k k i k i i c a b a b a b a b- - = = + + + = å . Trong phương pháp này ta thường hay sử dụng công thức khai triển Newton mở rộng sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 ... 1 ... 1 ...2 ! nx xx x n n a a a a a a a+ = + + - + + - - + + Với a là một số hữu tỉ, 0a ¹ . Ta xét một số trường hợp đặc biệt. 1a· = - 2 31(1 ) 1 2 3! ... ( 1) ! ...1 2! 3! ! n nx x xx x nx n aÞ + = = - + - + + - + + 2 31 ... ( 1) ...n nx x x x= - + - + + - + Từ đây 1 2(1 ) 1 ... ...nx x x x-Þ - = + + + + + 1 2a· = 1 2 3 2 1 1 1 1 1 3 1 1 3 2 3(1 ) 1 . ... ( 1) ... ..2 2 2 2 2 2 2 3! 2 2 2 2 ! n nx x n xx x n - Þ + = + - + - - - - 2 3 2 3 1.3.5..(2 3)1 1 1.31 ... ( 1) ...2 2! 3! !2 2 2 n n n nx x xx n - = + - + - - - - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 29 - 1 2 2 2 1.3.5...(2 3)1 1(1 ) 1 ... ...2 2! !2 2 n n nx xx x n - Þ - = - - - - + 1 2a· = - 1 2 3 2 1 1 3 1 3 5 1 3 2 1(1 ) 1 ... ( 1) ... ..2 2 2 2 2 2 2 3! 2 2 2 ! n nx x n xx x n - - Þ + = - + - + + - + 2 2 1.3.5...(2 1)1 1.31 ... ( 1) ...2 2! !2 2 n n n nx xx n - = - + + + - + 1 2 2 2 1.3.5...(2 1)1 1.3(1 ) 1 ... ...2 2! !2 2 n n nx xx x n - - Þ - = + + + + + Tư tưởng sử dụng hàm sinh để tìm CTTQ của dãy số có thể tóm tắt như sau Để tìm CTTQ của dãy ( )na , ta xét hàm sinh ( )A x của dãy ( )na . Khi đó do tính chất của dãy ( )na nên ( )A x phải thỏa mãn một số hệ thức nhất định. Giải các hệ thức đó ta tìm được ( ) ( )A x f x= trong đó ( )f x là một hàm số chứa các biểu thức số học (cộng, trừ nhân, chia, lũy thừa,...), ta tìm cách khai triển ( )f x thành chuỗi và so sánh hệ số của nx ta tìm được na . Ví dụ 3.1: Cho dãy 0 1 1 1 1; 3( ) : 5 6 0 2n n n n a aa a a a n- - ì = - =ï í - + = " ³ïî . Tìm CTTQ của dãy ( )na . Giải: Xét ( )A x là hàm sinh của dãy ( )na . Khi đó: 0 1( ) ... ...nnA x a a x a x= + + + + 2 1 0 1 15 ( ) 5 5 ... 5 5 ...n nn nxA x a x a x a x a x +-Þ = + + + + + 2 2 3 1 20 1 2 16 ( ) 6 6 ... 6 6 6 ...n n nn n nx A x a x a x a x a x a x+ +- -= + + + + + + 2 2 0 1 0 2 1 0 1 2 ( ) 5 ( ) 6 ( ) ( 5 ) ( 5 6 ) ... ( 5 6 ) ... nn n n A x xA x x A x a a a x a a a x a a a x- - Þ - + = + - + - + + + + - + + Vì 15 6 0 2n n na a a n-- + = " ³ . 2 2 8 1 8 1(1 5 6 ) ( ) 1 8 ( ) (2 1)(3 1)6 5 1 x xx x A x x A x x xx x - - Þ - + = - + Þ = = - -- + Ta có: 6(3 1) 5(2 1)8 1 5 6 (2 1)(3 1) (2 1)(3 1) 1 3 1 2 x xx x x x x x x - - -- = = - - - - - - - Mà 1 2 2 1 (1 3 ) 1 3 3 ... 3 ...1 3 n nx x x xx -= - = + + + + + - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 30 - 1 2 2 1 (1 2 ) 1 2 2 ... 2 ...1 2 n nx x x xx -= - = + + + + + - ( ) 1 (5.3 6.2) ... (5.3 6.2 ) ...n n nA x x xÞ = - + - + + - + Vậy 5.3 6.2n nna = - . Ví dụ 3.2: Tìm CTTQ của dãy số 0 1a = và 0 1 1 0... 1n n na a a a a a-+ + + = 1n" ³ . Giải: Xét ( )A x là hàm sinh của dãy ( )na . Khi đó: 0 1( ) ... ...nnA x a a x a x= + + + + Ta có: 20 1 0 0 1 0 1 1 0( ) ( ) ( ) ... ( ... ) ...nn n nA x A x a a a a a x a a a a a a x-= + + + + + + + + 2 11 ... ... (1 )nx x x x -= + + + + + = - 1 2 2 2 1.3.5...(2 1)1 1.3( ) (1 ) 1 ... ...2 2! !2 2 n n nx xA x x x n - - Þ = - = + + + + + Vậy 1.3.5...(2 1) 2 . !n n na n - = . Ví dụ 3.3: Tìm CTTQ của dãy số: 0 0 1 1 2 1 01; ... 1n n n na a a a a a a a n- - -= = + + + " ³ . Giải: Ta có 0 1 1a a= = Xét ( )A x là hàm sinh của dãy ( )na . Khi đó: 0 1( ) ... ...nnA x a a x a x= + + + + Ta có: 20 1 0 0 1 0 1 1 0( ) ( ) ( ) ... ( ... ) ...nn n nA x A x a a a a a x a a a a a a x-= + + + + + + + + 21 2 3 1... ...nna a x a x a x+= + + + + + 2 2 2 1 2 0( ) ( ... ...) ( ( ) ) ( )nnx A x x a x a x a x x A x a xA x xÞ = + + + + = - = - ( )2( ) ( ) 0xA x xA x xÛ - + = . Giải phương trình này đối với ( )xA x , ta được: 1 1 4( ) 2 xxA x ± -= . Ta có: 1 2 2 2 2 1.3.5...(2 3)4 1 4 41 4 (1 4 ) 1 ... ...2 2! !2 2 n n n nxx x x xn - - = - = - - - - - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 31 - Þhệ số của kx trong khai triển thành chuỗi lũy thừa của 1 4x- bằng: 1.3.5...(2 3).2 0 ( )! kk xA xk - - < Þ không thể bằng 1 1 42 x+ - vì các hệ số của kx trong ( )xA x là các số nguyên dương. Do đó: 1 1 4( ) 2 xxA x - -= 2 2 2 .1.3.5...(2 3)1 2 2( ) ... ...2 1! 2! ! n nnxA x x x xn é ù- Þ = + + + +ê ú ê úë û 2 2 2 .1.3...(2 1)2 2 .1.3( ) 1 ... ...2! 3! ( 1)! n nnA x x x xn - Þ = + + + + + + Vậy 2 .1.3...(2 1) 2 .1.2.3.4...(2 1)2( 1)! ( 1)!.2.4.6...2 n n n n n na n n n - - = = + + 2 2 .(2 )! 1 1( 1)!. !.2 n n nn n Cnn n = = ++ . Chú ý : na ở bài toán trên ta thường gọi là số catalan . Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 32 - IV. ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ - TỔ HỢP Trong mục này chúng tôi đưa ra một số ví dụ các bài toán về dãy số và tổ hợp mà quá trình giải các bài toán đó chúng ta vận dụng một số kết quả ở trên. Ví dụ 4.1: Cho dãy số nguyên 1 2( ) : 2; 7nu u u= = và 2 1 2 1 1 2 2 n n n uu u - - - < - £ (2). Chứng minh nu lẻ 2n" ³ . Giải: Từ giả thiết, ta có: 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 n n n n n u uuu u - - - - - < £ + . Vì trên khoảng 2 2 1 1 2 2 1 1;2 2 n n n n u u u u - - - - æ ù ç ú- + ç úè û (có độ dài bằng 1) có duy nhất một số nguyên nên dãy đã cho xác định là duy nhất. Ta có: 3 425; 89u u= = . Ta giả sử 1 2n n nu xu yu- -= + . Từ 3 425; 89u u= = ta có hệ: 7 2 25 3 25 7 89 2 x y x x y y ì ì+