Chuyên đề ôn thi Đại học: Số phức - Đại số tổ hợp

Chuyên đề SỐ PHỨC-ĐẠI SỐ TỔ HỢP I. SỐ PHỨC LÝ THUYẾT I. Dạng đại số (vẫn còn nhớ) II. Dạng lượng giác của số phức (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b Î R, z ¹ 0) * là môđun của z. * j là một acgumen của z thỏa Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu , thì: * * Công thức Moivre: thì Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác Căn bậc hai của số phức (r > 0) là và BÀI TẬP (ĐH_Khối A 2009) Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z2+2z+10=0. Tính giá trị biểu thức . ĐS: A=20 Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình . Tính giá trị của biểu thức . ĐS: A=11/4 (CĐ_Khối A 2009) a. Số phức z thỏa mãn (1+i)2(2-i)z=8+i+(1+2i)z. Tìm phần thực, phần ảo của z. b. Giải phương trình sau trên tập số phức: . ĐS: a. a=2, b=-3 b. z=1+2i, z=3+i Tìm số phức z thoả mãn: . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị. ĐS: . (ĐH_Khối B 2009) Tìm số phức z thỏa mãn và . ĐS: z=3+4i hoặc z=5 Tìm số phức z thỏa mãn: . HD: Gọi z=x+yi; (1)Þx=y, (2)Þy=1. ĐS: z=1+i. Giải phương trình: . ĐS: zÎ{0;1;-1} Giải phương trình: . HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình Þ x, y Þ z. ĐS: zÎ{0;i;-i} Giải phương trình: . HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình Þ x, y Þ z. ĐS: z=0, z=-1, Giải phương trình: . HD: Chia hai vế phương trình cho z2. ĐS: z=1±i, . Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0. HD: Đặt thừa số chung ĐS:. Cho phương trình: (z + i)(z2-2mz+m2-2m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương trình: a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức. b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực. c. Có ba nghiệm phức. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận a làm nghiệm biết: a. a = 2-5i b. a = -2-i c. a = Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo: a. z3-iz2-2iz-2 = 0. b. z3+(i-3)z2+(4-4i)z-7+4i = 0. (ĐH_Khối D 2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện . ĐS: (x-3)2+(y+4)2=4 Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: . ĐS: . Trong các số phức thỏa mãn . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. HD: *Gọi z=x+yi. Þ … Þ. * Vẽ hình Þ|z|min Þz. ĐS: . Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau: a. . b. . HD: Sử dụng công thức Moivre. ĐS: a. Phần thực , phần ảo bằng 0, b. Phần thực 0, phần ảo bằng 128. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20. HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN. ĐS: phần thực -210, phần ảo: 210+1. II. ĐẠI SỐ TỔ HỢP LÝ THUYẾT Giai thừa: n!= n.(n-1)!=n.(n-1).(n-2). … .3.2.1, n≥0. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: , n≥k>0. Số tổ hợp chập k của n phần tử: , n≥k≥0. Quy ước n!=0!=1. Nhị thức Newton . Công thức số hạng tổng quát: , 0≤k≤n. BÀI TẬP (CĐ_Khối D 2008) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của , (x>0). ĐS: 6528 (ĐH_Khối D 2004) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của với x>0. ĐS: 35 (ĐH_Khối A 2003) Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của , biết rằng , (n nguyên dương, x>0, ( là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 495 (ĐH_Khối D 2005) Tính giá trị biểu thức , biết rằng (n là số nguyên dương, là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và là số tổ hợp chập k của n phần tử) ĐS: (ĐH_Khối A 2006) Tìm số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của , biết rằng , (n nguyên dương và là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 210 (ĐH_Khối D 2008) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức . ( là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: n=6 (ĐH_Khối D 2007) Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(1-2x)5+x2(1+3x)10. ĐS: 3320 (ĐH_Khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a3n-3 là hệ số của x3n-3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n. Tìm n để a3n-3=26n. ĐS: n=5 (ĐH_Khối D 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho . ĐS: n=5 (ĐH_Khối B 2008) Chứng minh rằng (n, k là các số nguyên dương, k≤n, là số tổ hợp chập k của n phần tử). (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)n, biết: 3nCn0-3n-1Cn1+3n-2Cn2-3n-3Cn3+ … +(-1)nCnn=2048 (n là số nguyên dương, là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 22 (ĐH_Khối B 2006) Cho tập A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm kÎ{1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất. ĐS: k=9 (ĐH_Khối B 2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng , ( là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: (ĐH_Khối B 2002) Cho đa giác đều A1A2…An (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1A2…An nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1A2…An, tìm n. ĐS: n=8 (ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+ … +anxn, trong đó nÎN* và các hệ số a0, a1,…an thỏa mãn hệ thức . Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1,…an. ĐS: a8=126720 (ĐH_Khối A 2007) Chứng minh rằng , ( là số tổ hợp chập k của n phần tử). (ĐH_Khối A 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho , ( là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: n=1002 (ĐH_Khối A 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1-x)]8. ĐS: 238 (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức (n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x. ĐS: n=7, x=4 Cho số phức z=1+i. a. Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i)n. b. Tính các tổng S1=1-Cn2+Cn4-Cn6+… S2=Cn1-Cn3+Cn5-… Chứng minh rằng C1000–C1002+C1004–C1006+ … –C10098+C100100=–250. -o0o-