Chuyên đề Phân tích tác động của các nhân tố qua tham số. ( Phân tích phương sai )

Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 37 PhÇn II qui ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm Ch•¬ng 4 ph©n tÝch t¸c ®éng cña c¸c nh©n tè qua tham sè. ( Ph©n tÝch ph•¬ng sai ) Ph©n tÝch t¸c ®éng cña c¸c nh©n tè qua tham sè ph•¬ng sai, gäi lµ ph©n tÝch ph•¬ng sai (ANOVA). Cã ba lo¹i bµi to¸n phæ biÕn vµ coi nh• lµ c¬ së cho c¸c bµi to¸n chung vÒ ph©n tÝch ph•¬ng sai. - Bµi to¸n mét nh©n tè, k møc nghiªn cøu, mçi møc nghiªn cøu lµm lÆp l¹i n lÇn vµ - Bµi to¸n hai nh©n tè A vµ B, nh©n tè A cã k møc nghiªn cøu, nh©n tè B cã m møc nghiªn cøu, víi mçi møc cña 2 nh©n tè A vµ B cïng tiÕn hµnh lµm nghiªn cøu lÆp l¹i n lÇn. - Bµi to¸n ba nh©n tè trë lªn. 4.1. Bµi to¸n mét nh©n tè : Bµi to¸n nµy ®•îc m« t¶ b»ng mét b¶ng qui ho¹ch nghiªn cøu cã d¹ng sau: A n A1 A2 A3 . . . Ai . . . Ak 1 y11 y21 y31 yi1 yk1 2 y12 y22 y32 yi2 yk2 3 y13 y23 y33 yi3 yk3 . . . j y1j y2j y3j yij ykj . . . n y1n y2n y3n yin ykn Tæng n y1j j n y2j j n y3j j n yij j n ykij §Ó so s¸nh sù sai kh¸c gi÷a c¸c gi¸ trÞ kÕt qu¶ nghiªn cøu (y ij) do thay ®æi c¸c møc nghiªn cøu ( Ai ) cña nh©n tè A, ng•êi ta so s¸nh ph•¬ng sai cña sù thay ®æi c¸c møc nghiªn cøu víi sai sè nghiªn cøu (Ph•¬ng sai cña sai sè nghiªn cøu) cã kh¸c nhau ®¸ng tin cËy hay kh«ng. NÕu kh¸c nhau kh«ng ®¸ng tin cËy, nh©n tè A tá ra kh«ng ¶nh h•ëng lªn kÕt qu¶ nghiªn cøu, nÕu kh¸c nhau ®¸ng tin cËy th× chøng tá nh©n tè A ®· ¶nh h•ëng lªn kÕt qu¶ nghiªn cøu. Sö dông chuÈn Fisher ®Ó so s¸nh ph•¬ng sai: FtÝnh = 2 2 2 1 S S so víi Fb¶ng ( P,f1,f2 ) Trong ®ã: S1 2: §Æc tr•ng cho sù kh¸c nhau cña kÕt qu¶ nghiªn cøu (yij) do sù kh¸c nhau gi÷a c¸c møc (Ai) cña A g©y ra. S22: §Æc tr•ng cho sai sè nghiªn cøu nãi chung, v× lµm nghiªn cøu bao giê còng m¾c sai sè. f1: BËc tù do cña sè møc nghiªn cøu ®· lµm f1 = k - 1 f2: BËc tù do cña sè nghiªn cøu ®· tiÕn hµnh trong qui ho¹ch nghiªn cøu f2 = k(n - 1). Víi: H0: 2 2 2 1 SS  ; Ha: 2 2 2 1 SS  ; V× F lu«n lín h¬n 1 ( F > 1 ), nªn: Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 38 - NÕu FtÝnh < Fb¶ng th× FtÝnh kh«ng ®¸ng tin cËy, tøc lµ S1 2S22 kh«ng ®¸ng tin cËy, cho nªn chóng ®•îc coi lµ gièng nhau. Chóng kh«ng kh¸c nhau cho nªn nh©n tè A khi thay ®æi møc ®· tá ra kh«ng cã t¸c ®éng ®Õn kÕt qu¶ nghiªn cøu. - NÕu FtÝnh > Fb¶ng th× FtÝnh ®¸ng tin cËy, tøc lµ S12 S22 .Suy ra nh©n tè A ®· cã t¸c ®éng lªn kÕt qu¶ nghiªn cøu Nh»m dÔ tÝnh to¸n, tr¸nh nhÇm lÉn, ng•êi ta lËp b¶ng c¸c c«ng ®o¹n tÝnh ph•¬ng sai ®Ó so s¸nh cho bµi to¸n 1 nh©n tè, k møc nghiªn cøu vµ n lÇn lÆp l¹i nh• sau: YÕu tè f  (Xi - X )2 S2 A k - 1 SSA = SS2 - SS3 1k SS S A2A  Tno k(n - 1) SSTN = SS1 - SS2 )1n(k SS S TN2TN  B¶ng trªn thùc chÊt ®· sö dông c«ng thøc tÝnh ph•¬ng sai:    }N )X( X{ N 1 )XX( N 1 S 2 i2 i 2 i 2 4.1 C¸c ®Þnh nghÜa kÝ hiÖu cho ph•¬ng ph¸p tÝnh, tr×nh bµy ë b¶ng trªn nh• sau:    n 1j iji yA    k 1i 2 i2 An 1 SS 4.2     k 1i n 1j 2 ij1 )y(SS    k 1i 2 i3 )A(N 1 SS 4..3 råi tÝnh FtÝnh: FtÝnh = 2 TN 2 A S S so víi Fb¶ng(P, fA, fTN) 4.4 trong ®ã fA = k -1 vµ fTN = k(n-1). 4.2. Bµi to¸n hai nh©n tè : Cã hai nh©n tè: Nh©n tè A: k møc nghiªn cøu. Nh©n tè B: m møc nghiªn cøu. Mçi møc thö nghiÖm lÆp l¹i n lÇn. B¶ng qui ho¹ch nghiªn cøu t¸c ®éng cña hai nh©n tè nh• sau: A a1 a2 . . . ai . . . ak b1 y111,y112 . . . , y11n y211,y212 . . ., y21n yi11,yi12 . . .,yi1n yk11,yk12 . . .,yk1n b2 y121,y122 . . ., y12n y221,y222 . . .,y22n yi21,yi22 . . .,yi2n yk21,yk22 . . ., yk2n B . . . bj y1j1,y1j2 . . ., y1jn y2j1,y2j2 . . .,y2jn yij1,yij2 . . ., yijn ykj1,ykj2 . . .,ykjn . . . bm y1m1, . . . . . . ,y1mn y2m1,. . . . . .,y2mn yim1,. . . . . .,yimn ykm1,. . . . . .,ykmn Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 39 Ph•¬ng ph¸p tÝnh ph•¬ng sai cña qui ho¹ch nghiªn cøu hai nh©n tè cho ë b¶ng sau: Nh©ntè f (Xi - X )2 S 2 A k - 1 SSA = SS2 - SS4 1k SS S A2A  B m - 1 SSB = SS3 – SS4 1m SS S B2B   AB (k-1).(m-1) SSAB=SS1-SS2-SS3+ SS4 )1m)(1k( SS S AB2AB  TNo mk(n - 1) SSTN = SS1 - n y k m ij 1 1 2 )1n(mk SS S TN2TN   Trong ®ã: - SA 2: §Æc tr•ng cho ¶nh h•ëng cña nh©n tè A lªn kÕt qu¶ nghiªn cøu. - SB2: §Æc tr•ng cho ¶nh h•ëng cña nh©n tè B lªn kÕt qu¶ nghiªn cøu. - SAB 2: §Æc tr•ng cho ¶nh h•ëng ®ång thêi cña c¶ hai nh©n tè A vµ B lªn kÕt qu¶ nghiªn cøu . - STN2: §Æc tr•ng cho sai sè nghiªn cøu. C¸c b•íc tÝnh ph•¬ng sai theo b¶ng trªn nh• sau:    n 1u ijij uyY 4.5 u: nghiªn cøu lÆp l¹i thø u. i: møc ®èi víi A. j: møc ®èi víi B C«ng thøc trªn chÝnh lµ tæng tÊt c¶ c¸c kÕt qu¶ nghiªn cøu trong mét «. ( « ij lµ m« t¶ ®iÒu kiÖn nghiªn cøu nh©n tè A theo møc (ai) vµ nh©n tè B theo møc (b j) lµm lÆp l¹i n lÇn ). 2 n 1u ij 2 ij )uy(Y    4.6 Tæng tÊt c¶ c¸c kÕt qu¶ nghiªn cøu Tæng tÊt c¶ c¸c kÕt qu¶ nghiªn cøu trong 1 hµng: trong 1 cét:     m 1j ij n 1u i uyA     k 1i ij n 1u j uyB 4.7 Tæng c¸c cét = tæng c¸c hµng:     m j j k i iij m j n u i k i BAuYA 1 11 4.8 C¸c gi¸ trÞ trong b¶ng trªn ®•îc tÝnh theo c«ng thøc sau: Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 40     m 1j n 1u 2 ij k 1i 1 uySS    k 1i 2 i2 An.m 1 SS 4.9    m 1j 2 j3 Bn.k 1SS 4.10         m 1j n 1u k 1i m 1j 2 j 2 i 2 ij k 1i 4 )B(n.m.k 1 )A( n.m.k 1 )uy( n.m.k 1 SS 4.11 Lµm nghiªn cøu theo mét qui ho¹ch ®Þnh tr•íc cña 2 nh©n tè ¶nh h•ëng lªn kÕt qu¶ nghiªn cøu trªn, ph¶i cã 3 tr•êng hîp so s¸nh ®Ó kÕt luËn thèng kª nh• sau: 2 TN 2 A A S SF  2 TN 2 B B S S F  2 TN 2 AB AB S SF  4.12 fA = k -1; fB = m - 1; fAB = (k - 1)(m - 1) vµ fTN= mk(n - 1) 4.13 VÝ dô 4.1: Qui ho¹ch hai nh©n tè A, 4 møc; B, 4 møc; mçi cÆp møc lµm lÆp l¹i 2 lÇn A a1 a2 a3 a4 b1 13,2 13,9 4,7 5,8 53,4 48,3 13,6 13,2 b2 18,1 21,1 19,8 17,9 14,0 13,2 9,5 8,6 B b3 7,3 8,5 38,2 37,7 5,1 5,9 54,4 55,2 b4 20,0 20,8 60,1 60,9 19,6 18,5 58,2 59,7 Gi¶i: 1. Tæng c¸c gi¸ trÞ thùc nghiÖm trong 1 ¤ : a1 A2 a3 a4 hµng b1 27,1 10,5 101,7 26,8 166,1 b2 39,2 37,7 27,2 18,1 122,1 b3 15,8 75,9 11,0 109,6 212,3 b4 40,8 121,0 38,1 117,9 317,8  cét 122,9 245,1 178,0 272,4 818,4 2. B×nh ph•¬ng tæng c¸c gi¸ trÞ thùc nghiÖm trong 1 ¤: a1 a2 a3 a4 b1 734,41 110,25 10342,89 718,24 b2 1528,81 1421,29 739,84 327,61 b3 249,64 5760,81 121,0 12012,16 b4 1064,64 14641,0 1451,61 13900,41 Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 41 3. T×m tæng sè ®èi víi c¸c cét : thÝ dô : A1 = 27,1 + 39,1 + 15,8 + 40,8 = 122,8 4. T×m tæng sè ®èi víi c¸c hµng : thÝ dô : B2 = 39,1 + 37,1 + 27,2 + 18,1 = 122,1 5. T×m tæng tÊt c¶ c¸c kÕt qu¶ :  yiju =  Ai =  Bj = 818,3 6. T×m tæng b×nh ph•¬ng cña tÊt c¶ c¸c kÕt qu¶ : SS1 =yiju2 = 32916,43 7. T×m tæng b×nh ph•¬ng cña tæng c¸c cét chia cho sè kÕt qu¶ mçi cét : 95,22262 8 01,181039 )4,2720,1781,2458,122( 24 1 A 24 1 SS 22222i2   8. T×m tæng b×nh ph•¬ng cña tæng c¸c hµng chia cho sè kÕt qu¶ mçi hµng : 72,23570 8 75,188565)8,3173,2121,1221,166( 24 1B 24 1SS 22222j3      9. T×m sè h¹ng bæ chÝnh ®•îc ®Þnh nghÜa nh• lµ phÐp chia cña b×nh phu¬ng cña tæng tÊt c¶ c¸c kÕt qu¶ cho tæng sè sè kÕt qu¶ : 47,20925 32 3,818 32 )uy( SS 22ij 4   10. T×m tæng b×nh ph•¬ng cña sù sai kh¸c cña A vµ B : SSA = SS2 - SS4 = 22262,95 - 20925,47 = 1704,48 SSB = SS3 - SS4 = 23570,72 - 20925,47 = 2645,25 11. T×m tæng b×nh ph•¬ng cña ph•¬ng sai sai sè : SSsai sè = 13,542 61,6572443,329161 21   ijynSS 12. T×m tæng cña tæng b×nh ph•¬ng : SStæng = SS1 - SS4 = 32916,43 - 20295,47 = 11990,96 13. T×m tæng b×nh ph•¬ng cña sè h¹ng t•¬ng t¸c : SSAB = SStæng -SSA -SSB -SSsai sè = 11990,96 - 1704,48 - 2645,25 - 54,13 = 7587,11 14. T×m ph•¬ng sai t•¬ng øng : 16,568 14 48,1704 1 2 k SS SS AA 75,881 14 25,2645 1m SS SS B2B     Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 42 01,843 )14)(14( 11,7587 )1m)(1k( SS SS AB2AB     S2sai sè = 38,3)12(44 13,54 )1n(mk SSsaiso     ViÕt thµnh b¶ng kÕt qu¶ ta ®•îc : Nh©n tè f ( ) 2 S2 A B AB Sai sè Tæng 3 3 9 16 31 1704,48 2645,25 7587,11 54,13 11990,97 568,16 881,75 843,01 3,38 2,3)16,3;95,0(F09,168 38,3 09,568 S S F 2 SS 2 A A  2,387,260 38,3 75,881 S S F 2 SS 2 B B  65,2)16,9;95,0(F41,249 38,3 01,843 S S F 2 SS 2 AB AB  KÕt luËn : yÕu tè A, B vµ t•¬ng t¸c ®ång thêi AB ®Òu ¶nh h•ëng m¹nh lªn kÕt qu¶ nghiªn cøu. 4.3. Bµi to¸n ba nh©n tè trë lªn : Ph•¬ng ph¸p ¤ vu«ng La tinh: Trong tr•êng hîp cã ba nh©n tè trë lªn, ng•êi ta sö dông ph•¬ng ph¸p « vu«ng la tinh ®Ó x©y dùng ma trËn thùc nghiÖm.(B¶ng qui ho¹ch thùc nghiÖm ). B¶n chÊt cña ph•¬ng ph¸p « vu«ng La tinh lµ ph•¬ng ph¸p ph©n tÝch ph•¬ng sai nh•ng ®· x©y dùng b¶ng qui ho¹ch nghiªn cøu theo mét qui luËt riªng. a1 a2 a3 a4 b1 c1 y1111,y1112 y1113. c2 y2121,y2122 y2123. c3 y3131,y3132 y3133. c4 y4141,y4142 y4143. b2 c2 y1221,y1222 y1223. c3 y2231,y2232 y2233. c4 y3241,y3242 y3243. c1 y4211,y4212 y4213. b3 c3 y1331,y1332 y1333. c4 y2341,y2342 y2343. c1 y3311,y3312 y3313. c2 y4321,y4322 y4323. b4 c4 y1441,y1442 y1443. c1 y2411,y2412 y2413. c2 y3421,y3422 y3423. c3 y4431,y4432 y4433. Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 43 Nguyªn t¾c x©y dùng qui ho¹ch nghiªn cøu theo « vu«ng La tinh lµ: kh«ng ®•îc ®Ó cho mét ®iÒu kiÖn nghiªn cøu x¸c ®Þnh lÆp l¹i trong cïng 1 hµng hay 1 cét. Nãi mét c¸ch kh¸c: trong b¶ng qui ho¹ch nghiªn cøu kh«ng ®•îc cã hai « gièng nhau. Gi¶ thiÕt cã ba nh©n tè A, B, C mçi nh©n tè cã 4 møc nghiÖn cøu, Mçi « m« t¶ 1 ®iÒu kiÖn nghiªn cøu lµ tæ hîp c¸c møc nghiªn cøu cña 3 nh©n tè. ThÝ dô: « 1 khi lµm nghiªn cøu A lÊy møc a1, B lÊy møc b1, C lÊy møc c1. Qui ho¹ch ho¸ nghiªn cøu theo ph•¬ng ph¸p « vu«ng La tinh còng dïng ph•¬ng ph¸p ph©n tÝch ph•¬ng sai ®Ó ®¸nh gi¸. C¸ch tÝnh ph•¬ng sai cña ph•¬ng ph¸p « vu«ng Latin 3 nh©n tè, mçi nh©n tè 4 møc , lµm theo qui ho¹ch ë b¶ng trªn , cho ë b¶ng sau: Nh©n tè f X X ni i2 2  ( ) S2 A n - 1 SSA = SS2 - SS5 1n SS S A2A  B n - 1 SSB = SS3 - SS5 1n SS S B2B  C n - 1 SSC = SS4 - SS5 1n SS S C2C  TNo (n-1)(n-2) SSTNo = SS1 - SS2 - SS3 - SS4 + 2 SS5 )2n)(1n( SS S TNo2TNo  C¸ch tÝnh cho b¶ng trªn lµ: A1 = y111 + y122 + y133 + y144 4.14 A1: Tæng c¸c gi¸ trÞ y ( y lµ gi¸ trÞ trung b×nh cña 3 lÇn thö nghiÖm lÆp cña cïng ®iÒu kiÖn theo mét « ) cã møc a1 tham gia (tøc lµ tæng trung b×nh c¸c kÕt qu¶ cña c¸c « trong cét a1). T•¬ng tù, ta tÝnh c¸c gi¸ trÞ kh¸c lµ: A2, A3, A4 lµ tæng cña c¸c kÕt qu¶ cã møc a2, a3, a4. B1, .., B4 lµ tæng cña c¸c kÕt qu¶ cã møc b1, b2, b3, b4. C1, .., C4 lµ tæ cña c¸c kÕt qu¶ cã møc c1, c2, c3, c4.     n 1j n 1i 2 ij1 ySS 4.15 SS1 lµ tæng b×nh ph•¬ng cña c¸c gi¸ trÞ cã mÆt trong b¶ng, t•¬ng tù ta cã:    n 1i 2 i2 An 1SS    n 1j 2 j3 Bn 1 SS    n 1q 2 q4 Cn 1 SS 4.16        n 1i n 1j n 1q 2 q 2 j 2 i5 )C(n 1)B( n 1)A( n 1SS 4.17 Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 44 Ph•¬ng ph¸p nµy ®•îc sö dông rÊt phæ biÕn trong nghiªn cøu n«ng nghiÖp, l©m nghiÖp, sinh häc, y häc vµ x· héi - t©m lÝ häc. VÝ dô 4.2: Qui ho¹ch gho¸ nghiªn cøu theo ph•¬ng ph¸p ¤ vu«ng Latin, 3 nh©n tè, mçi nh©n tè 4 møc. B Tæng b1 b2 b3 b4 hµng a1 c1 13,2 c2 2,7 c3 49,2 c4 7,2 72,2 A a2 c2 19,0 c3 8,0 c4 15,5 c1 9,5 52,0 a3 c3 4,6 c4 5,9 c1 31,5 c2 53,1 95,1 a4 c4 14,7 c1 16,3 c2 60,9 c3 55,2 147,1 Tæng cét 51,5 32,9 157,0 125,0 1. T×m tæng cña c¸c Ci: C1= 70,5 ; C2 = 135,7 ; C3 = 116,9 ; C4 = 43,3 2. T×m tæng b×nh ph•¬ng cña tÊt c¶ c¸c kÕt qu¶ :   14,145052,55.....7,22,13ySS 2222ij1 3. T×m trung b×nh cña tæng b×nh ph•¬ng theo hµng : 82,9649 4 1,1471,950,522,72SS 2222 2   4. T×m trung b×nh cña tæng b×nh ph•¬ng theo cét : 16,11002 4 0,1250,1579,325,51 SS 2222 3   5. T×m trung b×nh tæng b×nh ph•¬ng theo Ci : 31,9731 4 3,439,1167,1355,70SS 2222 4   6. T×m sè h¹ng bæ chÝnh : 56,8390)1,1471,950,522,72( 44 1 2 5 SS 56,8390)0,1250,1579,325,51( 44 1 2  56,8390)3,439,1167,1355,70( 44 1 2    7. T×m tæng b×nh ph•¬ng ®èi víi hµng ( ®èi víi A ): SSA = SS2 - SS5 = 9649,82 - 8390,56 = 1259,26 Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 45 8. T×m tæng b×nh ph•¬ng ®èi víi c¸c cét ( ®èi víi B ): SSB = SS3 - SS5 = 11002,16 - 8390,56 = 2611,60 9. T×m tæng b×nh ph•¬ng ®èi víi « ( ®«Ý víi C): SSC = SS4 - SS5 = 9731,31 - 8390,56 = 1340,75 10. T×m tæng tæng b×nh ph•¬ng : SStæng = SS1 - SS4 = 14505,14 - 8390,56 = 6114,58 11. T×m tæng d• cña tæng b×nh ph•¬ng : SSd• = SStæng - SSA - SSB - SSC SSd• = 6114,58 - 1259,26 - 2611,60 - 1340,75 = 902,97 12. T×m ph•¬ng sai cña A : SA 2 = SSA/3 = 419,75 13. T×m ph•¬ng sai cña B : SB2 = SSB/3 = 870,00 14.T×m ph•¬ng sai cña C: SC 2 = SSC/3 = 446,92 15. T×m ph•¬ng sai sai sè : Sss2 = 902,97/6 = 150,5 Tr×nh bµy thµnh b¶ng ta cã: Nh©n tè f ( Xi - X )2 S 2 A B C Sai sè Tæng 3 3 3 6 15 1259,28 2611,60 1340.75 902,97 6114,58 419,15 870,00 446,92 150,50 8,4)6,3;95,0(F64,2 5,150 75,419 S S F 2 SS 2 A A  8,462,5 5,150 00,870 S S F 2 SS 2 B B  8,488,2 5,150 92,446 S S F 2 SS 2 C C  KÕt luËn : ChØ cã nh©n tè B lµ ¶nh h•ëng lªn kÕt qu¶ nghiªn cøu.