Chuyên đề: Tìm giá trị lớn nhấ và giá trị nhỏ nhất của hàm số và biểu thức bậc 2

CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ VÀ BIỂU THỨC BẬC 2. November 6, 2018 1 DVD CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TÌM NHANH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ/ĐA THỨC BẬC 2 I. Kiến Thức Cần Nắm:  Khái niệm về giá trị lớn nhất( GTLN/max) và giá trị nhỏ nhất(GTNN/min): Cho hàm số/đa thức : P = P(x) và các số thực M, m khi đó: + M được gọi là GTLN của P nếu : ( ) ,P x M x  và tồn tại P(xo) = M Ký hiệu : maxP M + m được gọi là GTNN của P nếu : ( ) ,P x m x  và tồn tại P(xo) = m Ký hiệu: minP m  Hàm số hay đa thức bậc 2: 2( ) (x) ax ( 0)(1)P x f bx c a     Hàm số (1) là hàm số bậc 2 cos đồ thị là Parabol (P) như hình dưới. Qua 2 đồ thị trên ta thấy hàm bậc 2 sẽ có GTLN và GTNN phụ thuộc vào hệ số a.  Nếu a<0 : hàm số đạt GTLN tại đỉnh của (P).  Nếu a>0: hàm số đạt GTNN tải đỉnh của (P). Do đó, dạng bài toán tìm GTNN và GTLN của hàm số/đa thức bậc 2 ta đi tìm tọa độ đỉnh của (P).( Phương pháp này trình bày cho các em học sinh lớp 8, và lớp 9 tham khảo do đó tôi không đi sâu vào hàm số bậc 2) CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ VÀ BIỂU THỨC BẬC 2. November 6, 2018 2 DVD  Hằng đẳng thức đáng nhớ: 2 2 2 2 2 2 2 2 1.( ) 2 2.( ) 2 3. ( )( ) a b a ab b a b a ab b a b a b a b              Một số phương pháp tìm Max – min:  2P ( )ax b A   . Vì 2 0,( ) xax b   , nên: min 2 0( ) A A P A P A ax b         , khi b x a    2P ( )B ax b   . Vì 2 0,( ) xax b   , nên: max 2( ) B P B P B B ax b        , khi b x a   II. Phương Pháp Giải Toán: 1. Biến đổi cở bản để hình thành phươ ng pháp:  Cho hàm số / đa thức:   2 2 ( ) ( 0)(1) ( ) a ( 0)(2) P x ax bx c a P x x h k a          Hàm số được cho dưới dạng (1) và(2) là hai dạng của hàm bậc 2. (1) Là hàm bậc 2 tổng quát (2) Là hàm bậc 2 theo tọa độ đỉnh. Hầu hết bài toán dạng này đề sẽ cho hàm dạng (1) do đó ta sẽ đưa nó về dạng (2), lúc đó bài toán đã giải quyết xong được 70%.(tại sao lại vây???).Ở phần trên, ta đã biết phương pháp tìm max và min rồi phải không? Chúng ta có thấy sự đồng nhất giữa dạng (2) và biểu thức P ở trên ko?!!. Chúng là một. Chúng ta bắt đầu vào cách biến đổi để đưa dạng (1) về dạng (2) nhá: Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 ( ) 2. 2 4 4 4 4 b b ac x x a a b c b b b c P x ax bx c a x x a x x a a a aa a b c b a a aa a                                                       CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ VÀ BIỂU THỨC BẬC 2. November 6, 2018 3 DVD 2 2 2 2 2 . (*),voi : 4 2 2 4 Dat : , (*) ( ) ( ) 2 4 4 b b x a x b ac a a a b h k P x a x h k a a a a                                     Giờ ta đã thấy được sự đồng nhất này rồi nhỉ.!!!. Cách biến đổi trên quá dài dòng phải không nào. Đừng lo, chúng ta không cần làm như vậy đâu nhá. Chúng ta đi vào trọng tâm về phương pháp này nhá. 2. Phương pháp giải toán: Cho 2( )P x ax bx c    2 . 2 4 b a x a a          , Ta xét hệ số a:  Nếu 0:a  thì P(x) đạt GTNN và GTNN của P là : min 4 kP a    khi 2 b x a   .  Nếu 0:a  thì P(x) đạt GTLN và GTLN của P là : max 4 kP a    khi 2 b x a   .  Cách trình bày và giải toán: Trong phần trình bày này, Thầy sẽ hướng dẫncác em sử dụng máy tính casio Fx- 570 ES plus hoặc Fx- 570 VN plus hỗ trợ giải dạng toán này, Vì Fx- 570 VN plus giải quyết tốt nhất bài này, còn Fx- 570 ES plus chúng ta phải tư duy chút xíu nên thầy sẽ liệt kê các bước thực hiện: + B1: khi đọc đề cần phải nắm rõ các hệ số a, b, c.(dùng chủ yếu cho Fx- 570 ES). + B2:  Dùng Fx- 570 VN, Vào Mode 5 3, Nhập hệ số a, b, c vào bấm = = = Máy hiện X- Value Maximum/Minimum = đây là vị trí GTLN hoặc GTNN của P hay chính là phần 2 b x a   .Bấm tiếp = Y- Value Maximum/Minimum =..Đấy là GTLN hoặc GTNN mà ta cần tìm  Xong rồi nhá. Việc còn lại chuyển sang bước 3 nhé.  Dùng Fx- 570 ES chúng ta phải nắm các CT ở dưới: 2 4b ac  ; 2 b a  ; 4 P a   . Chú ý: min max 0 : 0 : a a P P    CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ VÀ BIỂU THỨC BẬC 2. November 6, 2018 4 DVD + B3: “ Phiên dịch” vào bài làm : Ta có: 2( )P x ax bx c    2 . 2 4 b a x a a          , Vì 2 0 2 b x a        cho nên : + Nếu: min 2 0:a 0 4 42 a P P a a b x a                  tại 2 b x a   + Nếu: 2 0:a 0 4 42 max a P P a a b x a                 tại 2 b x a   Vậy chúng ta xong rồi.!!!!!. Nhận xét: + Phương pháp trên còn áp dụng vào dạng toán chứng minh biểu thức luôn dương hay luôn âm hoặc phương trình bậc 2 vô nghiệm sau này sẽ gặp vào học kỳ 2 lớp 9.(Phần này sẽ có một chuyên đề riêng). Vì đối tượng áp dụng chủ yếu dành cho các em học sinh lớp 8 và lớp 9 nên thầy không trình bày sâu về GTLN và GTNN của hàm số. Một số ví dụ: Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của các biểu thức sau: 2. 1 .B 2 3 4x a A x x b x        2 2 c. 3 4 7 d.B 3 4 A x x x x        Giải: 2. 1a A x x   Ta có: 2 1 1 1 4.( 1).1 5 1 0, 1, 1; ; 2 2.( 1) 2 4 4( 1) 4 . 2 4 b a b c a a b A a x a a                             ( Phần này nháp hoặc nhẩm trong đầu). Ta có: 2 2 1 5 2 4 1A x x x            . Vì 2 2 0 0 1 1 2 2 x x                  CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ VÀ BIỂU THỨC BẬC 2. November 6, 2018 5 DVD Nên ta có: min 2 5 5 5 5 1 , x 4 4 4 4 2 1 2 A A khix               . Vậy GTLN của A là : 5 4 khi 1 x 2  . Sử dụng Casio 570VN plus:  Bây giờ ta sẽ trình bày vào bài làm thôi nào: Ta quan tâm 2 số : 2 1 2 b X a    và Y= 4 5 4 A a     . Chú ý khi ráp vào công thức ở phần trên nhớ đổi dấu X nhá. Ta có: 2 2 1 5 5 5 2 4 4 4 1 maxAA x x x                khi 1 2 x  Vậy là xong. Sử dụng Casio 570-ES plus: Ta tính : 2 2 5; 4 1 4.( 1).1 5 2 4 4 1 2 max b x b ac A a a                (tính ngoài nháp). CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ VÀ BIỂU THỨC BẬC 2. November 6, 2018 6 DVD Bài làm: Ta có: 2 2 1 5 5 5 2 4 4 4 1 maxAA x x x                khi 1 2 x  . Tương tự cho câu b, c và d nhá. Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a. 24 4 3A x x   luôn dương với mọi x. b. 2 2 3B x x   luôn âm với mọi x. Bài giải: Ta áp dụng phương pháp ở trên giải quyết bài này nhá: a. Ta có:     2 2 2 2 1 2 2 04 4 3 4 4 1 2 x xA x x x x             (ở đây thầy sử dụng hằng đẳng thức 1 nhá). Vì   2 2 0 0 02 1 A x xx         b. Ta có :     2 22 2 1 2 2 01 22 3 x xx xB x x           Vì   2 2 0 0 01 B x xx           Ví dụ 3(biểu thức chứa căn): Tìm GTLN và GTNN (nếu có) của các biểu thức sau: a. 2 2 5A x x   c. 24 3 7C x x   e. 2 24 4 9 6 5E x x y y     b. 2 29 6 8B x x    d. 2 22 5D x x    f. 22 2 18 22D yx y x     Bài giải: a. Ta có: 2 2 22 5 2 1 4 ( 1) 4A x x x x x         Vì 2 2 min 0 4 4 4 2 4 4 ( 1) ( 1) 2 x x A x x A                  khi 1x  b. Ta có: 2 2 229 6 8 (9 6 1) 9 (3 1) 9B x x x x x             CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ VÀ BIỂU THỨC BẬC 2. November 6, 2018 7 DVD Vì 2 max(3 1) 9 9 9 3 3x x B B          khi 1 3 x  . e. 2 22 2 2 2 34 4 9 6 5 (4 4 1) (9 6 1) 3 (2 1) (3 1)E x x y y x x y y x y                min3 , 3E x y E     khi 1 1 ; 2 3 x y    . Tương tự cho câu c và d và f nhá. Ví dụ 4: (Dạng phân thức): ( ) ( ) P x A Q x  , Trong đó: P(x),Q(x) là đa thức bậc 2.  Nhận xét:  min ( ) Q( ) max max P x A x      min min m ( ) Q( ) ax P x A x     Để giải quyết dạng này ta biến đổi A về dạng: ( ) . ( ) ( ) P x b A a Q x Q x   bằng cách chia đa thức.(a,b là hằng số). Do đó: + minQ( )max xA  + min Q( )maxxA  a. 2 2 3 6 11 2 5 x x x x A      b. 2 2 9 6 2 . 3 3 2 1 2 x x x x B      c. 2 2 3 6 19 2 5 x x x x A      Giải: a. Ta có: 2 2 2 2 2 2 3 6 11 3( 2 5) 4 4 4 3 3 2 5 2 5 2 5 ( 1) 4 x x x x x x x x x x x A                      min 2 min 2 3 1 2 4 ( ( 1) 4) 4 1 ( 1) 4 maxA x A x                khi 1x   . Tương tự câu còn lại nhá. III. Bài Tập Tự Luyện: Câu 1. Tìm GTLN và GTNN của các biểu thức sau:((Nếu có) a. A = x2 – 11x + 30 = 0 c. 29 6 2B x x    b. 2 2 2C x x    d. 23 6 4D x x   Câu 2. Chứng minh rằng: a. 2 1P x x    luôn âm c. 2 2 1 2R x x    luôn dương b. 2 2Q x x   luôn dương d. 2 2 1S x y x y      luôn âm CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ VÀ BIỂU THỨC BẬC 2. November 6, 2018 8 DVD Câu 3. Tìm GTLN và GTNN của các biểu thức sau:((Nếu có) a. 2 1P x x    +1 c. 2 24 4 1 5N x x    b. 2 2 5Q x x   d. 2 2 1 1 x x S x x       c. 2 2 2 4 6 1 x x R x x      f. 2 2 3 12 25 4 3 x x S x x     