Chuyên đề Tối ưu hoá thực nghiệm

0 B11>0 B22<0 B3=0 Parabonoid y=B11X1 2+B22X2 2+B33X3 2 B110 B3=0 hyperbonic b).H>0 B11>0 B22>0 B3=0 Elip ph¼ng y=B0+B11X1 2+ B22X2 2 H<0 B11<0 B22<0 B3=0 X2 X1 y X2 X1 X Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 118 B11>0 B22<0 B3=0 Hyperbol y=B0+B11X12- B22X22 B110 B3=0 ph¼ng y=B0 -B11X1 2+ B22X2 2 2. Hai hÖ sè Bii b»ng kh«ng ( B22=0, B33=0 ) a). B10 B2=0 B3=0 Parabol trªn mÆt ph¼ng XOY X1= ( y - B0 ):B11 = H: B11 b). B10 B2=0 B30 Parabol trªn mÆt ph¼ng X1OX3 y=B11X12 + B33X32 ( y=const ) c). B10 B20 B30 Parabol trªn mÆt ph¼ng X1O y=B11X1 2 + B22X2 2 + B33X3 2 ( y=const ) {trong ®ã X2= f(x1,x2)} VÝ dô 10..5: ChuyÓn ph•¬ng tr×nh bËc hai sau ®©y vÒ d¹ng chÝnh t¾c: y = 10 - 15x1 - 10x2 + 4x1x2 + 6x1 2 + 2x2 2 TÝnh:     y x x x y x x x 1 2 1 2 1 2 1 5 4 1 2 0 10 4 4 0               12 4 = = 48 - 16 = 32 4 4 0 do ®ã mÆt môc tiªu cã t©m. T×m täa ®é x1s víi x2s cña t©m s 8 15 32 60 32 104 1512 x 8 5 32 20 32 410 415 x s2 s1   Thay gi¸ trÞ cña x1s vµ x2s vµo ph•¬ng tr×nh trªn ta tÝnh ®•îc Y s: 0625,4 8 152 8 56 8 15 8 54 8 1510 8 51510Y 22 s        Sau khi tÞnh tiÕn hÖ trôc täa ®é, ph•¬ng tr×nh trªn cã d¹ng: Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 119 2 2 2 121 x ~2x~6x~x~40625,4Y  §Ó x¸c ®Þnh c¸c hÖ sè B11, B22 ta gi¶i hÖ ph•¬ng tr×nh ®Æc tr•ng sau: Bbb 2 1 b 2 1 Bb )B(f 2221 1211    Sau khi thay c¸c gi¸ trÞ cña b11, b12, b21 vµ b22 vµo ph•¬ng tr×nh ®Æc tr•ng ta nhËn ®•îc: 08B8B B24 2 1 4 2 1 B6 )B(f 2     Gi¶i ph•¬ng tr×nh trªn ta nhËn ®•îc: B11 = 6,8284; B22 = 1,1716 Cã thÓ kiÓm tra sù ®óng ®¾n trong tÝnh to¸n b»ng c¸ch so s¸nh: bjj = Bjj vµ ph•¬ng tr×nh chÝnh t¾c cã d¹ng: Y + 4,0625 = 6,8284X1 2 + 1,1716X2 2 Sau khi x¸c ®Þnh ®•îc c¸c hÖ sè Bjj ta x¸c ®Þnh ®•îc d¹ng cña mÆt ®¸p øng theo c¸ch ph©n lo¹i c¸c d¹ng hµm môc tiªu ®· tr×nh bÇy ë phÇn trªn.. VÝ dô 10.6: VÝ dô 41: Minh ho¹ viÖc ®•a ph•¬ng tr×nh håi qui bËc hai vÒ d¹ng chÝnh t¾c qua vÝ dô sau ®©y: yˆ = 0,510 + 0,265x1 - 0,547x2 - 0,550x1x2 + 0,968x1 2 + 0,873x2 2 §Ó lo¹i trõ c¸c sè h¹ng bËc mét cña c¸c nh©n tè, chóng ta thùc hiÖn phÐp thÕ xi = zi + mi (i =1;2), khi ®ã ta cã: yˆ = 0,510 + 0,265 (z1 + m1) - 0,547 (z2 + m2) - 0,550 (z1 + m1). (z2 + m2) + 0,968 (z1+ m1)2 + 0,873 (z2 + m2)2 Sau khi më ngoÆc vµ rót gän c¸c sè h¹ng t•¬ng tù ta cã : yˆ = (0,510 + 0,265m1 - 0,547m2 - 0,550m1m2 + 0,968m1 2 + 0,873m2 2) + (0,265 - 0,550m2 + 0,968 . 2m1) . z1 + (-0,547 - 0,550m1 + 0,873 . 2m2)z2 - 0,550z1z2 + 0,968z12 + 0,873z22 §Ó lo¹i trõ c¸c sè h¹ng tuyÕn tÝnh víi z1 vµ z2 chóng ta coi c¸c hÖ sè cña chóng b»ng kh«ng: 0,265 - 0,550m2 + 0,968 . 2m1 = 0; - 0,547 - 0,550m1 + 0,873 . 2m2 = 0 vµ gi¶i hÖ ph•¬ng tr×nh ta thu ®•îc m1 = -0,0526, m2 = 0,2967. Nh• vËy muèn lo¹i c¸c sè h¹ng tuyÕn tÝnh cÇn ph¶i lµm phÐp thÕ x1 = z1 - 0,0526, x2 = z2 + 0,2967. NÕu thay m1 = -0,0526, vµ m2 = 0,2967 vµo ph•¬ng tr×nh cuèi cïng, sau khi tÝnh to¸n chóng ta sÏ nhËn ®•îc: Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 120 T yˆ = 0,422 - 0,550z1z2 + 0,968z1 2 + 0,873z2 2. H×nh 10.3: mÆt cùc ®¹i - cùc tiÓu C¸c sè m1 = -0,0526 vµ m2 = 0,2967 lµ to¹ ®é gèc o1 hÖ z1o1z2 trong hÖ to¹ ®é x1ox2 (h×nh 10.4). 0,40 0,42 0,44 0,46 0,032 0,034 x2Z2 Z1 Z2 y =1,0 y=0,5 O o1 O1 s X mg/ml2 Nång ®é dung dÞ H×nh 10.4: nh÷ng vïng mµ trong ®ã sai sè kh«ng v•ît qu¸ g hîp yˆ = 0,5 vµ yˆ = 1,0. P z1Mz2 y N ån g N ån g ®é du ng dÞ ch ph ©n tÝc h0,036 ch kh«ng i¸ trÞ ®· c0,038 Z1 x1 X mg/ml1 ho ®èi víi c¸c tr•êng Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 121 Chóng ta nhËn thÊy r»ng trong ph•¬ng tr×nh míi c¸c hÖ sè trong c¸c sè h¹ng tÝch vµ bËc hai vÉn kh«ng thay ®æi, cßn trong c¸c sè h¹ng bËc mét th× b»ng gi¸ trÞ vÕ ph¶i cña ph•¬ng tr×nh ban ®Çu khi thÕ vµo nã nh÷ng gi¸ trÞ cña c¸c tham sè m1 vµ m2. Ta lo¹i tiÕp sè h¹ng - 0,550 z1z2, nã t•¬ng ®•¬ng víi phÐp quay hÖ to¹ ®é z1o1z2 mét gãc xung quanh gèc o1 vµ nhËn ®•îc hÖ Z1O1Z2. ViÖc chuyÓn tõ hÖ z1o1z2 sang hÖ Z1O1Z2 ®•îc thùc hiÖn theo c«ng thøc: z1 = aZ1 - bZ2, z2 = bZ1 + aZ2, a = cos, b = sin, (207) tg= 1 b bb b bb a b 2 12 1122 12 1122      (208) Nh• vËy, ®èi víi vÝ dô ®•îc kh¶o s¸t: tg= .0148,1172727,011727, 550,0 968,0873,0 2    Ta cã tg1 = 1,1875, tg2 = - 0,841. Muèn x¸c ®Þnh gãc quay cã thÓ lÊy gi¸ trÞ bÊt kú, Chóng ta lÊy tg= 1,1875. Theo b¶ng= 49045'. Tõ ®ã tÝnh ®•îc a = 0,644, b = 0,765 vµ ®èi víi ph•¬ng tr×nh ®•îc kh¶o s¸t, khi ®ã c«ng thøc (207) cã d¹ng: z1 = 0,644 . Z1 - 0,765 . Z2; z2 = 0,765. Z1 + 0,644 . Z2; C¸c hÖ sè trong c¸c biÕn sè míi cã thÓ tÝnh b»ng phÐp thÕ c¸c biÓu thøc ®èi víi z1 vµ z2 vµo ph•¬ng tr×nh hoÆc theo c¸c c«ng thøc: b'11 = b12ab + b11a2 + b22b2 = = - 0,550 . 0,644 . 0,765 + 0,968 . 0,6442 + 0,837 . 0,7652 = 0,6415, b'22 = - b12ab + b11b2 + b22a2 = = 0,550 . 0,644 . 0,765 + 0,968 . 0,7652 + 0,837 . 0,6442 = 1,1996 b'12 = b12 (a 2 - b2) + 2ab (b22 - b11)0 §ång nhÊt thøc cuèi cïng cã thÓ ®•îc sö dông ®Ó kiÓm tra tÝnh ®óng ®¾n cña phÐp tÝnh a vµ b còng nh• a2 + b21. Chóng ta nhËn ®•îc d¹ng ph•¬ng tr×nh chÝnh t¾c: yˆ - 0,422 = 0,6415Z12 + 1,1996Z22 V× c¸c hÖ sè ë c¸c biÕn sè míi cïng mét dÊu (c¶ hai ®Òu d•¬ng) cho nªn phÇn bÒ mÆt môc tiªu ®•îc m« t¶ b»ng ph•¬ng tr×nh khi yˆ > 0,422 sÏ cã cùc tiÓu t¹i ®iÓm cã to¹ ®é: X1 = 0,034 + 0,002 (- 0,0526)0,034; X2 = 0,042 + 0,004 . 0,29670,043 B¶n th©n bÒ mÆt cã d¹ng elipxoit. Thay cho bÒ mÆt, ng•êi ta dùng h×nh chiÕu tiÕt diÖn mÆt ph¼ng cña nã song song víi bÒ mÆt X1O X2 , VÝ dô , ®èi víi yˆ = 1,00% sau khi thÕ vµo ph•¬ng tr×nh cuèi cïng chóng ta nhËn ®•îc: 0,578 = 0,6415 . Z12 + 1,1996 . Z22, 1 = , 4818,0 Z 9010,0 Z 22 2 1  Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 122 vµ 1 = , 694,0 Z 948,0 Z 2 2 2 2 2 1  C¸c sè 0,948 vµ 0,694 lµ b¸n trôc elip trong hÖ Z1O1Z2. NÕu ®Æt mét ®o¹n 0,95 c¶ hai phÝa trªn trôc O1Z2, c¸ch O1 cßn ®o¹n 0,69 trªn trôc O1Z2 , ta sÏ t×m thÊy 4 ®iÓm elip ®èi víi yˆ = 1,0%. Còng t•¬ng tù ta dùng h×nh chiÕu tiÕt diÖn ®èi víi yˆ = 0,5% vµ c¸c gi¸ trÞ yˆ kh¸c. C¸c elip cã yˆ = 1,0% vµ yˆ = 0,5% sÏ h¹n chÕ c¸c vïng mµ trong ®ã sai sè t•¬ng ®èi kh«ng v•ît qu¸ 0,5% vµ 1. Tõ h×nh 9.4 ta râ r»ng ë nång ®é X1 = 0,034 mg/ml vµ nång ®é X2 dao ®éng trong giíi h¹n tõ 0,042 ®Õn 0,044 mg/ml, sai sè t•¬ng ®èi cña phÐp ph©n tÝch kh«ng v•ît qu¸ 0,5%, cßn khi X1 = 0,34 mg/ml vµ 0,040 < X2< 0,046 th× sai sè t•¬ng ®èi kh«ng h¬n 1%. NÕu lµm 4 ph©n tÝch song song vµ lÊy gi¸ trÞ trung b×nh sè häc lµm gi¸ trÞ X2 th× sai sè t•¬ng ®èi gi¶m gÇn 2 lÇn (phï hîp víi OX = 0 : n ) vµ lóc ®ã nÕu X1 = 0,034 mg/ml vµ 0,040  2X 0,046 th× sai sè t•¬ng ®èi kh«ng lín h¬n 0,5%. VÝ dô 10.7: Tèi •u ho¸ qu¸ tr×nh cã sö dông ph•¬ng ph¸p ®•êng dèc nhÊt ®•îc b¾t ®Çu tõ ph•¬ng tr×nh håi qui tuyÕn tÝnh. Trong tr•êng hîp nµy nhµ nghiªn cøu chñ yÕu quan t©m ®Õn c¸c sè h¹ng tuyÕn tÝnh, do ®ã sö dông m« h×nh ho¸ thùc nghiÖm rót gän lµ hîp lý. Chóng ta h·y xÐt qu¸ tr×nh ®•îc tèi •u ho¸ theo 4 nh©n tè. Gi¶ sö ®ã lµ c¸c nh©n tè z1 , z2 , z3 vµ z4. HiÖu suÊt s¶n phÈm thu ®•îc sÏ lµ hµm môc tiªu y. §©y lµ bµi to¸n cùc ®¹i cã gi¸ trÞ hµm môc tiªu tèi •u giíi h¹n b»ng 100%. V× sè c¸c hÖ ph•¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh khi n = 4 lµ b»ng 5, nªn ta cã thÓ sö dông ma trËn thùc nghiÖm rót gän cã chøa 8 thÝ nghiÖm. §èi víi thÝ nghiÖm ba nh©n tè ®©y sÏ lµ ma trËn thùc nghiÖm ®Çy ®ñ. Do cÇn ph¶i cã hiÖu øng tuyÕn tÝnh kh«ng suy biÕn nªn viÖc sö dông ma trËn thùc nghiÖm rót gän cã biÓu thøc t•¬ng ph¶n I = x1x2x3x4 lµ hîp lý. C¨n cø vµo ®ã ma trËn thiÕt kÕ sÏ cã d¹ng tr×nh bµy ë b¶ng 51b. Gi¸ trÞ thËt cña c¸c nh©n tè zj cho ë b¶ng 51a. B¶ng 10.18a B¶ng 10.18b C¸c møc thùc nghiÖm Z1 Z2 z3 z4 +1 4,0 7,8 12,2 5,3 0 3,2 6,3 10,2 4,1 -1 2,4 4,8 8,2 2,9 j 0,8 1,5 2,0 1,2 ThÝ nghiÖm sè x1 x2 x3 x4 1 +1 +1 +1 +1 2 +1 -1 +1 -1 3 -1 +1 +1 -1 4 -1 -1 +1 +1 5 +1 +1 -1 -1 6 +1 -1 -1 +1 7 -1 +1 -1 +1 8 -1 -1 -1 -1 C¸c kÕt qu¶ thÝ nghiÖm ®•îc ghi ë b¶ng 52. Muèn •íc l•îng ph•¬ng sai lÆp l¹i t¹i mçi thÝ nghiÖm ta bè trÝ ba thÝ nghiÖm lÆp. ViÖc xö lÝ c¸c kÕt qu¶ thÝ nghiÖm theo ph•¬ng ph¸p thèng kª ®•îc b¾t nguån tõ tÝnh to¸n ph•¬ng sai lÆp l¹i. Chóng ta h·y tÝnh gi¸ trÞ sè häc trung b×nh iy theo c¸c kÕt qu¶ ®èi víi c¸c thÝ nghiÖm lÆp; B×nh ph•¬ng hiÖu gi÷a gi¸ trÞ trung b×nh Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 123 céng vµ c¸c kÕt qu¶ cña tõng thÝ nghiÖm lÆp (y - y )2, ph•¬ng sai lÆp l¹i t¹i mçi thÝ nghiÖm si 2. Gi¸ trÞ (y - y )2 vµ si 2 ®•îc ghi ë b¶ng 52. Sau ®ã chóng ta tÝnh tæng ph•¬ng sai lÆp   8 1i 2 is = 22,37 Vµ kiÓm tra tÝnh lÆp l¹i theo chuÈn Khoren Gtinh = 18,0 37,22 99,3 s s 2 i 2 max  B¶ng 10.19- C¸c thÝ nghiÖm lÆpStt y1 y2 y3 y i  221 yy   222 yy   233 yy  si 2 1 68,15 66,50 65,90 66,85 1,690 0,120 0,903 1,35 2 68,90 65,90 66,50 67,10 3,240 1,440 0,360 2,52 3 61,15 61,40 58,30 60,35 0,640 1,100 4,200 2,93 4 62,12 61,50 58,60 60,74 1,900 0,578 4,580 3,03 5 72,00 68,85 70,35 70,40 2,560 2,400 0,003 2,48 6 71,10 68,40 72,30 70,60 0,250 4,840 2,890 3,99 7 64,90 65,00 61,80 63,90 1,000 1,210 4,410 3,31 8 61,40 58,80 61,90 60,70 0,490 3,610 1,440 2,77 V× gi¸ trÞ tíi h¹n ®èi víi møc gi¸ trÞ n¨m nh©n tè b»ng 0,516 (b¶ng phô lôc chuÈn G), nªn ®é ph©n t¸n lµ ®ång nhÊt. Chóng ta h·y tÝnh ®é ph©n t¸n trung b×nh Se2 cã sè tæng bËc tù do fe vµ ®é ph©n t¸n c¸c hÖ sè s 2(bj). Se 2 = 78,2 8 73,22 m s 8 1i 2 i    , Víi fe = m(n - 1) = 8 (3 - 1) = 16 s2(bj) = 340,0 8 78,2 m S 2e  vËy s (bj) = 0,58 ViÖc tÝnh c¸c hÖ sè håi qui lµ giai ®o¹n tiÕp theo. Víi môc ®Ých ®ã chóng ta lËp b¶ng 53. B¶ng 10.20- Sè thÝ nghiÖm x0 x1 x2 x3 x4 iy iyˆ  2ii yˆy  1 +1 +1 +1 +1 +1 66,85 67,42 0,325 2 +1 +1 -1 +1 -1 67,10 67,42 0,124 3 +1 -1 +1 +1 -1 60,35 60,10 0,063 4 +1 -1 -1 +1 +1 60,74 60,10 0,410 5 +1 +1 +1 -1 -1 70,40 70,06 0,116 6 +1 +1 -1 -1 +1 70,60 70,06 0,292 7 +1 -1 +1 -1 +1 63,90 62,74 1,346 8 +1 -1 -1 -1 -1 60,70 62,74 4,160 (jy) 520,64 29,26 2,36 -10,56 3,54 _ _ ( )yˆy ii  2 = 6,836 Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 124 PhÐp tÝnh c¸c hÖ sè ®•îc thùc hiÖn theo c«ng thøc sau: bj =  8 iy 8 yx 8 1i ij    Sau khi thÕ c¸c sè liÖu trong b¶ng 53 vµo c«ng thøc trªn, ta ®•îc: b0 = 65,08 b1 = 3,66 b2 = 0.29 b3 = - 1,32 b4 = 0,44 KiÓm tra tÝnh cã nghÜa cña c¸c hÖ sè håi qui ®•îc tiÕn hµnh theo chuÈn t. Chóng ta h·y tÝnh gi¸ tri thÝ nghiÖm cña ®¹i l•îng t theo c«ng thøc (4.37) t1 = 58,0 66,3 = 6,3 t2 = 58,0 29,0 = 0,5 t3 = 58,0 32,1 = 2,3 t4 = 58,0 44,0 = 0,75 Gi¸ trÞ t ®èi víi møc p = 5% b»ng 2,12. Nh• vËy b2 vµ b4 kh¸c 0 kh«ng ®¸ng kÓ. Do ®ã c¸c thµnh phÇn x2 vµ x4 ¶nh h•ëng Ýt tíi qu¸ tr×nh vµ cã thÓ lo¹i chóng ra khái ph•¬ng tr×nh sau khi ®· ghi nhËn ®é chÝnh x¸c ë møc ®é nµo ®ã. CÇn ph¶i lµm ®iÒu ®ã mét c¸ch thËn träng v× cã thÓ lµ trong vïng kh«ng gian nh©n tè kh«ng ®•îc nghiªn cøu, c¸c biÕn sè cè ®Þnh ®•îc ghi nhËn ¶nh h•ëng quan träng tíi qu¸ tr×nh. Sau khi lo¹i trõ x2 vµ x4 ra khái ph•¬ng tr×nh yˆ = 65,08 + 3,66x1 - 1,32x3 (5. 40) Chóng ta h·y kiÓm tra tÝnh phï hîp cña ph•¬ng tr×nh håi qui chØ chøa x1 vµ x3. Ta t×m gi¸ trÞ sph2 vµ Fph, sau khi ®· sö dông c¸c sè liÖu ë b¶ng 53 vµ c¸c c«ng thøc (3. 34) vµ (3.35); sphï hîp2 = 5 836,63  = 4,10 FtÝnh = 78,2 10,4 s s 2 saisè 2 phïhîp  = 1,72 V× gi¸ trÞ tíi h¹n F0,05 (5;16) = 2,9; Ph•¬ng tr×nh (5.40) m« t¶ mét c¸ch phï hîp víi c¸c sè liÖu thÝ nghiÖm. B¶ng 10.21- Tªn c¸c ®¹i l•îng z1 z2 z3 Z4 z0j 3,2 6,3 10,2 4,1 j 0,8 1,5 2,0 1,2 bj 3,66 - -1,32 - jbj 3,0 - -2,64 - Ejbj 2,0 - -1,77 - To¹ ®é c¸c ®iÓm t¨ng theo ®•êng dèc nhÊt ySè thÝ nghiÖ m Z1 z2 z3 z4 1 5,2 7,8 8,43 5,3 71,5 2 7,2 7,8 6,66 5,3 _ 3 9,2 7,8 4,89 5,3 85,9 4 11,2 7,8 3,12 5,3 - 5 13,2 7,8 1,35 5,3 75,6 Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 125 NÕu sö dông ph•¬ng tr×nh (5.40) ta lËp ®•îc b¶ng thùc nghiÖm (b¶ng 54) trªn. Cã thÓ ghi nhËn c¸c biÕn sè x2 vµ x4 ë møc bÊt kú trong giíi h¹n vïng (lÜnh vùc) nghiªn cøu. Bëi v× b2 vµ b4 ®•a vµo ph•¬ng tr×nh håi qui víi dÊu céng, cho nªn râ rµng lµ ghi nhËn x2 vµ x4 ë møc +1 cã lîi h¬n. 120 B¶ng ma trËn thùc nghiÖm th•êng ®•îc tÝnh tr•íc khi cã kho¶ng biªn thiªn x¸c ®Þnh. Trong tr•êng hîp nµy thÝ nghiÖm 6 cho gi¸ trÞ ©m z3. Chóng ta coi ®iÒu ®ã kh«ng thùc tÕ. Tõ tÊt c¶ c¸c ®iÓm, cã thÓ lµ rÊt nhiÒu, thùc tÕ ng•êi ta chØ thùc hiÖn ®•îc mét phÇn. §ång thêi, mçi ®iÓm tiÕp theo trong c¸c ®iÓm ®•îc chän ®Ó lµm thÝ nghiÖm ®•îc thùc hiÖn hîp lý sau khi nhËn ®•îc gi¸ trÞ tham sè tèi •u kÕ tiÕp. Trong tr•êng hîp kh¶o s¸t, thÝ nghiÖm øng víi b•íc thø 3 lµ tèt nhÊt. Bëi vËy chóng ta chuyÓn träng t©m nghiªn cøu sang nã vµ lËp ma trËn thùc nghiÖm bËc 1 míi chØ víi x1 vµ x3 vµ nhí r»ng x2 vµ x4 lµ cè ®Þnh. Chóng ta lµm thÝ nghiÖm kh«ng cÇn lÆp l¹i bëi v× Ph•¬ng sai lÆp l¹i chóng ta ®· biÕt (mÆc dï ë vïng míi nã cã thÓ kh¸c, do ®ã tÝnh chÝnh x¸c cña thÝ nghiÖm ë c¸c vïng kh«ng gian nh©n tè kh¸c nhau cã thÓ kh¸c nhau): B¶ng 9.22a C¸c møc cña nh©n tè xÞj z1 z3 C¸c møc cña nh©n tè xij z1 z3 0 9,20 4,89 +1,41 10,33 7,71 +1 10,00 6,89 -1,41 8,07 2,07 -1 8,40 2,89 Gi¸ trÞ thËt cña c¸c nh©n tè ®•îc ghi ë b¶ng 55a. V× chØ cã hai nh©n tè thay ®æi, ma trËn chøa 4 ®iÓm (®iÓm 1 - 4 b¶ng 55b). Vµ lµ thÝ nghiÖm ®Çy dñ bËc mét. Theo c¸c sè liÖu nµy chóng ta thu ®•îc ph•¬ng tr×nh håi qui sau ®©y: yˆ = 87,0 + 3,9x1 - 1,05x3 (5, 41) PhÐp ph©n tÝch ph•¬ng sai trong b¶ng 56 chØ ra tÝnh kh«ng phï hîp cña ph•¬ng tr×nh (5, 41). HÖ sè ®Æc tr•ng cho hiÖu øng t•¬ng t¸c gi÷a x1vµ x3 rÊt lín (b13 = 3,0). §iÒu ®ã cã ý nghÜa lµ ®¹t ®•îc vïng cã ®é cong cao. Bëi vËy ta bæ sung vµo ma trËn bËc mét mét sè thÝ nghiÖm ®¹t tíi ma trËn bËc hai (b¶ng 55b). Sau khi tiÕn hµnh c¸c thÝ nghiÖm chóng ta tÝnh ®•îc hÖ sè håi qui, muèn vËy ph¶i sö dông c¸c kÕt qu¶ cña b¶ng 55. Ta b¾t ®Çu tÝnh tõ c¸c tæng (jy), (iji) vµ (jjy). B¶ng 9.22b Sè ®iÓm x1 x3 X1 2 x1x3 x3 2 yi iyˆ  2ii yˆy  1 -1 -1 +1 +1 +1 87,1 87,44 0,1156 2 -1 +1 +1 -1 +1 79,0 78,80 0,040 3 +1 -1 +1 -1 +1 88,9 88,30 0,360 4 +1 +1 +1 +1 +1 92,8 91,66 1,2986 5 -1,41 0 2 0 0 85,6 85,50 0,010 6 +1,41 0 2 0 0 94,0 95,13 1,3924 7 0 -1,41 2 0 2,0 84,5 85,60 1,210 8 0 +1,41 0 0 2,0 80,0 80,90 0,810 9 0 0 0 0 0 83,7 85,14 2,0736 10 0 0 0 0 0 86,0 85,14 0,7386 11 0 0 0 0 0 85,8 85,14 0,4356 12 0 0 0 0 0 83,9 85,14 1,5376 13 0 0 0 0 0 86,3 85,14 1,3456 (0y) =yi = 1117,60 (1y) =x1yi = 27,444 (3y) =x3yi = -10,545 (13y)=x1x3y1 = 12,00 121 (11y) =x1 2yi = 707,00 (33y) =x3 2 yi = 676,80 (jjy) = 707,00 + 676,80 = 1383,80 B¶ng 9.23-Ph©n tÝch thèng kª ph•¬ng tr×nh (5, 41) yi iyˆ  2ii yˆy  1 87,1 84,15 15,60 2 79,0 82,05 9,18 3 88,9 91,95 9,15 4 92,8 88,85 15,60 Sau ®ã theo c¸c c«ng thøc (4,72) chóng ta tÝnh c¸c hÖ sè håi qui: b0 = 0,2 (0y) - 0,1(jjy) = 85,14 b1 = 0,125 (1y) = 3,43 b3 = 0,125 (3y) = - 1,32 b13 = 0,25 (13y) = 3,0 b11 = 0,125 (11y) + 0,0187(jjy) - 0,1 (0y) = 2,60 b33 = 0,125 (33y) + 0,0187(jjy) - 0,1 (0y) = - 1,19 Tõ ®ã ta thu ®•îc ph•¬ng tr×nh håi qui cã d¹ng: yˆ = 85,14 + 3,43x1 - 1,32x3 + 2,60x1 2 + 3,00x1x3 - 1,19x3 2 (5,42) Theo ph•¬ng tr×nh (5,42) chóng ta tÝnh c¸c gi¸ trÞ tham sè tèi •u y t¹i c¸c ®iÓm cña ma trËn (b¶ng 55) vµ tiÕn hµnh ph©n tÝch thèng kª. Theo c¸c c«ng thøc (4.76) - (4.78) chóng ta t×m ®•îc c¸c tæng b×nh ph•¬ng sau ®©y: SR = 11,37; SE = 6,13; SLF = 5,24; fE = 5 - 1 = 4; fLF = 13 - 6 - 4 = 3; TÝnh phï hîp cña ph•¬ng tr×nh lïi ®•îc kiÓm tra theo c«ng thøc; Ftinh = )4;3(05,0F14,1 4 13,6 3 42,5  = 6,6 Nh• vËy ph•¬ng tr×nh (5,42) m« t¶ rÊt phï hîp c¸c kÕt qu¶ thÝ nghiÖm b¶ng 55b. Chóng ta tÝnh ph•¬ng sai lÆp l¹i: 4 13,6 S 2e  = 1,53 Chóng ta t×m ®•îc ®é ph©n t¸n c¸c hÖ sè theo c«ng thøc (4.73) s2(b0) = 0,2. 1,54 = 0,31 s(b0) = 0,56 s2(bj) = 0,125. 1,54 = 0,193 s(bj)=0,44 s2(b13) = 0,25. 1,54 = 0,385 s(b13) = 0,62 s2(bjj) = 0,144. 1,54 = 0,222 s(bjj) = 0,47 Chóng ta kiÓm tra tÝnh cã nghÜa c¸c hÖ sè theo chuÈn t t0 = 56,0 14,85 = 1,52 t11 = 47,0 6,2 = 5,5 122 t1 = 44,0 43,3 = 7,8 t13 = 62,0 0,3 = 4,8 t3 = 44,0 32,1 = 3,0 t33 = 47,0 19,1 =2,5 t0,05(4) = 2,78 So s¸nh ttÝnh víi tbang chØ ra r»ng sè h¹ng bËc hai cña ph•¬ng tr×nh håi qui b33 x32 ¶nh h•ëng rÊt Ýt tíi hµm môc tiªu y. Tuy nhiªn do cã sù t•¬ng quan gi÷a b0 vµ b33 vµ c¶ gi÷a b11 vµ b33 khi nghiªn cøu mÆt môc tiªu nªn ta vÉn gi÷ nguyªn ph•¬ng tr×nh (5.42), kh«ng cã sù thay ®æi nµo. Chóng ta b¾t ®Çu nghiªn cøu mÆt môc tiªu ®•îc m« t¶ b»ng ph•¬ng tr×nh (5.42) tõ viÖc tÝnh to¸n c¸c hÖ sè chÝnh t¾c. Muèn vËy ta sö dông c«ng thøc (5.20). B2 - (b11 + b33)B +       2133311 b4 1 bb = 0 Sau khi thÕ c¸c gi¸ trÞ ph•¬ng tr×nh håi qui vµo ph•¬ng tr×nh nµy B2 - 1,410B - 5,344 = 0 Tõ ®ã tÝnh ®•îc hai nghiÖm : B11 = 3,12 B33 = -1,71 V× c¸c hÖ sè chÝnh t¾c cã dÊu kh¸c nhau, nªn mÆt môc tiªu lµ parab«l«it hypeb«lic. Theo c«ng thøc (5.19) ta t×m ®•îc to¹ ®é t©m bÒ mÆt:      0bxb2xb 0bxbxb2 3333113 1313111 Sau phÐp thÕ c¸c gi¸ trÞ cña hÖ sè, chóng ta nhËn ®•îc hÖ ph•¬ng tr×nh sau:      032,1x38,2x0,3 043,3x0,3x2,5 3c1c 3c1c Tõ ®ã tÝnh ®•îc c¸c nghiÖm: xc1 = -0,195 xc3 = -0,8 Khi biÕt c¸c to¹ ®é cña t©m, chóng ta sÏ tÝnh ®•îc gi¸ trÞ tham sè tèi •u t•¬ng øng víi chóng [Theo c«ng thøc (5. 42)]. Sau c¸c phÐp tÝnh, gi¸ trÞ ®ã b»ng 85,34. Tõ ®ã ph•¬ng tr×nh (5, 42) cã d¹ng chÝnh t¾c nh• sau: yˆ - 85,34 = 3,12X1 2 - 1,71X3 2 (5. 43) Gãc quay cña hÖ to¹ ®é míi ®èi víi hÖ cò, tÝnh theo c«ng thøc (5.27) b»ng 19,20 §Ó x¸c ®Þnh chÕ ®é tèi •u, chóng ta sö dông ph•¬ng ph¸p “ph©n tÝch Rid” Chóng ta tÝnh gi¸ trÞ tham sè Khoren theo c«ng thøc (5. 21) ' = 2(b11 - b33) = 2 (3,12 + 1,19) = 8,62 Tõ ®ã c¸c gi¸ trÞ cho phÐpn»m trong giíi h¹n: 8,62 >> 3,12 Sau ®ã chóng ta ®Æt mét sè gi¸ trÞtiÕn dÇn ®Õn ®¹i l•îng b»ng 3,12 vµ ®iÒu kiÖn tèi •u theo c«ng thøc (5.33) 123 Gi¶ sö= 4,0 lóc ®ã: x1 = 22 133311 331313 0,325,0)0,419,1)(0,46,2( )0,419,1(43,35,032,10,325,0 b25,0)b)(b( )b(b5,0bb25,0     = 1,577 x3= 22 133311 113113 0,325,0)0,419,1)(0,46,2( )0,460,2(32,15,043,30,325,0 b25,0)b)(b( )b(b5,0bb25,0     =0,324 Sau khi thÕ c¸c gi¸ trÞ x1 = 1,577 vµ x3 = 0,324 vµo ph•¬ng tr×nh (5. 42) chóng ta thÊy r»ng trong chÕ ®é nµy tham sè tèi •u b»ng 96,85% B»ng c¸ch t•¬ng tù chóng ta tÝnh gi¸ trÞ x1, x3 vµ yˆ , sau khi cho= 3,95 vµ 3,90. = 3,95 = 3,90 x1= 1,669 x1= 1,827 x3 = 0,359 x3 = 0,405 y = 99,28 yˆ = 101,60 ViÖc tiÕp tôc gi¶m gi¸ trÞ nh©n tö kh«ng x¸c ®Þnh hÖ sè sÏ lµm t¨ng gi¸ trÞ tham sè tèi •u. §ång thêi gi¸ trÞ tham sè tèi •u v•ît qu¸ 100% kh«ng cßn ý nghÜa, ®iÒu ®ã cã nghÜa lµ c¸c vïng kh«ng gian nh©n tè øng víi gi¸ trÞ nh©n tö Lagrang x¸c ®Þnh trong giíi h¹n tõ B11 ®Õn 3,90 ®•îc m« t¶ rÊt kÐm b»ng ph•¬ng tr×nh (5.42) Chóng ta sÏ tÝnh ph•¬ng sai cña tham sè tèi •u võa nãi ®èi víi ®iÓm øng víi gi¸ trÞ yˆ = 99,28% theo c«ng thøc (4.91). Muèn tÝnh ph•¬ng sai c¸c hÖ sè chóng ta sö dông gi¸ trÞ ph•¬ng sai d•: sR2 = 624,1 7 37,11 qN S R  Tõ ®ã ®é ph©n t¸n vµ hiÖn biÕn cÇn cho tÝnh to¸n theo c«ng thøc (4.73) s2(b0) = 0,20.1,624 = 0,325 s2(bj) = 0,125.1,624 = 0,203 s2(bjj) = 0,144.1,624 = 0,234 s2(b0bjj) = - 0,100.1,624 = - 0,162 B¸n kÝnh h×nh cÇu trªn ®ã cã ®Æc ®iÓm 2 = 1,6692 + 0,3592 = 2,914 Ph•¬ng sai tham sè tèi •u ®· nªu vµ ®é lÖch b×nh ph•¬ng s2( yˆ )= 0,325 + 2,203.2,914 + 0,234.2,9142 - 0,162.2,914.2 = 1,96 s2( yˆ )= 1,4 Theo b¶ng t chóng ta tra thÊy r»ng t0,05(7) = 2,37. Tõ ®ã tÝnh ®•îc: = 2,37.1,4 = 3,32 Vµ kho¶ng tin cËy: 99,283,32 Do ®ã giíi h¹n d•íi hiÖu suÊt s¶n phÈm sÏ lµ 95,59% KiÓm tra chÕ ®é tèi •u lµ giai ®o¹n nghiªn cøu cuèi cïng. Lóc ®ã cÇn l•u ý r»ng phÐp ngo¹i suy n»m ngoµi giíi h¹n vïng nghiªn cøu cã thÓ cho ®é lÖch ®¸ng kÓ so víi gi¸ trÞ tham sè tèi •u ®· ®•îc tÝnh. 124 Sau khi chän mét hoÆc mét vµi ®iÒu kiÖn tèi •u nªn bè trÝ mét d·y thÝ nghiÖm lÆp nh»m x¸c ®Þnh gi¸ trÞ kho¶ng tin cËy ®èi víi gi¸ trÞ tham sè tèi •u. B©y giê chóng ta kh¶o s¸t viÖc t×m chÕ ®é tèi •u theo hai tham sè tèi •u. Nh»m môc ®Ých nµy, ph•¬ng tr×nh (5.42) m« t¶ hiÖu suÊt s¶n phÈm y1 ®•îc chóng ta kh¶o s¸t ®ång thêi víi ph•¬ng tr×nh ®Æc tr•ng cho hµm l•îng thµnh phÇn (hîp phÇn, cÊu tö) A trong s¶n phÈm ®ã. Mét trong nh÷ng bµi to¸n lo¹i nh• vËy cã thÓ ph¸t biÓu nh• sau: T×m chÕ ®é trong vïng kh«ng gian nh©n tè ®•îc nghiªn cøu mµ sao cho b¶o ®¶m hiÖu suÊt s¶n phÈm tèi ®a ë hµm l•îng cÊu tö A ®· cho ë trong vÝ dô lµ 33,01,0% Ph•¬ng tr×nh m« t¶ hµm l•îng thµnh phÇn A trong s¶n phÈm cã d¹ng 2 3 2 131312 x7,4x2,3xx5,1x0,20x0,70,15yˆ  (5. 44) To¹ ®é t©m cña hÖ to¹ ®é míi vµ gãc quay cña c¸c trôc: x1C = 1,65 x3C = 2,93 = 22,50 Ph•¬ng tr×nh (5, 44) ë d¹ng chÝnh t¾c y2 - 44,73 = -2,9X212 - 5,0X223 (5.45) §Ó gi¶i bµi to¸n ®Æt ra chóng ta sö dông ph•¬ng ph¸p dùng ®•êng cong bËc hai ®•îc tr×nh bµy trong s¸ch bÊt kú vÒ h×nh häc gi¶i tÝch). Thø tù dùng nh• sau: ®Çu tiªn ta dùng tiÕt diÖn hai chiÒu cña mÆt h•ëng øng t•¬ng øng víi hµm l•îng thµnh phÇn A lµ 33,0%. Sau ®ã lµ tiÕt diÖn hai chiÒu cña mÆt h•ëng øng ®•îc m« t¶ b»ng d¹ng chÝnh t¾c (5.43) V× hiÖu suÊt s¶n phÈm t¨ng däc theo trôc X11 theo h•íng xa t©m (hÖ sè chÝnh t¾c cã dÊu céng) cho nªn gi¸ trÞ cùc ®¹i cña hiÖu suÊt s¶n phÈm sÏ ®•îc ph©n bè gÇn giíi h¹n vïng nghiªn cøu. Trªn h×nh 5.8 chØ dÉn tiÕt diÖn hai chiÒu ®èi víi hiÖu suÊt s¶n phÈm lµ 95,0% vµ hµm l•îng thµnh phÇn A b»ng 33,0%. C¸c ®iÓm a vµ a' øng víi lêi gi¶i bµi to¸n "tho¶ hiÖp" §iÓm a' n»m ngoµi giíi h¹n vïng kh«ng gian nh©n tè vµ phï hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n kh«ng thÓ kh¶o s¸t nh• lµ tèi •u. Bëi vËy ng•êi ta thõa nhËn ®iÓm A cã to¹ ®é x1 = 1,15; x3 = 0,75 øng víi chÕ ®é tèi •u.(phï hîp víi) x23x3 x1 x11 x21 x13 a a' y = 33%2 y = 95%1 y = 95%1 H×nh 10.8. Lêi gi¶i bµi to¸n "tho¶ hiÖp" 125 VÝ dô 10.8 : Tèi •u ho¸ qu¸ tr×nh tæng hîp axit mercaptylic. ViÖc nghiªn cøu tèi •u ho¸ gia ®o¹n hai tæng hîp axit mercaptylic tõ izobutylen vµ nit¬ peoxit (N2O4) (khö hy®ro axit- oxyizomalic). C«ng viÖc nghiªn cøu ®•îc tiÕn hµnh b»ng thiÕt bÞ thÝ nghiÖm. §•îc chän lµm tham sè tèi •u gåm hai gi¸ trÞ hµm môc tiªu: 1/ y1, hiÖu suÊt axit mercaptylic, 2/ y2, ®èi víi axit- oxyizomalic, mol % (c¶ hai tÝnh theo phÇn tr¨m lý thuyÕt). Qu¸ tr×nh tèi •u ho¸ theo ba nh©n tè sau ®©y: 1/ nhiÖt dé khö hy®ro z1, 0C; 2/ nång ®é axit - oxyizomalic ban ®Çu trong dung dÞch n•íc z2, %; 3/ tèc ®é cung cÊp dung dÞch trong buång xóc t¸c trong mét giê h, z3 l/l. Ng•êi ta t×m c¸c ®iÒu kiÖn tèi •u b»ng hai c¸ch: 1/ b»ng thùc nghiÖm theo ®•êng dèc nhÊt vµ 2/ b»ng m« h×nh ho¸ thùc nghiÖm bËc hai. B¶ng 10.24- z1 z2 z3 y1 y2 +1 270 30 0,6 - - 0 255 20 0,5 82,1 85,4 -1 240 10 0,4 - - x1 x2 x3 - - 1 -1 -1 -1 53,0 61,5 2 +1 -1 -1 65,3 69,0 3 -1 +1 -1 76,1 87,6 4 +1 +1 -1 77,0 84,5 5 -1 -1 +1 72,7 72,7 6 +1 -1 +1 56,1 70,5 7 -1 +1 +1 81,0 82,7 8 +1 +1 +1 74,0 87,0 §Ó thùc hiÖn ma tr©n bËc thùc nghiÖm bËc mét (b¶ng 67), t©m ma trËn ®•îc chän trªn c¬ së c¸c thÝ nghiÖm ®· thùc hiÖn th¨m dß hoÆc theo c¸c c«ng bè tr•íc ®©y. ViÖc xö lý thèng kª c¸c sè liÖu b¶ng 67 cho phÐp tÝnh ®•îc c¸c hÖ sè håi qui sau ®©y: ®èi víi y1 ®èi víi y2 b0(1) = 69,41 b12(1) = -0,21 b0(2) = 76,92 b12(2) = -0,51 b1(1) = -1,26 b13(1) = -4,70 b1(2) = 0,81 b13(2) = -0,28 b2(1) = 7,62 b23(1) = -0,94 b2(2) = 8,50 b23(2) = -1,88 b3(1) = 1,56 b123(1) = 2,60 b3(2) = 1,28 b123(2) = 2,13 Muèn tÝnh ph•¬ng sai lÆp l¹i, t¹i mçi ®iÓm ng•êi ta lµm hai thÝ nghiÖm lÆp. TÊt c¶ c¸c thÝ nghiÖm ®Òu lµ ngÉu nhiªn. Ph•¬ng sai lÆp l¹i vµ ph•¬ng sai c¸c hÖ sè lµ nh• nhau ®èi víi hai tham sè tèi •u y1 vµ y2 s2e(y1) = s2e(y2) = 3,24 s2(bj) = 0,405 s(bj) = 0,64 f = 8 Tõ ®ã 0,05(bj) = 2,31.0,64 = 1,48 So s¸nh ®¹i l•îng0,05(bj) víi c¸c gi¸ trÞ hÖ sè håi qui chøng tá r»ng cïng víi hiÖu øng tuyÕn tÝnh, c¸c hiÖu øng t•¬ng t¸c vµ hiÖu gi÷a sè h¹ng tù do vµ gi¸ trÞ tham sè tèi •u t¹i ma trËn t©m (y1 = 82,1 - 69,4 = 12,7, y2 = 85,4 - 76,9 = 8,5) lµ cã nghÜa. §iÒu ®ã cã nghÜa lµ thÝ nghiÖm ®•îc tiÕn hµnh ë vïng bÒ mÆt kh«ng gian nh©n tè cã ®é cong cao. Dï vËy, c¸c nhµ nghiªn cøu vÉn quyÕt ®Þnh lµm t¨ng thªm gi¸ trÞ tham sè tèi •u b»ng ph•¬ng ph¸p ®•êng dèc 126 nhÊt. V× hÖ sè b1(1) vµ b1(2) cã dÊu kh¸c nhau, nªn t¨ng theo ®•êng dèc nhÊt chØ thùc hiÖn theo hai thµnh phÇn: z2 vµ z3. B¶ng 10.25- ThÝ nghiÖm t¹i c¸c ®iÓm sao vµ ®iÓm t©m x1 x2 x3 y1 y2 1 -1,68 0 0 70,0 78,1 2 +1,68 0 0 72,1 79,3 3 0 -1,68 0 49,1 49,2 4 0 +1,68 0 74,8 81,4 5 0 0 -1,68 79,7 81,2 6 0 0 +1,68 83,5 90,6 7 0 0 0 82,0 86,8 8 0 0 0 8