Chuyên đề Tri thức vecto

LÍ DO Là phương pháp giải toán hiệu quả ,và không phụ thuộc vào hình vẽ (Nó khắc phục được hạn chế của phương pháp tổng hợp).Cung cấp công cụ mới để chứng minh định lí ,tính chất hình học đơn giản hơn (ví dụ như định lí Thales,Pythagore,hàm số sin;hệ thức lượng trong tam giác,trong hình tròn ,tính chất của phép dời hình vị tự , đồng dạng… *Là phương pháp có thể sử dụng phương tiện đại số nhưng vẫn ở lại trong phạm vi hình học(Còn phương pháp giải tích chỉ đòi hỏi biến đổi đại số * Vectơ có nhiều ứng dụng trong vật lí , kĩ thuật ,do đó việc đưa vectơ vào giảng dạy tạo điều kiện thực hiện nhiệm vụ liên môn ỏ trường phổ thông. * Và một lí do nửa đó là : Vectơ là một khái niệm khá mới mẻ đối với học sinh. * Lần đầu tiên ,học sinh tiếp xúc với định hướng trong hình học.Còn sau đó ,vectơ được sử dụng hầu hết trong chương trình.nghĩa là cung cấp cho học sinh công cụ mới để nghiên cứu. VÌ vậy học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn, và chướng ngại vật * ĐIều chúng ta quan tâm ở đây là :cách trình bày của sách giáo khoa có ảnh hưởng gì đến nhận thức của học sinh.Từ đó giúp ta cải thiện được thực tế dạy học.Đồng thời cũng giúp ta nhìn nhận và đánh giá được cách trình bày của cac cuốn sách thí điểm hiện nay.Hay những cuốn sách tham khảo khác . * Vậy để giải quyết vấn đề đó , trước tiên ta phải làm gì? * Việc đầu tiên chúng ta cần thực hiện đó là: PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN _Phân tích khoa học luận Phân tích lịch sử hình thành và phát triển tri thức Véc tơ là một khái niệm nền tảng của toán học và có nhiều ứng dụng trong vật lí .Ý tưởng đầu tiên về vectơ trong việc sử dụng hình bình hành để biểu diễn hợp của hai lực ,một cách làm đã khá phổ biến ở thế kỉ 16-17 . Tuy nhiên , không phải khái niệm vectơ toán học và phép cộng vectơ đã được biết ở thời kì này. Việc nghiên cứu lịch sử đã chỉ ra rằng khái niệm vectơ được nảy sinh từ 2 xu hướng nghiên cứu : Xây dựng các hệ thống tính toán trong nội tại hình học Liên quan đến việc mở rộng tập hợp số thực A. CAÙC HEÄ THOÁNG TÍNH TOAÙN TÍNH TOÁN ĐẦU TIÊN TRONG NỘI TẠI HÌNH HỌC 1. Leibniz và hình học vị trí Ý tưởng đầu tiên về sáng tạo ra một hệ thống tính toán trong nội tại hình học thuộc về Leibniz (1646 - 1716),xuất phát từ nhận xét rằng phương pháp giải tích của Descartes và fermar, mặc dù cung cấp công cụ khá mạnh cho việc giải các bài toán hình học nhưng lại tạo ra tấm màn che lấp đi rực giác hình học . Leibniz muốn tìm cách đại số hóa hình học nhưng không thoát khỏi phạm vi hình học .với ý định đó .Leibniz đã xây dựng hình học vị trí . Lí thuyết này được hình thành trên hệ tương đẳng : hai cặp điểm được gọi là tương đảng nếu các khoảng cách giữa hai diểm của từng cặp bằng nhau , hai bộ ba điểm được gọi là tương đẳng nếu hai tam giác giữa chúng chồng khít lên nhau .. Với khái niệm tương đẳng ông đã giải được một vài bài toán khá cơ bản , nhưng chỉ dừng ở lại đó . Hình học vi trí không đáp ứng được những mong muốn của .Leibniz . Bởi vì với khái niệm tương đẳng ,khi xem xét quuan hệ giữa hai điểm ,Leibniz chỉ giữ lại độ dài .Hơn nữa ,trong hình học vị trí , Leibniz không định nghĩa phép toán trên các đối tượng hình học . 2.Tính toán tâm tỉ cự của Mobius August Ferdinan Mobius (1790-1866) không trực tiếp xây dựng nên lý thuyết vectơ . Tuy nhiên ông lại chiếm vị trí quan trọng trong lịch sử hình thành lý thuyết này.. mà ông công bố 1827 là một mô hình toán học giống với hệ thống vectơ ngày nay trên khá nhiều phương diện . Một trong những tư tưởng cốt lõi và mới mẻ của Mobius liên quan đến sự định hướng các hình trong không gian .Xuất phát điểm , ông xem xét quan hệ giữa các đoạn thẳng cộng tuyến .Tư tưởng của ông là sự thay đổi về chiều ứng với sự thay đổi về dấu ,có nghĩa là AB = - BA .Sau đó ông đưa vào phép cộng các đoạn thẳng cộng tuyến .Rồi mở rộng quy tắc dấu và quy tắc cộng . Mười năm sau (1843) , Mobius khái quát hóa phép cộng và trừ các đoạn thẳng (định hướng ) cộng tuyến ,nhưng đồng phẳng .Năm 1862 ông xây dựng phép nhân hình học hai đoạn thẳng . Tích hình học của Mobius bằng tích vectơ ngày nay về phương diện số , nhưng không đồng nhất . Rồi ông xây dựng tích chiếu của hai đoạn thẳng định hướng (tương đương với tích vô hướng ngày nay) Phát minh của Mobius là một giai đoạn quan trọng đối với sự phát sinh tính toán vectơ . 3.Tính toán tương đẳng của Bellavitis Năm 1833 nhà toán học người Ý Bellavitis công bố các tính toán các tương đẳng của mình .Theo định nghĩa của Bellavitis ,hai đoạn thẳng được gọi là tương đương nếu chung song song, cùng hướng và có đọ dài bằng nhau . Trong lí thuyết của mình ,Bellavitis định nghĩa phép cộng của hai hay nhiều đọan thẳng bằng cách sử dụng quan hệ tương đẳng . Bellavitis còn định nghĩa tích của một đoạn với một số . Ta thấy mô hình của Bellavitis có chứa nhiều yếu tố của lí thuyết vectơ hiện đại . Ngoài ra,Bellavitis đã thành công trong việc xây dựng một cấu trúc đại số trên các đối tượng hình học mà không cần bất cứ một trung gian đại số nào . Bellavitis thử mở rộng lý thuyết của mình ra trong không gian nhưng không thành công .Khó khăn mà ông gặp phải là định nghĩa tích của hai đoạn thẳng .Vì khái niệm độ nghiêng không xác định trong khi ở trong không gian. B.BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CÁC SỐ PHỨC . Ngay từ thế kĩ 15 việc mở rộng các tính toán đại sô đã đòi hỏi phải đưa vào khái niệm căn bậc hai của số âm .Một số người tìm cách giải quyết vấn đề này với sự giúp đỡ của hình học .Chính trong quá trình tìm cách biểu diễn hình học các số phức mà họ đã đi đến tính toán vectơ . Việc biểu diễn hình học của các đại lượng ảo được soạn thảo độc lập với nhau bởi 5 nhà toán học là : Caspar Wessel,Argand,Mourey,Warren,buee. Kết luận Lịch sử hình thành lý thuyết vectơ chỉ cho ta thấy những khó khăn ,trở ngại mà các nhà toán học phải vược qua luôn liên quan đến việc định hướng các đối tượng hình học và việc xây dựng các phép toán nhân trên các đường định hướng PHÂN TÍCH “CUỘC SỐNG “ CỦA TRI THỨC TRONG CHƯƠNG TRÌNH SÁCH GIÁO KHOA A._TRI THỨC NÀY TỒN TẠI NHƯ THẾ NÀO? Sácg giáo khoa HÌNH HỌC LỚP 10_ Sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000(tái bản lần hai) Tác giả : VĂN NHƯ CƯƠNG (chủ biên) PHAN VĂN VIỆN B. TRI THỨC NÀY TỒN TẠI NHƯ THẾ NÀO? B.1. Trong toán học vectơ được hiểu như thế nào? .Người ta có thể định nghĩa khái niệm vectơ hình học qua hệ tiên đề của không gian vectơ,qua lớp tương đương các đoạn thẳng định hướng hoặc qua lớp tương đương các cặp điểm sắp thứ tự. B.1.1 Định nghĩa qua hệ tiên đề của không gian vectơ * Giả sử V là một tập hợp khác rỗng mà các phần tử của nó được kí hiệu là R là trường số thực mà các phần tử của nó được ký hiệu là Trên V xác định hai phép toán : - Phép cộng vectơ: là ánh xạ đặt tương ứng hai phần tử bất kì của V với một phần tử của V ,kí hiệu là : - Phép nhân vectơ với một số : là ánh xạ từ R x V vào V ,đặt mỗi số thực vào một phẩn tử thuộc V với một phần tử củng thuộc V , kí hiệu gọi là tích của số thưc với . * V được gọi là không gian vectơ trên trường số thực và các phần tử của nó được gọi là các vectơ nếu hai phép toán trên thỏa tám tiên đề sau: Phép cộng vectơ có tính chất giao hoán : Phép cộng vectơ có tính chát kết hợp: Có một phần tử thuộc V sao cho vectơ bất kì của V : Với mỗi vectơ bất kì của V ,luôn tồn tại vectơ sao cho B.1.2 Định nghĩa qua lớp tương đương các đoạn thẳng định hướng Một đoạn thẳng trên đó đã xác định mút nào là điểm đầu ,điểm nào là điểm cuối ,gọi là một đoạn thẳng định hướng .Đoạn thẳng định hướng có điểm đầu A,điểm cuối B được kí hiệu là AB. Những đường thẳng song song với nhau xác định một phương .Phương của đoạn thẳng định hướng là phương của đoạn thẳng chứa nó .Như vậy ,hai đoạn thẳng định hướng được gọi là cùng phương nếu chúng thuộc hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Mỗi phương có hai hướng ngược nhau .Hướng của đoạn thẳng định hướng là hướng tính từ điểm đầu đến điểm cuối ,theo một trong hai hướng của đưởng thẳng chứa nó. Hai đoạn thẳng định hướng AB,CD gọi là cùng hướng nếu chúng: - nằm trên hai đường thẳng song song với nhau và cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AC nối hai điểm đầu của chúng ; - Hoặc cùng thuộc một đường thẳng và một trong hai tia AB ,CD chứa tia còn lại. Hai đoạn thẳng định hướng gọi là tương đương nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng .Quan hệ tương đương này có tính chất phản xạ ,đói xứng ,bắc cầu,do đó nó chia tập hợp các đoạn thẳng định hướng thành các lớp tương đương .Mỗi lớp tương đương được gọi là một vectơ và kí hiệu hay vectỏ chỉ là một và theo kí hiệu của sự bằng nhau trong lí thuyết tập hợp ta có thể viêt là . B.1.3. Định nghĩa qua lớp tương tương các cặp điểm sắp thứ tự Xét các cặp điểm sắp thứ tự (A,B) trên mặt phẳng , trong đó A gọi là điểm đầu , B gọi là điểm cuối .Hai cặp điểm (A,B) và (C,D) được gọi là tương đương ,kí hiệu (A,B) ~ (C,D) ,nếu hai đoạn thẳng AD và BC có cùng trung điểm .Suy ra tập hợp các cặp điểm trên mặt phẳng được phân thành các lớp tương đương : hai cặp điểm thuộc cùng một lớp khi và chỉ khi chúng tương đương . Mỗi lớp tương đương gọi là một vectơ .lớp tương chứa cặp điểm sắp thứ tự (A,B) được kí hiệu là .Cặp điểm (A,B) được gọi là một đại diện cho vectơ Như vậy ,vectơ là lớp tất cả các cặp điểm sắp thứ tự tương đương) với(A,B) Nếu (A,B) ~ (C,D) thì vectơ hay chỉ là một và ta có thể viết : B.2.Dịnh nghĩa vectơ trong sách phổ thông ? * Sách giáo khoa hiên hành ĐỊNH NGHĨA :Vectơ là một đoạn thẳng đã định hướng ,nghĩa là đã chỉ rõ điểm mút nào của đoạn thẳng đó là điểm đầu và điểm cuối. Các đoạn thẳng Các vectơ Vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B được kí hiệu là Như vậy nếu hai điểm A và B phân biệt thì ta có haivectơ khác nhau là và Cũng có thể kí hiệu một vectơ xác định nào đó bằng một chữ thường với mũi tên trên đầu như: Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau như : gọi là vectơ_không . NHẬN XÉT: Sách giáo khoa không trình bày định nghĩa qua hệ tiên đề (bởi mục đich là cung cấp cho học sinh công cụ hiệu quả để giải toán chứ không phải để nghiên cứu không gian vectơ tổng quát) .Mà thông thường trình bày khái niệm vectơ theo tư tưởng lớp tương đương hoặc lớp tương đương các cặp điểm . Để phù hợp với trình độ của học sinh sách giáo khoa còn tránh cả những thuật ngữ như quan hệ tương ,lớp tương đương .Theo xu hướng này,khái niệm vectơ được xây dựng qua khái niệm phép tịnh tiến hoạc khái niệm vectơ buộc. Cụ thể ta thấy : + Từ 1 sách giáo khoa định nghĩa vectơ qua vectơ buộc. + Có trình bày biểu tượng về sự khác nhau giữa đoạn thẳng AB và vectơ (vì vậy khi dạy khái niệm vectơ cần khắc sâu cho học sinh thấy điểm khác nhau này) _ hình minh họa 2 + Sách giáo khoa cũng có đưa một cách ngầm ẩn vào sách giáo khoa khái niệm vectơ tự do _minh họa 3 (Vectơ được định nghĩa là đoạn thẳng có định hướng vậy khái niệm vectơ tự do liên kết với nó như thế nào ? _ta không quan tâm đến điểm gốc của nó .Nó vẫn là một đoạn thẳng có hướng ) Mục đich là gì :Bởi vì nếu trình bày qua vectơ buộc không thì người ta không thể xây dựng các phép toán vectơ : tổng,hiệu hai vectơ,tích một vectơ với một số không xác định . Có thể nói rằng:sách giáo khoa trình bày khái niệm vectơ thành 2 giai đoạn: _Giới thiệu vectơ buộc. _Giới thiệu vectơ tự do (ngầm ẩn) Sau đó mới nói đến phương ,hướng,độ dài của vectơ .phép cộng,phép trừ ,phép nhân ,và các tính chất của vectơ Và cứ sau một phần như vậy là có ví dụ và bài tập củng cố Và không nói đến nguồn gốc hay xuất sứ xủa vectơ và nghiên cứu vectơ đẻ làm gì?! Hay ứng dụng của nó vào mục đích gì,nó có tầm quan trọng như thế nào? Tức là sách giáo khoa vẫn không thoát khỏi lối trình bày truyền thống:đó là tách rời khỏi lịch sử phát triển của đối tượng CÒN sách giáo khoa hiện hành thì sao? Sách giáo khoa thí điểm hiện nay mà cụ thể là:’’HÌNH HỌC 10 _sách giáo khoa thí điểm ban khoa học tự nhiên (bộ sách thứ hai)” cách trình bày của nó có ưu điểm hơn sách giáo khoa hiên hành không? Nghĩa là:nó có quan tâm đến quá trình nhận thức của học sinh không? Sau nữa nó có tạo điều kiện cho việc thực hiện nhiệm vu “liên môn” ở phổ thông hay không ? Cách trình bày của sách giáo khoa thí điểm: Đưa hình ảnh của các vật sau,và có biểu thị chỉ hướng chuyển động của vật: MỤC ĐÍCH : Thật ra khái niệm vectơ thực sự không phải xa lạ lắm đối với học sinh ,nó khá gần gũi với chúng ta mà chẳng qua là vì ta không để ý mà thôi.Khi dạy bài nay giáo viên có thể chỉ cho hoc sinh thay,để các em dễ hình dung hơn về khái niệm vectơ. Vectơ là một khái niệm toán học có nguồn gốc từ vật lí ,thường được dùng để biểu diễn các đại lượng có hướng như lực ,vận tốc ,… nội dung chủ yếu của chương trình là trình bày khái niệm vectơ và các phép toán trên vectơ. A.VECTƠ 1. Định nghĩa vectơ Cho đoạn thẳng AB .Nếu ta chọn điểm A làm điểm đầu ,điểm B làm điểm cuối thì đoạn thẳng AB đã được định hướng (hướng từ A đến B ). Khi đó ta nói AB là đoạn thẳng định hướng . ĐỊNH NGHĨA: Vectơ là một đoạn thẳng định hướng . Vectơ có điểm đầu A ,điểm cuối B được kí hiệu là và đọc là “vectơ AB” .Để vẽ vectơ ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu “>” ở đầu mút B.Vectơ còn được kí hiệu : Khi còn xét điểm đầu và điểm cuối của nó . Cho hai điểm A,B có bao nhiêu vectơ nhận A,B làm điểm đầu hoạc điểm cuối? Cũng trình bày khái niệm vectơ qua 2 giai đoạn như sách hiện hành Thêm nữa sách cũng nhấn mạnh cách đựng một vectơ học sinh cần xác định nhưng gì. Sau một chương sách có giới thiệu sơ lược về xuất xứ nguồn gốc của vectơ. TÀI LiỆU THAM KHẢO: Phương pháp dạy học hình học ở phổ thông Tác giả : LÊ THỊ HOÀI CHÂU Giới thiệu tình huống (Tình huống được thiết kế bởi Rmah nay h’Min) Xây dựng một tình huống để dạy bài vectơ Mục đích yêu cầu : Về kién thức : - Học sinh phải nắm được khái niệm vectơ (Đặc biệt là hai đặc trưng định hướng của vectơ ) _ Vectơ bằng nhau, vectơ đối nhau , vectơ không . - Điều kiện cùng phương của hai vectơ . Về kĩ năng : Học sinh phải biết dựng một một vectơ bằng vectơ cho trước . Nội dung: Sau khi dạy bài 1(chương1 vectơ) để củng cố định nghĩa cho hoc sinh ,thêm đó phát hiện một số sai lầm mà các em mắc phải ,để từ đó có hướng khắc phục và luyện tập cho học sinh phù hợp . Muốn vậy ,giáo viên cần lưu y đưa ra những ví dụ khắc sâu cho học sinh rằng ; - Chỉ căn cứ vào độ dài thì không đủ khẳng định sự bằng nhau của hai vectơ . - chỉ có thể xét quan hệ cùng hướng khi đã kiểm tra điều kiện cùng phương . Cũng cần đặt học sinh vào tình huống không quen thuộc buộc học sinh phải bộc lộ quan điểm sai lầm về hai đặc trưng của hai vectơ .Những bài tập trắc nghiệm có thể yêu cầu học sinh giải thích . LUYỆN TẬP : Bài 1: Trong các hình được đánh đấu sau,hình nào biểu diễn vectơ : C A C A A C A C A A C C C 1 2 A 3 d 8 7 6 5 4 @ Hãy đánh dấu x vào ô lựa chọn: Hình (7) , (6) biểu diễn vectơ Hình (6) biểu diễn vectơ Tất cả các hình đều biểu diễn vectơ Hình (1) , (2) , (8) , (3) ,(4) ,(5) , (6) hình biểu diễn vectơ . VÀ giải thích vì sao em có lựa chọn đó ? Bài 2 : Cho hai điểm A ,B có bao nhiêu vectơ nhận A , B làm điểm đầu hoặc điểm cuối : Có 1 vectơ Có 2 vectơ Có 4 vectơ Không có vectơ nào