Chuyển động của điện tích trong điện từ trường

CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỆN TÍCH TRONG ĐIỆN TỪ TRƯỜNG Trong cơ học, nếu một hạt chuyển động tự do với vận tốc , hàm Lagrange của nó là: Xung lượng của hạt và lực tác dụng lên nó: (2) (3) (1) Khi đó phương trình Lagrange : Tương đương với phương trình chuyển động của hạt viết theo định luật II Newton : Đối với một hạt tích điện chuyển động trong điện từ trường thì : (4) (5) (6) Nếu phương trình Lagrange (4) chứa hàm Lagrange (6), nó tương đương với phương trình chuyển động của hạt trong điện từ trường. Thật vậy, ta tính xung lượng suy rộng của hạt : trong đó là xung lượng thông thường của hạt Lực suy rộng tác dụng lên hạt (7) (8) Đưa (7) và (8) vào phương trình Lagrange (4): Vì không phải là hàm của tọa độ, nên và phương trình trên trở thành : Vì thế là hàm của tọa độ và thời gian t, nên : (9) Do đó (9) trở thành : Hay : Đó chính là phương trình chuyển động của hạt trong điện từ trường mà ta đã rút ra được từ phương trình Lagrange Thí dụ: Dùng hàm Lagrange khảo sát chuyển động của electron Xét một nguyên tử gồm hạt nhân và một electron, chọn hệ tọa độ K có gốc tại hạt nhân và trục Oz song song với từ trường ngoài. Đối với electron, nên hàm Lagrange (6) của nó là: Gọi là bán kính vecto của electron, người ta chứng minh được rằng giữa thế vecto và cảm ứng từ có hệ thức : Do đó (10) trở thành : Chuyển sang hệ tọa độ là một hệ có trục trùng với Oz, gốc trùng với O, nhưng toàn hệ quay quanh Oz với vận tốc bằng (11) (10) Điện trường của hạt nhân có tính đối xứng xuyên tâm, do đó trong hệ ta có . Từ trường song song với trục quay, nên ta cũng có , Vận tốc dài của electron trong hệ liên hệ với trong hệ K bằng : Do đó hàm Lagrange (11) của electron viết lại trong hệ trở thành : Chọn vận tốc góc của hệ bằng : Ta có : Như ta đã biết tần số riêng của electron có độ lớn của tần số ánh sáng, , và vận tốc dài của electron trong nguyên tử có độ lớn : (12) Mặt khác, đối với các từ trường đạt được trong kỹ thuật ta luôn có . Do đó trong (12) ta có thể bỏ qua các số hạng tỉ lệ với vì chúng rất nhỏ so với số hạng thứ nhất tỉ lệ với . Ta viết được (12) thành : Hàm Lagrange (13) ứng với trường hợp chỉ có điện trường của hạt nhân, không có từ trường ngoài. Ta có thể kết luận rằng nếu chưa có điện trường ngoài, electron chuyển động theo một quỹ đạo nào đó biểu diễn được bằng hàm Lagrange (13) , thì khi đặt nguyên tử vào từ trường ngoài, quỹ đạo của nó sẽ quay quanh phương của từ trường ngoài với vận tốc góc bằng tần số Lacmo . (13)