Đề cương ôn tập học kỳ I – Năm học 2014 – 2015 môn: Toán học 8

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ I – NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN: TOÁN 8 Đại số: I/ Lý thuyết: Nhân đa thức: Nhân đơn thức với đa thức: A(B + C) = AB + AC Nhân đa thức với đa thức: (A + B) (C + D) = A(C + D) + B(C+D) = AC + AD + BC + BD Những hằng đẳng thức đáng nhớ: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. (a - b)2 = a2 - 2ab + b2. a2 – b2 = (a – b) (a + b). (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3. a3 + b3 = (a + b)( a2 - ab + b2). a3 - b3 = (a + b)( a2 + ab + b2). Ngoài ra, ta có: (a – b)2 = (b – a)2. (a – b)3 = -(b – a)3. Phân tích đa thức thành nhân tử: PP đặt nhân tử chung: AB + AC = A(B + C). P dùng hằng đẳng thức: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2. a2 - 2ab + b2 = (a - b)2. a2 – b2 = (a – b) (a + b). a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3. a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3. a3 + b3 = (a + b)( a2 - ab + b2). a3 - b3 = (a + b)( a2 + ab + b2). PP nhóm hạng tử: a – b + c – d = (a + c) – (b + d). => đến đây có thể đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức. PP tách hạng tử: Ta tách một hạng tử trong đa thức sao cho khi kết hợp với các hạng tử khác xuất hiện nhân tử chung hoặc xuất hiện hằng đẳng thức. PP thêm - bớt hạng tử: Ta thêm - bớt cùng một hoặc một số hạng tử trong đa thức sao cho khi kết hợp với các hạng tử khác xuất hiện nhân tử chung hoặc xuất hiện hằng đẳng thức. PP đổi biến. PP đồng nhất hệ số. Chia đa thức: Chia đơn thức A cho đơn thức B: + Chia hệ số của A cho hệ số của B. + Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B. + Nhân các kết quả với nhau. Chia đa thức A cho đơn thức B (Trường hợp các hạng tử của A chia hết cho B): Chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau. Chia đa thức A cho đa thức B: Cho A và B là hai đa thức tùy ý của cùng một biến, B 0, khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho A = B.Q + R, trong đó R= 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B. Có thể dùng định lý Bê-du và hệ quả của nó: Để tìm số dư khi chia đa thức cho nhị thức bậc nhất x – a. Tìm nghiệm của một đa thức. Để phân tích đa thức thành nhân tử. Phân thức đại số: Khái niệm phân thức, phân thức đại số bằng nhau: Phân thức: Dạng với A, B là các đa thức, B khác đa thức 0. Phân thức đại số bằng nhau: AD = BC. Tính chất cơ bản của phân thức: (với M là đa thức khác đa thức 0). (Với N là nhân tử chung của A và B). Rút gọn phân thức: (Với N là nhân tử chung của A và B). Cộng, trừ các phân thức đại số: + = ; - = . (Cần lưu ý cách tìm phân thức đối). Nhân, chia các phân thức đại số: . = ; : = . (Cần lưu ý cách tìm phân thức nghịch đảo). Biến đổi các biểu thức hữu tỉ – Giá trị của phân thức: - Biểu thức hữu tỉ: Biểu thức hữu tỉ là một phân thức đại số, dãy các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các biểu thức hữu tỉ. - Giá trị phân thức: Khi nói đến giá trị phân thức ta cần lưu ý: điều kiện xác định của phân thức. Điều kiện xác định của phân thức là các giá trị của biến mà tại đó giá trị của mẫu thức khác 0. Tập hợp tất cả các giá trị của biến làm cho phân thức xác định gọi là tập xác định của phân thức. II/ Một số bài tập: BT1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) (x + 3)(x + 4) + (x + 3) – 7 b) x4 – 1 c) 5x3 – 75x d) x2 + 2x – 4y2 + 1 đ) x3 – 4x2 + 4x e) x2 – 2xy + y2 – 3x + 3y f) x2 – 2x g) x2 – 4 h) x3 – 4x i) x2 + 2xy – 4 + y2 j) 2x2 - 2 k) x2 + y2 – z2 + 2xy l) x2 + 2x - 4y2 + 1 m) xy2 + 3x2y n) x2 – 2xy + y2 – 3x + 3y o) x4 + 4 (thêm-bớt 4x2) p) x3 - 8 q) x3 + 5x2 + 4x BT 2: Cho biểu thức A = Tìm tập xác định của A. Rút gọn A rồi tính giá trị của A khi x = - . Tìm x để A = x. BT3: Cho biểu thức A = Tìm x để A có nghĩa. Rút gọn A. Tính A khi = 4. BT4: Cho P = Rút gọn P. Tìm x để P < 0. Tìm x để đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giát trị nhỏ nhất đó? BT5: Cho phân thức A = Với điều kiện nào của x thì giá trị phân thức xác định. Rút gọn phân thức A. Tìm giá trị của x để giá trị phân thức A bằng . BT6: Cho biểu thức A= Với điều kiện nào của x thì giá trị phân thức được xác định. Rút gọn A. Tìm GTNN của A. BT7: Cho biểu thức A = Rút gọn biểu thức A. Tính giá trị của A khi x = 3 và x = -1. Tìm x Z để giá trị biểu thức A . nguyên. Tìm GTNN của biểu thức . BT 8: Thực hiện phép tính: (2x + 1)3 – (2x – 1)3 ; ; ; ; (x – 3)(x2 – 2x + 4); ; ; BT9: Cho đa thức M(x) = 2x2 + 6x3 + 2x4 – 2x3 – x4 + 1 – 4x3 Sắp xếp các hạng tử của đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến. Tính M(1) và M(-1). Chứng tỏ rằng đa thức trên không có nghiệm. BT10: Số học sinh tiên tiến của ba lớp 8A, 8B, 8C tương ứng tỷ lệ với 7; 6; 4. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh tiên tiến, biết rằng lớp 8A có HS tiên tiến nhiều hơn 8C là 9 em. BT11: Tìm giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là môn số nguyên: P = . BT12: CMR với mội số tự nhiên n 2 thì A = + ++ .+. (Ta có = < = 2 . Do đó A < 2. = 2< .). BT13: Tìm dư trong phép chia đa thức f(x) = x9 + x5 +1 cho đa thức g(x) = x3 – x. (HD giải: Gọi Q(x) và R(x) lần lượt là thương và dư của phép chia f(x) cho g(x). Do g(x) có bậc 3 nên R(x) có dạng ax2 + bx + c. Khi đó, ta có: f(x) = Q(x) .(x3 – x) + ax2 + bx + c đúng với mọi x. Xét x = 0 ta có c = 1. Xét x = 1 ta có a + b = 2 (1) Xét x = -1 ta có a – b = -2 (2) Từ (1) và (2) ta có a = 0 và b = 2. Vậy R(x) = 2x + 1.). BT 14: Chứng minh rằng: x3 – x chia hết cho 6 với mọi số nguyên x. Với mọi số nguyên x, y,z. Nếu x + y + z chia hết cho 6 thì x3 + y3 + z3 chia hết cho 6. (HD giải: a) Ta có x3 – x = x(x – 1) (x + 1) luôn chia hết cho 2 và 3, mà (2, 3) = 1 nên x3 – x chia hết cho 2.3 hay x3 – x chia hết cho 6 với mọi số nguyên x. Ta có (x3 + y3 + z3) – (x + y + z) = (x3 – x) + (y3 – y) + (z3 – z) chia hết cho 6 với mọi số nguyên x, y, z ( theo câu a). Mà x + y + z chia hết cho 6 nên x3 + y3 + z3 chia hết cho 6 với mọi số nguyên x, y, z.). Hình học: I/ Lý thuyết: Tứ giác: AB//CD,AD//BC A = 900 * Cần xem kỹ các nhận xét, định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết các loại tứ giác đã học. Đặc biệt cần đọc kỹ đề bài, vẽ hình chính xác và trình bày logic. 2. Đa giác: - Khái niệm diện tích đa giác, tính chất của diện tích đa giác. Cách tính diện tích của một số đa giác: hình chữ nhật, hình vuông, tam giác vuông, tam giác, hình thang. II/ Một số bài tập: BT1: Cho ABC và H là trực tâm của nó. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc với AC tại C cắt nhau tại D. Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành. Nếu ABC vuông tại A thì tứ giác BDCH là hình gì? Vì sao? Có nhận xét gì về quan hệ giữa các góc A và góc D của tứ giác ABCD? BT2: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnhAB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành. Với giả thiết AC BD chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. Chứng minh diện tích tứ giác MNPQ bằng nửa diện tích tứ giác ABCD. BT3: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Đường trung bình MN của hình thang (M AD, N BC) cắt các đường chéo AC, DB theo thứ tự ở E và F. Chứng minh ME = FN. Cho AB = 8 cm, CD = 6 cm. Tính EF. BT4: Cho ABC, đường cao Ah. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm cuarAB, AC, BC. Đoạn thẳng nối những điểm nào trong hình vé là đường trung bình của tam giác. Tứ giác BMNP là hình gì? Vì sao? Chứng minh tứ giác MNPH là hình thang cân. Cho biết AC = 12cm, = 450. Tính diện tích của tứ giác MNPH. BT5: Cho ABC vuông tại A. D là điểm nằm giẵ B và C. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, chúng cắt các cạnh AC và AB thứ tự ở E và F. Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao? Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình vuông. Gọi AH là đường cao của tam giác ABC. Chứng mình FHE vuông tại H. Cho biết BC = 10cm, AC = 8 cm. Tính SABH =? BT6: Cho ABC, có hai trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BG, CG. Chứng minh tứ giác ENMF là hình bình hành. Chứng minh MN + EF = BC. Nếu ABC cân tại A thì tứ giác ENMF là hình gì? Vì sao? Chứng minh diện tích BGC bằng diện tích MGN. BT7: Cho góc xOy nhọn, trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia By lấy điểm D sao cho AC = BD. Chứng minh AD = BC. Gọi E là giao điểm của AD và BC, chứng minh EAC = EBD. Tia phân giác góc xCD cắt tia phân giác góc yDC tại I, chứng minh I nằm trên tia phân giác của góc xOy. BT8: Cho ABC có các trung tuyến là BD, CE, trọng tâm G. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BG và CG. Tứ giác MNDE là hình gì? Vì sao? ABC có thêm điều kiện gì để tứ giác MNDE là hình chữ nhật? Cho diện tích ABC là 12 cm2 tính diện tích tứ giác MNDE. BT9: Cho ABC và H là trực tâm của nó. Các đường vuông góc với AB tại B, vuông góc với AC tại C cắt nhau tại D. CMR tứ giác BDCH là hình bình hành. Nếu ABC vuông tại A thì tứ giác BDCH là hình gì? Vì sao? Có nhận xét gì về quan hệ giữa góc A và góc D của tứ giác ABDC. BT10: Cho MNP vuông tại M, đường cao MH. S là điểm nằm giữa N và P. Kẻ SI MP (I MP), kẻ SK MN (K MN). Chứng minh KI = MS. Gọi O là giao điểm của MS và KI. Chứng minh OH = OS và số đo góc KHI bằng 900. Tìm vị trí S để KI nhỏ nhất. BT 11: Cho hình vuông ABCD cạnh AB = a. Trên cạnh DC lấy điểm M, trên tia đối của tia BC lấy điểm N sao cho DM = BN. Chứng minhAM = AN. Gọi O là trung điểm của MN, K là điểm đối xứng với A qua O. Chứng minh tứ giác AMKN là hình vuông. Gọi E là giao điểm của AK và BC. Tính chu vi tam giác CME theo a?