Đề cương ôn tập Toán Lớp 9

TÀI LIỆU ÔN TẬP HỌC KỲ I MÔN TOÁN 9 ĐẠI SỐ CHỦ ĐỀ 1: CĂN THỨC – RÚT GỌN BIỂU THỨC I. CĂN THỨC: Œ Kiến thức cơ bản: 1. Điều kiện tồn tại : Có nghĩa 2. Hằng đẳng thức: 3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương: 4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương: 5. Đưa thừa số ra ngoài căn: 6. Đưa thừa số vào trong căn: 7. Khử căn thức ở mẫu: 8. Trục căn thức ở mẫu:  Bài tập:  Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) ‚ Rút gọn biểu thức 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) ƒ Giải phương trình: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) II. CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN: A.CÁC BƯỚC THỰC HIÊN:  Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu được) ‚Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại. ƒQuy đồng, gồm các bước: + Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất. + Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để được nhân tử phụ tương ứng. + Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung. „Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức. …Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng. †Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên). ‡Rút gọn. B.BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1 Cho biểu thức : A = với ( x >0 và x ≠ 1) 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tính giá trị của biểu thức A tại Bài 2. Cho biểu thức : P = ( Với a 0 ; a 4 ) 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tìm giá trị của a sao cho P = a + 1. Bài 3: Cho biểu thức A = 1/.Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa 2/.Rút gọn biểu thức A 3/.Với giá trị nào của x thì A< -1 Bài 4: Cho biểu thức A = ( Với ) a) Rút gọn A b) Tìm x để A = - 1 Bài 5: Cho biểu thức : B = a; Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức B b; Tính giá trị của B với x =3 c; Tìm giá trị của x để Bài 6: Cho biểu thức : P = a; Tìm TXĐ b; Rút gọn P c; Tìm x để P = 2 Bài 7: Cho biểu thức: Q = ( a; Tìm TXĐ rồi rút gọn Q b; Tìm a để Q dương c; Tính giá trị của Biểu thức biết a = 9- 4 Bài 8: Cho biểu thức: M = a/ Tìm ĐKXĐ của M. b/ Rút gọn M Tìm giá trị của a để M = - 4 CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC NHẤT I. HÀM SỐ: Khái niệm hàm số * Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số. * Hàm số có thể cho bởi công thức hoặc cho bởi bảng. II. HÀM SỐ BẬC NHẤT: Œ Kiến thức cơ bản:  Định nghĩa: Hàm số bậc nhất có dạng: Trong đó a; b là các hệ số Như vậy: Điều kiện để hàm số dạng: là hàm số bậc nhất là: Ví dụ: Cho hàm số: y = (3 – m) x - 2 (1) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) là hàm số bậc nhất. Giải: Hàm số (1) là bậc nhất ‚ Tính chất: + TXĐ: + Đồng biến khi . Nghịch biến khi Ví dụ: Cho hàm số: y = (3 – m) x - 2 (2) Tìm các giá trị của m để hàm số (2): + Đồng biến trên R + Nghịch biến trên R Giải: + Hàm số (1) Đồng biến + Hàm số (1) Nghịch biến ƒ Đồ thị: + Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc nhất là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằngb. cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng . + Từ đặc điểm đó ta có cách vẽ: x 0 -b/a y b 0 Vẽ đường thẳng qua hai điểm: -b/a ( ở trục hoành) và b ( ở trục tung) Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x + 1 Giải: x 0 - 0,5 y 1 0 „ Điều kiện để hai đường thẳng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, : + Cắt nhau: (d1) cắt (d2). */. Để hai đường thẳng cắt nhau trên trục tung thì cân thêm điều kiện . */. Để hai đường thẳng vuông góc với nhau thì : + Song song với nhau: (d1) // (d2). + Trùng nhau: (d1) (d2). Ví dụ:Cho hai hàm số bậc nhất:y = (3–m)x+ 2 (d1) và y=2x–m(d2) a/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số song song với nhau. b/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau c/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Giải: a/ (d1)//(d2) b/ (d1) cắt (d2) c/ (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục tung … Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b là a. + Cách tính góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox là dựa vào tỉ số lượng giác Trường hợp: a > 0 thì góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox là góc nhọn. Trường hợp: a < 0 thì góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox là góc tù () Ví dụ 1: Tính góc tạo bởi đường thẳng y = 2x + 1 với trục Ox Giải: Ta có: Tana=2Þ a~630 Vậy góc tạo bởi đường thẳng y = 2x + 1 với trục Ox là: Ví dụ 2: Tính góc tạo bởi đường thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox. Ta có: Tan(1800-a) =2 Þ 1800-a =630 Þ a=1170 Vậy góc tạo bởi đường thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox là: † CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP: - Dạng1: Xác dịnh các giá trị của các hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai đường thẳng song song; cắt nhau; trựng nhau. Phương pháp: Xem lại các ví dụ ở trên. -Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b Xem lại các ví dụ ở trên. ¤Xác định toạ độ giao điểm của hai đường thẳng (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, Phương pháp: Đặt ax + b = a,x + b, giải phương trình ta tìm được giá trị của x; thay giá trị của x vào (d1) hoặc (d2) ta tính được giá trị của y. Cặp giá trị của x và y là toạ độ giao điểm của hai đường thẳng. ¤Tính chu diện tích của các hình tạo bởi các đường thẳng: Phương pháp: +Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py ta go để tính độ dài các đoạn thẳng không biết trực tiếp được. Rồi tính chu vi tam giác bằng cách cộng các cạnh. + Dựa vào công thức tính diện tích tam giác để tính S -Dạng 3: Tính góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox Xem lại các ví dụ ở trên. -Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị: Phương pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b. Điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị không? Thay giá trị của x1 vào hàm số; tính được y0. Nếu y0 = y1 thì điểm M thuộc đồ thị. Nếu y0y1 thì điểm M không thuộc đồ thị. -Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng: Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b đi qua điểm P (x0; y0) và điểm Q(x1; y1). Phương pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta được phương trình y0 = ax0 + b (1) + Thay x1; y1 vào y = ax + b ta được phương trình y1 = ax1 + b (2) + Giải hệ phương trình ta tìm được giá trị của a và b. + Thay giá trị của a và b vào y = ax + b ta được phương trình đường thẳng cần tìm. -Dạng 6: Chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định hoặc chứng minh đồng quy: Ví dụ: Cho các đường thẳng : (d1) : y = (m2-1) x + m2 -5 ( Với m 1; m -1 ) (d2) : y = x +1 (d3) : y = -x +3 a) C/m rằng khi m thay đổi thì d1 luôn đi qua 1điểm cố định . b) C/m rằng khi d1 //d3 thì d1 vuông góc d2 c) Xác định m để 3 đường thẳng d1 ;d2 ;d3 đồng qui Giải: a) Gọi điểm cố định mà đường thẳng d1 đi qua là A(x0; y0 ) thay vào PT (d1) ta có : y0 = (m2-1 ) x0 +m2 -5 Với mọi m => m2(x0+1) -(x0 +y0 +5) =0 với mọi m ; Điều này chỉ xảy ra khi : x0+ 1 =0 x0+y0+5 = 0 suy ra : x0 =-1 Y0 = - 4 Vậy điểm cố định là A (-1; - 4) b) +Ta tìm giao điểm B của (d2) và (d3) : Ta có pt hoành độ : x+1 = - x +3 => x =1 Thay vào y = x +1 = 1 +1 =2 Vậy B (1;2) Để 3 đường thẳng đồng qui thì (d1) phải đi qua điểm B nên ta thay x =1 ; y = 2 vào pt (d1) ta có: 2 = (m2 -1) .1 + m2 -5 m2 = 4 => m = 2 và m = -2 Vậy với m = 2 hoặc m = - 2 thì 3 đường thẳng trên đồng qui.  Bài tập: Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( 2 + m )x + 1 và (d2): y = ( 1 + 2m)x + 2 1) Tìm m để (d1) và (d2) cắt nhau . 2) Với m = – 1 , vẽ (d1) và (d2) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy rồi tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) bằng phép tính. Bài 2: Cho hàm số bậc nhất y = (2 - a)x + a . Biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(3;1), hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vỡ sao? Bài 3: Cho hàm số bậc nhất y = (1- 3m)x + m + 3 đi qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao? Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – 2 ;(mvà y = (2 - m)x + 4 ;. Tỡm điều kiện của m để hai đường thẳng trên: Song song. Cắt nhau . Bài 5: Với giỏ trị nào của m thì hai đường thẳng y = 2x + 3+m và y = 3x + 5- m cắt nhau tại một điểm trên trục tung .Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với (d’): y = và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 10. Bài 6: Viết pt đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và đi qua điểm A(2;7). Bài 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3). Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y = và (d2): y = a/ Vẽ (d1) và (d2) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy. b/ Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm của (d1) và (d2) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC (đơn vị trên hệ trục tọa độ là cm)? Bài 9: Cho các đường thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m0; (d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9) a; Với giá trị nào của m thì (d1) // (d2) b; Với giá trị nào của m thì (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2 c; C/m rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định A ;(d2) đi qua điểm cố định B . Tính BA ? Bài 10: Cho hàm số : y = ax +b a; Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2) b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc µ tạo bởi đường thẳng trên với trục Ox ? c; Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng trên với đường thẳng y = - 4x +3 ? d; Tìm giá trị của m để đường thẳng trên song song với đường thẳng y = (2m-3)x +2 CHỦ ĐỀ 3: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I. CÁC KHÁI NIỆM: Phương trình bậc nhất hai ẩn: +Dạng: ax + by = c trong đó a; b; c là các hệ số đã biết(hoặc + Một nghiệm của phương trình là cặp số x0; y0 thỏa mãn : ax0 + by0 = c + Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. + Tập nghiệm được biểu diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = c. Nếu thì đường thẳng (d) là đồ thị của hàm số bậc nhất: . ‚ Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: + Dạng: + Nghiệm của hệ là nghiệm chung của hai phương trình + Nếu hai phương trình ấy không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm + Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đường thẳng biểu diễn tập nghiệm: -Phương trình (1) được biểu diễn bởi đường thẳng (d) -Phương trình (2) được biểu diễn bởi đường thẳng (d') *Nếu (d) cắt (d') hệ có nghiệm duy nhất *Nếu (d) song song với (d') thì hệ vô nghiệm *Nếu (d) trùng (d') thì hệ vô số nghiệm. ƒHệ phương trình tương đương: Hai hệ phơng trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm II.PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH: ŒGiải hệ phương trình bằng phương pháp thế: Quy tắc thế: + Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thay vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn 1 ẩn). + Bước 2: Dùng phương trình mới này để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ (phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1). Ví dụ: xét hệ phương trình: + Bước 1: Từ phương trình (1) ta biểu diễn x theo y ( gọi là rút x) ta có: Thay vào phương trình (2) ta được: + Bước 2: Thế phương trình vào phương trình hai của hệ ta có: b) Giải hệ : Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x = 1; y = 0).  Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số: a)Quy tắc cộng đại số: + Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới. + Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia) Lưu ý: Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ. Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ vế theo vế của hệ. Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn nhân với số thích hợp để đưa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).( tạm gọi là quy đồng hệ số) BÀI TẬP: ¤Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.  ‚ ƒ „ … † ‡ ˆ ‰ ¤Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số Œ  +Ž   ‘ ’ “ ” ¤Đặt ẩn phụ rồi giải các hệ phương trình sau  ‚ ƒ CHỦ ĐỀ 4: HÌNH HỌC I. HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC VUÔNG:  Hệ thức giữa cạnh và đường cao: * * * * * * * “Sin đi học Cos không hư Tan đoàn kết, Cot kết đoàn” ‚Hệ thức giữa cạnh và góc: ¤Tỷ số lượng giác: ¤Tính chất của tỷ số lượng giác: 1/ Nếu Thì: 2/Với nhọn thì 0 < sin < 1, 0 < cos < 1 *sin2 + cos2 = 1 ; *tan = ; *cot= ;*tan. cot=1 ¤Hệ thức giữa cạnh và góc: + Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Sin góc đối: + Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Cos góc kề: + Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Tan góc đối: b=ctanB; c=btanC + Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Cot góc kề: b=cCotC ; c=bCotB BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Cho ABC vuông tại A. Biết b = 4 cm, c = 3 cm. Giải tam giỏc ABC Bài 2: Cho ABC vuông tại A . Biết b’ = 7, c’ = 3. Giải tam giác ABC? Bài 3a: Cho ABC vuông tại A . Biết b = 4, b’ = 3.2. Giải tam giác ABC? Bài 3b: Cho ABC vuông tại A . Biết c = 4, b’ = 3.2. Giải tam giác ABC? Bài 4: Cho ABC vuông tại A . Biết AH = 4.8, BC =10. Giải tam giác ABC? Bài 5: Cho ABC vuông tại A . Biết h = 4, c’ = 3. Giải tam giác ABC? Bài 6: Cho ABC vuông tại A. Biết b = 12, a = 20. Giải tam giác ABC? Bài7: Cho ABC vuông tại A . Biết h = 4, c = 5. Giải tam giác ABC? Bài 8: Cho ABC vuông A = 900 . Biết b = 5, Giải tam giác ABC? Bài 9: Cho ABC vuông tại A . Biết a = 15, . Giải tam giác ABC? Bài 10:Cho ABC vuông tại A. Biết . Biết AH = 3, . Giải tam giác ABC? Bài 11: Cho ABC vuông tại A . Biết c’ = 4, . Giải tam giác ABC? Bài 12: Cho ABC vuông tại A, trung tuyến ứng với cạnh huyền m= 5, h = 4. Giải tam giác ABC? Bài13: Cho ABC vuông tại A, trung tuyến ứng với cạnh huyền m= 5, một góc nhọn bằng 470. Giải tam giác ABC? Bài14: Cho vuông tại A. Biết h = 4, Đường phân giác ứng với cạnh huyền g= 5. Giải tam giác ABC? Bài15: Cho vuông tại A Đường phân giác ứng với cạnh huyền g= 5. . Giải tam giác ABC? ‚Đường tròn ¤Su xác dịnh đường tròn: -Tìm đường tròn biết tâm và bán kính -Tìm đường tròn biết bán kính -Tìm đường tròn qua 3 điểm không thẳng hàng ¤Tính chất đối xứng: -Tâm đối xứng -Trục đối xứng ¤Các mối lien hệ: -Quan hệ giữa đường kính và dây -Đường kính vuông góc với dây -Đường kính đi qua trung điểm dây không qua tâm -Quan hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm ¤Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn: -Ba vị trí tương đối -Hệ thức lien hệ giữa d và R ¤Tiếp tuyến của đường tròn: -Định nghĩa tiếp tuyến -Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến -Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ¤Vị trí tương dối đường tròn: -Ba vị trí tương đối -Quan hệ với đường nối tâm BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: ChoDABC(AB=AC)đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tại D.Chứng minh AD là đường kính Tính ? Biết AB = AC = 20cm; BC = 24cm. Tính R=? Bài 2: Cho (O) kẻ tiếp tuyến AB và AC với (O) Chứng minh: OA^ BC Vẽ đường kính CD Chứng minh BD//AO Tính độ dài các cạnh DABC biết OB = 4 cm; OC = 8cm Bài 3: Cho (O:R) AB=2R. CÎ(O) Kẻ tiếp tuyến d với đường tròn tại C. AE ^ d; AF^ d; CH^ AB.Chứng minh: CE=CF AC là phân giác CH2 =AE.BF Bài 4: Cho (O) AB=2R Kẻ tiếp tuyến Ax và Ay Từ MÎ (O) kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt Ax và Ay tại C và D. BC cắt AO tại N. Chứng minh a) = b) MN^ AB c) Bài 5:Cho (O) AB=2Rvà MÎ (O). N đối xứng với A qua M, BN cát (O) tại C,AC cắt BM tại E. Chứng minh NE^ AB F đối xứng với E qua M. Chứng minhFA là tiếp tuyến của (O) FN là tiếp tuyến của (B;BA) BM.BE=BF2 - FN2 Baì 6: Cho nửa đường tròn O có AB=2R. Kẻ tiếp tuyến Ax và By.Qua M trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt Ax và By taị C. và D Chứng minh: CD=AC+BD; AC.BD=R2 OC cắt AM tại E ;OD cắt AM tại F. Chứng minh EF = R Tìm vị trí của M để CD bé nhất Bài 7: Cho (O:R) có AB=2R .Kẻ 2 tiếp Ax và By. Đường thẳng qua O cắt Ax và By tại M và P .Từ O vẽ đường vuông góc với MP cắt By tại N. Chứng minh OM=OP ; DNMP cân. Kẻ OI ^ MN .Chứng minh OI=R; MN là tiếp tuyến (O) AM.BN = R2 Tìm M để SAMNB nhỏ nhất vẽ hình minh họa Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O AB=2R. Từ MÎ (O) kẻ tiếp tuyến xy AD^ xy; BC^ xy MC=MD AD+BC không đổi khi M chuyển động trên nửa đường tròn.