Đề khảo sát học sinh giỏi năm học 2015 - 2016 môn: Toán 6

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC TIỀN HẢI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 -2016 m¤N: TOÁN 6 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (5,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: . b) Tìm số nguyên x, biết: . c) Cho . Tính S và chứng minh S chia hết cho 10. Bài 2: (4,0 điểm) a) Cho hai số tự nhiên có tổng bằng 162 và ƯCLN của chúng là 18. Tìm hai số đó. b) Tìm số nguyên tố p sao cho: p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố. Bài 3: (4,0 điểm) a) Tìm tất cả các chữ số a, b, c thỏa mãn: . b) Chứng minh rằng: Nếu thì . Bài 4: (5,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB = 5cm. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB, trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AN = AM. a) Tính BN khi BM = 2cm. b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, vẽ các tia Ax và Ay sao cho . Tính . c) Xác định vị trí của điểm M trên đoạn thẳng AB để đoạn thẳng BN có độ dài lớn nhất. Bài 5: (2,0 điểm) a) Cho 1000 điểm phân biệt, trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng tạo bởi hai trong 1000 điểm đó? b) Tìm số tự nhiên n biết: , trong đó S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n. Họ và tên thí sinh: ................................................................................................................ Số báo danh: .................................................Phòng.................................................... PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM m¤N: TOÁN 6 (Đáp án và biểu điểm chấm gồm 04 trang) Bài 1 (5,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: b) Tìm số nguyên x, biết:. c) Cho . Tính S và chứng minh S chia hết cho 10. Câu Nội dung Điểm a) 1.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ b) 1.5đ 0.5đ 0.5đ . 0.5đ c) 2.0đ Cho . Tính S và chứng minh S chia hết cho 10. +) Ta có 0.5đ 0.5đ +) Ta có 0.5đ + Suy ra S chia hết cho 10. 0.5đ Bài 2: (4,0 điểm) a) Cho hai số tự nhiên có tổng bằng 162 và ƯCLN của chúng là 18. Tìm hai số đó. b) Tìm số nguyên tố p sao cho: p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố. Câu Nội dung Điểm a) 2.0đ Gọi hai số tự nhiên phải tìm là a và b, giả sử 0.5đ Vì ƯCLN(a, b) = 18 nên tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho: a = 18m; b = 18n và ƯCLN(m, n) = 1, (1) Ta có (2) 0.5đ Từ (1) và (2) suy ra ta chọn các cặp số nguyên tố cùng nhau m, n có tổng bằng 9 và như sau: 0.75đ m n a b 1 8 18 144 2 7 36 126 4 5 72 90 Vậy hai số tự nhiên cần tìm là: 18 và 144; 36 và 126; 72 và 90 0.25đ b) 2.0đ + Với p = 2 p + 2 và p + 4 là các hợp số. p = 2 không thỏa mãn 0.5đ + Với p = 3 p + 2 = 5 là số nguyên tố p + 4 = 7 là số nguyên tố p = 3 thỏa mãn + Với p là số nguyên tố và p > 3 p chỉ có thể có dạng p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 0.5đ * Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 33 và p + 2 > 3 p + 2 là hợp số (trái với đề bài) * Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 63 và p + 4 > 3 p + 4 là hợp số (trái với đề bài) 0.5đ Vậy p = 3 thì p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố. 0.5đ Bài 3 (4,0 điểm) a) Tìm tất cả các chữ số a, b, c thỏa mãn: b) Chứng minh rằng: Nếu thì Câu Nội dung Điểm a) 2.0đ Điều kiện Vì 0.5đ 0.5đ 0.5đ Do hoặc (vì ) Với c = 1 suy ra a = 8 0.5đ Với c = 2 suy ra a = 9 Vậy a = 9, b = 9, c = 2 hoặc a = 8, b = 9, c = 1 b) 2.0đ Ta có: 0.5đ = 0.5đ Do và theo bài ra 0.5đ Suy ra: 0.5đ Bài 4 (5,0 điểm): Cho đoạn thẳng AB = 5cm. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB, trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AN = AM. a) Tính BN khi BM = 2cm. b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, vẽ các tia Ax và Ay sao cho . Tính . c) Xác định vị trí của điểm M trên đoạn thẳng AB để đoạn thẳng BN có độ dài lớn nhất. Câu Nội dung Điểm Vẽ hình 0.5đ a) 1.0đ Vì M thuộc AB nên AM + MB = AB 0.5đ AM + 2 = 5 AM = 3 cm Có AN = AM AN = 3 cm Do N thuộc tia đối của tia AB nên điểm A nằm giữa N và B 0.5đ BN = AB + AN = 5 + 3 = 8 cm b) 2.0đ + Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia AB có: Tia Ax nằm giữa hai tia AB và Ay nên ta có: 0.5đ hay 0.5đ + Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ AB, ta có và là hai góc kề bù . 0.5đ hay 0.5đ c) 1.5đ Vì BN = AB + AN = 5 + AN Suy ra BN có độ dài lớn nhất khi AN có độ dài lớn nhất 0.5đ Mà AN = AM BN có độ dài lớn nhất khi AM có độ dài lớn nhất 0.5đ Có AM AB AM lớn nhất khi AM = AB khi đó điểm M trùng với điểm B. 0.5đ Vậy khi điểm M trùng với điểm B thì BN có độ dài lớn nhất. Bài 5 (2,0 điểm): a) Cho 1000 điểm phân biệt, trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng tạo bởi hai trong 1000 điểm đó? b) Tìm số tự nhiên n biết: , trong đó S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n. Câu Nội dung Điểm a) 1.0đ Số đường thẳng tạo bởi 1000 điểm phân biệt là: đường thẳng 0.5đ Số đường thẳn tạo bởi 3 điểm không thẳng hàng là: đường thẳng 0.5đ Theo bài ra vì có 3 điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi là: 3 – 1 = 2 đường thẳng. Vậy số đường thẳng tạo thành là: ( đường thẳng) b) 1.0đ Nếu n là số ít hơn 4 chữ số suy ra và (không thỏa mãn) Vì n không có 5 chữ số Vậy n có 4 chữ số. Suy ra S(n) Vì nên hoặc +) Với (1) Vì 11a = 106 – 2b 106 – 2.9 = 88 và , thay a = 8 vào (1) được b = 9 +) Tương tự suy ra c = 0 và d = 7 Vậy số cần tìm là 1989 hoặc 2007. 1.0đ *) Mọi cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm. *) Tổ giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án và thống nhất. *) Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn.