Đề khảo sát học sinh giỏi tỉnh Kiên Giang môn Toán 9 (Kèm đáp án)

ĐỀ KS HỌC SINH GIỎI KIEN GIANG MÔN TOÁN 9 NĂM HỌC 2011-2012 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1 (4 điểm): a)Cho a; b; c là các số dương thoả mãn: a + b + c + = 4 Tính Q = - b) Giải phương trình Bài 2 (4 điểm): a) Cho ba số a, b, c dương thỏa mãn Chứng minh rằng : abc < b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Bài 3 (4 điểm): a) Chứng minh nếu với thì b) Giải phương trình: Bài 4 (2 điểm): Đội A và đội B thi đấu cờ với nhau. Mỗi đấu thủ của đội A phải đấu một ván cờ với mỗi đấu thủ của đội B. Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng bình phương số đấu thủ của đội A cộng với hai lần số đấu thủ của đội B. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu đấu thủ biết rằng số đấu thủ của đội A không ít hơn 5 người? Bài 5 (6 điểm): Cho hình vuông ABCD cạnh a và điểm N trên cạnh AB. Gọi E là giao điểm của CN và DA. Kẻ tia Cx vuông góc với CE cắt AB tại F, M là trung điểm của đoạn thẳng EF. 1. Chứng minh rằng: a) CE = CF b) c) Khi điểm N di chuyển trên cạnh AB ( N không trùng với A và B) thì M chuyển động trên một đường thẳng cố định. 2. Đặt BN = x a) Tính diện tích tứ giác ACFE theo a và x. b) Xác định vị trí của điểm N trên cạnh AB sao cho diện tích tứ giác ACFE gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD. ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 9 NĂM HỌC 2011-2012 Bài 1 (4 điểm) Xét = Từ giả thiết a + b + c + = 4 =>16- 4b - 4c = 4a + 4 Do đó = = == = 2a + Tương tự = 2b + ; = 2c + Vậy Q = 2(a + b + c - ) = 8 Bài 2: (4 điểm) a) Từ (0,5 điểm) Do a, b, c dương, áp dụng BĐT Cô-si ta có: (0,25 điểm) Đặt = t > 0 Þ abc = (*) (do > 0, "t > 0) (0,75 điểm) b) Với điều kiện ta có: M = (0,25 điểm) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm 1 và x - 1, ta có: (vì ) (0,25 điểm) Chứng minh tương tự ta có: (vì ) (0,25 điểm) Þ M = (0,25 điểm) Vậy Max M = x = 2, y = 8 (0,5 điểm) Bài 3 (4 điểm) a) Với . Từ gt ta có: (0,25 điểm) (vì ) (0,75 điểm) (vì ) (0,25 điểm) (0,25 điểm) b) (2) Điều kiện xác định: (0,25 điểm) (2) (0,25 điểm) (loại) hoặc (TMĐK) (0,75 điểm) Vậy phương trình đã cho có một nghiệm (0,25 điểm) Bài 4 (2 điểm) Gọi số đấu thủ của đội A và đội B lần lượt là x và y (x, y ; x ≥ 5) (0,5 điểm) Tổng số ván cờ đã đấu là xy (ván cờ) Theo đề bài ta có phương trình: xy = x2 + 2y (0,75 điểm) Û y(x-2) = x2 Û y = (0,75 điểm) Để x, y nguyên dương thì 4 mà x – 2 > 3 (do x > 5) nên x – 2 = 4 Þ x = 6 Khi đó y (TMĐK) (0,75 điểm) Vậy đội A có 6 người, đội B có 9 người. (0,25 điểm) Bài 5 (6 điểm) Vẽ hình đúng đến phần 1 (0,5 điểm) 1.a) (1 điểm) b) cân tại C Þ CM là phân giác Mà (1 điểm) c) DAEF vuông tại A có AM là trung tuyến DCEF vuông tại C có CM là trung tuyến M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC hay M thuộc BD cố định. (1 điểm) 2.a) Có BN = x Þ AN = a – x (0,25 điểm) SACFE = SACE + SCEF = (0,25 điểm) Xét DADC có AE//BC (Hệ quả định lí Ta-lét) (0,25 điểm) DEDC có (0,25 điểm) Þ SACFE = (0,5 điểm) b) SACFE = 3.SABCD (0,25 điểm) Do x > 0; a > 0 Þ 3x + a > 0 N là trung điểm của cạnh AB (0,5 điểm) Vậy để àACFE có diện tích gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD thì điểm N là trung điểm cạnh AB. (0,25 điểm)