Đề tài Các định lý tách tập lồi

Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008 284 CÁC ĐỊNH LÝ TÁCH TẬP LỒI THE SEPARATION THEOREM OF CONVEX SETS SVTH : TRẦN THỊ TỐ NHƯ. Lớp: 05TT, Trường Đại Học Sư Phạm. GVHD : THS.NGUYỄN HOÀNG THÀNH. Khoa Toán, Trường Đại Học Sư Phạm. TÓM TẮT Mục tiêu của đề tài là trình bày các định lý tách tập lồi. Các định lý này có nhiều ứng dụng trong quy hoạch toán học. ABSTRACT The aim of this topic is to introduce separation theorem of convex sets. This theorem has many applications in mathematical programming. 1. Mở đầu. Khái niệm tập lồi trong không gian vectơ là sự khái quát khái niệm hình lồi trong hình học sơ cấp. Nó giữ vai trò quan trọng trong nhiều vấn đề giải tích hàm. Đặc biệt, lý thuyết các hàm và tập lồi ( gọi là giải tích lồi) có nhiều ứng dụng trong lý thuyết các bài toán cực trị, quy hoạch toán học, cũng như trong nhiếu vấn đề kinh tế, kỹ thuật. Mục tiêu của đề tài là trình bày các định lý tách tập lồi. Các định lý này thường dùng làm nền tảng của lý thuyết tối ưu hiện đại, mà một dạng tương đương của nó trong giải tích hàm là định lý Hanh-Banach về khuếch phiếm hàm tuyến tính. Trước khi nêu ra kết quả chính, ta đưa ra một số khái niệm: Định nghĩa 1. (Tập afin) Trong không gian tuyến tính cho một tập con A khác rỗng. A được gọi là tập afin nếu với mọi x, y thuộc A thì cả đường thẳng qua x, y cũng thuộc A. Tức là: A là tập afin nếu    n , x, y  A, (1- )x+ y A. Định nghĩa 2. (Tập lồi) Trong không gian tuyến tính cho tập con C khác rỗng. C được gọi là tập lồi nếu với mọi a, b thuộc C thì đoạn thẳng chứa a, b đều thuộc C. Tức là: C là tập lồi nếu     CbaCba   11,0,, . Dĩ nhiên mọi tập afin đều là tập lồi. Tính chất 2. 1. Giao của một họ bất kì các tập lồi là một tập lồi. Tính chất 2.2. Trong không gian n cho tập con D và E, khác rỗng. Nếu D,E là tập lồi, a là một điểm ,  là số thực thì các tập sau đây cũng lồi. D+a = {x+a / x  D }, D-E = {x-y/ x  D, y  E}, D+E = {x+y/ x  D, y  E},  D = {  x/ x  D}. Tính chất 2.3. Trong không gian n cho tập con C khác rỗng. Khi đó clC là tập lồi. Định nghĩa 3. (Điểm bọc) Trong không gian n cho tập con C khác rỗng. Điểm a C gọi là điểm bọc nếu với mọi x thuộc C, tồn tại số  >0 sao cho a-  (x-a) cũng thuộc C. Tập các điểm bọc của C, ký hiệu: riC. Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008 285 Khi đó riC khác rỗng và là một tập lồi. Tính chất 2.4. Trong không gian n cho tập lồi C khác rỗng. Nếu a riC , b C thì mọi điểm u trên đoạn [a,b) -( tức là u =  ba   1 với 0<   1 ) đều thuộc riC. Hệ quả 2.4.1. Cho C là tập lồi khác rỗng trong n . Nếu a riC thì x là điểm biên của C khi và chỉ khi x là điểm đầu tiên không thuộc riC trên nửa đường thẳng phát xuất từ a đi qua x. 2. Các kết quả chính. Định nghĩa 4. Trong không gian n cho 2 tập C, D lồi khác rỗng và rời nhau. Cho   , Siêu phẳng xt, ; 0t  tách 2 tập lồi C,D nếu ytxt DyCx ,inf,sup   . Cho   , Siêu phẳng xt, ; 0t  tách hẳn 2 tập C,D nếu ytxt DyCx ,inf,sup   . Bổ đề 1. Trong  n cho một tập lồi đóng C  0 và một điểm a  C. Bao giờ cũng có một điểm duy nhất x0  C sao cho: 0, 00  xxxa ,  x  C . Định lý tách I. Nếu 2 tập lồi C,D không rỗng mà rời nhau thì có một siêu phẳng tách chúng. Chứng minh. Xét C-D :=  DyCxyx  ,  C-D lồi và 0  C-D Thật vậy, giả sử 0  C-D  x-y = 0  x = y  C  D (Vô lý) Đặt E := cl(C-D).  a ri C D   do 0  C-D  Điểm đầu tiên không thuộc  ri C D trên đoạn  0,a là một điểm biên của C –D. Suy ra 0 E hoặc 0 \E riE . *Nếu E0 . Theo bổ đề 1 có: 00: 00  xtEx . Sao cho Exxxt  ,0, 0  Exzt  ,0, .  sup 0, zt .  DyCxyxt  ,,0, . .  ytxtxt Cx ,,sup,   ,  y  D , x  C.  xt,    yt, ,  y  D , x  C. Với  = xt Cx ,sup  .   tách hai tập C, D. *Nếu 0  E\ riE. Lấy một điểm u  riE và dãy a k = k u , k=1,2,…  {a k }   n \E và a k  0 khi k  +  Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008 286 Theo bổ đề 1, ta có : zk  E ; z k  a k 0,  kkk zzza , Ez .  kk za  1 0,  kkk zzza , Ez .  0,    k kk kk zz za za , Ez . Đặt tk = kk kk za za    0,  kk zzt , Ez .  zt, kk zt , , Ez . Do kt =1 và mặt cầu S={ tk   n / kt =1} là compact. Nên có  t 0  S : t k  t 0 với kt =1 . Mà a k  0  z k  0 nên kk zzt ,  zt ,0 .  zt ,0  0, EDCz  .  yxt ,0  0,  x  C, y  D. Tương tự với  = xt Cx ,sup 0  .  Siêu phẳng  tách C,D.  Định lý tách II. Nếu 2 tập C,D lồi đóng C,D không rỗng mà rời nhau và một trong 2 tập ấy compact thì có một siêu phẳng tách hẳn chúng. Chứng minh. Giả sử C : compact. Đặt E = C-D  E đóng. Thật vậy : Giả sử zk =xk – yk , xk  C, y k  D. Do compact  x 0  C : x k  x 0 Mà z k  z 0 và y k = x k – zk  y k = x k – zk  x 0 – z0 Mà D đóng  y 0 = k lim y k  D  z 0 = y 0 – z0  E đóng. 0  E nên theo bổ đề 2 có t  0: zt, < 0,  z  E DyCxyxt  ,,0, . Vậy tồn tại  = xt Cx ,sup  tách hẳn C, D.  Chú ý. Ở định lý này nếu thiếu giả thiết 1 trong 2 tập compact thì định lý không còn đúng nữa. Ví dụ. C= {(x1,x2)   2 /x1x2  1} lồi đóng. D= {(x1,x2)   2 /x2  0} lồi đóng. C  D =  Nhưng C,D không tách hẳn được. Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008 287 Tách hẳn được và không tách hẳn được Định nghĩa 5. Nếu x0  C thì một siêu phẳng tựa 0, xxt  =0 (đi qua x0) sao cho 0, xxt   0,  x  C gọi là một siêu phẳng tựa của C tại x0. Ta cũng nói H = {x/ 0, xxt   0} là một nửa không gian tựa của C tại x0. Khi có một siêu phẳng tựa của C tại x0  C thì x 0 phải là một điểm biên của C. Ngược lại: Định lý. Qua mỗi điểm biên x0 của một tập lồi C có ít nhất một siêu phẳng tựa. Tập NC (x 0 )={t   n Cxxxt  0, 0 } là nón pháp tuyến của C tại xo . 3. Kết luận. Đề tài đã trình bày được các định lý tách của tập lồi. Hướng nghiên cứu sắp tới là tìm hiểu các ứng dụng của các định lý tách. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Hoàng Trí (2005), Bài giảng Giải tích hàm nâng cao, tài liệu Cao học ĐHĐN. [2] Hoàng Tụy(2003), Lí thuyết tối ưu- Bài giảng lớp cao học, Viện toán học Hà Nội. [3] Hoàng Tụy(2003), Hàm thực và giải tích hàm, Viện Toán Học, NXB Đại học quốc gia Hà Nội.