Đề tài Điện động lực học lượng tử

ho năng lƣợng của positron; tất cả các hạt tự do, nhƣ electron và positron, đều mang năng lƣợng dƣơng. Nghiệm năng lƣợng âm phải đƣợc giải thích lại nhƣ các trạng thái phản hạt với năng lƣợng dƣơng. Để biểu diễn các nghiệm này dƣới dạng năng lƣợng và xung lƣợng của positron, chúng ta đảo các dấu của E và p : [cho nghiệm (3) và (4)] Chú ý rằng chúng giống với các nghiệm cũ trong phƣơng trình Dirac; ta chỉ đơn giản là chấp nhận một qui ƣớc khác về dấu cho các tham số, để phù hợp hơn với ý nghĩa vật lí của chúng. Ngƣời ta thƣờng sử dụng kí tự  cho các trạng thái của positron, đƣợc biểu diễn dƣới dạng năng lƣợng và xung lƣợng : Điện động lực học lượng tử 12 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 (với ) Từ đó ta sẽ không đề cập đến u(3) và u(4) nữa; các nghiệm ta sẽ dùng là u(1), u(2) (biểu diễn hai trạng thái spin của một electron với năng lƣợng E và xung lƣợng p) và (1), (2) (biểu diễn hai trạng thái spin của positron với năng lƣợng E và xung lƣợng p). Lƣu ý rằng trong khi u thỏa mãn phƣơng trình Dirac (2.13) trong không gian xung lƣợng dƣới dạng Thì  tuân theo phƣơng trình với dấu của p ngƣợc lại : Một cách ngẫu nhiên, sóng phẳng là các nghiệm đặc biệt của phƣơng trình Dirac. Chúng mô tả các hạt với các năng lƣợng và xung lƣợng đặc trƣng, và trong một thí nghiệm đơn giản chúng là các tham số mà ta có thể đo và điều chỉnh đƣợc. 3. Hiệp biến song tuyến tính Ta đã đề cập đến trong phần 1 rằng các thành phần của một spinor Dirac không biến đổi nhƣ một vectơ bốn chiều khi ta chuyển từ hệ quán tính sang một hệ khác. Vậy chúng chuyển đổi nhƣ thế nào ? Ta sẽ không nói cụ thể ở đây mà chỉ trích dẫn ra kết quả: Nếu ta đến một hệ đang dịch chuyển với tốc độ v theo phƣơng x thì qui tắc biến đổi sẽ là Điện động lực học lượng tử 13 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 với S là ma trận cấp 4  4 với và . Giả sừ ta muốn xây dựng một đại lƣợng vô hƣớng không có một spinor  . Ta thử biểu thức Nhƣng đó lại không phải là một vô hƣớng, ta có thể kiểm tra bằng cách áp dụng qui tắc biến đổi đã có: Thật vậy: Dĩ nhiên, tổng các bình phƣơng của các yếu tố của vectơ bốn chiều là bất biến, ta cần các dấu trừ ― - ‖ cho các thành phần không gian. Với một phép thử-và-lỗi nhỏ ta sẽ khám phá ra rằng trong trƣờng hợp các spinor, ta cần các dấu trừ cho thành phần thứ 3 và thứ 4. Do đó ta sẽ đƣa ra phép hiệp biến vectơ bốn chiều để giữ nguyên các kí hiệu về dấu, bây giờ ta sẽ trình bày hàm liên hiệp: Ta thừa nhận đại lƣợng là bất biến tƣơng đối tính. Với S +  0 S =  0 , và do đó : Ta đã phân biệt đƣợc vô hƣớng và giả vô hƣớng theo các tính chất của chúng theo các phép biến đổi chẳn lẽ, P: (x,y,z)  (-x,-y,-z) . Các giả vô hƣớng thay đổi dấu, còn các vô hƣớng thì không. Vậy là vô hƣớng hay giả vô hƣớng? Trƣớc hết ta cần biết spinor. Dirac biến đổi nhƣ thế nào theo P. Một lần nữa, ta sẽ không thiết lập nó mà chỉ trích dẫn kết quả : Điện động lực học lượng tử 14 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Theo đó Vì thế ( ) là bất biến theo phép biến đổi chẵn- lẽ, nó là một vô hƣớng. Nhƣng ta cũng có thể đồng thời thực hiện một giả vô hƣớng không có  : với Theo phép biến đổi chẵn lẽ [lƣu ý là ( 0 ) 2 = 1].  0 ở ngƣợc phía với  5 nhƣng ta có thể đảo vị trí của chúng bằng cách lƣu ý rằng nó phản giao hoán với 1, 2 và 3 (phƣơng trình 7.15) và tự giao hoán với chính nó (3 0 = - 0 3, 2 0 = - 0 2, 1 0 = - 0 1, 0 0 =0 0) do đó Tƣơng tự,  5 cũng phản giao hoán với các ma trận  khác: Trong bất kì trƣờng hợp nào thì do đó nó là một giả vô hƣớng. Nhƣ vậy, có 16 tích có dạng i*j (lấy một thành phần của * và một thành phần của  ) khi i, j chạy từ 1 đến 4. Mƣời sáu tích này có thể cộng lại với nhau theo những tổ hợp tuyến tính khác nhau để xây dựng nên các đại lƣợng với các tính chất dịch chuyển dễ nhận thấy, nhƣ là : = vô hƣớng (1 thành phần) = giả vô hƣớng (1 thành phần) = vectơ (4 thành phần) = giả vectơ (4 thành phần) = tenxơ phản xứng (6 thành phần) Điện động lực học lượng tử 15 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Với Nó cho ta 16 số hạng, đây là tất cả những gì ta hi vọng có thể làm đƣợc theo cách này. Ta không thể thiết lập một tensor đối xứng song tuyến tính trong * và  , và nếu ta đang tìm một vectơ thì chỉ là một đơn cử (nghĩ theo cách khác đó chính là: 1,  5 ,  ,   5 và   cấu thành một cơ sở của không gian của mọi ma trận cấp 4  4, bất kì một ma trận 4  4 nào đều có thể viết dƣới dạng phụ thuộc tuyến tính của 16 số hạng này. Đặc biệt nếu gặp phải tích của năm ma trận chẳng hạn, thì ta có thể chắc chắn rằng nó có thể đƣợc rút gọn thành tích của không nhiều hơn hai thành phần). Bây giờ ta chú ý đến các kí hiệu ở (7.68). Đặc tính tensor của các hiệp biến song tuyến tính, và thậm chí là tính chất của chúng theo toán tử chẳn lẽ đƣợc chỉ ra dễ dàng : giống nhƣ một vectơ bốn chiều, và nó thực sự là một vectơ bốn chiều. Nhƣng   tự nó không hẳn là một vectơ bốn chiều, nó là một tập hợp của 4 ma trận cố định (1.17), chúng không đổi khi ta dịch chuyển qua một hệ quán tính khác, sự thay đổi là của  . 4. Photon Trong điện động lực cổ điển điện trƣờng và từ trƣờng (E và B) đƣợc thiết lập bởi mật độ điện tích  và mật độ dòng J, đƣợc xác định bởi các phƣơng trình Maxwell : Trong kí hiệu tƣơng đối tính, E và B lập thành một tensor phản xứng bậc hai, ―tensor cƣờng độ trƣờng‖ F ( tức là F01 = Ex, F 12 = - Bz, vv…), trong khi đó  và J cấu thành một vectơ 4 chiều : Hệ các phƣơng trình Maxwell không thuần nhất [(i) và (iv)] bây giờ có thể đƣợc viết gọn lại: Điện động lực học lượng tử 16 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Từ sự phản xứng của tenxơ F (F = - F) , ta thấy rằng J là không phân kì. Hoặc theo kí hiệu vectơ 3 chiều, .J = - / t  ; đây là một phƣơng trình liên tục diễn tả sự bảo toàn của điện tích trong trƣờng. Giống nhƣ với các phƣơng trình Maxwell thuần nhất, (iii) tƣơng đƣơng với cách phát biểu rằng B có thể đƣợc viết dƣới dạng tích hữu hƣớng của thế vectơ A : Khi đó (ii) trở thành cũng tƣơng đƣơng với phát biểu rằng   1/ /E c A t   có thể đƣợc viết nhƣ là một gradient của thế vô hƣớng V : Theo kí hiệu tƣơng đối tính, phƣơng trình (4.3) và (4.5) trở thành : với Dƣới dạng thế vectơ 4 chiều, các phƣơng trình Maxwell không thuần nhất (4.4) cho : Trong điện động lực cổ điển, các trƣờng là các thực thể vật lí, các thế là các công thức toán học hữu ích đơn giản. Do biểu thức của thế năng luôn tự phù hợp với hệ các phƣơng trình Maxwell : với các biểu thức (4.3) và (4.4), (ii) và (iii) luôn đƣợc thỏa mãn, nên V và A ta đã định nghĩa nhƣ trên là có thể hợp lý. Nhƣng ở phƣơng trình (4.8) sự không thích hợp của biểu thức thế năng là ở chỗ V và A không đƣợc xác định một cách đơn nhất. Thực vậy, từ phƣơng trình (4.6) ta thấy rằng các thế mới (với  là hàm bất kì của vị trí và thời gian) cũng không xác định đơn nhất vì A A A A            . Sự thay đổi các thế mà không ảnh hƣởng đến trƣờng đƣợc gọi là phép biến đổi định cỡ. Ta có thể khai thác sự định cỡ tự do này để buộc các điều kiện bổ sung cho thế: Điện động lực học lượng tử 17 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Đó chính là điều kiện định cỡ Lorentz, với điều kiện này phƣơng trình Maxwell (7.80) đƣợc đơn giản hóa hơn nữa: Trong đó đƣợc gọi là toán tử D’Alember. Tuy nhiên, điều kiện Lorentz không xác định đơn nhất A. Các phép biến đổi định cỡ khác có khả năng hơn, nó không làm nhiễu loạn phƣơng trình (4.10) và chỉ ra rằng hàm định cỡ  thỏa mãn phƣơng trình sóng: Nhƣng nó không chỉ rõ cách để loại bỏ phần không rõ ràng còn lại trong A  , nên ta có thể hoặc là (1) chấp nhận sự bất định, nghĩa là chấp nhận một số bậc tự do không rõ ràng, hoặc (2) buộc một điều kiện bổ sung, nó phá vỡ tính hiệp biến Lorentz của lý thuyết này. Cả hai phƣơng pháp này đều đƣợc sử dụng trong việc hình thành điện động lực học lƣợng tử mà ta sẽ tiếp tục nghiên cứu. Trong không gian tự do, nơi mà J = 0 , ta chọn Điều kiện định cỡ Lorentz lúc này là Cách chọn này (phép định cỡ n Coulomb) là khá đơn giản, nhƣng bằng cách chọn một thành phần (A0) với cho phƣơng pháp đặc biệt ta bị giới hạn ở một hệ quán tính cụ thể (hoặc nó buộc ta thực hiện một phép biến đổi chuẩn trong trong mối tƣơng quan với mọi phép biến đổi Lorentz duy trì điều kiện chuẩn Coulomb). Trong điện động lực lƣợng tử A trở thành hàm sóng của photon. Photon tự do thỏa mãn phƣơng trình (4.11) với J  = 0 ta thấy rõ đó cũng chính là phƣơng trình Klein – Gordon cho hạt không khối lƣợng. Nhƣ trƣờng hợp phƣơng trình Dirac, ta tìm các nghiệm sóng phẳng với xung lƣợng p = (E/c,p): trong đó  là véctơ phân cực – đặc trƣng cho spin của photon – và a là thừa số chuẩn hóa. Thay biểu thức (7.88) vào phƣơng trình (7.87), ta thu đƣợc điều kiện trên p  : do đó đó phải là hạt không khối lƣợng. Thêm vào đó,  có bốn thành phần, nhƣng chúng không hoàn toàn độc lập. Điều kiện Lorentz (4.10) đòi hỏi rằng Điện động lực học lượng tử 18 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Hơn nữa, theo phép định cỡ Coulomb ta có: tức là véctơ phân cực ba chiều thẳng góc với phƣơng lan truyền, ta nói một photon tự do bị phân cực ngang. Vì thế phép định cỡ Coulomb còn đƣợc biết nhƣ là phép đĩnh cỡ ngang. Nhƣ vậy, có hai véctơ ba chiều độc lập tuyến tính vuông góc với p; ví dụ, nếu p hƣớng theo trục z thì ta có thể chọn Do đó thay vì phải có bốn nghiệm độc lập với mỗi xung lƣợng đã cho(quá nhiều đối với hạt có spin bằng 1), thì ta chỉ còn lại hai. Nhƣ vây, liệu có phải photon có ba trạng thái spin hay không ? Câu trả lời là không : các hạt có khối lƣợng với spin s thì có 2s + 1 cách định hƣớng spin khác nhau, nhƣng một hạt không khối lƣợng thì chỉ có hai cách, không tính spin của nó ( ngoại trừ s = 0 thì chỉ có một cách). Dọc theo phƣơng dịch chuyển chúng chỉ có thể có ms= + s hoặc ms= - s , nói cách khác, độ xoắn của nó chỉ có thể là + 1 hoặc -1. 5. Các qui tắc Feynman cho Điện động lực lượng tử Trong phần 2 ta đã tìm thấy rằng các electron và positron tự do có xung lƣợng p = (E/c,p) với năng lƣợng E = (m2c4 + p2c2)1/2 đƣợc mô tả bởi hàm sóng với s =1,2 cho hai trạng thái spin. Các spinor u (s) và (s) thỏa mãn các phƣơng trình Dirac trong không gian xung lƣợng : và các liên hiệp của chúng, thỏa mãn : Chúng trực giao chuẩn hóa và đủ, theo nghĩa là Điện động lực học lượng tử 19 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Một tập tƣờng minh thông thƣờng (u(1),u(2),u(3),u(4) ) đƣợc đƣa ra trong các phƣơng trình (2.24) và (4.28). Thông thƣờng, ta sẽ tính trung bình các spin của electron và positron, và trong trƣờng hợp đó, vấn đề không còn là spin hƣớng lên hay hƣớng xuống nữa; những gì ta thật sự cần là tính đủ của chúng. Với một số bài tập trong đó spin đã đƣợc xác định thì ta phải dùng các spinor thích hợp cho trƣờng hợp này. Trong khi, một photon tự do có xung lƣợng p = (E/c,p) với năng lƣợng E = pc đƣợc mô tả bởi hàm sóng trong đó s = 1,2 cho hai trạng thái của spin (hoặc sự phân cực) của photon. Véctơ phân cực  s  thỏa mãn điều kiện Lorentz trong không gian xung lƣợng : Chúng trực giao, theo nghĩa là và chuẩn hóa Theo phép định cỡ Coulomb và véctơ phân cực ba chiều tuân theo hệ thức đủ Một cặp tƣờng minh thông thƣờng ( (1), (2) ) đƣợc đƣa ra ở biểu thức (4.20). Để tính biên độ M liên hệ với sơ đồ Feynman cụ thể, ta tiến hành nhƣ sau : 1. Kí hiệu : gán cho các xung lƣợng bốn chiều đi vào và đi ra là p1, p2, …, pn, các spin tƣơng ứng là s1, s2,…, sn; các nội xung lƣợng bốn chiều là q1, q2,…, qn . Đặt các dấu mũi tên cho các tuyến nhƣ sau : mũi tên ở các ngoại tuyến Fermion chỉ ra nó là một electron hay một positron; các mũi tên ở các nội tuyến Fermion đƣợc gán sao cho ―hƣớng của dòng‖ qua sơ đồ đƣợc bảo toàn (tức là mọi đỉnh phải có một mũi tên đi vào và một mũi tên đi ra ). Các mũi tên ở các ngoại tuyến photon hƣớng ra phía trƣớc, với các nội tuyến photon thì sự lựa chọn là tùy ý ( xem hình 1). Điện động lực học lượng tử 20 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Hình 1 Một sơ đồ Điện động lực lƣợng tử điển hình, với các ngoại tuyến đã đặt tên (các nội tuyến không đƣợc chỉ ra ở đây.) 2. Các ngoại tuyến : Các ngoại tuyến đóng góp các thừa số nhƣ sau: Đến Các electron Đi Đến Các Positron Đi Đến Các Photon Đi 3. Các thừa số đỉnh : Mỗi đỉnh đóng góp vào một thừa số Hằng số ghép cặp không thứ nguyên ge liên hệ với điện tích của positron : 4. Hàm truyền : Mỗi nội tuyến đóng góp một thừa số nhƣ sau: Điện động lực học lượng tử 21 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Các electron và positron : Các photon : 5. Sự bảo toàn năng lượng và xung lượng : Với mỗi đỉnh, viết một hàm delta dƣới dạng : với k1, k2, k3 là các xung lƣợng bốn chiều đi vào các đỉnh (nếu các mũi tên hƣớng ra ngoài thì k sẽ là xung lƣợng bốn chiều của các tuyến đó nhƣng mang dấu trừ, ngoại trừ các positron bên ngoài). Thừa số này buộc phải tuân theo sự bảo toàn của năng lƣợng và xung lƣợng tại đỉnh. 6. Tích phân theo các nội xung lượng: Với mỗi nội xung lƣợng q, viết một thừa số: và lấy tích phân. 7. Khử hàm Delta : Kết quả sẽ chứa thừa số tƣơng ứng với sự bảo toàn năng – xung lƣợng toàn cục. Khử số hạng này thì những gì còn lại là – iM. Nhƣ trƣớc đây, quy trình thực hiện là viết ra tất cả sơ đồ đóng góp vào quá trình đang khảo sát (đến bậc mà ta mong muốn), tính biên độ (M ) cho mỗi sơ đồ, và cộng chúng lại thành biên độ toàn phần, sau đó chèn biên độ này vào công thức thích hợp của tiết diện va chạm hoặc thời gian sống, nếu có thể. Đây chỉ là một thủ thuật mới : sự phản xứng hóa của các hàm sóng fermion đòi hỏi ta phải chèn thêm dấu trừ trong biên độ liên kết mà chỉ khác nhau khi ta hoán đổi các ngoại fermion giống nhau.Vấn đề không phải là ta gắn dấu trừ vào sơ đồ nào vì dù sao sau đó tổng cũng sẽ đƣợc bình phƣơng; nhƣng lại có một dấu trừ tương đối giữa chúng. 8. Sự phản xứng : Tính đến dấu trừ giữa các sơ đồ mà chỉ khác nhau khi hoán đổi hai electron (hay positron) vào (hoặc ra), hoặc của một electron vào với một electron ra (hoặc ngƣợc lại) Việc điều khiển các vòng lặp fermion sẽ đƣợc thảo luận ở phần cuối chƣơng. Điện động lực học lượng tử 22 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 6. Ví dụ Bây giờ ta đang ở trong hoàn cảnh tái thiết lập nhiều phép tính cổ điển trong điện động lực lƣợng tử. Để không đi lạc vào chi tiết, ta bắt đầu với một danh mục các quá trình quan trọng nhất : BẢNG 1. DANH MỤC CÁC QUÁ TRÌNH CƠ BẢN CỦA ĐIỆN ĐỘNG LỰC LƢỢNG TỬ Quá trình bậc hai Đàn hồi Tán xạ electron – muon ( e +   e +  ) (Tán xạ Mott (M >> m) tán xạ Rutherford (v << c)) Tán xạ electron – electron (e- + e-  e- + e-) (Tán xạ Møller) Tán xạ electron – positron( e- + e+  e- + e+ ) (Tán xạ Bhabha) Phi đàn hồi Hủy cặp (e- + e+   +  ) Sinh cặp (  +   e- + e+ ) Tán xạ Compton (  + e -   + e - ) Điện động lực học lượng tử 23 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Quá trình bậc ba quan trọng nhất : Mômen từ dị thƣờng của electron Hình 2 Tán xạ electron – muon Trƣờng hợp đơn giản nhất là tán xạ electron – muon, ở đây chỉ có một sơ đồ đóng góp vào bậc hai. Ví dụ 7.1 Tán xạ electron – muon Áp dụng các quy tắc Feynman, ta tiến hành dịch lùi theo mỗi tuyến fermion (hình 2): Lƣu ý rằng các chỉ số không – thời gian trong hàm truyền photon phù hợp với các chỉ số của các thừa số đỉnh tại những điểm kết thúc khác nhau của tuyến photon. Lấy tích phân theo q và khai căn hàm delta, ta đƣợc : Điện động lực học lượng tử 24 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Mặc dù xuất hiện sự phức tạp nhƣng với bốn spinor và tám ma trận  thì đây vẫn chỉ là một con số, ta có thể tính toán một khi các spin đƣợc xác định rõ. Ví dụ 7.2 Tán xạ electron – muon Trong trƣờng hợp này có một sơ đồ thứ hai , trong đó electron thoát ra với xung lƣợng p3 và spin s3 đến từ các electron có xung lƣợng p2 và spin s2 thay vì từ các electron p1, s1 (Hình 3). Ta thu đƣợc biên độ này từ biểu thức (5.8) một cách đơn giản bằng cách thay p3, s3  p4, s4 . Theo qui tắc 8, hai sơ đồ đều bị trừ đi, do đó biên độ tổng hợp là Hình 3 Biểu đồ ―xoắn‖ cho tán xạ electron-electron Ví dụ 7.3 Tán xạ electron – positron Một lần nữa, lại có hai sơ đồ. Sơ đồ thứ nhất tƣơng tự với sơ đồ electron – muon (hình 4). Lƣu ý rằng quá trình giật lùi dọc theo đƣờng phản hạt giống nhƣ quá trình đi tới tại cùng thời điểm, thứ tự luôn là hàm spinor liên hiệp / ma trận gamma / hàm spinor. Do đó biên độ cho biểu đồ này là Sơ đồ còn lại biểu thị sự hủy ảo của electron và positron, sau đó là sự sinh cặp (hình 5) : Điện động lực học lượng tử 25 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Biên độ cho sơ đồ này là Hình 5 Xây dựng biểu đồ thứ hai với tán xạ electron - positron Hình 4 Tán xạ elctron – positron Bây giờ ta sẽ cộng thêm chúng vào, hay trừ đi ? Hoán đổi positron vào và electron ra trong sơ đồ thứ hai (hình 5) và sau đó vẽ lại nó theo một cấu hình tùy biến hơn ta lại đƣợc biểu đồ đầu tiên ( hình 4). Theo qui tắc 8, ta cần một dấu trừ : Điện động lực học lượng tử 26 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Ví dụ 7.4 Tán xạ Compton Xét một ví dụ liên quan đến hàm truyền electron và sự phân cực photon, trong trƣờng hợp tán xạ Compton,  + e   +e. Một lần nữa lại có hai sơ đồ, nhƣng chúng không khác khi hoán đổi các fermion, và biên độ đƣợc cộng thêm vào. Sơ đồ đầu tiên (hình 6) cho ta Lƣu ý rằng chỉ số không – thời gian trong mỗi véctơ phân cực photon phù hợp với chỉ số của ma trận  tại các đỉnh nơi photon đƣợc sinh ra hay bị hấp thụ. Cũng cần lƣu ý hàm truyền electron phù hợp thế nào khi ta lùi theo tuyến fermion. Ở đây ta đƣa ra một dạng viết tắt tiện lợi là ―a sổ‖ [dấu / là dấu sổ hoặc xuyệt trái]. Hình 7.6 Tán xạ Compton Rõ ràng biên độ ứng với sơ đồ : Cùng lúc đó, sơ đồ thứ hai (hình 7.7) cho ta Và biên độ tổng hợp là M = M1 + M2 Điện động lực học lượng tử 27 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 7. Thủ thuật Casimir và Định lý vết Trong một số thí nghiệm, các spin electron (hay positron) đến và đi đƣợc xác định rõ, và sự phân cực photon đã đƣợc đƣa ra. Do đó, việc tiếp theo ta cần làm là chèn các spinor thích hợp và các véctơ phân cực vào biểu thức M, và tính M2, đại lƣợng ta thật sự cần để xác định tiết diện va chạm và thời gian sống. Tuy nhiên, thƣờng thì ta không chú ý đến spin. Một thí nghiệm điển hình bắt đầu với một chùm hạt có spin định hƣớng ngẫu nhiên, và sau đó đơn giản là đếm số hạt tán xạ theo một hƣớng đã chọn. Trong trƣờng hợp này tiết diện va chạm phù hợp là trung bình của các cấu hình spin ban đầu i, và tổng các cấu hình spin sau cùng f. Về nguyên tắc, ta có thể tính M( if )2 cho mọi tổ hợp khả dĩ và sau đó tính tổng và trung bình:  trung bình tính trên các spin ban đầu, tổng lấy trên các spin sau cùng  Hình 7 Sơ đồ thứ hai cho tán xạ Compton Trong thực tế, sẽ dễ hơn để tính 2 M một cách trực tiếp mà không xét đến các biên độ riêng lẻ. Ví dụ nhƣ biên độ tán xạ electron – muon (7.104). Bình phƣơng hai vế, ta có : (để tránh nhầm lẫn, ta dùng  cho các chỉ số không – thời gian thứ hai). Số hạng thứ nhất và thứ ba (hoặc thứ hai và thứ tƣ) có thể viết dƣới dạng tổng quát: với (a) và (b) đại diện cho các spin và mômen tƣơng ứng, và 1, 2 là hai ma trận 44. Mọi quá trình khác miêu tả ở phần 6, tán xạ Møller, tán xạ Bhabha và tán xạ Compton, cũng nhƣ sự sinh và hủy cặp, đƣa ta đến các biểu thức với cấu trúc tƣơng tự. Để bắt đầu ta lấy liên hiệp phức(cũng là liên hợp Hermit, vì đại lƣợng trong dấu ngoặc là một ―ma trận‖ 11): Điện động lực học lượng tử 28 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Với , và , do đó : với Do đó Bây giờ ta tính tổng trên các hƣớng spin của hạt (b). Sử dụng hệ thức đủ (4.7), ta có: Với Q là kí hiệu tạm thời cho ma trận 44 Tƣơng tự cho hạt (a): Viết ma trận tích một cách rõ ràng (lấy tổng i và j từ 1  4) với Tr biểu thị cho vết của ma trận (tổng các phần tử trên đƣờng chéo) Tóm lại : các spin Biểu thức này có thể không giống một sự đơn giản hóa, nhƣng lƣu ý rằng vế trái không chứa hàm spinor; khi ta tính tổng trên các spin, nó trở về ma trận tích và thu đƣợc vết. Ta gọi biểu thức (7.6) là ― thủ thuật Casimir‖ khi Casimir là ngƣời đầu tiên sử dụng nó. Nếu thay u [ở phƣơng trình (7.6)] bởi , khối lƣợng tƣơng ứng ở vế phải đổi dấu. Điện động lực học lượng tử 29 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Ví dụ 7.5 Trong trƣờng hợp tán xạ electron – muon [biểu thức (6,5)], 2 =  0 và do đó . Áp dụng thủ thuật Casimir hai lần, ta tìm đƣợc: với m là khối lƣợng của electron, M là khối lƣợng của muon. Thừa số 1/4 đã đƣợc tính đến do ta muốn tính trung bình trên các spin ban đầu; vì có hai hạt, mỗi hạt có hai cách định hƣớng spin, trung bình là 1/4 của tổng. Thủ thuật Casimir rút gọn mọi vấn đề về một bài toán là tính vết của một số ma trận tích  phức tạp. Biểu thức số học này đƣợc hỗ trợ bởi một số lý thuyết mà ta đƣa ra dƣới đây. Trƣớc hết ta nên nhắc lại ba điều tổng quát về vết của ma trận: nếu A và B là hai ma trận bất kì, và  là một số bất kì Từ mục 3 ta thấy rằng Tr(ABC) = Tr(CBA) = Tr(BCA), nhƣng trong trƣờng hợp tổng quát chúng không bằng vết của các ma trận theo một thứ tự khác: Tr(ACB)=Tr(BCA)=Tr(CBA). Theo cách đó ta có thể tách các ma trận khỏi một đầu của một tích của chúng và chuyển vòng ra phía trƣớc, nhƣng phải giữ nguyên thứ tự. Nên lƣu ý rằng và nhắc lại hệ thức phản giao hoán cơ bản của các ma trận  (cùng với một qui tắc ứng với các tích ―sổ‖) Từ đây suy ra một dãy các ―định lý thu gọn‖: Và cuối cùng, có một tập các ―định lý vết‖: 10. Vết của một tích của một số lẻ các ma trận  bằng 0. Điện động lực học lượng tử 30 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 vì 5 = i0123 là tích của một số chẵn ma trận , từ qui tắc 10 suy ra Tr(5)=Tr(5)= 0. Khi 5 đƣợc nhân với một số chẵn ma trận , ta tìm đƣợc với -1, nếu  là một phép hoán vị chẵn của 0123,  = +1, nếu  là một phép hoán vị lẻ, 0, nếu hai chỉ số bất kì trùng nhau. Ví dụ 7.6 Tính vết của tán xạ electron – muon [biểu thức (7.13)] Giải: Theo qui tắc 10, số hạng trong móc vuông bằng không. Số hạng cuối có thể đƣợc tính khi dùng qui tắc 12, và qui tắc 13 cho số hạng đầu. Do đó Vết thứ hai (ở biểu thức 7.13) cũng tƣơng tự, với mM, 12, 34 và các chỉ số Hy Lạp ở dƣới. Từ đó Điện động lực học lượng tử 31 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 8. Tiết diện va chạm và thời gian sống Bây giờ ta quay lại với lĩnh vực quen thuộc. Một khi đã tính M2 (hoặc M2), ta đặt nó vào công thức tiết diện va chạm: Trong trƣờng hợp tổng quát: Cho hai vật thể tán xạ trong CM (Center of Mass: hệ quy chiếu khối tâm): Hoặc trong phạm vi phòng thí nghiệm (LF: Laboratry Frame, ngƣợc với hệ quy chiếu khối tâm): Ví dụ 7.7 Tán xạ Mott và tán xạ Rutherford Một electron (khối lƣợng m) tán xạ với một muon có khối lƣợng lớn hơn (M>>m). Giả sử sự bật trở lại của M có thể bỏ qua, tìm tiết diện tán xạ sai phân trong phạm hệ quy chiếu phòng thí nghiệm (M đứng yên). Giải: Tiết diện va chạm đƣợc cho bởi Điện động lực học lượng tử 32 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Do bia đứng yên, ta có (xem Hình 8): với E là năng lƣợng electron tới (và tán xạ), p1 là xung lƣợng tới, p3 là xung lƣợng tán xạ, (chúng có độ lớn bằng nhau p1=p3=p, và góc giữa chúng là : p1.p3 =p 2 .cos). Do đó: Hình 8 Electron tán xạ từ bia Trước Sau Thay vào biểu thức (7.15), ta có: và do đó ( lƣu ý rằng ) Đây chính là công thức Mott. Với một phép xấp xỉ tốt, nó cho ta tiết diện va chạm sai phân đối với tán xạ electron – proton. Nếu electron tới là phi tƣơng đối tính thì p 2 <<(mc) 2 , phƣơng trình (7.11) trở thành công thức Rutherford: Điện động lực học lượng tử 33 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 Còn sự phân rã thì nhƣ thế nào ? Thật ra, trong QED (Quantum ElectroDynamics) thuần túy, nếu một fecmion đơn đi vào thì cũng chính fecmion đó đi ra, một tuyến fecmion không thể kết thúc trong phạm vi một sơ đồ; cũng nhƣ không có một cơ chế nào trong QED cho phép biến đổi một fermion (chẳng hạn một muon) thành một fermion khác (chẳng hạn một electron). Để chắc chắn, phải tồn tại sự phân rã điện từ trƣờng của các hạt đối lập, ví dụ nhƣ 0+; nhƣng thành phần điện từ trong quá trình này không là gì khác ngoài sự hủy cặp quark – phản quark, q + q   + . Đó thực sự là một biến cố tán xạ, mà trong đó sự va chạm của hai hạt xảy ra trong một trạng thái giới hạn. Ví dụ rõ nhất về quá trình này là sự phân rã của Positronium: e+ + e-   + , mà sẽ xét trong ví dụ sau đây. Ta sẽ phân tích trong hệ quy chiếu Positronium đứng yên (hay trong phạm vi hệ quy chiếu CM của cặp electron-positron). Chúng thông thƣờng dịch chuyển khá chậm, thực t