Đề tài Định lí ostrogradsky – gauss trong trường vector và ứng dụng trong việc giải các bài toán vật lí

chiều ( hệ tọa độ Đề - các) đƣờng dòng đƣợc xác đinh theo phƣơng trình sau: Ta thấy đƣờng dòng là một khái niệm động học mà nhờ đó chúng ta thuận tiện hơn trong việc xây dựng cấu trúc tức thời của trƣờng dòng chảy. Đối 14 với dòng chảy không tĩnh đƣờng dòng không trùng với quỹ đạo của phần tử chất lỏng. Còn trong trƣờng hợp dòng chảy tĩnh ( hay dòng dừng) thì đƣờng dòng và quỹ đạo là một, điều này nghĩa là phần tử chuyển động dọc theo đƣờng dòng. Trong không gian chứa đầy chất lỏng chuyển động, ta lấy một đƣờng cong kín giới hạn một diện tích vô cùng nhỏ dS, tất cả các đƣờng dòng đi qua các điểm trên đƣờng cong kín đó tạo thành một mặt có dạng ống gọi là ống dòng. Hình 1.10: Ống dòng Khối lƣợng chất lỏng chuyển động trong không gian của ống dòng đƣợc gọi là dòng nguyên tố. Vì tính chất không giao nhau của những đƣờng dòng nên chất lỏng không thể xuyên qua ống dòng mà đi ra hoặc đi vào dòng nguyên tố. Trong không gian chứa đầy chất lỏng chuyển động, ta lấy một đƣờng cong kín giới hạn bởi một diện tích hữu hạn bao gồm vô số diện tích dS vô cùng nhỏ, tạo nên vô số dòng nguyên tố. Tập hợp những dòng nguyên tố đó gọi là dòng chảy. Môi trƣờng chất lỏng chuyển động có thể coi là môi trƣờng liên tục bao gồm vô số dòng nguyên tố, tức là môi trƣờng đó có thể coi là môi trƣờng liên tục bao gồm vô số dòng nguyên tố, môi trƣờng đó gọi là một dòng chảy. 15 1.4. Thông lƣợng và Divergence của trƣờng vector 1.4.1. Thông lượng của một trường vector Thông lƣợng của một dòng chảy qua một bề mặt là đại lƣợng chỉ lƣợng chảy qua bề mặt vuông góc với hƣớng chảy trong một đơn vị thời gian. Xét một mặt hữu hạn bất kì có diện tích S đƣợc đặt trong một trƣờng vector A liên tục. Chọn hƣớng xác định cho mặt và gọi là hƣớng dƣơng, khi đó hƣớng ngƣợc lại gọi là hƣớng âm. Nếu S là mặt kín thì ta thƣờng quy ƣớc hƣớng dƣơng là hƣớng từ trong ra ngoài. Mặt S đƣợc chọn nhƣ vậy là mặt định hƣớng. Chia S thành những phần có diện tích dS vô cùng nhỏ (gọi là vi phân diện tích) sao cho trƣờng vector A là không đôit trên mỗi phần đó. Gọi n là vector đơn vị trên phƣơng pháp tuyến tại M nằm trong dS. Khi đó đại lƣợng: d AndS AdS   (1.4) đƣợc gọi là thông lƣợng của trƣờng vector A (không đổi) gửi qua vi phân diện tích dS, trong đó dS ndS là vi phân vector diện tích. Hình 1.11: Mặt S và các vector vi phân diện tích dS ndS Từ biểu thức (1.3) ta có thể mở rộng cho tính thông lƣợng của trƣờng vector A gửi qua mặt S bất kì theo công thức: 16 ( ) ( )S S d AdS    (1.5) Dựa vào tính chất vô hƣớng ta thấy chỉ có thành phần vuông góc với bề mặt S của A mới đóng góp vào thông lƣợng (1.5) Nhận xét: +) Thông lƣợng là một đại lƣợng vô hƣớng +) Thông lƣợng phụ thuộc vào hình dạng của S và hƣớng của vector A trên toàn mặt đó. Khi A hƣớng ra ngoài mặt S thì thông lƣợng dƣơng và ngƣợc lại. Chú ý: Nếu ta xét trong thể tích V đƣợc giới hạn bởi mặt S không có nguồn nào thì thông luộng vào sẽ bằng thông lƣợng ra tức là thông lƣợng tổng bị triệt tiêu. Nếu trong V có nguồn dƣơng sẽ dẫn đến 0  , còn nguồn âm thì 0  . 1.4.2. Divergence của trường vector Về mặt kỹ thuật, sự phân kỳ đại diện cho mật độ khối lƣợng của dòng chảy ra ngoài của một trƣờng vectơ từ một khối lƣợng cực nhỏ xung quanh một điểm nhất định. Về mặt vật lý, sự phân kỳ của trƣờng vectơ ba chiều là mức độ mà dòng trƣờng vector hoạt động nhƣ một nguồn tại một điểm nhất định. Đó là một thƣớc đo về "tính đi" của nó - mức độ mà có nhiều số lƣợng thoát ra khỏi một vùng không gian vô hạn hơn là đi vào nó. Nếu sự phân kỳ không đồng hóa tại một số điểm thì có nén hoặc mở rộng tại thời điểm đó. Một cách chặt chẽ hơn, sự phân kỳ của trƣờng vector tại điểm bất kì có thể đƣợc định nghĩa là giới hạn của lƣu lƣợng dòng của trƣờng vector trên ranh giới của một vùng ba chiều cho thể tích khi co lại thành điểm bất kì. 17 Định nghĩa: Xét trong trƣờng vector A một điểm M đƣợc bao quanh bằng một mặt kín nhỏ có diện tích S ứng với thể tích V . Vậy thông lƣợng của trƣờng vector A qua mặt kín S là: ( ) ( ) n S S A dS AdS    (1.6) Khi giảm dần S ( V cũng giảm theo) thì kéo theo  cũng giảm. Lúc ấy tỉ số / V  khi V tiến đến 0 (tức là tất cả các điểm trên S đều tiến về M) sẽ là một số nào đó phụ thuộc vào dáng điệu của vector A ở lân cận nhỏ của điểm M và đặc trƣng cho mức độ “chảy” của trƣờng ra khỏi điểm lân cận này. Ta gọi con số này là divergence (viết tắt là dive) của trƣờng vector A tại điểm M và kí hiệu là div A : ( ) 0 0 lim lim S V V Ad S divA V V           (1.7) Giả sử V là một trƣờng vector. x y zV V i V j V k   và S là mặt cong hai phía trong trƣờng vector V thì thông lƣợng  của V qua mặt cong S đƣợc tính nhƣ sau:  =∬ S là mặt cong kín và vector pháp tuyến của S hƣớng từ trong ra ngoài thì x y z n S S V dydz V dxdz V dxdy V dS      Vn là hình chiếu của V theo vector pháp tuyến ngoài của mặt S Nếu G là miền đƣợc giới hạn bởi mặt ngoài đƣờng cong S đã cho thì theo công thức Oxtrogratxki ta có: 18 ( ) yx z x y z S G G VV V V dydz V dxdz V dxdy dxdydz divVdxdydz x y z                Mà M(x, y, z) là điểm bất kì trong trƣờng vector V nên ta có: ( ) yx z VV V divV M x y z         * Nếu ( ) 0divV M  thì suy ra f > 0; M(x, y, z) (thông lƣợng từ trong hƣớng ra ngoài sẽ lớn hơn thông lƣợng từ ngoài hƣớng vào trong) cho nên điểm M là điểm nguồn của trƣờng vector V * Nếu ( ) 0divV M  thì suy ra f < 0; M(x, y, z) đƣợc gọi là điểm rò của trƣờng vector V *Một trƣờng vector V mà tại mọi điểm của trƣờng ( ) 0divV M  thì trƣờng vector V đƣợc gọi là trƣờng ống nghĩa là trƣờng không có điểm nguồn và điểm rò (tức là tổng thông lƣợng bằng không). Điều đó có nghĩa là, có bao nhiêu đƣờng dòng chảy vào bề mặt khảo sát, thì có bấy nhiêu chảy ra từ đó. Vì thế trƣờng vận tốc của chất lỏng không bị nén đƣợc gọi là hình ống hay là sôlênôit. Ví dụ: Tính div E ; E = 3 q r r 3 3 3 ; ;x y z qx qy qz E E E r r r    2 2 2 3/2 2 2 2 3/2 2 2 2 3/2 ( ) ( ) ( ) x y z E qx x y z E qy x y z E qz x y z             19 2 2 2 3/2 2 2 2 5/2 3 2 2 2 3 5 5 3 ( ) ( ) ( ) .2 2 1 3 ( ) ( 3 ) xE qx q x y z qx x y z x x x r x q q r x r r r                    Tƣơng tự ta có: 2 2 5 2 2 5 ( 3 ) ( 3 ) y z E q r y y r E q r z z r         Và do đó ta tính đƣợc: 2 2 2 2 2 2 5 5 (3 3 3 3 ) .3( ) 0 q q DivE r x y z r r r r        Điều này chứng tỏ rằng trƣờng vector E là một trƣờng ống tại mọi điểm không trùng với điểm trên (điểm ta đặt) S là mặt cầu tâm O bán kính R trong trƣờng hợp này ta cũng coi pháp tuyến n hƣớng ra ngoài. Ta có En là hình chiếu của E theo chiều dƣơng pháp tuyến n. Với En = Trong trƣờng hợp này thì: 2 2 2 2 4 4n S S S q q q E dS dS dS R q R R R         Nghĩa là  của trƣờng E qua mặt cầu S này không phụ thuộc vào bán kính của mặt cầu. Do đó điểm đặt điện tích q là điểm nguồn 1.4.3. Ý nghĩa của divergence Phép tính dive có nhiều ứng dụng trong vật lí nhƣ tính thông lƣợng của một trƣờng vector. Ngoài ra qua biến đổi tích phân khi tính thông lƣợng ngƣời ta còn dẫn đến các phƣơng trình Macxuen trong điện động lực học 20 CHƢƠNG 2: ĐỊNH LÍ OSTROGRADSKY- GAUSS TRONG TRƢỜNG VECTOR 2.1. Đinh lí Ostrogradsky- Gauss Xét một yếu tố vi phân thể tích kV chứa điểm Mk đƣợc bao bọc bởi mặt kín Sk nằm trong trƣờng vector A . Dựa trên định nghĩa của dive ta có: ( ) 0 (M ) lim k k S k V k Ad S divA V     Mặt khác ta lại có: ( ) k k k k k S divA M V Ad S V     Lấy tổng biểu thức trên theo tất cả các yếu tố vi phân thể tích: ( ) k k k k k k k kS divA M V Ad S V      Cho kV tiến đên 0 và chú ý rằng : 0 1 ( ) 1 ( ) ( ) lim (M ) k k k V k V k S S divA V divAdV Ad S Ad S               ta đƣợc công thức sau: ( ) ( )V S divAdV AdS  (2.1) Biểu thức (2.1) là công thức định lí Ostrogradsky- Gauss. Biểu thức này cho biết mối liên hệ giữa tích phân theo thể tích V với tích phân mặt kín S bao quanh thể tích đó Hình 2.1: Minh họa cho định lí Ostrogradsky- Gauss 21 2.2. Định lí Ostrogradsky- Gauss cho điện trƣờng Định nghĩa: Điện trƣờng là một dạng tồn tại vật chất trong không gian bao quanh các điện tích mà biểu hiện cụ thể của nó là tác dụng lực nên các điện tích đặt trong nó. Lực này đƣợc gọi là lực điện và đƣợc xác định bằng định luật Cu- lông Ta xét hai điện tích điểm q và qo, theo định luật Cu-lông lực điện tƣơng tác giữa hai điện tích điểm này là: 2 1 4 oqqF r  (2.2) Vậy cƣờng độ điện trƣờng E gây bởi điện tích q ở một điểm cách nó một khoảng r là : 2 1 4 q E r  (2.3) Vì lực F là một đại lƣợng vector nên cƣờng độ điện trƣờng là một đại lƣợng vector, nên ta có thể biểu diễn lại cƣờng độ điện trƣờng nhƣ sau: 3 2 1 1 4 4 oq qE r r r r    (2.4) Trong đó r là bán kính vector hƣớng từ điện tích q đến điểm ta xét, or là vector đơn vị theo phƣơng r Biểu thức (2.4) là biểu thức xác định cƣờng độ điện trƣờng E ở mọi điểm trong không gian và qua đây thì ta cũng xác định đƣợc lực F tác dụng lên một điện tích qo đặt trong điện trƣờng thông qua: oF q E (2.5) Biểu thức (2.5) là cách biểu diễn khác của định luật Cu-lông và nó có ý nghĩ tổng quát hơn công thức (2.2). Biểu thức (2.5) phù hợp với nguyên lí tác dụng gần nó đúng trong mọi trƣờng hợp và không phụ thuộc vào nguyên nhân gây ra điện trƣờng. 22 Từ (2.4) ta suy ra đƣợc biểu thức vector cảm ứng điện: 1 4 2 oqD E r r     (2.6) Đơn vị của cảm ứng điện qua biểu thức là Cu-lông trên mét vuông (C/m2) Một điện tích q gây ra xung quanh nó một điện trƣờng. Trong điện trƣờng này ta xét một diện tích dS đủ nhỏ để có thể coi nó là một mặt phẳng và cƣờng độ điện trƣờng E trong nó coi nhƣ đều. Vẽ vector pháp tuyến n cho dS, ta có dS ndS (2.7) Với d S là vector đặc trƣng cho nguyên tố diện tích dS. Điện thông (hay thông lƣợng điện trƣờng) qua nguyên tố diện tích d S là: cose nd E dS EdS EdS    (2.8)  là góc hợp bởi E và d S , En là hình chiếu của E lên phƣơng pháp tuyến n của d S Muốn xác định điện thông  qua một mặt S hữu hạn ta phải chia nhỏ mặt đó ra thành những nguyên tố diện tích dS và tính điện thông qua mỗi yếu tố diện tích dS theo (2.8 ). Nhƣ vậy điện thông qua mặt S lúc này đƣợc tính nhƣ sau: e n S S E dS EdS    (2.9) Hình 2.5 23  Định lí Ostrogradsky – gauss cho điện trƣờng Việc tính toán điện trƣờng sẽ đơn giản hơn rất nhiều nếu ta sử dụng định lí Ostrogradsky – gauss. Để đƣa ra định lí tổng quát ta xét trƣờng hợp một điện tích q dƣơng, bao quanh nó là một mặt cầu S có bán kính r và có tâm là điểm đặt điện tích q. Quy ƣớc chiều dƣơng của pháp tuyến với mặt cầu là chiều hƣớng từ tâm ra ngoài. Trên mặt cầu cƣờng độ điện trƣờng E có giá trị nhƣ nhau tại mọi điểm, góc giữa đƣờng sức với pháp tuyến dƣơng của mặt cầu S luôn bằng 0 và cos Hình 2.2 Ðiện thông không phụ thuộc vào bán kính mặt cầu và có giá trị bằng nhau đối với các mặt cầu đồng tâm với S ví dụ S1. Ðiều đó cho thấy là ở khoảng không gian giữa hai mặt cầu S và S1 nơi không có các điện tích các đƣờng sức là liên tục và đƣợc bảo toàn (tức là không thêm ra hoặc mất đi). Cũng chính vì thế, nên điện thông qua mặt kín S2 bất kì bao quanh điện tích q cũng bằng điện Điện thông qua mặt cầu S là: (2.10) Vì q là điện tích điểm nên ta có: (2.11) Mà nên ta thu đƣợc kết quả cuối cùng là: (2.12) 24 thông qua S và S1 và không phụ thuộc vào hình dạng của mặt S2 cũng nhƣ vị trí của q bên trong nó. Nếu có mặt kín S3 không bao quanh q thì do tính chất liên tục của các đƣờng sức có bao nhiêu đƣờng sức đi vào mặt S3 có bấy nhiêu đƣờng sức đi ra khỏi mặt S3. Ðiện thông do các đƣờng sức đi vào S3 gây ra mang giá trị âm vì góc giữa vector cƣờng độ điện trƣờng và pháp tuyến (hƣớng từ trong ra ngoài mặt) là góc tù, còn điện thông do các đƣờng sức đi ra khỏi S3 gây ra mang giá trị dƣơng. Chúng có giá trị tuyệt đối bằng nhau. Do đó, điện thông toàn phần qua mặt kín S3 không bao quanh điện tích q có giá trị bằng không. Từ kết quả trên, ta thấy điện thông qua mặt kín không phụ thuộc vào vị trí của điện tích ở bên trong nó. Áp dụng nguyên lí chồng chất điện trƣờng, ta thấy kết quả (2.12) cũng đúng cho cả trƣờng hợp bên trong mặt kín có nhiều điện tích phân bố bất kì, chỉ cần chú ý rằng q là tổng đại số các điện tích có mặt bên trong mặt kín. Các kết luận trên đƣợc biểu thị qua định lí Ostrogradsky – Gauss: Điện thông qua một mặt kín có giá trị bằng tổng đại số các điện tích có bên trong mặt đó chia cho 1 i iS EdS q q    (2.13) Chú ý rằng để đƣa đến định lí trên, chúng ta đã xuất phát từ định luật Coulomb. Nếu trong công thức của định luật Coulomb, số mũ của khoảng cách r không phải là 2 mà là một giá trị khác, thì ta sẽ không đi đến kết quả trên. Vì thế ta nói rằng định lí Ostrogradski - Gauss là hệ quả của định luật Coulomb. Trong các trƣờng hợp khác nhau đặc biệt là khi nghiên cứu trong trƣờng điện môi ngƣời ta dùng khái niệm về vector điện dịch hay vector cảm ứng điện D . Mặt khác theo (2.6) ta có: D E 25 Ta cũng đƣa ra đƣợc cách biểu diễn điện trƣờng bằng các đƣờng điện dịch hay các đƣờng cảm ứng từ. Đây là những đƣờng mà tiếp tuyến ở mỗi điểm trùng với vector cảm ứng điện ở điểm đó và có chiều trùng với vector D . Thông lƣợng điện dịch  qua một mặt đƣợc tính bằng số đƣờng dịch qua mặt đó: D n S S DdS D dS    (2.14) Với khái niệm điện dịch công thức của định lí Ostrogradski – Gauss có dạng : ( ) ( ) D i iS S DdS EdS q q      (2.15) Ðịnh lí Ostrogradski - Gauss phát biểu: Thông lƣợng điện dịch qua một mặt kín có giá trị bằng tổng đại số các điện tích có mặt bên trong mặt đó. Nếu ta có một hệ điện tích phân bố liên tục trong không gian ta có thể chia nó thành những nguyên tố điện tích vô cùng nhỏ dq dV và coi mỗi nguyên tố điện tích đó giống nhƣ một điện tích điểm. Mặt khác ta lại có q dq dV   thay vào biểu thức (2.15) ta đƣợc: ( )S V DdS dV  (2.16) Trong đó V là thể tích do mặt S bao bọc. Dựa vào biểu thức Ostrogradski – Gauss trong toán học (biểu thức (2.1)) ta suy ra đƣợc: (S) V DdS divDdV  (2.17) Đồng nhất hai biểu thức (2.16) và (2.17) ta có: V V divDdV dV  Vì mặt kín S và thể tích V do nó bao bọc là bất kì nên các lƣợng trong dấu tích phân là bằng nhau: 26 divD  (2.18) Biểu thức (2.18) là biểu thức dạng vi phân của định lí Ostrogradski – Gauss cho điện trƣờng và cũng là một trong những phƣơng trình Macxuen. *Ý nghĩa định lí Ostrogradski – Gauss: Định lí Ostrogradski – Gauss dùng để tính toán điện thông, thông lƣợng điện trƣờng hay cƣờng độ điện trƣờng sẽ đơn giản hơn rất nhiều khi ta sử dụng định luật Cu-lông và nguyên lí chồng chất điện trƣờng. 2.3. Định lí Ostrogradski – Gauss cho từ trƣờng Định nghĩa: Từ trƣờng là một dạng vật chất mà biểu hiện cụ thể của nó là tác dụng lực lên dòng điện hoặc nam châm đặt trong nó. Lực tƣơng tác đó gọi là lực từ và đƣợc xác định bằng định luật Amper. Xét hai dòng điện I1 và I2 chạy trong hai dây dẫn đặt trong một môi trƣờng đồng chất bất kì có độ từ thẩm là  . Lực tƣơng tác giữa hai dòng điện lúc này đƣợc xác định bởi: 2 2 1 1 3 ( ) 4 o I dl I dl rd F r      (2.19) Từ biểu thức (2.19) ta xét riêng vector 1 1 3 ( ) 4 o I dl rd B r     (2.20) Ta thấy biểu thức trên không chứa nguyên tố dòng điện 2 2I dl . Độ lớn của d B chỉ phụ thuộc vào 1 1I dl là phần tử dòng điện sinh ra từ trƣờng và vector r xác định vị trí đặt 2 2I dl trong từ trƣờng của 1 1I dl . Vì vậy d B là vector đặc trƣng cho từ trƣờng tại điểm đang xét về phƣơng diện tác dụng lực. Ta nói d B là vector cảm ứng từ do phần tử dòng điện 1 1I dl sinh ra tại điểm M. Ta có thế viết tổng quát lại nhƣ sau: Cảm ứng từ d B do phần tử dòng điện Idl gây ra tại một điểm đặt cách Idl một bán kính vector r là một vector: 27 3 . 4 o I dl r d B r        (2.21) Đây chính là nội dung của định luật Biot-Savart-Laplace về cảm ứng từ gây bởi một nguyên tố dòng điện. Từ (2.21 ), ta thấy độ lớn của cảm ứng từ d B là một vector có gốc tại điểm ta xét, có hƣớng sao cho r , d B , Idl lập thành một tam diện thuận và có đọ lớn đƣợc xác định bằng biểu thức: 2 sin 4 o IdldB r      (2.22) với  là góc hợp bởi dl và r . Trong hệ đơn vị SI, đơn vị cảm ứng từ là Tesla và đƣợc kí hiệu là T Ta gọi  từ thông (hay thông lƣợng cảm ứng từ) qua một mặt nhỏ đặt vuông góc với đƣờng cảm ứng từ của từ trƣờng đều B và đƣợc xác định bằng biểu thức:  = B (2.23) Về mặt hình học  chính là số đƣờng cảm ứng từ đi qua diện tích . Nếu không vuông góc với đƣờng cảm ứng từ mà pháp tuyến của nó tạo với đƣờng cảm ứng từ một góc thì:  = B = Bn (2.24) với Bn là hình chiếu của B lên phƣơng pháp tuyến dƣơng của Ta có vector diện tích S là vector có độ lớn bằng và hƣớng theo chiều dƣơng của pháp tuyến . Khi đó ta có: d B S   (2.25) Muốn tính từ thông qua một mặt hữu hạn S ta chia mặt đó ra thành các phần tử diện tích nhỏ dS sao cho trên dS có thể coi là từ trƣờng đều. Từ thông qua d S là: d BdS  (2.26) Lấy tích phân hai vế của biểu thức (2.26) ta đƣợc từ thông qua cả mặt S là: nd BdS B S      (2.27) 28 Trong hệ đơn vị SI đơn vị của từ thông là Weber (Wb). Từ đây ta sẽ định nghĩ đƣợc đơn vị cảm ứng từ Tesla (T) “ Tesla là cảm ứng từ của một từ trƣờng đều có thừ thông là 1Wb xuyên vuông góc qua một mặt phẳng có diện tích bằng một mét vuông”. * Định lí Ostrogradsky – Gauss cho từ trƣờng Ta luôn biết rằng các đƣờng cảm ứng đều là những đƣờng cong kín, tính chất này đúng cho mọi từ trƣờng bất kì. Mặt khác ta cũng biết rằng những trƣờng có đƣờng vector trƣờng khép kín đƣợc gọi là những trƣờng xoáy vì thế từ trƣờng là một trƣờng xoáy. Từ tính chất xoáy của từ trƣờng, xét một mặt kín S trong từ trƣờng và quy ƣớc vẽ trên mặt kín pháp tuyến dƣơng hƣớng ra ngoài và tính từ thông của những đƣờng cảm ứng từ đi qua mặt kín S đó. Từ thông do những đƣờng cảm ứng từ đi vào mặt có dấu âm d = BdScos < 0 (vì ). Và ngƣợc lại với những đƣờng đi ra từ thông có giá trị dƣơng d = BdScos > 0( vì Hình 2.3 Mặc khác các đƣờng cảm ứng từ là khép kín nên có bao nhiêu đƣờng đi vào trong mặt kín thì cũng có bấy nhiêu đƣờng ra khỏi mặt kín đó. Vậy độ lớn của từ thông do các đƣờng cảm ứng đi vào bằng độ lớn từ thông ứng với các đƣờng cảm ứng đi ra nhƣng trái dấu cho nên tổng của chúng là bằng không. 0 S Bd S  (2.28) 29 Vậy nội dung của định luật Định lí Ostrogradsky – Gauss cho từ trƣờng là: Từ thông của vector cảm ứng từ qua một mặt kín S bất kì đặt trong từ trƣờng thì bằng 0 Theo định nghĩa của dive ta có : 0 1 lim V divB Bd S V   (2.29) Vì  = 0 với mọi mặt kín bất kì nên khi giới hạn thì mặt kín S sẽ thu về một điểm nên ta có : 0divB  (2.30) Biểu thức (2.30) là dạng vi phân của định lí Ostrogradsky – Gauss cho từ trƣờng và nó cũng là một trong những phƣơng trình Macxuen. 30 CHƢƠNG 3. ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ OSTROGRADSKY – GAUSS TRONG TRƢỜNG VECTOR VÀO GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬT LÍ Để giải bài tập ở phần này một cách thuận lợi chúng ta cần ghi nhớ một số công thức và một số kiến thức có liên quan về trƣờng tĩnh điện và từ trƣờng:  TRƢỜNG TĨNH ĐIỆN 1. Lực tƣơng tác Coulomb giữa hai điện tích điểm q1, q2 đặt cách nhau một khoảng r 1 2 2 04 q q r F r r  . Với 12 2 28,86.10 /o C Nm  gọi là hằng số điện môi, là hằng số điện môi tƣơng đối của môi trƣờng. 2. Cƣờng độ điện trƣờng F E q  với F là lực điện tƣờng tác dụng lên điện tích q Cƣờng độ điện trƣờng gây ra bởi một điện tích điểm q tại một điểm: 24 o q r E r r  3. Vector cảm ứng điện oD E 4. Cƣờng độ điện trƣờng gây bởi một sợi dây dài vô hạn mang điện đều với mật độ điện dài tại một điểm cách dây một khoảng r: 02 E n r    5. Cƣờng độ điện trƣờng gây ra bởi mặt phẳng mang điện đều với mật độ điện mặt : 02 E n    6. Định lí Gauss: Thông lƣợng cảm ứng điện gửi qua mặt kín (S) bất kì 1( ) n e i iS Dd S q    Với 1 n i i q   là tổng đại số các điện tích có trong mặt kín 7. Công của lực tĩnh điện khi dịch chuyển điện tích điểm qo từ điểm A đến điểm B trong điện trƣờng: A = qo (VA – VB), Với VA và VB là điện thế tại điểm A và điểm B trong điện trƣờng. 31 8. Tính chất thế của trƣờng tĩnh điện: 0Edl  9. Liên hệ giữa hai điểm A và B: VA – VB = - A B Edl 10. Liên hệ giữa cƣờng độ điện trƣờng và điện thế E gradV  Trong trƣờng hợp điện trƣờng đều E = và U = V1 – V2 là hiệu điện thế, d là khoảng cách giữa hai mặt đẳng thế tƣơng ứng  TỪ TRƢỜNG 1. Vector cảm ứng từ d B do phần tử dòng điện I dl gây ra tại một điểm cách nó một đoạn r: 3 ^ 4 o Idl rd B r    2. Nguyên lí chồng chất từ trƣờng: B d B  3. Vector cƣờng độ từ trƣờng: o B H   4. Từ thông gửi qua tiết diện dS: md BdS  trong đo stieets diện dS đủ nhỏ để xem nó nhƣ một điện trƣờng phẳng và cảm ứng từ B xuyên qua tiết diện đều đó Từ thông gửi qua tiết diện S bất kì: m S Bd S   Nếu B đều và tiết diện S phẳng: cosm BS BS   với là góc hợp bởi B và F . 5. Định lí Gauss: 0Bd S  6. Công của lực từ: A = I  7. Định lí dòng điện toàn phần: 1 n i i Hd I I   8. Lực từ do từ trƣờng tác dụng lên phần tử dòng điện: ^d F Id I B 32 Ðịnh lí Ostrogradski - Gauss đƣợc áp dụng để tính toán điện trƣờng, từ trƣờng trong nhiều trƣờng hợp, đặc biệt ở những trƣờng hợp điện tích của hệ đƣợc phân bố đối xứng (thƣờng là đối xứng cầu, trụ và phẳng). Khi vận dụng định lí này, ta nên làm theo các bƣớc sau Bƣớc 1: Xác định những yếu tố đối xứng của hệ điện tích, từ đó ta có thể suy ra đƣợc một số đặc điểm của điện trƣờng và từ trƣờng. Chẳng hạn ta có thể đoán đƣợc hƣớng của vector E ở mỗi điểm và sự biến thiên độ lớn của nó trong không gian. Bƣớc 2. Chọn một mặt kín đƣợc gọi là mặt Gauss chứa điểm mà ở đó ta cần xác định vector E (đối với điện trƣờng) và vector H (đối với từ trƣờng). Mặt Gauss phải đƣợc chọn sao cho điện thông hoặc từ thông qua nó đƣợc tính toán dễ dàng muốn vậy nói phải chứa những yếu tố đối xứng của hệ. Bƣớc 3. Tính điện thông hoặc từ thông qua mặt Gauss. Sau đó áp dụng công thức của định lí Ostrogradsky – Gauss. Biểu thức cuối cùng thu đƣợc cho ta mối liên hệ giữa cƣờng độ điện trƣờng E với điện tích của hệ hoặc mối liên hệ giữa cƣờng độ từ trƣờng H với điện tích của hệ. Chúng ta sẽ đi đến một số bài tập cụ thể 3.1. Dạng 1: Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss cho bài toán đối xứng trụ Để giải bài toán này ta cần chọn mặt Gauss bao kín đối tƣợng hoặc nằm trong đối tƣợng. Mặt Gauss đƣợc chọn sao cho việc tính toán phải đơn giản nhất . Thông thƣờng chúng ta sẽ chọn mặt Gauss sao cho tại các phần của đối tƣợng phải cùng phƣơng hoặc vuông góc với vector pháp tuyến của mặt Gauss. Đối với bài toán đối xứng trụ, thông thƣờng ta sẽ chọn mặt Gauss là một mặt trụ đồng trục. 33 Ví dụ 1: Dùng định lí O – G tính điện trƣờng ở trong và ngoài một hình trụ vô tận bán kính R, tích điện đều với mật độ điện tích = const. Hằng số điện môi là . Giải:  Bên trong hình trụ: Theo định lí O – G ta có: divD divE D E          Trong hệ tọa độ trụ ta có: 1 { ( . ) ( . )}r z E divE r E r E r r z       Do tính chất đối xứng của hình trụ và hình trụ dài vô hạn nên E cùng phƣơng với vector bán kính r . Nên E chỉ phụ thuộc vào r : Ta có: 2 2 1 ( . ) 1 ( . ) 1 ( . ) 2 1 2 T r r r r T divE r E r r r E r r divE r E r rE r C r C E r r                              Do tính chất đối xứng của điện tích quanh gốc O nên điện trƣờng tại r = 0 phải bằng 0, do đó ( 0) 0T rE C   . Từ đây ta có : 1 2 TE r    34 E chỉ phụ thuộc vào r , E có phƣơng của r nên ta có cƣờng độ điện trƣờng trong quả cầu dƣới dạng vector là: 1 2 TE r     Bên ngoài hình trụ Ta xét một mặt trụ kín S bao quanh hình trụ, có trục trùng với trục hình trụ, có bán kính r > 0, chọn vector pháp tuyến n có chiều dƣơng hƣớng từ trong hình trụ đi ra. Theo định lí O – G: thông lƣợng của cảm ứng từ D qua mặt kín S bất kì với dS là nguyên tố diện tích trên mặt S, chiều dƣơng d S là từ trong ra ngoài mặt S. ( )S q Dd S  là toàn bộ điện tích trong mặt S. 1 2 1 2 xq xq S S S V DdS DdS DdS q dq dV          Tại hai mặt đáy ta có: 1 1 2 2 1 1 2 2 . cos 0 . cos 0 S S S S Dd S D dS Dd S D dS           (vì