Đề tài Giải bài tập bất đẳng thức hướng khắc phục sai lầm - Tạo lập mới hệ thống bài tập

y không ngoài mục đích khích lệ tinh thần tự học, phát huy tính sáng tạo, phát triển năng lực trí tuệ, khơi dậy tố chất toán học đang tiếm ẩn trong mỗi học sinh. X Ưu điểm và hạn chế: Các dạng bài đã nêu trên cơ bản đều đơn giản, dễ hiểu, dễ vận dụng. dễ cải biên đề bài. Kiến thức được nâng dần từ dễ đến khó, giúp cho học sinh thuộc diện đại trà cảm nhận được học toán không phải là quá khó. Từ đó giúp các em bớt đi mặc cảm lo sợ khi học toán. Thấy được vẫn còn tia hy vọng về khả năng học toán. Phát huy được tính tích cực, sáng tạo của học sinh khá giỏi. Giúp cho giáo viên dễ dàng truyền thụ kiến thức, cũng như ra đề kiểm tra phù hợp nhiều đối tượng. Đáp ứng được nhu cầu đổi mới phương pháp dạy học hiện nay. Hơn thế nữa là thuận lợi cho giáo viên trong việc phụ đạo yếu kém, củng cố kiến thức cơ bản, bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi ngay trong một tiết học. - Hạn chế : Đôi khi giáo viên không chủ động được thời gian ( vì lượng bài tập đưa ra quá nhiều). Nề nếp lớp học không theo ý muốn. A.2/ Loại bài tập chưa có sẵn thuật toán: Loại bài tập này chiếm một số lượng khá lớn, nó gây cho học sinh và cả giáo viên không ít khó khăn, dẫn đến tâm lí sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình. Đây là một trở ngại lớn cho chí tiến thủ vươn lên trong học tập của học sinh và trong dạy học của giáo viên. Khi dạy học sinh giải bài tập dạng này, giáo viên chúng ta không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ, tìm ra con đường hợp lí để giải bài toán. Bởi vì “tìm được cách giải một bài toán là một điều phát minh” ( Pôlia – 1975). Để giúp giáo viên và học sinh thuận lợi hơn trong khi trình bày lời giải dạng toán này, ta có thể sử dụng một số phương pháp đại cương thông thường. Thông qua lượng đồ giải toán 4 bước của Pôlia.như sau. B1:Tìm hiểu kĩ nội dung bài tập B2: Xây dựng chương trình giải B3: Thực hiện chương trình giải B4: Nghiên cứu lời giải Mỗi giáo viên đều phải hiểu được, đây không phải là một thuật toán để giải bài tập, mà nó chỉ mang tính chất hướng dẫn, gợi ý giúp cho giáo viên vận dụng vào từng bài cụ thể. Đó cũng là sáng tạo trong dạy học . Sau đây là một số ví dụ cụ thể minh họa cho nhận định trên. a) Dùng phương pháp xét hiệu : Ví dụ :Chứng minh rằng : a) với a.b>1 b) a2 + b2 với a + b 1 c) a3 + b3 > a2b+ab2 với a>0; b>0 d) a4 + b4 > a3b + ab3 với a>0; b>0 e) ( a10 + b10)(a2 +b2) (a8 + b8)( a4+b4) Đối với loại bài tập này, giáo viên cho học sinh quan sát kĩ đề bài, tìm hiểu xem bài toán cho biết điều gì, yêu cầu ta phải làm gì ?. Để giải được bài tập dạng này ta cần liên hệ giữa cái đã cho và cải phải tìm, dùng phương pháp phân tích để biết vận dụng những kiến thức nào ?. Nếu khó quá, học sinh không thể trả lời thì giáo viên chúng ta nên có một số câu hỏi phụ, nhằm gợi ý, giúp học sinh xây dựng được chương trình giải. Sau đó giáo viên phối hợp với học sinh cùng thực hiện chương trình giải theo hướng đã định . Xét hiệu, biến đổi biểu thúc về dạng phân thức ( bằng các phép toán thông thường ). Sau đó lí luận dấu của tử và mẫu dẫn tới phân thức không âm rồi kết luận Cụ thể : câu a) Xét hiệu : = = Vì ab >1 ab - 1>0; (a –b)2 0 và mẫu thức >0 nên Vậy với ab >1.dấu “ = “ xảy ra a = b Tương tự với các câu c, câu d: Giáo viên cho học sinh xét hiệu, phân tích đa hức thành nhân tử ( bằng các phương pháp nhóm, đặt nhân tử chung ). Lưu ý các nhân tử phải có dạng theo mong muốn ( không âm hoặc luôn dương ). Sau đó lập để suy ra điều cần chứng minh. Giáo viên nhấn mạnh cho học sinh, phải luôn xét điều kiện để dấu “ = “ xảy ra . Chẳng hạn : Câu c: a3 + b3 - a2b - ab2 =vì a>0; b>0 ; (a-b)2 0 Vậy a3 + b3 > a2b+ab2 với a>0; b>0 . dấu “ = “ xảy ra a = b Câu d: (a4 + b4) – (a3b + ab3) = vì (a-b)2 0; (a2+ab+b2)>0 Vậy a4 + b4 > a3b + ab3 với a>0; b>0. dấu “ = “ xảy ra a = b Câu e:( a10 + b10)(a2 +b2) - (a8 + b8)( a4+b4) = vì a2b2 0; ( a2 –b2 )0; (a4 +a2b2 +b4) > 0 Vậy ( a10 + b10)(a2 +b2) (a8 + b8)( a4+b4). Dấu “ = ” xảy ra b)Phương pháp biến đổi tương đương (phương pháp biến đổi trực tiếp ) Để giải được loại bài tập chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương, trước tiên giáo viên cho học sinh hiểu rõ và nắm vững quy trình biến đổi tương đương của bất đẳng thức như sau: Để chứng minh A B ta biến đổi tương đương như sau: A B ...C D Cuối cùng bất đẳng thức C D là đúng . Khi đó ta kết luận A B đúng ( đpcm) Ví dụ 1: Chứng minh rằng : với a,b,c,d,e,R thì : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a ( b+c+d+e) Muốn giải được bài tập này bằng phương pháp trên, giáo viên cho học sinh nhận xét các hạng tử của vế trái và các hạng tử sau khi khai triển của vế phải, từ đó giúp các em thấy được sự cần thiết phải nhân thêm số 2 vào cả hai vế. Khai triển, chuyển vế và đưa về dạng tổng các bình phương của các biểu thức. Sau đó dùng lập luận và kết luận bài toán. Cụ thể bài toán được giải như sau. a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a( b+c+d+e)2(a2 + b2 + c2 + d2 + e2) 2a( b+c+d+e) 4(a2+b2+c2+d2+e2) - 4a(b+c+d+e)0 0 0 . Bất đẳng thức đúng . Vậy a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a( b+c+d+e) với a,b,c,d,e,R . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 2b = 2c = 2d = 2e hay b = c = d = e = Ví dụ 2: Cho a0 ; b0 chứng minh : ( Bất đẳng thức Côsi) Vì a0 ; b0 a + b0 và ab0 0 . Ta có bất đẳng thức đúng với mọi a, b không âm. Vậy với mọi a 0 ; b0 . Ví dụ 3 : Chứng minh rằng : a) b) Đối với ví dụ này, giáo viên yêu cầu học sinh biến đổi trực tiếp, khai triển hằng đẳng thức vế trái, quy đồng, chuyển vế, phân tích đa thức thành nhân tử rồi nhận xét . Minh họa câu b cụ thể như sau: 3a2 + 3b2 +3c2 a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac +2bc 0 đúng Vậy Vậy với mọi a,b không âm. Dấu”=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Ví dụ 4: Chứng minh rằng : a2 + 4b2 + 4c2 4ab - 4ac + 8bc Ta nhận thấy các hạng tử vế trái có dạng bình phương của một số hoặc một biểu thức, các hạng tử vế phải là số chẵn luôn có dạng hai lần tích của hai biểu thức, nếu chuyển về một vế nhóm các hạng tử một cách thích hợp thì có thể viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức. Sau đó lí luận biểu thức không âm và ta có điều phải chứng minh, Cụ thể cách giải như sau: Ta có : a2 + 4b2 + 4c2 4ab - 4ac + 8bc : a2 + 4b2 + 4c2 - 4ab + 4ac - 8bc Ví bất đẳng thức sau đúng nên a2 + 4b2 + 4c2 4ab - 4ac + 8bc đúng .dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a +2c = 2b * Ưu điểm : Với các ví dụ và hai phương pháp giải trên, cơ bản vận dụng các phép biến đổi hằng đẳng thức, nhân đơn đa thức, phân tích thành nhân tử đơn giản, dể hiểu. Phù hợp nhiều đối tượng học sinh. Thỏa mãn được nhu cầu người học. Gây được nhiều hứng thú cho học sinh trong giờ học. Học sinh tích cực xây dựng bài, đáp ứng đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay. * Hạn chế: Một số bài khó nhìn ra được hằng đẳng thức, đòi hỏi phải phân tích kĩ học sinh mới có thể hiểu, mặt khác đối tượng học không được đồng đều nên đôi khi giáo viên không chủ động được thời gian. Nề nếp lớp học không theo ý muốn. c)Phương pháp dùng bất đẳng thức có sẵn : Trong giải bài tập, các bất đẳng thức có sẵn đóng một vai trò vô cùng quan trọng. Nó là công cụ sắc bén giúp ta giải quyết nhanh, chính xác được nhiều bài tập mà ta tưởng chừng như không thể giải được. Vì vậy trước khi giải loại bài tập này, giáo viên chúng ta cần cho học sinh hiểu và nắm vững một số bất đẳng thức thông dụng đối với chương trình thực học. + Bất đẳng thức có dạng bình phương : với mọi a, b. +Bất đẳng thức Côsi(cau chy): Với hai số không âm a và b ta có hay a + b Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a = b. +Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Sau đây là một số ví dụ minh họa giải bằng phương pháp dùng bất đẳng thức có sẵn. Ví dụ : loại bài dùng bất đẳng thức có “dạng bình phương” a) Mức độ thấp: Chứng minh rằng : a2 + b2 +c2 ab + bc + ca Bất đẳng thức dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu được phổ biến thông dụng nhất đối với chương trình cấp trung học cơ sở. Vận dụng phù hợp được cho nhiều đối tượng học sinh. Trước khi dạy giải bài tập này, giáo viên cho học sinh ôn lại tính chất mở rộng của bất đẳng thức. Yêu cầu học sinh nhận xét các hạng tử ở hai vế của bất đẳng thức, từ đó nêu hướng sử dụng bất đẳng thức nào. Trả lời được yêu cầu này không khó đối với học sinh. Do vậy bài tập dễ dàng được giải quyết như sau: Ta có: a2 - 2ab + b2 0 a2 + b2 2ab với a,b. Tương tự : b2 + c2 0 ; c2 + a2 0 Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức ta được : 2( a2 + b2 + c2 ) 2( ab + bc + ca ) a2 + b2 + c2 ab + bc + ca ( đpcm) . dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a = b = c b) Mức độ cao : Chứng minh: Đây là bài tập có hai yêu cầu, ta phải giải quyết từng yêu cầu riêng lẻ, rồi sau đó kết hợp ta sẽ được yêu cầu cử bài. Với bài tập này, chỉ có thể dùng bất đẳng thức dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu với mọi a, b. Ta có ( x + 1)2 0 với x 2( x + 1)2 0 2x2 + 4x + 2 0 3x2 + 3x + 3 x2 – x +1 03(x2 + x + 1) x2 – x +1 (*) Vì x2 – x +1 = ( x -)2 +> 0 , chia hai vế bất đảng thức (*) cho x2 – x +1 ta được (1) Ta lại có : ( x – 1)2 02( x – 1)2 0 2x2 - 4x + 2 03x2 - 3x + 3 x2 + x +1 3(x2 - x + 1) x2 + x +1 (**) Vì x2 – x +1 = ( x -)2 +> 0 Chia hai vế của (**) cho x2 - x +1 ta được (2 ) Tử (1) và (2) suy ra * Loại bài dùng bất đẳng thức Côsi Đối với chương trình trung học cơ sở, Bất đẳng thức Côsi là một trong những bất đẳng thông dụng nhất thường xuất hiện nhiều trong hai dạng bài tập.“chứng minh bất đẳng thức”. Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất” của biểu thức. Mỗi loại bài tập đều có thể triển khai đồng thời cho nhiều đối tượng học sinh trong một lớp, nhiều lớp trong một khối. Chính vì vậy mỗi giáo viên chúng ta trước khi dạy loại toán nào cần nghiên cứu kĩ, tìm hiểu nội dung, mức độ yêu cầu cần truyền thụ cho đối tượng học. Để từ đó cân nhắc, chọn lọc, sắp đặt số lượng bài tập từ dễ đến khó, phân chia bài tập theo nhiều mức độ, đảm bảo tính hệ thống, lôgic, phù hợp cho từng đối tượng học sinh. Được như vậy thì giờ học mới trở nên lí thú, cuốn hút được học sinh . Tạo được sự thân thiện giữ thầy và trò . */ Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức Ví dụ1: Mức độ 1 ( dành cho nhiều đối tượng ) Cho a,b,c 0 . chứng minh rằng : (a + b)( b +c )(c +a ) 8abc Với bài này, cho học sinh nhận xét từng cặp số đối chiếu điều kiện bất đẳng thức Côsi, sau đó áp dụng cho từng cặp số . Rồi dùng tính chất mở rộng nhân vế theo vế của bất đẳng thức ta được điều phải chứng minh . Cụ thể Ta có: a + b ; b +c ; c + a Nhân vế theo vế ta được : (a +b)( b +c )( c + a ) 8(a +b)( b +c )( c + a )8abc Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Ví dụ 2: Mức độ 2 ( Dành cho học sinh lớp lớn , học sinh khá , giỏi ) Cho 0 x 3; 0 y 4 , Chứng minh . Không phải bài tập nào cũng cho sẵn các biểu thức thỏa mãn điều kiện của đề bài, có thể dùng ngay được bất đẳng thức Côsi. Mà đòi hỏi học sinh phải có sự khôn khéo, trong tính toán, biến đổi. Với bài này, giáo viên cho học sinh dựa vào điều kiện bài toán, biến đổi các biểu thức đã cho về dạng các biểu thức không âm rồi dùng bất đẳng thức Côsi mở rộng cho ba biểu thức không âm . Cụ thể: Vì 0 x 3 3 - x 0 6 – 2x 0 0 y 4 4 - y 0 12 -3y 0 (2x + 3y ) 0 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số: 6 – 2x ; 12 – 3y ; 2x + 3y ta có : 63 6( 3- x)(4 – y)(2x +3y)62 ( 3- x)(4 – y)(2x +3y ) 36 ( 3- x)(4 – y)(2x +3y ) Vậy (3-x)(4–y)(2x+3y)36 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi thỏa mãn điều kiện ( đpcm) Ví dụ 3: Cho a 4 ; ab12 . Chứng minh a + b 7. Đây cũng là bài chưa có biểu thức thỏa điều kiện của bất đẳng thức Côsi, muốn sử dụng bất đẳng thức Côsi ta phải biến đổi tạo ra các số không âm mà trung bình cộng của nó phải chứa ( a +b), Trung bình nhân của hai số thì không còn chứa a, b. Để thỏa yêu cầu trên, ta cần cặp số sau: a và b +1 . Vì a 4 ; ab12 nên a > 0 , b > 0 b +1 > 0. Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số a và b + 1. Ta có a + (b +1) 2a + (b +1) 2a + b +1 2 =8 a + b = 7 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b + 1 a = 4 , b = 3 . */ Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất : Loại bài tập tìm giá trị nhỏ nhất “min” hay giá trị lớn nhất “max” được gọi chung là toán cực trị. Để giải loại bài tập này, cần nhấn mạnh cho học sinh ngoài việc tìm min , tìm max cần xét điều kiện dấu “=” xảy ra. Ví dụ 1: Cho x. Tìm min của Muốn tìm min của biểu thức ta phải biến đổi biểu thức về dạng lớn hơn hoặc bằngmột số. Xét điều kiện dấu “=” xảy ra, dùng lập luận chỉ ra giá trị nhỏ nhất là số khi xảy ra dấu “=” Đối với bài này, hai số x và không thỏa điều kiện bất đẳng thức Côsi. Do đó muốn dùng bất đẳng thức Côsi ta phải tạo ra hai số không âm có giá trị bằng nhau, rồi mới được dùng. Cụ thể cho bài giải trên sẽ là : Cách 1:( phân tích theo x) : Ta có : = Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . Vậy min = khi x = 2 . Cách 2: (Phân tích theo ): Ta có = x + . Dùng bất đẳng thức côsi cho 2 số ta được .. Suy ra x + ( do x 2 ) . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . Vậy min = khi x = 2 Ví dụ 2: b) Cho a +b = 9 và a; b . */ Tìm max của a.b */ Tìm max của a2b5 Do bất đẳng thức Cô si có chiều “”, nên học sinh thường quen với loại bài tập tìm “min”. Khi gặp yêu cầu tìm max, học sinh có thể lúng túng không tìm ra hướng giải. Để giúp học sinh nhanh chóng ổn định tinh thần, giáo viên chúng ta gợi ý cho học sinh đọc yêu cầu bài toán theo hai chiều ( a b thì b a). Muốn tìm max ta cần chiều “”. Nghĩa là chiều ngược lại của bất đẳng thức Côsi. (Hay tìm max là bài toán ngược của bài toàn tìm min). Một khi học sinh đã thông suốt được lập luận trên thì việc giải bài tìm max sẽ không còn mấy khó khăn. Có chăng thì cũng chỉ là yêu cầu lập luận chặt chẽ mà thôi . Cụ thể : */ Vì a +b = 9 và a; b . Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số a và b không âm, ta có a + b . Do a +b = 9 nên dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Vậy max của a.b = khi a = b = */ Ta có a2.b5 = a.a.b.b.b.b.b = . Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 7 số ta có : Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Vậy max (a2.b5) = khi Tóm lại: Bài tập dùng bất đẳng thức Côsi rất đa dạng và phong phú. Mỗi loại bài có nhiều dạng khác nhau , mỗi dạng lại có nhiều mức độ yêu cầu phù hợp cho nhiều đối tượng học. Nhờ có bất đẳng thức Côsi mà chúng ta giải quyết được nhiều bài tập trong một thời gian ngắn. Chính vì vậy mà mỗi giáo viên chúng ta khi dạy giải bài tập cần tìm tòi, nghiên cứu kĩ phương pháp giải cho từng dạng, từng loại bài cụ thể. Làm được điều này, không những tự mình rèn luyện cho mình có một hành trang kiến thức vững vàng, tự tin khi đứng trên bục giảng mà còn để lại ấn tượng tốt đẹp trước học sinh, cũng như cha mẹ các em. d) Phương pháp phân tích số hạng: Loại bài tập dùng phương pháp phân tích số hạng là một trong những tập được mệnh danh là khó đối với học sinh, bởi các em không hiểu, không nắm được cách phân tích số hạng là gì, có chăng cũng chỉ là dự đoán, mò mẫm, may chăng thì được kết quả đúng. Vì thế mà học sinh và ngay cả giáo viên cũng cảm thấy nản chí muốn lùi bước khi gặp dạng toán này. Để giúp học sinh bớt đi sự chán nản, cam đảm, tự tin hơn khi đối mặt với loại bài tập này. Người thầy phải làm thế nào để giúp cho học sinh biết liên tưởng, ghép nối các kiến thức đã học, tìm dạng bài tập quen thuộc đã có cách giải từ dễ đến khó, khôn khéo gợi ý cho học sinh biết dựa vào bài đã học , tìm ra điều tương tự có thể vận dụng cho bài tập này. Làm nhiều lần, qua nhiều bài tập tương tự như vậy chắc chắn học sinh sẽ không còn cảm thấy chán nản hay lười biếng . Nhiều em sẽ có hứng thú tìm tòi lời giải cho nhiều bài tập hay và khó hơn . Ví dụ 1: Chứng minh A = Đây là bài toán thông dụng nhất, phổ biến nhất, các em được giải ngay từ khi được về học phân số. Ta nhận thấy mỗi phân số đều phân tích được thành một hiệu theo công thức sau: với n N. Việc giải bài tập này không khó đối với học sinh (ngay cả học sinh diện đại trà ). Bởi các em đã được giải nhiều lần. Nếu các em biết liên tưởng kiến thức cũ và vận dụng được công thức thì việc giải bài tập ở dạng này sẽ bớt đi phần trở ngại, khó khăn . Cũng dạng bài tập này, nếu ta thay đổi một phần nhỏ dự kiện và giữ nguyên dự kiện kia thì ta sẽ có nhiều bài tập cùng dạng hay hơn, Đáp ứng được nhu cầu của nhiều đối tượng học. Thuận lợi cho giáo viên trong việc phụ đạo học sinh yếu, bồi dưỡng học sinh giỏi . Ví dụ 2:( Dành cho học sinh giỏi ) Chứng minh : với n >1 Thực sự đây là bài tập khó, mặc dầu các phân số có gống nhau ( tử chung, mẫu số đều có dạng bình phương của các số tự nhiên liên tiếp) nhưng đây không phải là bài ở dạng 1. Vậy làm thế nào để tách, và tách như thế nào ? Trả lời câu hỏi này không dễ đối với học sinh và ngay cả với giáo viên . Muốn vậy, đòi hỏi giáo viên chúng ta phải thường xuyên tham khảo tài liệu, sưu tầm các phương pháp giải hay và phù hợp đối tượng học sinh . Minh học cách giải bài tập trên như sau: Giải : Ta có với k >1 : với k = 2 , 3, 4... Cho k lần lượt bằng 2, 3, 4 .. n ta được : Do đó ( đpcm) Ví dụ 3: Chứng minh rằng: với Giải:Ta có với k =1,2,3 Khi k = 1,2 , 3, ...n ta được = 2 Vậy với */ Bài tập tương tự :( Tham khảo ) Chứng minh :a) với n > 1 b) với c) < 2 với Gợi ý giải câu c: Mỗi phân số đều có dạng công thức tổng quát : Thay k lần lượt bởi các số 1, 2, 3, ... vào công thức tổng quát , ta có điều phải chứng minh. = do Khi k = 2 (đpcm) */ Ưu điểm hạn chế :+ Dạng bài tập này, giúp giáo viên chọ học sinh giỏi chính xác một cách tuyệt đối. Học sinh giải được các bài tập này khi chưa có sự gợi ý của giáo viên, thì đó là những nhân tài thật sự. +Hạn chế : Bài tập quá khó, lực học trong lớp không đồng đều, dể đưa đến tình trạng học sinh chán nãn, bỏ bê học toán . Dạng bài tập về chứng minh bất đẳng thức không chỉ xuất hiện ở phân môn đại số mà còn xuất hiện ngay cả trong phân môn hình học và cả các môn khoa học tự nhiên khác như: ( Môn hóa học, môn vật lý . v. v). Do đó khi dạy loại toán này, giáo viên nên lấy thêm ví dụ thuộc các môn học nói trên, nhằm tạo ra cho học sinh hứng thú, gây sự tò mò, ham tìm hiểu. Đồng thời giúp học sinh thấy được sự cần thiết phải học đều các môn. Có như thế mới giáo dục và phát triển con người toàn diện, phù hợp với mục tiêu giáo dục mà bộ giáo dục và đào tạo đã ban hành. Toán học được gắn liền với các môn khoa học khác, gắn liền với đời sống thực tế. Chính lao động làm phát sinh toán học, ngược lại toán học bổ trợ cho đời sống thực tế con người . Ví dụ: về hình học : GT: Cho ABC,AB =c ; BC = a; CA = b M trong ABC . Khoảng cách từ M đến BC, AC, AB là x,y,z. KL: Xác định vị trí của M để P = Đạt giá trị nhỏ nhất . GV: Muốn tìm giá trị nhỏ nhất, ta phải biến đổi P về dạng lớn hơn hoặc bằng một số không đổi, xét điều kiện dấu “=” xảy ra. Ta có : SABC = SMBC +SMCA + S MAB S = = a2 +b2+c2 +ab. Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : Do đó : 2SP P . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác , Vậy P nhỏ nhất khi M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác . Ví dụ 2: Cho hai điểm A, B như hình vẽ. Xác định vị trí của điểm M trên d sao cho tổng khoảng cách AM + MB là nhỏ nhất . Đây là một bài toán có nội dung được nhắc đến nhiều trong thực tế. Để giúp học sinh giải được bài toán này, giáo viên chúng ta cho học sinh ôn lại các kiến thức về bất đẳng thức tam giác, Gợi ý tạo hình, thay việc tính tổng AM +MB bởi tổng hai đoạn thẳng khác(sao cho đảm bảo không mất tính tổng quát). Dùng tính chất đối xứng qua một đường thẳng, tính chất về bất đẳng thức tam giác. Nếu học sinh nắm vững các kiến thức trên thì việc giải bài tập này không còn mấy khó khăn. Cụ thể : Tạo điểm A đối xứng với A’ qua d và M thuộc d nên AM = A’M( theo tính chất đối xứng ) AM + MB = A’M + MB. Xét A’MB có A’M + MB A’B.( bất đẳng thức tam giác ) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A’M + MB = A’B M A’B, mặt khác M d . Do đó M là giao điểm của d và A’B ( A’ là điểm đối xứng với A qua d ). Qua bài tập này, giáo viên có thể giáo dục cho học sinh thấy được tầm quan trọng của toán học trong đời sống thực tế. Nhờ có toán học mà chúng ta làm lợi kính tế cho mọi người, mọi nhà và cho toàn xã hội. * Ví dụ về môn hóa học : Cho 2,4 gam một kim loại hoá trị 2 tác dụng với dung dịch chứa 0,18 mol HCl thì sau phản ứng dư kim loại . Lượng kim loại trên nếu cho tác dụng với dung dịch chứa 0,22 mol HCl thì sau phản ứng dư axit . Xác định kim loại đó . Đây là một bài bất đẳng thức có nội dung hóa học. Khi dạy loại bài tập này giáo viên nên cho học sinh ôn lại cách giải bài toán bằng cách lập phương trình, lập bất phương trình, tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân. Nếu học sinh nắm được lí thuyết, biết vận dụng vào thực tế thì việc giải bài toán này cũng không quá khó khăn. Từ đó giúp cho học sinh thấy được mối quan hệ qua lại giữa các môn học, sự cần thiết phải học đều các môn. Sau đây là lời giải của bài toán trên. Giải: Gọi kim loại cần xác định trên là R , đ/k Theo bài ra ta có phương trình phản ứng : R + 2HCl RCl2 + H2 Theo phương trình phản ứng số mol HCl bằng 2 lần số mol kim loại R Số mol kim loại là: + Trường hợp 1: 0,18 mol HCl phản ứng vừa đủ với 0,09 mol R (1) + Trường hợp 2:0,22 mol HCl phản ứng vừa đuur với 0,11 mol R (2) Từ (1) và (2) ta có : 0,09 < 21,8 <R < R 26,6 Vậy kim koại cần tìm là Ma giê ( Mg = 24) B/ SAI LẦM THƯỜNG GẶP VÀ HƯỚNG KHẮC PHỤC : Trong giải bài tập, mặc dầu gặp dạng bài đã quen thuộc, tưởng chừng như điểm 10 dễ dàng nắm được trong tay, vậy mà đó cũng chỉ là điều mơ ước của học sinh mà thôi. Bởi lẻ khi giải bài tập, học sinh thường mắc phải không ít sai lầm. Có hai nguyên nhân chính dẫn đến học sinh thường mắc phải sai lầm trong khi giải bài tập. */ Nguyên nhân về lời giải : - Sai sót về kiến thức toán học ( Hiểu sai định nghĩa của khái niệm, giả thiết hay kết luận của định lí . -Sai sót về phương pháp suy luận. - Sai sót do tính sai, sử dụng kí hiệu, ngôn ngữ diễn đạt hay do hình vẽ sai .... */ Nguyên nhân về cơ sở lí luận : - Học sinh hiểu đúng, nhưng không trình bày rõ lí do ( do thời gian hạn chế hoặc học sinh nghĩ rằng không cần thiết phải trình bày ) -Học sinh cứ tưởng là đúng một cách vô lí ( thiếu cơ sở) . -Học sinh không thấy được cơ sở lí luận, nhưng lại thấy kết luận là đúng nên cứ kết luận bừa . **/ Sau đây là một số ví dụ về bài giải sai lầm thường gặp và hướng khắc phục trong khi giải bài tập “bất đẳng thức”. Ví dụ 1: Cho x. Tìm min của Cách giải sai: Sai lầm của học sinh khi giải bài này, các em đã áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số x và , bởi vì các em không chú ý đến giả thiết mà chỉ nhìn thấy, cả hai số đều không âm và tích của hai số đó bằng 1 nên ta có : = 2 . Vậy min = 2 Thực chất ở đây x và không bằng nhau do đó không được dùng bất đẳng thức Côsi. Cách giải đúng : Tham khảo ở phần phương pháp dùng bất đẳng thức Côsi ( phần trên) Ví dụ 2: Cho x 3 . Tìm min của x + Cách giải sai : Do x 3 . Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số x2 và ta được x + = . Vậy min x + = 2. Nguyên nhân sai : Học sinh đã hiểu nhầm kiến thức x2 = nên vận dụng sai bất đẳng thức Côsi. Cách giải đúng : Phân tích x + thành tổng của 4 số , trong đó có 3 số dùng được bất đẳng thức cô si ( Tích của ba số đó không còn chứa x) . Cụ thể Ta có : x + = Áp dụng bất đẳng thức cho 3 số dương ta được : . Vì x 3 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . Vậy min x + = khi x = 3. Ví dụ 3: Cho a.b ; b5 . Chứng minh rằng a +b 9 Cách giải sai thứ nhất : Học sinh giải : Do a.b ; b 5 a 4 nên a +b 9 Nguyên nhân sai: Trong biến đổi học sinh đã vận dụng và lập luận sai. Cách giải sai thứ hai: Học sinh giải , Áp dụng bất đẳng Côsi cho a và b ta được . 2= vì a = b và a.b = 20 nên a = b = Nếu giả thiết a.b = 20 là đúng thì a + b9 là sai . Như vậy, sai lầm trong bài này là đề ra sai. Cách giải đúng: Rõ ràng a.b ; b5 a >0 , b >0 a +1 >0 . Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số b và a + 1 ta được . b + (a +1) . vì a.b = 20 và b 5 nên hay b + (a +1) = 10a + b 9 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . Vậy a+b 9 khi b = 5 và a = 4 Ví dụ 4: Chứng minh với a,b cùng dấu Cách giải sai: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ta được Đây là một sai lầm không chỉ dành cho học sinh mà ngay giáo viên ( Sai sót về kiến thức thức ) nếu chúng ta không cẩn thận cũng dễ mắc phải , Mặc dầu là hai số dương nhưng . Sai lầm trong bài này là thiếu điều kiện để dấu “=” xảy ra . Người giải đã hiểu Cách giải đúng phải là : Tùy thuộc vào phương pháp lựa chọn chứng minh ( tham khảo ở phần trên) . Đơn cử một cách giải như sau : Ta có : Vì a,b cùng dấu nên ab>0 và (a-b)2 0 a, b Do đó . Vậy với a,b cùng dấu . Chú ý : Khi giải bài tập về dạng chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất . Ngoài việc tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất , cần chú ý thêm xét điều kiện để dấu “=” xảy ra. Ví dụ 5: Đề bài yêu cầu, chứng minh a2 +b2 +c2 ab +bc +ca (1) Cách giải sai : Khi giải bài này , học sinh đã suy luận : Từ (1) (2 ) Học sinh kết luận : vì (2) đúng nên (1) đúng . Đây là phép phân tích đi xuống nên từ (2) đúng ta chưa có quyền kết luận (1) đúng . Sai lầm trong bài này là học sinh chưa nắm vững bất phương t