Đề tài Hướng dẫn học sinh giải phương trình không mẫu mực

Sở Giáo dục - đào tạo hà Nội Phòng giáo dục - đào tạo thanh oai ---------- * * * ----------- › & š Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Tên đề tài Hướng dẫn học sinh giải phương trình "không mẫu mực" ------------ Họ tên: Nguyễn Thị Bích Huệ Giáo viên: Trường THCS Thanh Cao Thanh Oai - Hà Nội Năm học 2009 - 2010 Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Độc lập – Tự do – Hạnh phúc -----***----- Đề tài sáng kiến kinh nghiệm sơ yếu lí lịch Họ và tên : Nguyễn Thị Bích Huệ Ngày tháng năm sinh : 25/05/1973 Năm vào ngành :1996 Chức vụ và đơn vị công tác : Giáo viên Trường THCS Thanh Cao Thanh Oai - Hà Nội Trình độ chuyên môn : Đại học toán Hệ đào tạo : Từ xa Bộ môn giảng dạy : Toán 9 Khen thưởng : Giáo viên giỏi cơ sở . Các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được công nhận 1 . Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2 . Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức. 3. Phát triển tư duy lôgic qua một số bài toán suy luận. (đạt cấp tỉnh) Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến ban giám hiệu và các thầy cô giáo dạy toán, các em học sinh trường THCS Thanh Cao - huyện Thanh Oai - TP Hà Nội cùng các bạn bè, đồng nghiệp đã cung cấp cho tôi nhiều tài liệu quý báu để tôi hoàn thành đề tài. Để hoàn thành nội dung nghiên cứu tôi đã tham khảo, sử dụng trong đề tài rất nhiều ý kiến đánh giá, tài liệu nghiên cứu của các chuyên gia giáo dục, các nhà nghiên cứu trên nhiều lĩnh vực. Người viết xin được vô cùng cảm ơn. Xin chân thành cảm ơn hội đồng khoa học các cấp đã dành thời gian đọc, đánh giá đề tài. Rất mong nhận được ý kiến đóng góp cho đề tài được hoàn thiện hơn. Xin được chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 12 tháng 4 năm 2010 Người viết Nguyễn Thị Bích Huệ Mục lục STT Nội dung trang 1 A. Mở đầu 1 2 Tên đề tài 1 3 B.Quá trình thực hiện đề tài 3 4 I. khảo sát thực tế 3 5 II. Những biện pháp thực hiện 3 6 III.Nội dung chủ yếu của đề tài 4 7 1. Phương pháp đưa về phương trình tích 4 8 2. Phương pháp áp dụng BĐT 14 9 3. Phương pháp chứng minh nghiệm duy nhất 20 10 4. Phương pháp đưa về hệ phương trình 25 11 Một số bài tập tự luyện 33 12 C. Kết quả thực hiện có so sánh đối chứng 34 13 D. Tài liệu tham khảo 35 14 E. Những kiến nghị sau khi thực hiện đề tài 36 Chữ viết tắt dùng trong đề tài: 1. BĐT: Bất đẳng thức 2. ĐK: Điều kiện 3. GPT: Giải phương trình. 4. PT: Phương trình 5. SGK: Sách giáo khoa. 6. TXĐ: Tập xác định. 7. TM: Thoả mãn 8. THCS: Trung học cơ sở 9. VP: Vế phải 10. VT: vế trái Phần A: Mở đầu 1. Tên đề tài: Hướng dẫn học sinh giải phương trình "không mẫu mực" 2. Lí do chọn đề tài: a) Cơ sở lý luận: + Quan điểm về đổi mới phương pháp dạy học và phương pháp dạy học tích cực. + Quan điểm đổi mới phương pháp dạy học: Luật giáo dục quy định "Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên". Với mục tiêu giáo dục là "Giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tính cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc". + Phương pháp dạy học tích cực: Giúp học sinh phát huy tính tích cực tự giác chủ động sáng tạo rèn luyện thói quen và khả năng tự học, tinh thần hợp tác kỹ năng vận dụng kiến thức vào những tình huống khác nhau trong học tập và trong thực tiễn tạo niềm tin, niềm vui hứng thú trong học tập. b) Cơ sở thực tiễn: Toán học là một môn khoa học nói chung nhưng lại giữ một vai trò rất chủ đạo trong nhà trường cũng như đối với các ngành khoa học khác. Là một giáo viên giảng dạy bộ môn toán tôi nhận thấy cần thiết phải cải tiến phương pháp nhằm nâng cao chất lượng dạy học. Một trong những vấn đề rất cơ bản của đại số khối THCS là việc nắm được các phương trình sơ cấp đơn giản và cách giải những phương trình đó đối với những đối tượng là học sinh đại trà. Ngoài ra mở rộng các phương trình khó hơn, phức tạp hơn đối với đối tượng học sinh khá giỏi. - Với rất nhiều những chuyên đề được đề cập đến khi dạy Đại số cấp 2 và phương trình đại số tôi mạnh dạn tập trung suy nghĩ sâu về phương trình không mẫu mực. - Bởi vì trong quá trình học toán các học sinh có thể gặp đâu đó những bài toán mà đầu đề có vẻ "lạ" không bình thường, những bài toán không thể giải bằng cách áp dụng trực tiếp các quy tắc, các phương pháp quen thuộc. Những bài toán như vậy được gọi là "Không mẫu mực" có tác dụng không nhỏ trong việc rèn luyện tư duy toán học và thường là sự thử thách đối với các học sinh trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi vào các lớp chuyên toán... Đương nhiên quen thuộc hay "Không mẫu mực" chỉ là tương đối, phụ thuộc vào trình độ của người giải toán, có bài toán là "không mẫu mực" với người này nhưng lại là quen thuộc đối với người khác. Chuyên đề "Phương trình không mẫu mực" giúp học sinh luyện tập được nhiều bài toán giải phương trình "không mẫu mực" và một số phương pháp giải loại phương trình đó. 3. Phạm vi và thời gian thực hiện - Đề tài này của tôi được thực hiện trong quá giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 cũng như ôn luyện vào lớp 10 năm học 2009-2010. - Thời gian: 14 tiết trong đó có 2 tiết kiểm tra. 4. Phương pháp nghiên cứu: + Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Đọc sách tham khảo tài liệu. + Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: - Quan sát trực tiếp các đối tượng học sinh để phát hiện ra những vấn đề mà học sinh thấy lúng túng khó khăn. - Kiểm tra học sinh, để tìm hiểu trình độ và nhận thức của học sinh. - Dạy học thực tiễn trên lớp để rút ra kinh nghiệm B. Quá trình thực hiện đề tài I. Khảo sát thực tế 1. Tình trạng thực tế trước khi thực hiện đề tài. Trước khi thực hiện đề tài này các em học sinh đã được trang bị những kiến thức cơ bản tương đối đầy đủ của chương trình bộ môn Toán trong nhà trường phổ thông THCS. Quá trình nhận thức của các em ở mức khá có thể hoàn thành các bài toán bắt buộc trong SGK và có khả năng giải được một số bài có tính nâng cao. Mặc dù vậy khi đứng trước những bài toán khó, những bài toán "Không mẫu mực" thì việc tìm ra đường lối giải gặp phải lúng túng và bế tắc. 2. Số liệu khảo sát trước khi thực hiện đề tài: Khảo sát về việc giải phương trình không mẫu mực đối với 30 học sinh được kết quả như sau: Trước khi thực hiện đề tài Số lượng Tỉ lệ % Giỏi 1 3,3% Khá 3 10% TB 11 36,7% Dưới TB 15 50% Với bảng số liệu trên việc giải các phương trình không mẫu mực đối với học sinh là vấn đề khó khăn, số học sinh đạt điểm khá, giỏi đạt tỉ lệ rất thấp, tỉ lệ học sinh đạt điểm dưới trung bình rất cao. II. Những biện pháp thực hiện Qua kinh nghiệm giảng dạy một số năm bồi dưỡng học sinh giỏi và thông qua một số tài liệu tham khảo tôi muốn tổng hợp phân loại từ những bài toán giải phương trình cụ thể nhằm đưa ra một số phương pháp giải đối với những phương trình "Không mẫu mực" nhằm biến nó trở thành quen thuộc qua đó biết cách suy nghĩ trước những phương trình "Không mẫu mực" khác. Các phương pháp giải phương trình không mẫu mực: 1- Phương pháp đưa về phương trình tích. 2- Phương pháp áp dụng bất đẳng thức. 3- Phương pháp chứng minh nghiệm duy nhất. 4- Phương pháp đưa về hệ phương trình. III. Nội dung chủ yếu của đề tài 1. Phương pháp: Đưa về phương trình tích * Các bước: - Tìm TXĐ của phương trình. - Dùng các phép biến đổi đại số, đưa phương trình về dạng: f(x); g(x);......... h(x) = 0 là phương trình quen thuộc. Nghiệm của phương trình là tập hợp các nghiệm của phương trình: f(x) = 0; g(x) = 0; ........h(x) = 0 thuộc tập xác định. Đôi khi dùng ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn, đưa về dạng tính (với ẩn phụ). Giải phương trình với ẩn phụ, từ đó tìm nghiệm của phương trình đã cho. Dùng cách nhóm các số hạng hoặc tách các số hạng,.... để đưa phương trình về dạng quen thuộc mà ta đã biết cách giải: * Ví dụ: Bài 1: Giải phương trình: (2x2 - 3x - 1)3 - (x2 - 2)3 - (x2 - 3x + 1)3 = 0 (1) Giải: áp dụng hệ đẳng thức: (a + b)3 - (a3 + b3) = 3ab (a+ b) (1) Û Û (2x2 - 3x - 1)3 - [(x2 - 2)3 + (x2 - 3x + 1)3] = 0 Û 3(x2 - 2)(x2 - 3x + 1) (2x2 - 3x - 1) = 0 Û x2 - 2 = 0 (1.1) x2 - 3x + 1 = 0 (1.2) 2x2 - 3x - 1 = 0 (1.3) Giải (1.1) có nghiệm: x1 = ; x2 = - Giải (1.2) có nghiệm: x1 = ; x2 = Giải (1.3) có nghiệm: x1 = ; x2 = Vậy phương trình (1) có 6 nghiệm: x1 = ; x2 = -; x3 = ; x4 = ; x5 = ; x6 = Bài 2: Giải phương trình: (x2 - 3x + 2)3 = x6 - (3x - 2)3 (2) Giải: tương tự ví dụ 1 (2) Û [x2 +(-3x + 2)]2 - [(x2)3 + (- 3x + 2)3] = 0 Û 3x2 (- 3x + 2)(x2 - 3x + 2) = 0 Û x2 = 0 Û x = 0 -3x+21 = 0 Û x = x2 - 3x +2 = 0 phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 = 2 Vậy phương trình (2) có 4 nghiệm: x1 = 0 ; x2 = ; x3 = 1; x4 = 2 Bài 3: Giải phương trình (x2 - 4x + 1)3 = (x2 - x - 1) - (3x - 2)3 (3) Giải: áp dụng hằng đẳng thức: (a-b)3 - (a3 - b3) = -3ab(a- b) (3) Û [x2 - x - 1) - (3x - 2]3 - [(x2 - x - 1)3 - (3x - 2)3] = 0 Û - 3(x2 - x - 1)(3x - 2) (x2 - 4x + 1) = 0 Phương trình (3) có 5 nghiệm: x1 = ; x2 = ; x3 = ; x4 = 2+ ; x5 = Bài 4: Giải phương trình: (x2 - 3x + 2)3 + (-x2 + x + 1)3 + (-x2 + x + 1)3 + (2x - 3)3 = 0 (4) Giải: áp dụng hằng đằng thức: (a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3 = 3(a - b)(b-c)(c-a) (4) Û [(x2 - x + 1) - (2x - 3)]3 + [(2x- 3) - (x2 + x - 4)]3 + [(x2 + x - 4) - (x2 - 3x + 2)]3 = 0 Û3(x2 - 3x + 2)(-x2 + x + 1)(2x - 3) = 0 Vậy phương trình (4) có 5 nghiệm: x1 = 1; x2 = 2; x3= ; x4 = ; x5 = ; Bài 5: Giải phương trình: (5) Giải: (5) Û Û + Û Û 18 (x + 7) - 18(x+ 4) = (x+ 4)(x + 7) Û x2 + 11x - 26 = 0 Û (x + 13)(x-2) = 0 Phương trình (5) có 2 nghiệm: x1 = 13; x2 = 2 Bài 6: Giải phương trình (6) Û Û -) = Û ) = Û 13(x+13) - 13 (x + 1) = 12(x + 1) (x + 13) Û x(x+14) = 0 Phương trình (6) có 2 nghiệm: x1 = 0; x2 = -14 Bài 7: Giải phương trình: (7) Giải: (7)Û+1)+ () Û (x + 95) Û x + 95 = 0 vì < 0 Vậy (7) có 1 nghiệm: x = -95 Bài 8: Giải phương trình: (8) Giải:(8) Û) + () Û (x - 60) Û x - 60 = 0 vì < 0 Vậy (8) có 1 nghiệm: x = 60 Bài 9: Giải phương trình: (9) Giải: (9)Û+1)+ ( Û (x +100) Û x +100 = 0 vì > 0 Vậy (9) có 1 nghiệm: x = -100 Bài 10: Giải phương trình: (10) Giải:(10) Û)) = 0 Û (x - 100) Û x - 100 = 0 vì > 0 Vậy (10) có 1 nghiệm: x = 100 Bài 11: Giải phương trình; (11) Giải: (11) Û Û (4 - x2) Û (4 - x2) = 0 Do > 0 với "x Vậy (11) có 2 nghiệm: x1 = -2; x2 = 2 Bài 12: Giải phương trình: (12) Giải: (12) Û (vì ) Vậy (12) có 2 nghiệm : x1 = ; x2 = Bài 13: Giải phương trình: (3x2 - 11x + 13)(-x2 - x + 9) + (3x2 - 8x + 8)(x2 - 2x - 4) = - (2x2 - 7x + 11)(x + 1) (13) Giải: (13) Û [(x2 - 6x + 11)2 - (2x2 - 5x + 2)2] + [(2x2 - 5x + 2)2 - (x2 - 3x + 6)2] + [(x2 - 3x + 6)2 - (x2 - 4x + 5)2] = 0 Û (x2 - 6x + 11)2 - (x2 - 4x + 5)2 = 0 Û (2x2 - 10x + 16)(-2x + 6) = 0 Û - 4 (x2 - 5x + 8)(x - 3) = 0 Û x - 3 = 0 do x2 - 5x + 8 = (x - 2 + > 0 "x Vây (13) có 1 nghiệm: x = 3 Bài 14: Giải phương trình (x2 - 2x + 6)(x2 - 8x + 4) + (5x + 1)(x +1)(x2 - 3x - 3) Giải: (14) Û [(x2 - 5x + 5)2 - (3x + 1)2] + [(3x + 1)2 - (2x)2] - [(x2 - x - 3)2 - (- 2x)2] = 0 Û (x2 - 5x + 5)2 - (x2 - x + 3)2 = 0 Û (2x2 - 6x + 2)(-4x + 8) = 0 Û - 4 (x2 - 3x + 1)(x - 2) = 0 Phương trình (14) có 3 nghiệm: x1 = ; x2 = ; x3=2 Bài 15: Giải phương trình: (x - 2)(x-4)(x+6)(x+8) = -36 (15) Giải: (15) Û [(x - 2) (x + 6)] - [(x - 4)(x + 8)] = - 36 Û (x2+ 4x - 12)(x2 + 4x - 32) = -36 (*) Đặt x2 + 4x - 32 = t t = 8 Û x2 + 4x - 22 = 8 t = - 8 x2 + 4x - 22 = -8 (*) Û (t + 10) (t - 10) = - 36 Û t2 - 64 = 0 Û Û x2 + 4x - 30 = 0 x2 + 4x - 14 = 0 Phương trình (15) có 4 nghiệm: x1 = -2 + ; x2 = -2 -; x3 = -2 + ; x4 = -2 - ; Bài 16: Giải phương trình: = 3 + 2 (16) Giải: ĐK: x ≥ -3 (16) Û - 3 - 2 = 0 Û ( - 3) = 0 Û = 2 Û x + 3 = 4 Û x = 1 (TM) x = 3 x + 7 = 9 Û x = 2 (TM) Vậy (16) có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 = 2 Bài 17: Giải phương trình: x (x + 5) = 2 - 2 (17) Giải: Đặt = y ị x2 + 5x = y3 + 2 (17) Û y3 + 2 - 2y + 2 = 0 Û y3 - 2y + 4 = 0 Û (y + 2(y2 - 2y + 2) = 0 Û y + 2 = 0 do y2 - 2y + 2 = (y - 1)2 + 1 > 0 "y Û y = -2 Với y = -2 ta có x2 + 5x = -6 Û x2 + 5x + 6 = 0 Û (x + 2)(x+3) = 0 Vậy (17) có 2 nghiệm: x1 = -2; x2 = -3 Bài 18: Giải phương trình: + = 1 (18) Giải: ĐK: x ≥ -2 Đặt = t ≥ 0 Û x = t2 - 2 (18) Û + t = 1 Û = 1 - t Û 3 - t2 = 1 - 3t + 3t2 - t3 Û = 2 Û (TM) Û x = 2 t = 1 + (TM) x = 1 + t = 1 - (loại) Û t3 - 4t2 + 3t + 2 = 0 Û (t - 2)(t2 - 2t - 1) = 0 Vậy (18) có 2 nghiệm: x1 = 2; x2 = 1 + Bài 19: Gpt (19) Giải : Đặt (*) ( ĐK: y) (19) do y = 2x -1 (**) Từ (*) & (**) ĐK hoặc x = 0 (loại), x = 4/3 (thoả mãn). Bài 20: Giải phương trình: (20) Giải: Đặt: (x + 1) = y (20) 2y4 + 12y2 - 80 = 0 (*) do y2 + 10 > 0 với mọi y y = 2 hoặc y = -2 x + 1 = 2 x = 1 hoặc x + 1 = -2 x = -3 Vậy (20) có 2 nghiệm x1 = 1; x2 = -3. Chú ý: có thể mở rộng bài toán Giải phương trình: (*) (a,b,c là hằng số ) Đặt ẩn phụ: thì phương trình (*) được đưa về dạng dy4 + ey2 +g = 0 (d,e,g là hằng số ) là phương trình trùng phương. Bài 21: Giải phương trình: (21) Giải: (21) Vậy (21) có 4 nghiệm: Bài 22: Giải phương trình: (22) Giải (22) Giải pt (*) Nhận thấy x =1 không phải là nghiệm của (*) x -1 nhân 2 vế của (*) với (x - 1) pt (*) (x -1) (x4+x3+x2+x+1) = 0 x5 - 1 = 0 x5 = 1 x = 1 (Loại vì x = 1 không là nghiệm của pt) Bài 23 : Gpt (23) a là hằng số Giải : Đặt x2 +9x + a = y ( ĐK y 0) (23) xy - x2 = y2 + xy x2+y2 = 0 x2 = y2 = 0 x = y = 0 ( không TM; loại) Vậy (23) vô nghiệm. 2. Phương pháp áp dụng bất đẳng thức: * Các bước: Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(x) và f(x) a; g(x) a. ( a là hằng số ) Nghiệm của phương trình là các giá trị của x thoả mãn đồng thời: f(x) = g(x) = a. - Biến đổi phương trình về dạng h(x) = m (m là hằng số) mà ta luôn có h(x) m hoặc h(x) m , thì nghiệm của phương trình là các giá trị của x làm cho dấu "=" xảy ra. - áp dụng các bất đẳng thức Bunhia, Côsi.... và bất đẳng thức: a,b>0; a + b = Dấu "=" xảy ra khi a = b. Ví dụ: Bài 1: Giải phương trình: (1) Giải: (1) Do x = -1 Vậy (1) có 1 nghiệm x = -1. Bài 2: Giải phương trình: (2) Giải: ĐK: x (2) x = -1 (TM) Vậy phương trình (2) có 1 nghiệm là x = -1 Bài 3: Giải phương trình: (3) Giải: Đk x (3) x = 2 (TM) Vậy (3) có 1 nghiệm là x = 2. Bài 4: Giải phương trình (4) Giải: (4) (ĐK x) Ta có VT ; VP 5 Dấu "=" xảy ra Vậy (4) có 1 nghiệm là x = -1. Bầi 5: Giải phương trình: Giải: (5) Ta có VT ; VP Dấu "=" xảy ra Vậy (5) có nghiệm là x = -1. Bài 6: Giải phương trình: (6) Giải: (6) Ta có VT ; VP Dấu "=" xảy ra Vậy (6) có 1 nghiệm x = 3. Bài 7: (7) Giải: (7)Û VT + = VP = dấu "=" xảy ra Û điều này không thể xảy ra. Vậy (7) vô nghiệm. Bài 8: Giải phương trình: (8) Giải: ĐK áp dụng BĐT CoSi cho 2 số không âm ta có: VT = Nên ta có: Vậy (8) có 1 nghiệm là x = 2. Bài 9: Giải phương trình: (9) Giải: ĐK: do áp dụng BĐT Cosi cho 2 số không âm (2x+1) và (x2-x+1) Ta có: VT = Dấu "=" xảy ra Vậy (9) có 2 nghiệm là x1=0 và x2=3 Bài 10: Giải phương trình: (10) Ta có: x2 - 2x + 2 = (x-1)2 +1 > 0 với mọi x áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dương ta có: VP = Dấu "=" xảy ra Vậy (10) có 1 nghiệm là x = 1,5. Bài 11: Giải phương trình: (11) Giải: ĐK Với a,b >0 ta có Dấu "=" xảy ra Do đó VT = VP = Dấu "=" xảy ra vậy (11) có nghiệm là x = 6. Bài 12: Giải phương trình: (12) Giải: ĐK áp dụng : với mọi a,b > 0 ta có Nên VT = VP = Dấu "=" xảy ra Vậy (12) có 1 nghiệm là x = 3. Bài 13: Giải phương trình: (13) Giải: (13) ĐK + Nếu 1 - 2x > 0 VT > VP PT vô nghiệm. + Nếu 1 - 2x < 0 VT< VP PT vô nghiệm. + Nếu 1 - 2x = 0 khi đó VT = VP Vậy (13) có 1 nghiệm là . Bài 14: Giải phương trình: (14) Giải: ĐK (14) Û Û áp dụng BĐT dấu "=" xảy ra Û a.b Ta có VT = Dấu "=" xảy ra Û Vậy (14) có nghiệm mọi x sao cho Bài 15: Giải phương trình : (15) Giải: ĐK ; y áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số không âm ta có: VT Dấu "=" xảy ra Vậy phương trình (15) có 1 cặp nghiệm (x,y) = (2;2). Bài 16: Giải phương trình: (16) Giải: áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho 4 số ta có: Dấu "= " xảy ra ad = bc Với a = 2; b = 3; c = x2 - 3x +6; d = x2 - 2x +7 . Ta có (22 + 32) Dấu "= " xảy ra 3(x2-3x+6) = 2(x2-2x+7) x2-5x+4 = 0 x = 1 hoặc x = 4 Vậy (16) có hai nghiệm x1 =1; x2 = 4 Bài 17: Giải phơng trình: (17) Giải : Tương tự bài 16. Với a = 1; b = 3; c = x2 +2; d = x3 + 3x - 3 Ta có: (12 + 32) Dấu "=" xảy ra x-1 = 2 x = 3 Vậy (17) có nghiệm x = 3. 3. Phương pháp chứng minh nghiệm duy nhất: * Các bước: ở một số phương trình ta có thể thử trực tiếp để thấy nghiệm của chúng, rồi tìm cách chứng minh rằng ngoài nghiệm này ra không còn nghiệm nào khác nữa. * Ví dụ: Bài 1: Giải phương trình: (1) Giải: + Nhận thấy x = 0 là nghiệm của (1) vì 23 + 30 = 9 + Nếu x > 0 ta có Do đó x 0 không thể là nghiệm của (1). Vậy (1) có 1 nghiệm là x = 0. Bài 2: Giải phương trình: với x > 0 . (2). Giải: +) Nhận thấy x = 1 là nghiệm của (*) +) Xét x > 1 ta có > 1x = 1 và x2 > x nên x - x2 < 0 do đó Vậy x >1 không là nghiệm của (2) + )Xét 0 < x < 1 ta có nên > > 0< x <1 không là nghiệm của (2) Vậy (2) có 1 nghiệm x =1 Bài 3 : Gpt (3) Giải : ĐK + Nhận thấy x = 1 là 1 nghiệm của pt vì 1 + + Xét x >1 Ta có pt không có nghiệm x > 1 + Xét 0<x < 1 Ta có pt không có nhiệm 0 <x <1 Vậy (3) có 1 nghiệm x = 1 Bài 4 : Gpt : (4) Giải : ĐK x +) Nhận thấy : x = 2 là nghiệm của (4) vì : + +) Xét x > 2 > + pt không có nghiệm x >2 +) Xét < + pt không có nghiệm Vậy (4) không có nghiệm x = 2 Bài 5 : Giải pt (5) Giải (5) (*) + Nhận thấy x = 2 là nghiệm của (*) vì + Xét x >2 ta có VP = < =1 pt không có nghiệm x > 2 + Xét x =1 pt không có nghiệm x <2 Vậy pt (5) có nghiệm x =2 Bài 6 : Giải pt 3x + 4x = 5 x (6) Giái (6) (*) + Nhận thấy x = 2 là nghiệm của (*) vì + Xét x >2 ta có VT = < = 1 không là nghiệm của pt Vậy (6) có nghiệm x = 2 Bài 7 : Giải pt 3x (1 - 4x) = 4x (7) Giải (7) (*) + Nhận thấy x = -1 là nghiệm của (*) Vì + Xét x > -1 ta có : không là nghiệm của pt + Xét x <-1 ta có không là nghiệm của pt Vậy (7) có 1 nghiệm x =1 Bài 8 : Giải pt 2x+3x +5x-1 = 21-x +31-x+51-x (8) Giải (8) +)Nhận thấy là nghiệm của (8) +) Xét 22x -1 > 1 33x-1>1 52x-1>1 VT > 0 pt không có nghiệm x > +) Xét x < 22x -1 < 1 33x-1 <1 52x-1 <1 VT < 0 pt không có nghiệm x < Bài 9 : Giải pt (9) Giải (9) +) Nhận thấy x =3 hoặc x =4 là nghiệm của pt (*) +) Xét x 1 VT >1 pt không có nghiệm sao cho x <3 +) Xét 3 <x <4 0 < x -3 < 1 0 < 4 - x <1 0 < x - 3 <1 0 < 4 - x < 1 0<( 4 - x)1995 <1 Do đó (x - 3)1994 < x -3 (4 - x)1995 < 4 - x < x -3 + 4 -x = 1 pt không có nghiệm sao cho 3 < x <4 +) Xét x > 4 x -3 > 1 >1 pt không có nghiệm x > 4 Vậy (9) có 2 nghiệm x1 = 3 và x2 = 4 Bài 10 : Giải pt (10) Giải (10) +) Nhận thấy x =2; x =3 là nghiệm của (10) +) Xét x 1 pt không có nghiệm x sao cho x <2 +) xét 2 < x < 3 ta có 0 < x -2 < 1 0 < 3 -x <1 (x -2)2000 < x -2 (3 -x) 2001 < 3 - x pt không có nghiệm sao cho 2 < x <3 Vậy (10) có 2 nghiệm x1 = 2; x2 = 3 4. Phương pháp đưa về hệ phương trình * Các bước : - Tìm đk tồn tại của pt - Biến đổi pt đó xuất hiện nhân tử chung - Đặt ẩn phụ thích hợp để đưa việc giải phương trình về việc giải hệ phương trình quen thuộc. * Ví dụ : Bài 1 : Giải pt (1) Giải : ĐK x +10 Ta có : Đặt u 0 0 Ta có : u2 - v2 = 2x += 2x + = 2 u + v = 2+1 Vậy (1) trở thành u2 - v2 = 2 u + v = 2 u, v 0 Ta có hệ = x +1 (x+1) - - 2 = 0 x+1 = 4 x =3 (thỏa mãn) loại Vậy (1) có 1 nghiệm x = 3 Bài 2 : Gpt (2) Giải : ĐK Đặt = >0 Ta có hệ pt (TM) ( loại) Vậy pt (2) có nghiệm Bài 3 : Giải pt 2 - x2 = (3) Giải : ĐK - Đặt y = x = 2 - y2 Ta có hệ pt y2 - x2 = y - x (y - x) (y+x -1) = 0 (y - x) (y+x -1) = 0 + Thay y = x vào (1) ta có 2 - x2 = y x2 +x -2 = 0 (TM) (Loại) + Thay y = 1 +x vào (1) ta có 2 - x2 = 1+x x2 - x -1 = 0 ; (Loại) (TM) Vậy (3) có 2 nghiệm x1 = 1; Bài 4: Giải phương trình (4) ĐK: hoặc Giải: Đặt 5 - x = t2 x = 5- t2. Ta có hệ phương trình: (2) (1) x2 - t2 = t + x *) Thay -x = t vào (1) ta có x2 - 5 = -x và x < 0 (loại) (TM) *) Thay t = x - 1 vào (1) ta có x2 - 5 = x - 1 và x > 1 (TM) (loại) Vậy PT (4) có 2 nghiệm là: Bài 5: Giải phương trình: (5) Giải: Đặt Ta có hệ phương trình: (1) (2) Do x - t = 0 x = t Thay x = t vào (1) ta có phương trình x3 + 1 = 2x x3 - 2x +1 = 0 (x - 1) (x2 + x - 1) = 0. Vậy (5) có 3 nghiệm là: x1 = 1; Bài 6: Giải phương trình: (7) Giải: Đặt ; Ta có hệ phương trình: Giải hệ phương trình ta được: ; ; Vậy phương trình (6) có hai nghiệm là : x1 = 2 ; x2 = -2 Bài 7: Giải phương trình (7) Giải: Đặt ; Ta có hệ phương trình: (2) (1) thay vào (1): Do đó: Ta có: Vậy (7) có 1 nghiệm là x = 0. Chú ý: Đối với phương trình có dạng Ta thường đặt ; khi đó ta có hệ : Giải hệ phương trình này ta được U và V từ đó ta tìm được x. Bài 8: Giải phương trình: (8) Giải: ĐK Đặt: ; Ta có hệ phương trình: Bài 9: Giải phương trình: (9) Giải: Đặt ; Ta có hệ phương trình: là nghiệm của PT : ; *) Nếu PT vô nghiệm *) Nếu do đó: *) Nếu khi đó Bài 10: Giải phương trình: (10) Giải: Đặt ; ta có hệ phương trình: Ta có: Vậy PT (10) có hai nghiệm x1 = -61; x2 = 30. *- Một số bài tập tự luyện: Giải các phương trình sau: 1) x3 - 7x - 6 = 0 2) x3 - 6x2 +11x - 6 = 0. 3) 4) 6x + 72 = 8. 3x + 9. 2x 5) 64x3 = (x - 2)3 + (3x + 2)3 6) 7) 8) 16x +7.4x +5 =3.2x+2 9) 10) 2x3 + 5x + 1960 = 11) với n N; n 2. 12) 36(x2 + 11x + 30) ( x2 + 11x +31 ) = (x2 + 11x + 12) (x2 + 9x + 20) (x2 + 13x +42) 13) x4 - 8x -7 = 0 14) (ac - a)2(xc - x +1)3 = (ac - a +1)3 (xc - x)2 a là một số cho trước tuỳ ý 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) C. Kết quả thực hiện có so sách đối chứng: Đã tiến hành kiểm tra với hai đối tượng học sinh trước khi thực hiện đề tài này là học sinh giỏi lớp 9 Trước khi thực hiện đề tài Sau khi thực hiện đề tài Số lượng Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ % Giỏi 1 3,3% 10 33,3% Khá 3 10% 14 46,7% TB 11 36,7% 6 20% Dưới TB 15 50% 0 Như vậy sau khi thực hiện đề tài kết quả học sinh nắm được phương pháp giải phương trình không mẫu mực và áp dụng làm rất tốt bài kiểm tra. D. Tài liệu tham khảo: 1. Sách giáo khoa Đại số 8, 9. 2. Sách bài tập đại số 8,9. 3.Sách phát triển và nâng cao 8,9. 4. Sách nâng cao các chuyên đề lớp 8,9. 5. Chuyên đề về phương trình và hệ phương trình không mẫu mực. 6. Chuyên đề bất đẳng thức và ứng dụng trong đại số... ----------------------------------------- E. Những kiến nghị sau quá trình thực hiện đề tài: Là giáo viên trẻ, kinh nghiệm giảng dạy và kiến thức tích luỹ chưa được nhiều, tài liệu tham khảo còn hạn chế, mong Hội đồng khoa học đóng góp ý kiến bổ sung cho đề tài được tốt hơn. Xin chân thành cảm ơn ! Thanh Cao, Ngày 15 tháng 4 năm 2010 Tác giả Nguyễn Thị Bích Huệ ý kiến của hội đồng khoa học nhà trường Hiệu trưởng Bùi Thị Kim Anh