Đề tài Luật mạnh số lớn trong đại số Von Neumann

|a|p−1u∗ ||a|| p/q p ở đây 1/p+ 1/q = 1 . Khi đó dễ thấy ||b||q = 1 và τ(ba) = ||a||p. Tức là ||a||p = sup||b||q=1|τ(ba)| (1.3) và supremum là đạt được. Từ đây ta dễ dàng thu được bất đẳng thức Minkowski ||a + b||p ≤ ||a||p + ||b||p (1.4) CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 23 với a, b trong L. Vì vế trái là τ(c(a+ b)) với c thỏa mãn ||c||q = 1 ,nhưng nó bằng τ(ca)+τ(cb), do đó nhỏ hơn vế phải theo bất đẳng thức Holder. Cuối cùng ,chú ý rằng ||a||p = 0 kéo theo a = 0 do tính đúng của τ . Do vậy L là không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn ||.||p . Gọi Lp là không gian Banach tương ứng với L sau bổ sung cho đầy đủ. Nếu a ≥ 0 trong L với biểu diễn phổ a = ∞∫ 0 λdeλ thì ||a||pp = τ(a p) = ∞∫ 0 λpdτ(eλ) nên ||a||pp ≥ λ pτ(eλ) (1.5) với mọi λ ≥ 0. Vậy , nếu an trong L là dãy Cauchy trong Lp thì nó là dãy Cauchy theo độ đo. Do đó tồn tại một ánh xạ tuyến tính tự nhiên liên tục của Lp vào A˜. Ta chứng minh được rằng ánh xạ tự nhiên này là đơn ánh. Định nghĩa 1.3.1. Đối với toán tử dương tự liên hợp a kết hợp với A bất kì , ta đặt τ(a) = supn∈Nτ( n∫ 0 λdeλ) ở đây a = ∞∫ 0 λdeλ là biểu diễn phổ của a . Khi đó với mỗi p ∈]1,∞[ ta có thể định nghĩa Lp(A, τ) = {a ∈ A¯ ∣∣∣τ(|a|p) <∞} và ||a||p = τ(|a| p)1/p <∞, a ∈ Lp(A, τ) CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 24 .(Lp(A, ), ||.||p) là các không gian Banach trong đó I = {x ∈ A ∣∣∣τ(|x|) <∞} là trù mật , và tất cả chúng được chứa trong ( hoặc thậm chí là nhúng liên tục trong ) A˜ Lời bình Khái niệm về toán tử đo được được đưa ra bởi I.E.Segal [17] và tạo thành cơ sở cho việc nghiên cứu lý thuyết tích phân không giao hoán , tức là lý thuyết ′′ tích phân ′′ . Ở đó L∞(X, µ) ( tương ứng với không gian đo (X, µ) ) được thay thế bởi đại số von Neumann tổng quát hơn. Lý thuyết này đóng vai trò chính trong việc xây dựng các không gian Lp kết hợp với các đại số von Neumann nửa hữu hạn là không gian cụ thể của các toán tử đóng xác định trù mật .Trong [18] , E.Nelson đã đưa ra một hướng tiếp cận mới đòi hỏi ít kiến thức về kĩ thuật đại số von Neumann − cho lý thuyết này , dựa trên khái niệm về tính đo được theo một vết (bắt nguồn từ khái niệm hội tụ theo độ đo được giới thiệu bởi W.F.Stinespring trong [16] ).Toán tử đo được bất kì cũng đo dược theo nghĩa Segal ( trong khi điều ngược lại nói chung không đúng ). Tuy nhiên ,tập hợp các toán tử τ− đo được đủ lớn để chứa các không gian Lp theo τ . 1.3.1 Hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann Lý thuyết xác suất không giao hoán là nền tảng toán học của cơ học lượng tử, nó có thể coi là mở rộng tự nhiên của lý thuyết xác suất cổ điển. Trong cơ học cổ điển, với mỗi hệ hạt điểm vật lý có một đa tạp khả vi U tương ứng .Các trạng thái của hệ được biểu diễn bởi các điểm của U , và các lượng vật lý (các quan sát được ) sẽ được mô tả bởi các hàm (đo được) trên đa tạp U . Trong cơ học lượng tử, với mỗi hệ vật lý có một không gian Hilbert H tương ứng. Với hệ có số bậc tự do hữu hạn , các trạng thái hỗn hợp được cho bởi các toán tử lớp vết dương ( toán tử trù mật ) .Các quan sát được sẽ được biểu diễn bởi các toán tử tự liên hợp hoạt động trên H. Đối với hệ hạt có số bậc tự do vô hạn , người ta đồng nhất trạng thái của hệ với trạng thái ( toán học ) trên một đại số toán tử A thích hợp . Trong hầu hết trường hợp ta có thể lấy A là đại số toán tử von Neumann hoạt động trên một không gian phức CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 25 (khả ly) . Đại số tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trên H là một đại số von Neumann. Trường hợp cổ điển dẫn ta đến đại số von Neumann giao hoán L∞(U,Bu, µ) các hàm đo được bị chặn trên một không gian đo (U,Bu, µ) . Khi đó các hàm đo được không bị chặn sẽ được ′′ gắn ′′ vào L∞(U,Bu, µ) một cách tự nhiên. Độ đo µ sau khi thác triển duy nhất thành tích phân ∫ U f(dµ) là một trạng thái chuẩn tắc đúng trên L∞. Do đó trường hợp cổ điển được coi là sườn của đại số von Neumann (giao hoán). Đối với một không gian xác suất (Ω, F, µ) , gọi L∞(Ω, F, µ) là đại số (các lớp tương đương ) tất cả các hàm nhận giá trị phức, bị chặn cốt yếu và F− đo được trên Ω. Nó có thể coi là một đại số von Neumann giao hoán hoạt động trong L2(Ω, F, µ) nếu ta đồng nhất hàm g ∈ L∞ với toán tử nhân ag : f → fg, với f ∈ L2. Đại số A = L∞(Ω, F, µ) có trạng thái vết chuẩn đúng τµ ( cho bởi τµ(f) = ∫ Ω fdµ ). Theo định lý Ergoroff, sự hội tụ µ− hầu chắc chắn của dãy (fn) từ A là tương đương với sự hội tụ hầu đều của nó. Tức là ta có thể phát biểu lại hội tụ hầu chắc chắn bằng chuẩn trong L∞ , trạng thái τµ và các hàm đặc trưng. Định nghĩa 1.3.2. Giả sử A là đại số von Neumann với trạng thái chuẩn tắc đúng φ. Ta nói rằng dãy (xn) các phần tử của A hội tụ hầu đều tới phần tử x ∈ A nếu với mỗi ε > 0 ,tồn tại một phép chiếu p ∈ A với φ(1− p) < ε thỏa mãn ||(xn − x)p|| → 0 khi n→∞. Chú ý. Định nghĩa trên không phụ thuộc vào cách chọn φ do đó hội tụ hầu đều tương đương với hai điều kiện sau: (*) Trong mọi lân cận mạnh của đơn vị trong A , tồn tại phép chiếu p sao cho ||(xn − x)p|| → 0 , khi n→∞ (**) Với mỗi trạng thái chuẩn đúng φ trên A và ε, tồn tại phép chiếu p ∈ A với φ(1− p) < ε thỏa mãn ||(xn − x)p|| → 0 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 26 Nhận xét. Nếu φ là một trạng thái chuẩn tắc đúng thì topo mạnh trong hình cầu đơn vị S trong A có thể metric hóa bởi khoảng cách dist(x, y) = φ[(x− y)∗(x− y)]1/2 Định lý 1.3.3. Giả sử A là một đại số von Neumann với trạng thái chuẩn đúng φ. Với dãy bị chặn các toán tử (xn) từ A sự hội tụ hầu đều kéo theo sự hội tụ mạnh (σ− mạnh) của (xn). 1.3.2 Các kiểu hội tụ ′′ hầu chắc chắn ′′ trong đại số von Neumann Khái niệm hội tụ hầu đều là sự tổng quát của khái niệm hội tụ hầu chắc chắn cho đại số von Neumann . Ta có thể xét các phiên bản không giao hoán khác của khái niệm này. Định lý 1.3.4. Giả sử A là một đại số von Neumann với trạng thái chuẩn đúng φ .Với mọi dãy bị chặn (xn) trong A, các điều kiện sau là tương đương (i) Với mọi ε > 0 , tồn tại phép chiếu p trong A với φ(1 − p) < ε và số nguyên dương N sao cho ||(xn − x)p|| < ε với n ≥ N. (ii) Với mọi ε > 0 , tồn tại phép chiếu p ∈ A với φ(1− p) < ε sao cho ||(xn − x)p|| → 0 khi n→∞. (iii) Với ε, tồn tại dãy các phép chiếu (pn) trong A tăng tới 1.( trong topo mạnh ) sao cho ||(xn − x)pn|| < ε với n = 1, 2, ... CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 27 (iv) Với mọi phép chiếu khác không p trong A tồn tại phép chiếu khác không q ∈ A sao cho q ≥ p và ||(xn − x)q|| → 0 khi n→∞ Rõ ràng trong trường hợp đại số von Neumann giao hoán L∞(Ω, F, µ) cả 4 điều kiện vừa thành lập đều tương đương với hội tụ µ− hầu chắc chắn. Định lý 1.3.5. Nếu φ là một trạng thái vết chuẩn đúng ( tức A là đại số von Neumann hữu hạn ) thì cả 4 điều kiện trên là tương đương. Giả sử φ là một vết ( hữu hạn hoặc nửa hữu hạn ) . Xét ∗− đại số A các toán tử đo được đối với (A, φ) theo nghĩa Segal − Nelson. Hội tụ hầu đều (hay hội tụ gần đều khắp nơi )cũng có thể được xét đối với dãy trong A˜ (cụ thể là đối với dãy (xn) trong L1(A, φ)). Định nghĩa 1.3.6. Một dãy (xn) trong A˜ được gọi là hội tụ hầu đều tới x nếu với mỗi ε > 0, tồn tại phép chiếu p ∈ A sao cho φ(p⊥) < ε, (xn − x)p ∈ A với n > n0 và ||(xn − x)p|| → 0 khi n→∞. Định lý 1.3.7. Dãy (xn) trong A ( trong A˜ nếu φ là một vết ) được gọi là hội tụ hầu đều hai phía tới x ∈ A hay (A˜) nếu với mỗi ε > 0 ,tồn tại phép chiếu p ∈ A sao cho φ(1− p) < ε và ||(xn − x)p|| → 0 khi n→∞ CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 28 1.3.3 Dạng không giao hoán của định lý Egoroff Mệnh đề 1.3.8. Giả sử A là một đại số von Neumann hoạt động trong không gian Hilbert H. Nếu dãy (xi) trong A hội tụ mạnh tới x0 thì với mọi ε > 0 , tồn tại dãy (pi) ⊂ ProjA sao cho pi → 1 mạnh và ||(xi − x0)pi|| < ε với i = 1, 2, ... Định lý 1.3.9. (Định lý Egoroff không giao hoán) Giả sử A là một đại số von Neumann với trạng thái chuẩn đúng φ ; xn là dãy trong A hội tụ đến x theo topo toán tử mạnh . Khi đó với mọi phép chiếu p ∈ A và mọi ε > 0, tồn tại phép chiếu q ≤ p trong A và dãy con (xnk) của (xn) sao cho φ(p− q) < ε và ||(xnk − x)q|| → 0 khi k →∞. Bổ đề 1.3.10. Giả sử {xn} là một dãy toán tử dương từ A và {εn} là một dãy số dương . Nếu ∞∑ n=1 ε−1n φ(xn) < 1/2 thì tồn tại phép chiếu p ∈ A sao cho φ(p) ≥ 1− 2 ∞∑ n=1 ε−1n φ(xn) và ||pxnp|| ≤ 2εn với mọi n = 1, 2, .... Định lý 1.3.11. Định lý Rademacher-Menchoft. Giả sử ξ1, ξ2, .... là dãy các biến ngẫu nhiên trực giao và c1, c1, .... là dãy số thực thỏa mãn ∞∑ k=1 c2k(lgk) 2 <∞ Khi đó chuỗi ∞∑ k=1 ckξk hội tụ với xác suất 1. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 29 Các kí hiệu sử dụng trong đề tài : A kí hiệu 1 đại số von Neumann hoạt động trong một không gian Hilbert phức H ; A′ là hoán tập của A;φ là một trạng thái trên A ; A+ là nón các toán tử dương trong A ; ProjA là tập hợp tất cả các phép chiếu trực giao trong A .Với p ∈ ProjA luôn luôn p⊥ = 1 − p. Toán tử đơn vị trong A là 1, đối với tập con Borel Z của đường thẳng thực và toán tử tự liên hợp x , kí hiệu eZ(x) là phép chiếu phổ của x tương ứng với Z. Với x ∈ A thì |x|2 = x∗x. A˜ là tập các toán tử đóng ,τ− đo được , xác định trù mật. A là tập các toán tử đóng , xác định trù mật và kết hợp với A 1.3.4 Khái niệm về luật số lớn Một biến cố ngẫu nhiên có thể xảy ra mà cũng có thể không xảy đối với mỗi phép thử. Đại lượng ngẫu nhiên có thể lấy một trong các giá trị có thể của nó. Nhưng khi xét một số lớn những biến cố ngẫu nhiên hay đại lượng ngẫu nhiên , ta có thể thu được kết luận nào đó mà trên thực tế có thể xem là chắc chắn. Trong lý thuyết xác suất người ta gọi những định lý khẳng định dãy nào đó những đại lượng ngẫu nhiên hội tụ theo xác suất về hằng số là những định lý luật số lớn . Những định lý luật số lớn cổ điển ( luật số lớn đối với hội tụ theo xác suất ) như định lý Bernoulli và định lý Chebyshev , Khinchin...và luật số lớn đối với hội tụ hầu chắc chắn như định lý Kolmogorov. Định nghĩa 1.3.12. Luật yếu số lớn còn được gọi là định lý Khinchin Xét n biến ngẫu nhiên X1, X2, ...., Xn độc lập , cùng phân phối với phương sai hữu hạn và kỳ vọng E(X). Khi đó với mọi số thực ε dương , xác suất để khoảng cách giữa trung bình tích lũy Yn = X1 +X2 + ...+Xn n và kỳ vọng E(X) lớn hơn ε là tiến về 0 khi n tiến về vô cực. limn→∞P (∣∣∣X1 +X1 + ....+Xn n −E(X) ∣∣∣ ≥ ε) = 0 Định nghĩa 1.3.13. Luật mạnh số lớn Kolmogorov Xét n biến ngẫu nhiên độc lập X1, X2, ........., Xn cùng phân phối xác suất với phương sai E(|X|) <∞ . Khi đó trung bình tích lũy Yn = X1 +X2 + ....+Xn n CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 30 hội tụ hầu như chắc chắn về E(X) .Tức là P ( limn→∞Yn(ω) = E(X) ) = 1 Chương 2 Luật mạnh số lớn trong đại số von Neumann Trong chương này chúng ta sẽ đề cập đến một số kết quả được coi là mở rộng của định lý cổ điển cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập ( hay không tương quan ) . Dĩ nhiên ta sẽ cần khái niệm tổng quát tương ứng về tính độc lập trong đại số von Neumann. Việc thiết lập lại định nghĩa cổ điển không khó. Nhưng điều cần nhấn mạnh ở đây là tính độc lập liên quan đến trạng thái φ là một điều kiện rất hạn chế ,đặc biệt khi φ không phải là vết.Khái niệm độc lập trong xác suất không giao không đóng vai trò quá quan trọng như trong xác suất cổ điển. Đó là lý do vì sao các định lý về dãy toán tử độc lập dường như ít quan trọng so với các định lý martingale hay ergodic . Rất may là đối với trạng thái vết (tracial state) thì các kĩ thuật vẫn tương tự như trường hợp cổ điển.Vì vậy ta thu được rất nhiều kết quả đúng cho cả trường hợp giao hoán và không giao hoán theo cách làm không khác nhiều cách làm cổ điển . Thay cho việc nghiên cứu tính độc lập, ta sẽ nghiên cứu tính trực giao ( liên quan đến trạng thái φ) với điều kiện kém chặt hơn nhiều. Các định lý liên quan đến dãy trực giao dường như được ứng dụng nhiều hơn, và sẽ được nghiên cứu trong chương này. Các định lý như vậy có liên hệ với lý thuyết tương quan trong các quá trình ngẫu nhiên lượng tử ( xem [14] ) và cho ta một số thông tin về biến thiên tiệm cận của dãy quan sát được không tương quan. 31 CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 32 Nếu trạng thái φ là vết thì ta sẽ thiết lập được một số định lý cho dãy toán tử đo được. Chính xác hơn, ta sẽ xét dãy (xn) ⊂ A˜ ,với A˜ là *- đại số tô pô các toán tử đo được theo nghĩa Segal-Nelson . Các thuật ngữ và một số kết quả liên quan đến toán tử đo được có thể xem thêm tài liệu trong phần phụ lục. 2.1 Tính độc lập Cho A là một đại số von Neumann với trạng thái chuẩn tắc đúng φ ( faithful normal state φ ) . Kí hiệu A1, A2 là các đại số von Neumann con của A . Theo Batty [11] ta có 2 phiên bản của khái niệm φ− độc lập đối với dãy toán tử . Định nghĩa 2.1.1. Các đại số con A1, A2 được gọi là độc lập ( liên quan đến φ ) nếu φ(xy) =φ(x)φ(y) với mọi x ∈ A1, y ∈ A2 . Rõ ràng quan hệ độc lập có tính chất đối xứng. Định nghĩa 2.1.2. Các phần tử x, y ∈ A ( hay từ A˜ nếu φ là trạng thái vết ) được gọi là độc lập nếu các đại số von Neumann W ∗(x) và W ∗(y) lần lượt sinh ra bởi x và y là độc lập. Dãy {xn} các phần tử từ A ( hay A˜ nếu φ là một vết ) được gọi là độc lập liên tiếp nếu với mỗi n , đại số W ∗(xn) độc lập với W ∗(x1, x2, ...., xn−1) . Định nghĩa 2.1.3. Họ {Bλ, λ ∈ Λ} của các đại số von Neumann con của A ( hay trong A˜ nếu φ là vết ) gọi là độc lập yếu nếu Bλ độc lập với W ∗{Bµ;µ ∈ Λ− {λ}} 2.2 Hội tụ hầu đầy đủ trong đại số von Neumann Từ đây ta sẽ sử dụng một số kiểu hội tụ trong A Ta công nhận định nghĩa sau: CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 33 Định nghĩa 2.2.1. Dãy {xn} trong A được gọi là hội tụ hầu đầy đủ tới x nếu với mọi ε > 0 ,tồn tại dãy (qn) các phép chiếu trong A sao cho∑ n φ(1− qn) <∞ và ||(xn − x)qn|| < ε; n = 1, 2, .... Trước hết ta lưu ý rằng nếu φ là vết thì hội tụ hầu đầy đủ kéo theo hội tụ hầu đều. Chứng minh. Thật vậy , giả sử xn → 0 hầu đầy đủ. Khi đó tồn tại dãy các phép chiếu qn sao cho ||xnqn|| < ε, n = 1, 2, ... và∑ n φ(q⊥n ) <∞ Đặt : pn = ∞∧ s=n qn , ta có : φ(1− pn) ≤ ∞∑ s=n φ(1− qn) → 0 Tức là xn → 0 hầu khắp nơi . Theo định lý 1.3.5 thì xn → 0 hầu đều. Khi φ là một trạng thái , ta có kết quả sau: Định lý 2.2.2. Giả sử A là đại số von Neumann với trạng thái chuẩn tắc đúng φ , và (xn) là dãy bị chặn trong A . Nếu xn → x hầu đầy đủ thì xn → x hầu đều. Chứng minh. Giả sử ||xn|| ≤ 1 và x = 0 . Cho trước ε > 0. Ta sẽ tìm dãy (qn) các phép chiếu trong A sao cho :∑ n φ(q⊥n ) <∞ CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 34 và ||xnqn|| < ε với n = 1, 2, ... Cố định dãy số dương (εn) thỏa mãn: εn → 0 và ∞∑ n=1 φ(1− qn)ε −1 n < ε/2 Theo bổ đề 1.3.10 , tồn tại phép chiếu p ∈ A với φ(p⊥) < ε và thỏa mãn ||pq⊥n p|| = ||qnp ⊥||2 < 2εn;n = 1, 2, .... Khi đó ta có: ||xnp|| ≤ ||xnqnp||+ ||xnq ⊥ n p|| ≤ ||xnqn||+ ||q ⊥ n p|| < ε+ (2εn) 1/2 < 2ε với n > M0(ε) Vì vậy điều kiện sau được thỏa mãn: (*) Với mỗi ε > 0 , tồn tại phép chiếu p với φ(p) ≥ 1− ε và thỏa mãn ||xnp|| n0(ε); Theo định lý 1.3.4 thì xn → 0 hầu đều ; 2.3 Định lý giới hạn mạnh cho dãy trực giao Trong mục này ta sẽ chứng minh định lý giới hạn mạnh sau đây về dãy trực giao liên quan đến một trạng thái . Định lý 2.3.1. [15] Giả sử A là đại số von Neumann với trạng thái chuẩn tắc đúng φ , và (xn) là dãy trực giao từng đôi trong A (tức là φ(x∗nxm) = 0 với m 6= n) Nếu : ∞∑ n=1 ( lgn n )2φ(|xn| 2) <∞ (2.1) Thì các trung bình : Sn = 1 n n∑ k=1 xk (2.2) hội tụ hầu đều tới 0 CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 35 Để chứng minh định lý này ta sẽ bắt đầu với kết quả như sau . Mệnh đề 2.3.2. Giả sử (yn) là dãy trực giao từng đôi trong A . Đặt: tn = n∑ k=1 yn (2.3) Khi đó tồn tại dãy toán tử dương Bm trong A sao cho : |tn| 2 ≤ (m+ 1)Bm 1 ≤ n ≤ 2 m (2.4) và φ(Bm) ≤ (m+ 1) 2m∑ k=1 φ(|yk| 2) (2.5) Chứng minh. Việc chứng minh dựa trên ý tưởng của Plancherel [ 7] và được trình bày trong lý thuyết về chuỗi trực giao ( xem [8] ). Ta sẽ bắt đầu với biểu diễn nhị phân của chỉ số n ; ta chia khoảng I = (0, 2m] thành các khoảng (0, 2m−1] và (2m−1, 2m] ,mỗi khoảng này lại tiếp tục được chia đôi .... và ta sẽ thu được dãy phân hoạch của I . Các phân tử của phân hoạch đầu tiên có độ dài 2m−1 ,cácphân tử của phân hoạch thứ r có độ dài 2m−r . Đối với số nguyên dương n ≤ 2m , ta có biểu diễn nhị phân của nó. Khi đó khoảng (0, n] có thể viết thành tổng của nhiều nhất m khoảng rời nhau I(n)j mỗi khoảng thuộc một phân hoạch khác nhau , tức là : (0, n] = m⋃ j=0 I (n) j (2.6) Với I(n)j là tập rỗng hoặc là khoảng có độ dài |I (n) j | ; (j=1,2,...m) Ta có thể viết : tn = m∑ j=0 ∑ k∈I (n) j yk (2.7) (đương nhiên , ta sẽ đặt ∑ k∈I (n) j yk = 0 CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 36 nếu I(n)j trống ) . Bây giờ ta chú ý rằng với dãy Z1, Z2, ...., Zn trong A , ta có : | n∑ k=1 Zk| 2 ≤ n n∑ k=1 |Zk| 2 (2.8) Điều này dễ dàng suy ra bằng quy nạp từ bất đẳng thức : x∗y + y∗x ≤ x∗x+ y∗y Đặt: Bm = ∑ I | ∑ k∈I yk| 2 (2.9) Ở đây I chạy trên tất cả các khoảng là phần tử của phân hoạch của (0, 2m]. Khi đó ta có: |tn| 2 ≤ (m+ 1) m∑ j=0 | ∑ k∈I (n) j yk| 2 ≤ (m+ 1)Bm (2.10) Hơn nữa Bm không phụ thuộc vào n ∈ (0, 2] nên (2.5) đúng . Mệnh đề được chứng minh xong . * Chứnh minh định lý 2.3.1 Chứng minh. Đặt : SN = 1 N N∑ k=1 xk . Giả sử : 2k < N ≤ 2k+1. Khi đó : |SN − S2k| 2 = |( 1 N − 1 2k ) 2k∑ s=1 xs + 1 N N∑ s=2k+1 xs| 2 (2.11) ≤ 2[( 1 N − 1 2k )2| 2k∑ s=1 xs| 2 + 1 N2 | n∑ s=2k+1 xs| 2] Áp dụng mệnh đề 2.3.2 , ta có: |SN − S2k| 2 ≤ 21−2k[| 2k∑ s=1 xs| 2 + (k + 2)Bk] CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 37 Ở đây Bk là toán tử dương , không phụ thuộc vào N ∈ (2k, 2k+1] và thỏa mãn : φ(Bk) ≤ (k + 2) 2k+1∑ s=2k+1 φ(|xs| 2) (2.12) Do đó , với 2k < N ≤ 2k+1, ta có: |SN − S2k| 2 ≤ Dk (2.13) Với Dk ∈ A+, và φ(Dk) ≤ 2 1−2k[ 2k∑ s=1 φ(|xs| 2) + (k + 2) 2k+1∑ s=2k+1 φ(|xs| 2)] (2.14) Theo giả thiết của định lý , ta có : ∞∑ k=1 φ(Dk) ≤ ∞∑ k=1 21−2k 22k k2 2k∑ s=1 φ(|xs| 2)( lg s s )2 + ∞∑ k=1 21−2k 22k k2 (k + 2)2 2k+1∑ s=2k+1 φ(|xs| 2)( lg s s )2 ≤ ∞∑ s=1 φ(|xs| 2)( lg s s )2( ∞∑ k=1 2 k2 + const) (2.15) Hơn nữa: ∞∑ k=1 φ(|S2k| 2) = ∞∑ k=1 1 22k 2k∑ s=1 φ(|xs| 2) ≤ ∞∑ k=1 2−2k 22k k2 ∞∑ s=1 φ(|xs| 2)( lg s s )2 <∞ (2.16) Cho trước ε > 0.Từ (2.15) ,(2.16) suy ra ta có thể tìm được dãy số dương (εk) sao cho εk → 0 và : ∞∑ k=1 ε−1k φ(|S2k| 2 +Dk) < ε/2 (2.17) CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 38 Theo bổ đề 1.3.10 tồn tại phép chiếu p ∈ A với φ(p) ≥ 1− ε thỏa mãn: ||p|S2k| 2p|| < 2εk; ||pDkp|| < 2εk (2.18) Như vậy ,với 2k < N ≤ 2k+1 , ta có ước lượng sau : ||SNp|| 2 + ||(SN − S2k)p+ S2kp|| 2 ≤ 2[||(SN − S2k)p|| 2 + ||S2kp|| 2] = 2[p|SN − S2k| 2p||+ ||p|S2k| 2p||] ≤ 2[||pDkp||+ ||p|S2k| 2p||] < 8εk → 0 khiN →∞. Điều này có nghĩa là : SN = 1 N N∑ s=1 xs hội tụ hầu đều về 0 Định lý được chứng minh xong. Ta sẽ thiết lập phiên bản r− chiều của định lý 2.3.1 Định lý 2.3.3. Giả sử (x(i)n ); i = 1, 2, ...., r là một hệ hữu hạn các dãy trực giao từng đôi trong A ( tức là φ((x(i)n )∗x (i) m ) = 0 với m 6= n và i = 1, 2, ..., r). Giả thiết : ∞∑ n=1 ( lgn n )2φ(|x(i)n | 2) <∞; i = 1, 2, ..., r Khi đó, với mỗi ε > 0 , tồn tại phép chiếu p ∈ A với φ(1 − p) < ε và thỏa mãn: Max1≤i≤r|| 1 N N∑ n=1 x(i)n p|| → 0; N →∞ tức là, các trung bình 1 N N∑ n=1 x(i)n hội tụ tới 0 hầu đều và đều theo 1 ≤ i ≤ r; CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 39 Dĩ nhiên nếu φ là một vết thì định lý này là hệ quả tầm thường của định lý 2.3.1. Nếu φ là trạng thái chuẩn tắc đúng tổng quát , chứng minh có thể thu được bằng cách xem xét kỹ chứng minh của định lý 2.3.1. Chứng minh. Đặt : S (i) N = 1 N N∑ n=1 x(i)n Và áp dụng mệnh đề 2.3.2 , ta có ước lượng : |S (i) N − S (i) 2k | ≤ D (i) k ; (i = 1, 2, ..., r) Với D(i)k ∈ A+ nào đó có tính chất giống Dk . Đến đây ta có thể đặt : Dk = r∑ i=1 D (i) k ; SN = ( r∑ i=1 |S (i) N | 2)1/2 Và tiếp tục chứng minh như trong định lý 2.3.1 Ta sẽ so sánh định lý 2.3.1 với các kết quả cổ điển . Định lý Rademacher - Menchoft về sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi trực giao [8] cùng với bổ đề Kronecker cho ta luật mạnh số lớn sau đây: Định lý 2.3.4. Đối với dãy (Xn) các biến ngẫu nhiên không tương quan , nếu : ∑ n ( lgn n )2var(Xn) <∞ Thì: 1 n n∑ k=1 (Xk − EXk) → 0 với xác suất 1 Rõ ràng định lý 2.3.1 có thể được coi là sự mở rộng của luật mạnh số lớn nói trên cho trường hợp không giao hoán . Với một vài điều kiện mạnh hơn trong định lý 2.3.1 ta sẽ thu được sự hội tụ tốt hơn của dãy trung bình . Do đó dễ dàng chứng minh 2 định lý sau: CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 40 Định lý 2.3.5. Giả sử (xn) là dãy trong A trực giao liên quan tới trạng thái φ . Nếu ∞∑ s=1 asφ(|xs| 2) <∞ khi 0 < as ↓ 0 và ∞∑ s=1 1 s2as <∞ thì 1 n n∑ s=1 xs → 0 hầu đầy đủ. Chứng minh. Đặt: Sn = 1 N N∑ s=1 xs , khi đó: φ(|SN | 2) = 1 N2 N∑ s=1 φ(|xs| 2) ≤ 1 N2aN N∑ s=1 asφ(|xs| 2) Do vậy : ∑ φ(|SN | 2) <∞ Với ε > 0 , ta đặt : qN = e[0,ε2](|SN | 2) Khi đó :||SNqN || < ε với N = 1, 2, ... Hơn nữa : ∞∑ N=1 φ(q⊥N) ≤ ε −2 ∞∑ k=1 φ(|Sk|) <∞ Kết thúc chứng minh. Định lý tiếp theo là kết quả mạnh hơn của Batty [11] (định lý 2.3.1) CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 41 Định lý 2.3.6. Giả sử (xn) là dãy độc lập yếu bị chặn đều trong A với φ(xk) = 0 . Khi đó 1 n n∑ s=1 xs → 0 hầu đầy đủ. Chứng minh. Cho trước ε > 0. Đặt : SN = 1 N N∑ s=1 xs Dễ dàng chỉ ra rằng : φ(|SN | 4) ≤ N−4(3N2 −N) Do đó : ∑ N φ(|SN | 4) <∞ Đặt : qn = e[0,ε4](|SN | 4) suy ra: ∑ N φ(q⊥N) <∞ và ||SNqN || 4 ≤ || |SN | 4qN || < ε 4 Với N = 1, 2, ... suy ra điều phải chứng minh. 2.4 Mở rộng không giao hoán của định lý Glivenko-Cantelli Ta cần thêm một định nghĩa nữa. Định nghĩa 2.4.1. Giả sử ξ và γ là 2 toán tử tự liên hợp được sát nhập với A . Gọi eξ(.) và eγ(.) là các độ đo phổ của ξ và γ .Ta nói rằng ξ và γ là cùng phân phối nếu φ(eξ(Z)) = φ(eγ(Z)) với mọi tập con Borel Z của đường thẳng thực. CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 42 Ta sẽ chứng minh kết quả tổng quát của định lý Glivenko-Cantelli về phân phối thực nghiệm. Định lý 2.4.2. [9] Giả sử ξn là dãy toán tử tự liên hợp , độc lập từng đôi và cùng phân phối , sát nhập với A. Khi đó với mỗi ε > 0 , tồn tại một phép chiếu p trong A sao cho : sup−∞<λ<∞‖p[N −1 N∑ n=1 eξn(−∞, λ)− φ(eξ1(−∞, λ))]p‖ → 0; N →∞ ( Kể từ đây ta sẽ bỏ qua ký hiệu 1 ( đơn vị trong A ) trong biểu thức λ1 khi λ là một số ) Chứng minh. Với mỗi số thực λ , đặt: ψN(λ+ 0) = N −1 N∑ n=1 eξn(−∞; λ]; ψN(λ− 0) = N −1 N∑ n=1 eξn(−∞; λ); ψ(λ+ 0) = φ(eξ1(−∞, λ]); ψ(λ− 0) = φ(eξ1(−∞, λ)); Gọi λi,k xác định bởi : λi,k = inf{λ : ψ(λ− 0) ≤ i k ≤ ψ(λ+ 0)} Với i = 1, 2, ...., k− 1 và k = 1, 2, .... Giả sử λi,k < λi+1,k . Nếu λi,k < λ ≤ λi+1,k với i, k nào đó thì: ψ(λi,k + 0) ≤ ψ(λ− 0) ≤ ψ(λi+1,k − 0); ψN(λi,k + 0) ≤ ψN(λ− 0) ≤ ψN(λi+1,k − 0); Do đó: ψN(λi,k + 0)− ψ(λi+1,k − 0) ≤ ψN(λ− 0)− ψ(λ− 0) ≤ ψN(λi+1,k − 0)− ψ(λi,k + 0) CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 43 Nhưng từ định nghĩa của λi,k, ta có : ψ(λi+1,k − 0)− ψ(λi,k + 0) ≤ 1 k Và kết quả là : ψN(λi,k + 0)− ψ(λi,k + 0)− 1 k ≤ ψN(λ− 0)− ψ(λ− 0) ≤ ψN(λi+1,k − 0)− ψ(λi+1,k − 0) + 1 k (2.19) Nếu λ ≤ λ1,k thì: − 1 k ≤ ψN(λ− 0)− ψ(λ− 0) ≤ ψN(λ1,k − 0)− ψ(λ1,k − 0) + 1 k (2.20) Và nếu λ > λ1,k thì: ψN(λ− 0)− ψ(λ− 0) = 0 (2.21) Để thuận tiện ta đặt : ψN(λ0,k + 0)− ψ(λ0,k + 0) = ψN(λ1,k − 0)− ψ(λ1,k − 0) = 0 Theo (2.19) ,(2.20) ,(2.21) thì với mỗi số thực λ và k = 1, 2, ... tồn tại một i giữa 0 và k − 1 sao cho : ψN(λi,k + 0)− ψ(λi,k + 0)− 1 k ≤ ψN(λ− 0)− ψ(λ− 0) ≤ ψN(λi+1,k − 0)− ψ(λi+1,k − 0) + 1 k ; do vậy với phép chiếu p tùy ý từ A ta có: p[ψN(λi,k + 0)− ψ(λi,k + 0)]p− 1 k p ≤ p[ψN(λ− 0)− ψ(λ− 0)]p ≤ p[ψN(λi+1,k − 0)− ψ(λi+1,k − 0)]p+ 1 k p Và ta thu được kết quả: ||p[ψN(λ− 0)− ψ(λ− 0)]p|| ≤ CHƯƠNG 2. LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 44 max1≤i≤k,θ=±0 ||p[ψN(λ+ θ)− ψ(λi,k + θ)]p||+ 1 k Kéo theo : sup−∞<λ<+∞ ||p[ψN(λ− 0)− ψ(λ− 0)]p|| ≤ max1≤i≤k,θ=±0 ||p[ψN(λi,k + θ)− ψ(λi,k + θ)]p||+ 1 k Với mọi k = 1, 2, ... và mọi phép chiếu p từ A . Nhưng theo định lý 2.3.3 với mỗi ε > 0, tồn tại một phép chiếu p trong A với φ(p⊥) ≤ ε và thỏa mãn: max1≤i≤k,θ=±0 ||p[ψN(λi,k + θ)− ψ(λi,k + θ)]p|| → 0; N →∞ Với mọi k cố định . Vì vậy ta kết luận : lim N→∞ sup−∞<λ<∞||p[ψN(λ− 0)− ψ(λ− 0)]p|| ≤ 1 k Với mọi k chứng minh được hoàn tất 2.5 Bất đẳng thức Kolmogorov đối với vết và một số hệ quả Trong mục này (và các mục tiếp theo) ta giả thiết τ là một trạng thái vết chuẩn tắc đúng