Đề tài Mô phỏng ứng xử đỉnh vết nứt bằng phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 1 CHƢƠNG 1 TỔNG QUAN 1.1. Giới thiệu Phương pháp phần tử hữu hạn ngày càng trở nên phổ biến như một công cụ phân tích hiệu quả trong việc nghiên cứu ứng xử của các vấn đề trong kĩ nghệ. Một trong những ứng dụng quan trọng của phương pháp phần tử hữu hạn là phân tích sự lan truyền của vết nứt. Khái niệm cơ bản của cơ học rạn nứt đàn hồi tuyến tính xuất hiện và tồn tại ở các phòng thí nghiệm hải quân trong thế chiến thứ nhất. Kể từ đó, cơ học rạn nứt đàn hồi tuyến tính đã được áp dụng thành công trong các mô hình nứt khác nhau, nhưng còn giới hạn ở những mô hình hình học đơn giản cũng như điều kiện tải. Cơ học rạn rứt đàn hồi tuyến tính thường được dùng như là một giả thuyết khi giải quyết những vấn đề trong công nghiệp. Điều kiện quan trọng để áp dụng giả thuyết này là tỉ lệ chảy dẻo nhỏ. Tỉ lệ chảy dẻo được nói là nhỏ khi kích thước của vùng chảy dẻo phát triển ở quanh đình vết nứt không đáng kể so với chiều dài đặc trưng của mẫu. Do đó các phân tích dưới đây đều sử dụng giả thuyết của cơ học nứt đàn hồi tuyến tính. Dưới giả thuyết của cơ học rạn nứt đàn hồi phương pháp phần tử hữu hạn hầu như không có giới hạn trong việc giải quyết hình học phức tạp và điều kiện tải, và ngay sau đó đã được mở rộng tới các vật liệu phi tuyến và các vấn đề biến dạng lớn. Kết quả là, cơ học nứt đàn hồi tuyến tính trở thành một công cụ phân tích mạnh mẽ để xác định các khái niệm cơ bản của nó như suất năng lượng giải phóng, hệ số tập trung ứng suất của bất kỳ vấn đề phức tạp. Việc ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn vào cơ học nứt đàn hồi tuyến tính, cũng như sự mở rộng đối với cơ học nứt đàn dẻo đã mở rộng đến hầu như tất cả các vấn đề của vết nứt. Tuy nhiên, bản chất của các phân tích vẫn gần như không thay đổi: cơ học nứt đàn hồi tuyến tính kết hợp với các khái niệm cơ bản CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 2 liên tục dựa trên kỹ thuật phương pháp phần tử hữu hạn thông qua các mô hình vết nứt rời rạc. Qua quan sát thực nghiệm đã chỉ ra rằng vật liệu dòn có xu hướng nứt gãy khi tải trọng đặt vào vượt quá mức ứng suất cho phép. Từ những thực tế này đã dẫn đến một loạt các tiêu chuẩn khác nhau để đảm bảo rằng ứng suất tối đa của một cấu trúc không vướt qua giới hạn của ứng suất cho phép.Tuy nhiên, các quan sát thực nghiệm đã chứng minh rằng độ bền đứt gãy phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác, chẳng hạn như các cách thức thiết lập, điều kiện môi trường và kích thước của các mẫu vật. 1.2. Giới thiệu về cơ học rạn nứt Những khái niệm cơ bản của cơ học rạn nứt được đưa ra vào cuối thế kỉ mười chín và những năm đầu của thế kỉ hai mươi. Sự quan sát thực nghiệm cộng với lý thuyế t đàn hồi đã tạo ra những khía cạnh cơ bản của cơ học rạn nứt. Tuy nhiên có sự khác biệt lớn giữa các dự đoán lý thuyết về độ bền của vật liệu giòn và thực nghiệm đo được, điều này được giải thích bởi một trong những giả thuyết về khuyết tật, dự đoán những thay đổi mạnh mẽ trong việc phân bố ứng suất xung quanh mỗi lỗ hổng, bất kể kích thước thực tế của nó. Việc giới thiệu các khái niệm cơ bản về hệ số mật độ ứng suất, cũng như suất năng lượng giải phóng đã thay đổi cách thức một bài toán nứt được sử dụng để phân tích. Lý thuyết nghiên cứu đã chứng minh rằng ngay cả đối với trường hợp của một lỗ nhỏ hình tròn nhỏ bên trong một tấm vô hạn chịu kéo, hệ số tập trung ứng suất bẳng ba tại một điểm gần kề lỗ, ngoài ra, một trường ứng suất nén cho tấm vô hạn chịu kéo cũng dự đoán. Griffith (1921, 1924) là người đầu tiên đã nhận ra sự hiện hiện diện của các vết nứt bên trong và những hư hỏng vật liệu có một vai trò quan trọng dẫn đến vết nứt phát triển. Điều này giải thích nguyên nhân tại sao vật liệu giòn có độ bền kéo CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 3 thấp. Ông đã tìm ra được mối quan hệ độ bền đứt gãy và kích cỡ vết nứt. Đánh dấu sự bắt đầu của cơ học nứt hiện đại. Ông đã dẫn suất ra được tiêu chuẩn cho vết nứt theo quan niệm của tổng năng lượng biến đổi trong suốt vết nứt. Trong các năm 1957, 1958 và 1960 Irwin và các đồng nghiệp đã mở rộng lý thuyết của Griffith để bao gồm chảy dẻo ở đỉnh vết nứt và giới thiệu khái niệm về hệ số mật độ ứng suất (SIF) và suất năng lượng giải phóng(G). Khái niệm về chuyển vị của vết nứt mở đã được sử dụng bởi Wells (1963) như một tham số về chiều dài vết nứt trong phân tích đàn hồi. Sau đó năm (1968, 1988) Rice và các cộng sự Rosengren (1968) Levy (1972) đã đưa ra khái niệm về tích phân J , điều này đã mở ra một hướng mới cho cách giải phần tử hữu hạn nói chung đối với những vấn đề phức tạp của cơ học rạn nứt ở những thập kỉ tiếp theo.Nhiều sự tiến bộ lớn khiến lĩnh vực cơ học nứt ngày càng mở rộng như: động lực học phá hủy, cơ học nứt cho vật liệu dát mỏng (laminate) và vật liệu hỗn hợp (composite), phương pháp số trong cơ học nứt, … 1.3. Những phƣơng pháp sử dụng trong cơ học rạn nứt Trong các bài toán cơ học nói chung và bài toán cơ học rạn nứt nói riêng, người ta thường mô hình hóa các đối tượng cụ thể bằng các mô hình toán học. Do sự phức tạp về mặt toán học, để giải quyết bài toán loại này, người ta đề ra một số giả thuyết và bỏ qua một vài yếu tố phụ nhằm làm mô hình đơn giản hơn. Các mô hình toán học được biểu diễn bỡi các phương trình chủ đạo là các phương trình hay hệ phương trình vi phân và các điều kiện biên.Việc tìm lời giải cho bài toán kỹ thuật chính là tìm lời giải của các phương trình hay hệ phương trình vi phân chủ đạo. Do đó có nhiều phương pháp phân tích, phương pháp giải khác nhau để tìm nghiệm của bài toán. CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 4 Hình 1.1 Mô hình phần tử trong phương pháp phần tử hữu hạn, và phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng 1.3.1. Phƣơng pháp phần tử hữu hạn Phương pháp phần tử hữu hạn được bắt nguồn từ những yêu cầu giải các bài toán phức tạp của lý thuyết đàn hồi, phân tích kết cấu trong xây dựng và kỹ thuật hàng không. Nó được bắt đầu phát triển bởi Alexander Hrennikoff (1941) và Richard Courant (1942). Mặc dù hướng tiếp cận của những người đi tiên phong là khác nhau nhưng họ đều có một quan điểm chung, đó là chia những miền liên tục thành những miền con rời rạc. Hrennikoff rời rạc những miền liên tục bằng cách sử dụng lưới tương tự, trong khi Courant chia những miền liên tục thành những miền có hình tam giác cho cách giải thứ hai của phương trình vi phân từng phần elliptic, xuất hiện từ các bài toán về xoắn của phần tử thanh hình trụ. Sự đóng góp của Courant là phát triển, thu hút một số người nhanh chóng đưa ra kết quả cho phương trình vi phân từng phần elliptic được phát triển bởi Rayleigh, Ritz, và Galerkin. Phương pháp phần tử hữu hạn được sử dung rộng rãi trong các vấn đề khác nhau của cơ học rạn nứt. Phương pháp phần tử hữu hạn ban đầu được sử dụng như CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 5 một công cụ để đạt được trường ứng suất và chuyển vị liên tục. Sau đó, các phần phần tử suy biến được đề xuất bởi Barsoum (1974, 1975, 1976a, 1976b, 1977, 1981) và Henshell và Shaw (1975) và triển khai thực hiện có hiệu quả bởi Fawkes và cộng sự. (1979) và Owen và Fawkes (1983) để mô phỏng sự suy biến tại đỉnh vết nứt. Sau đó, nó đã được chấp nhận rộng rãi như là một cải tiến lớn về phương pháp số trong cơ học rạn nứt đàn hồi tuyến tính. Phương pháp phần tử hữu hạn đã trở thánh một công cụ phổ biến và hiệu quả nhất trong các vấn đề kĩ thuật . Đã có nhiều phần mềm đã được phát triển trên nền phần tử hữu hạn.Những phần mềm này đã được kiểm tra và đánh giá trong nhiều năm, và bây giờ nó luôn sẵn sàng với bất kì ai cần đến nó. Hơn nữa, khái niệm về phần tử hữu hạn, được giảng dạy phổ biến trong các bộ môn về chuyên kỹ nghệ ở các cấp độ đại học và sau đaị học. Một trong những ứng dụng quan trọng của phương pháp phần tử hữu hạn là phân tích của các vấn đề phát triển vết nứt. 1.3.2. Phƣơng pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng được giới thiệu vào năm 1999, đã rất thành công trong việc giải quyết các vấn đề về cơ học vật rắn (vết nứt, tiếp xúc, cấu trúc). Phương pháp này dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn nhưng cải tiến hơn nhiều ở những nơi mà các yếu tố ảnh hưởng nhiều cách ứng sử của cấu trúc vật liệu. Những hàm “mở rộng” không liên tục được thêm vào sự xấp xỉ phần tử hữu hạn để tính toán sự hiện diện của vết nứt. Phương pháp này cho phép vết nứt có thể định vị tùy ý bên trong lưới mặc dù một vài vết nứt dạng cong yêu cầu phải được chia lưới lại. Sau đó, Moes et al. đã phát triển phương pháp này. Phương pháp cải tiến cho phép sự xuất hiện độc lập của vết nứt nguyên dạng từ lưới dựa trên nền tảng xây dựng sự xấp xỉ “mở rộng” từ sự tương tác dạng hình học của vết nứt với lưới. CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN GVHD: TS. Vũ Công Hòa SVTH: Nguyễn Công Đạt 6 1.3.3. Phƣơng pháp không lƣới (MESHFREE) Các phương pháp FEM, XFEM,… rời rạt hóa phương trình vi phân trên cơ sở chia nhỏ miền tính toán thành một lưới gồm những phần tử ràng buộc lẫn nhau trên lưới theo những nguyên tắc xác định mà ta thường gọi chung các phương pháp này là nhóm phương pháp dựa vào lưới. Còn đối với phương pháp không lưới miền tính toán được chia thành một tập hữu hạn các điểm rời rạc có thể bố trí tùy ý và không có bất kỳ mối ràng buộc nào về vị trí tương đối giữa chúng trong qua trình tính toán. Kết quả là các phương pháp không lưới rất thích hợp với các bài toán biến dạng lớn như cơ học rạng nứt, các bài toán có biên di động. Trong khi đối với các phương pháp dựa vào lưới việc giải các bài toán này rất phức tạp đôi khi làm giảm độ chính xác của lời giải do phải thường xuyên điều chỉnh lưới bị biến dạng trầm trọng. 1.3.4. Kết luận Mặc dù có nhiều phương pháp số giải quyết bài toán kỹ thuật nhưng có thể nói rằng phương pháp phần tử hữu hạn đã được phát triển trong nhiều thập kỷ qua và có một nền tảng cơ sở lý thuyết tương đối đầy đủ và vững chắc.