Đề tài Mô phỏng và tính toán sự phân bố nhiệt độ ổn định trong vật thể hai chiều chịu các điều kiện biên về đối lưu và nhiệt độ với phần tử hữu hạn tam giác tuyến tính tạo lưới tự động

Nhiệm vụ của đề tài Mô phỏng và tính toán sự phân bố nhiệt độ ổn định trong vật thể hai chiều chịu các điều kiện biên về đối lưu và nhiệt độ với phần tử hữu hạn tam giác tuyến tính tạo lưới tự động. Sinh viên: Đào Ngọc Long GVHD: Nguyễn Đình Thọ Tháng 1/2004 Bài toán môi trường liên tục ƒ Bài toán môi trường liên tục là những vấn đề trong thực tế thường liên quan đến các thông số như: trường nhiệt độ, nồng độ vật chất, chuyển vị, từ trường… ƒTùy theo mức độ khó dễ mà ta có nhiều cách giải khác nhau. Các phương pháp phổ biến 1. Phương pháp trực tiếp : • Phân ly biến số rối lấy tích phân. • Biến đổi Fourrier, Laplace. 2. Phương pháp xấp xỉ : • Chuỗi lũy thừa • Sơ đồ xác suất. • Phương pháp dư có trọng số. • Phương pháp Rayleigh-Ritz • Phương pháp sai phân hữu hạn. • Phương pháp phần tử hữu hạn. Nguyên lý chung phương pháp PTHH ƒ Rời rạc hóa miền lời giải, biểu diễn xấp xỉ tại các điểm gọi là điểm nút, từ các nút này và hàm xấp xỉ, xác định sự phân bố của các biến số trường trong mỗi phần tử. ƒ Với phương pháp phần tử hữu hạn, các giá trị nút của các biến số trường là ẩn số phải tìm, khi tìm được thì xác định được các biến số trường bằng hàm nội suy qua việc lắp ghép các phần tử.. Các lĩnh vực ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn • Cấu trúc xây dựng • Cấu trúc máy bay • Trao đổi nhiệt ổn định và không ổn định • Tính toán cơ học đất • Tính toán cơ học chất lỏng, thủy động lực học • Tính toán lò phản ứng hạt nhân • Tính toán thiết kế cơ khí • Tính toán cơ sinh học. Các bước cơ bản của phương pháp phần tữ hữu hạn 1. Rời rạc hóa miền khảo sát Phân chia miền bài toán thành một số hữu hạn các miền con liên kết với nhau tại các điểm nút. Nhiệm vụ của bước này là xây dựng lưới phần tử hữu hạn, xây dựng tọa độ địa phương và tổng thể, xây đựng số nút và số phần tử. 2. Chọn hàm nội suy. ƒ Chọn dạng của hàm nội suy để biểu diễn sự biến thiên biến số trường bên trong mỗi phần tử. ƒ Đa thức hàm nội suy phải bảo đảm cho việc lấy tích phân và đạo hàm đa thức không qúa khó khăn. ƒ Bậc của đa thức phụ thuộc số nút của phần tử, bản chất và số lượng ẩn số tại mỗi nút và các yêu cầu về liên tục tại các nút cũng như dọc theo các biên của phần tử. 3.Xây dựng ma trận phần tử Ta phải xem xét các đặc tính riêng biệt của từng phần tử sau đó sử dụng một trong bốn cách tiếp cận phần tử để xây dựng các ma trận biểu diễn tính chất của phần tử đó. 4. Lắp ghép Mục đích là tìm tính chất tổng thể của miền lời giải thông qua một hệ thống các ma trận, vector riêng lẻ. Dựa vào điều kiện liên tục giữa các biên phần tử với các biến cơ sở bằng quan hệ giữa các nút để xây dựng được ma trận và vector tổng thể cho toàn bộ miền lời giải. 5. Giải phương trình tổng thể Từ các điều kiện biên đã biết, áp đặt vào hệ rồi tiến hành giải. Với các hệ tuyến tính thì công việc tương đối đơn giản bằng cách áp dụng các thuật toán đã được xây dựng sẵn. Ngược lại, với bài toán phi tuyến thi ta dùng phương pháp lặp sau một chuỗi lần để có nghiệm cuối cùng 6. Phân tích và đánh giá kết quả Tính ra kết qủa cuối cùng ngoài ra ở bước này ta có thể tính thêm các đại lượng dẫn xuất, tính sai số, tốc độ hội tụ, so sánh với lời giải giải tích nếu có. Phương trình vi phân trao đổi nhiệt Phương trình vi phân dẫn nhiệt tổng quát trong vật thể 3 chiều Các điều kiện biên và điều kiện đầu Phát biểu biến phân của bài toán Thiết lập phương trình PTHH Chương trình tính toán trao đổi nhiệt cho 2D Gồm có hai chương trình chính: ƒ Chương trình GRID ƒ Chương trình TDHEAT Và chương trình đồ họa để kiểm tra và minh họa kết qủa. Chương trình GRID Công việc của chương trình • Phân chia miền thành các phần tử tam giác tuyến tính, việc chia nhỏ hơn được tiến hành tại vị trí có thay đổi nhiều về hình học hay tải trọng. • Đánh số nút để có bề rộng băng nhỏ nhất. B = (R+1) NDOF • Xuất ra file dữ liệu kết quả phần tử và nút. Giải thuật • Chia miền khảo sát thành các miền tứ giác có liên kết với nhau. • Miền tứ giác được định nghĩa bằng tám nút dọc trên biên của miền. Hai hệ số ξ,η dùng để xác định tọa độ tương đối của các nút bên trong mỗi miền. ƒ Mỗi miền tứ giác sẽ được chia thành các phần tử tứ giác rồi tam giác từ các nút trong mỗi miền. ƒ Các cạnh mỗi miền tứ giác được đánh số từ 1 đến 4 để tiến hành kết nối miền. Các miền sẽ lần lượt kết nối với nhau thông qua các nút trên biên chung giữa các miền. Trong thưc tế các lưới với phần tử có hình dạng và kích thước khác nhau. Để thực hiện điều này chỉ cần đánh số nút khác nhau trên hai cạnh đối diện Chương trình TDEAT • Đọc dữ liệu từ chương trình GRID • Xây dưng các ma trận và vector đặc trưng cho từng phần tử, có xem xét riêng trường hợp đối lưu • Lắp ghép và giải hệ tổng thể có áp đặt điều kiện biên • Xuất ra file kết qủa cuối cùng Sơ đồ khối chương trình TDHEAT Vấn đề lưu trữ dữ liệu • Hệ phương trình tổng thể được lưu trữ dưới dạng vector cột theo trình tự {F},{Φ},{K}. • Chương trình sẽ xác định vị trí con trỏ cho từng loại. • Kích thước của {K} bằng bề rộng băng nhân với số nút. Ví dụ tính toán và kết qủa so sánh Phân chia miền tứ giác có đánh số nút Hình vẽ thể hiện miền khảo sát được phân chia thành 96 phần tử, tạo bởi 65 nút Kết qủa cuối cùng thể hiện qua màu sắc Kết qủa đã được tính toán dùng để so sánh với kết qủa mà ta tính được Khảo sát sự hội tụ của lời giải • Chia miền khảo sát có mức độ mịn khác nhau. • Việc chia này phải đảo bảo nguyên tắc hội tụ • Tính toán trong các trường hơp rồi khảo sát kết qủa ở những điểm ngẫu nhiên xác định Kết qủa khảo sát hội tụ • Ta tính toán với trường hợp 8,21,65 nút. • Chọn điểm có tọa độ (2;4) • Đồ thị minh họa kết qủa của nút(2;4) VÍ DỤ 1, ĐIỂM (2,4) 5 7 9 11 13 15 17 19 0 10 20 30 40 50 60 70SỐ NÚT N H I E Ä T Đ O Ä Các bai toán áp dụng chương trình đã nghiên cứu ở trên • Bài toán 1 Ta khảo sát trong 3 trường hợp • 15 nút, 16 phần tử • 45 nút, 64 phần tử • 91 nút, 144 phần tử Khảo sát sự hội tụ Xét điểm (4;6) ta có đồ thị: BÀI TOÁN 1,ĐIỂM (4;6) 20 21 22 23 24 25 26 27 0 20 40 60 80 100 Số nút N h i e ä t đ o ä • Bài toán 2 Ta khảo sát trong 3 trường hợp • 8 nút, 6 phần tử • 21 nút, 24 phần tử • 65 nút, 96 phần tử Khảo sát sự hội tụ Xét điểm (,3.5;5.5) ta có đồ thị: BÀI TOÁN 2,ĐIỂM (3.5;5.5) 0 20 40 60 80 100 120 140 0 20 40 60 80 Số nút N h i e ä t đ o ä • Bài toán 3 Ta khảo sát trong 3 trường hợp • 8 nút, 6 phần tử • 21 nút, 24 phần tử • 65 nút, 96 phần tử Khảo sát sự hội tụ Xét điểm (2;4) ta có đồ thị: VD4.ĐIỂM (2;4) 60 65 70 75 80 85 90 95 0 10 20 30 40 50 60 70 SỐ NÚT N H I E Ä T Đ O Ä Kết luận Các vấn đề đã làm được • Chương trình đã giải quyết được hầu hết các bài toán trao đổi nhiệt hai chiều có hình dạng bất kỳ. • Do qúa trình chia lưới là tự động vì vậy mà ta tránh được rất nhiều sai sót trong việc tạo dữ liệu ban đầu, • Chương trình TDHEAT đã tối ưu được việc lưu trữ dữ liệu ma trận dạng cột, vừa giảm bộ nhớ vừa giảm nhầm lẫn trong tính toán. • Sự hội tụ lời giải của bài toán là khá tốt.