Đề tài Phương sai của sai số thay đổi

Bài thảo luận nhóm 5 Đề tài về phương sai của sai số thay đổi Câu 1: 1, Bản chất Trái với giả thuyết của mô hình hồi tuyến tính cổ điển phương sai của sai số không đổi . Phương sai của sai số thay đổi có hàm mật độ xác suất không giống nhau ứng với mỗi giá trị khác nhau của biến độc lập, nghĩa là nó mô tả cho trường hợp phương sai của các sai số thay đổi, . Đồ thị minh họa 1 trường hợp của phương sai saif(u) X Y số thay đổi giảm dần theo giá trị của biến độc lập. 2, Nguyên nhân Phương sai thay đổi có thể do một số nguyên nhân sau: - Do bản chất của các mối liên hệ kinh tế: có nhiều mối quan hệ kinh tế đã chứa đựng hiện tượng này. Chẳng hạn mối quan hệ giữa thu nhập và tiết kiệm, thông thường thu nhập tăng thì mức độ biến động của tiết kiệm cũng tăng. - Do kỹ thuật thu nhập số liệu được cải tiến, dường như giảm. Kỹ thuật thu thập số liệu càng được cải tiến sai lầm phạm phải càng ít hơn. - Do con người học được hành vi trong quá khứ, Chẳng hạn, lỗi của người đánh máy càng ít nếu thời gian thực hành càng tăng. - Phương sai của sai số thay đổi cũng xuất hiện khi có các quan sát ngoại lai. Quan sát ngoại lai là các quan sát khác biệt rất nhiều(quá nhỏ hoặc quá lớn) với các quan sát khác trong mẫu. Việc đưa vào hoặc loại bỏ các quan sát này ảnh hưởng rất lớn đến phân tích hồi quy. - Một nguyên nhân khác là mô hình định dạng sai. Có thể do bỏ sót biến thích hợp hoặc dạng giải tích của hàm là sai. 3, Hậu quả Mục này ta sẽ xem hậu quả của giả thiết phương sai của sai số không đổi không được thỏa mãn có ảnh hưởng như thế nào đến các ước lượng thu được. Có những vấn đề sau: - Các ước lượng bình phương nhỏ nhất(OLS) vẫn là không chệch nhưng không hiệu quả (ước lượng có phương sai nhỏ nhất). - Ước lượng của các phương sai sẽ bị chệch như vậy làm mất hiệu lực khi kiểm định. - Việc dùng thống kê t và F để kiểm định giả thuyết không còn đáng tin cậy nữa, do đó kết quả kiểm định không còn tin cậy. - Kết quả dự báo không còn hiệu quả nữa khi sử dụng các ước lượng bình phương nhỏ nhất có phương sai không nhỏ nhất. Nghĩa là nếu sử dụng các hệ số ước lượng tìm được bằng phương pháp khác mà chúng không chệch và có phương sai nhỏ hơn các ước lượng OLS thì kết quả dự báo sẽ tốt hơn. Câu 2: A, Nhắc lại lý thuyết: 1, Cách phát hiện a, Phương pháp định tính *) Dựa vào bản chất của vấn đề nghiên cứu Trên thực tế thì ở số liệu chéo liên quan đến các đơn vị không thuần nhất hay xảy ra hiện tượng phương sai của sai số thay đổi. *) Dựa vào đồ thị của phần dư Đồ thị của sai số của hồi quy (phần dư) đối với giá trị của biến độc lập X hoặc giá trị dự đoán sẽ cho ta biết liệu phương sai của sai số có thay đổi hay không. Phương sai của phần dư được chỉ ra bằng độ rộng của biểu đồ phân rải của phần dư khi X tăng. Nếu độ rộng của phần dư tăng hoặc giảm khi X tăng thì giả thiết về phương sai hằng số có thể không được thỏa mãn. Biểu đồ phần dư đối với X cho ta thấy rằng độ rộng của biểu đồ rải tăng lên (giảm đi) khi X tăng, cho nên có chứng cớ để cho rằng phương sai của sai số thay đổi khi X tăng. Chú ý rằng đôi khi người ta vẽ đồ thị của phần dư bình phương đối với X. Nhưng có một số vấn đề thực hành mà ta cần bàn tới là nếu chúng ta xem xét hồi quy bội có nhiều hơn một biến giải thích thì chúng ta phải làm thế nào? Liệu có thể dùng đồ thị nữa không? Một trong các cách có thể làm và vẽ đồ thị của phần dư theo . Vì là tổ hợp tuyến tính của các giá trị của X nên đồ thị phần dư bình phương đối với có thể chỉ ra một mẫu gợi ý cho ta có tồn tại hiện tượng phương sai thay đổi hay không ? b, Phương pháp định lượng *) Kiểm định Park: Park đã hình thứ hóa phương pháp đồ thị cho rằng là hàm nào đó của biến giải thích X. Dạng hàm đề nghị là: Lấy ln của 2 vế ta được Trong đó vi là số hạng ngẫu nhiên. Vì là chưa biết nên Park đã đề nghị sử dụng ei2 thay cho và ước lượng hồi quy sau: (1) Trong đó , thu được từ hồi quy gốc. Để thực hiện kiểm định park ta sẽ tiến hành các bước sau: Ước lượng hồi quy gốc, cho dù có hoặc không tồn tại hiện tượng phương sai của sai số thay đổi. Từ hồi quy gốc thu được các phần dư ei sau đó bình phương chúng được e2i rồi đến lấy Ước lượng hồi quy trong đó biến giải thích (Xi) là biến giải thích trong hồi quy gốc, nếu có nhiều biến giải thích có thể ước lượng hồi quy đối với mỗi biến giải thích, hoặc có thể ước lượng hồi quy đối với làm biến giải thích, trong đó là yi đã được ước lượng. kiểm định giả thiết Ho: = 0 nghĩa là không có hiện tượng phương sai của sai số thay đổi. Nếu có tồn tại mối liên hệ có ý nghĩa về mặt thống kê giữa ln e2 và lnXi thì giả thiết H0: 2= 0 có thể bác bỏ, trong trường hợp này ta phải tìm cách khắc phục. Nếu giả thiết H0: 2= 0 được chấp thuận thì 1 trong hồi quy (1) có thể được giải thích như là giá trị của phương sai không đổi () *) Kiểm định Glejser Kiểm định Glejser cũng tương tự như kiểm định Park. Sau khi thu được phần dư ei từ hồi quy theo phương pháp bình quân nhỏ nhất, Glejser đề nghị giá trị hồi quy giá trị tuyệt đối của ei, đối với biến X nào mà có thể có kết hợp chặt chẽ với . Trong thực nghiệm Glejser sử dụng các hàm sau: = β1 + β2 Xi + vi = β1 + β2 + vi = β1 + β2 + vi = β1 + β2 + vi = + vi = + vi Trong đó vi là sai số. Giả thiết H0 trong mỗi trường hợp đã nêu trên là không có phương sai của sai số thay đổi, nghĩa là H0: β2 = 0. Nếu giả thiết này bị bác bỏ thì có thế có hiện tượng phương sai của sai số thay đổi. Cần lưu ý rằng kiểm định Glejser cũng có vấn đề như kiểm định Park. Goldfeld và Quandt đã chỉ ra rằng sai số vi trong hồi quy Glejser có một số vấn đề, như giá trị kỳ vọng của nó khác không, nó có tương quan chuỗi. Tuy nhiên Glejser cho rằng trong mẫu kiểm định lớn thì 4 mô hình đầu cho ta kết quả tốt trong việc vạch ra hiện tượng phương sai của sai số thay đổi ( hai mô hình còn có vấn đề vì là phi tuyến theo tham số, do đó, không thể ước lượng bằng thủ tục bình phương nhỏ nhất thông thường) Do vậy mà kiểm định Glejser được sử dụng như một công cụ để chuẩn đoán trong mỗ lớn. *)Kiểm định Goldfeld- Quandt Nếu giả thiết rằng phương sai của sai số thay đổi có thể liên hệ dương với một trong các biến giải thích trong mô hình hồi quy thì ta có thể sử dụng kiểm định này.Để đơn giản ta hãy xét mô hình 2 biến: Yi = 1 + 2Xi + Ui Giả sử có liên hệ dương với biến X theo cách sau: = Xi2 (*) Trong đó là hằng số. Giả thiết này có nghĩa là tỉ lệ với bình phương của biến X. Nếu giả thiết (*) là thích hợp thì điều này có nghĩa là khi X tăng i2 cũng tăng. Thủ tục kiểm định của Goldfeld-Quandt gồm các bước sau: Bước 1: Sắp xếp các quan sát theo thứ tự tăng dần về của biến X. Bước 2: Bỏ c quan sát ở giữa theo cách sau: Đối với mô hình 2 biến, George G . Judge đề nghị : c = 4 nếu cỡ mẫu khoảng n = 30 c = 10 nếu cỡ mẫu khoảng n = 60 và chia số quan sát còn lại thành 2 nhóm, trong đó mỗi nhóm có quan sát. Bước 3: Sử dụng phương pháp bình phương bé nhất ước lượng tham số của các hàm hồi quy đối với đầu và cuối: thu được tổng bình phương các phần dư của RSS1, RSS2 tương ứng với các giá trị của Xi nhỏ hơn và RSS2 - ứng với các giá trị Xi nhỏ hơn. Bậc tự do tương ứng là với - k hoặc . Trong đó k là số các tham số được ước lượng kể cả hệ số chặn ( trường hợp 2 biến k = 2 ) Bước 4: Tính F = Nếu U1 là phân phối chuẩn và nếu giả thiết về phương sai có điều kiện không đổi được thỏa mãn thì F tuân theo phân phối F với bậc tự do ở tử số và mẫu số là (n – c – 2k)/2, nghĩa là F có phân phối F(df,df). Trong ứng dụng nếu F tính được lớn hơn điểm tới hạn F ở mức ý nghĩa mong muốn thì chúng ta có thể từ bỏ giả thiết H0: phương sai có điều kiện không đổi, nghĩa là có thể nói có thể phương sai số thay đổi. Chú ý rằng trong trường hợp các biến giải thích X nhiều hơn 1 thì việc sắp xếp các quan sát trong kiểm định ở bước 1 có thể làm đối với 1 biến bất kì trong các biến giải thích đó. Chúng ta có thể tiến hành kiểm định Park đối với mỗi biến X. *) Kiểm định white Kiểm định white đề nghị một thủ tục không đòi hỏi U có phân phối chuẩn. Kiểm định này là một kiểm định tổng quát về sự thuần nhất của phương sai xét mô hình sau: (3) Bước 1: Ước lượng (3) bằng OLS, từ đó thu được các phần dư tương ứng Bước 2: Ước lượng mô hình sau: (4) R2 là hệ số xác định bội từ (4) Bước 3: Kiểm định giả thuyết. H0 : Phương sai sai số đồng đều ( ) H1 : Phương sai sai số thay đổi nR2 có phần xấp xỉ , df bằng hệ số của mô hình (4) không kể hệ số chặn. Bước 4: Nếu nR2 không vượt quá giá trị thì giả thuyết H0 không có cơ sở bị bác bỏ và ngược lại. *) Kiểm định dựa trên biến phụ thuộc Kiểm định này dựa trên ý tưởng cho rằng phương sai của yếu tố ngẫu nhiên phụ thuộc các biến độc lập có hay không có trong mô hình, nhưng không biết rõ chúng là những biến nào. Vì vậy thay vì xem xét quan hệ đó người ta xem xét mô hình sau đây : s12 = a1 +a2(E(Y1))2 (5) Trong (5), và E(Y1) đều chưa biết do đó sử dụng các ước lượng của nó là ei2 và . Bước 1: Ước lượng mô hình ban đầu bằng OLS. Từ đó thu được ei và Ŷi Bước 2: Ước lượng mô hình sau đây bằng OLS: ei2 =α1 + α2. + v1 . Từ kết quả này thu được R2 tương ứng. Có thể sử dụng hai kiểm định sau đây để kiểm định thiết: H0: Phương sai của sai số đồng đều. H1: Phương sai của sai số thay đổi. a. Kiểm định nR2 có phân phối xấp xỉ . Nếu nR2 lớn hơn thì H0 bị bác bỏ Trường hợp ngược lại không có cơ sở bác bỏ H0 . b. kiểm định F có phân bố F(1,n - 2) Nếu thì hệ số , có nghĩa là bị bác bỏ. 2, Cách khắc phục a, Biết Khi biết chúng ta có thể dễ dàng khắc phục bằng phương pháp OLS có trọng số. b, Chưa biết Chúng ta sẽ minh họa bằng mô hình hồi quy gốc sau: Xét 3 giả thuyết sau: *) Giả thuyết 1 Phương sai của sai số tỉ lệ với bình phương của biến giải thích: E() = (6) Nếu bằng phương pháp đồ thị hoặc cách tiếp cận Park hoặc Glejser… chỉ cho chúng ta rằng có thể phương sai Ui tỉ lệ với bình phương của biến giải thích X thì chúng ta có thể biến đổi mô hình gốc theo cách sau: Chia 2 về của mô hình gốc cho Xi (Xi ≠ 0) = ++ = + + Vi (7) Trong đó vi = là số hạng nhiễu đã được biến đổi, và rõ ràng rằng E(vi)2 = , thực vậy: E(vi)2 = E= E(Ui)2 = = Như vậy tất cả các giả thiết của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển được thoả mãn đối với (7) vậy ta có thể áp dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất cho phương trình đã được biến đổi (4). Hồi quy theo . *) Giả thuyết 2 Phương sai của sai số tỉ lệ với biến giải thích X: E(Ui)2=s2 Xi Nếu sau khi ước lượng hồi quy bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất thông thường, chúng ta vẽ đồ thị của phần dư này đối với biến giải thích X và quan sát thấy hiện tượng chỉ ra phương sai của sai số liên hệ tuyến tính với biến giải thích hoặc bằng cách nào đó có thể tin tưởng như vậy thì mô hình gốc sẽ được biến đổi như sau: Với mỗi i chia cả 2 vế của mô hình gốc cho (với Xi > 0) = (8) Trong đó v i = và có thể thấy ngay rằng E(vi) = s2. Chú ý: Mô hình (8) là mô hình không có hệ số chặn cho nên ta sẽ sử dụng mô hình hồi quy qua gốc để ước lượng β1 và β2, sau khi ước lượng (8) chúng ta sẽ trở lại mô hình gốc bằng cách nhân cả 2 vế (8) với . *) Giả thuyết 3 Phương sai của sai số tỉ lệ với bình phương của giá trị kỳ vọng của Y, nghĩa là Khi đó thực hiện phép biến đổi như sau: (9) Trong đó: , Nghĩa là nhiễu Vi có phương sai không đổi. Điều này chỉ xảy ra ở hồi quy (9) thỏa mãn giả thiết phương sai không đổi của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển. Tuy nhiên phép biến đổi (9) vẫn chưa thực hiện được vì bản thân E(Yi) phụ thuộc vào β1 và β2 trong khi β1 và β2 lại chưa biết. Nhưng chúng ta biết Ŷi = β1 + β2 Xi là ước lượng của E(Yi). Do đó có thể tiến hành theo 2 bước sau: Bước 1: Ước lượng hồi quy bằng phương pháp bình phương bé nhất thông thường, thu được Ŷi. Sau đó sử dụng Ŷi để biến đổi mô hình gốc thành dạng như sau: (10) Trong đó Vi= Bước 2: Ước lượng hồi quy (10), dù Ŷi không chính xác là E(Yi), chúng chỉ là ước lượng vững nghĩa là khi cỡ mẫu tăng lên vô hạn thì chúng hội tụ đến E(Yi) vì vậy phép biến đổi (10) có thể sử dụng trong thực hành khi cỡ mẫu tương đối lớn. *) Giả thuyết 4: Hạng hàm sai Đôi khi thay cho việc dự đoán về người ta định dạng lại mô hình. Chẳng hạn thay cho việc ước lượng hồi quy gốc có thể chúng ta sẽ ước lượng hồi quy: (11) Việc ước lượng hồi quy (11) có thể làm giảm phương sai của sai số thay đổi do tác động của phép biến đổi loga. Một ưu thế trong phép biến đổi loga là hệ số góc là hệ số co dãn của Y đối với X. B, Chọn và xử lý số liệu có phương sai thay đổi BẢNG THỐNG KÊ DOANH THU CỦA 50 DOANH NGHIỆP LỚN NHẤT NƯỚC MỸ NĂM 2009 STT Y Y X Z STT Y X Z 1 2338.21 489.47 20.1 26 7011.38 2635.76 52 2 1052.17 232.61 35.9 27 1911.2 406.1 26.6 3 2145.78 35.65 40.7 28 114552 7660 9.6 4 42905 8235 27.4 29 3318.13 162.16 7.3 5 1305.58 80.72 8.8 30 15040 2749 43.9 6 24748.9 827.6 6.1 31 22744.7 4551 29.8 7 4365.26 427.89 14.1 32 859.77 145.91 26 8 4405.4 361.8 12 33 1177.74 175.69 27.6 9 2346.8 205.1 9.2 34 935.25 266.5 67.6 10 24509 902 4.6 35 1654.41 177 20.6 11 774 34.5 7.1 36 3054.9 31.7 3 12 10800 428 5.3 37 2826.2 228.5 16.5 13 2689.89 776.75 32.9 38 3631.28 1376.22 52.5 14 1461.45 165.61 16.7 39 21565 942 12.4 15 5486.6 921.8 25.9 40 7577.19 360.83 7.7 16 23650.56 6520.45 35.1 41 1724.11 246.6 39.9 17 840.41 53.87 12.5 42 11724 2109 30.94 18 7453 470 8.4 43 2820.07 317.83 17.34 19 4726.77 200.37 6.6 44 14143 1898 24 20 5223.25 475.52 15.5 45 2229 131 20.7 21 3864.01 196.3 10.3 46 4978.9 479.5 14.5 22 748.24 87.3 14.6 47 3278.66 534.96 18.9 23 9041 1152 25.3 48 3326.45 67.99 3 24 59804.2 1280.3 3.8 49 6012.4 448.2 14.8 25 15403 2915 31.7 50 71759.99 503.4 1.3 Nguồn: Trong đó: Y: Tổng doanh thu của các doanh nghiệp năm 2009. Đơn vị ( triệu USD) X: Tổng thu nhập ròng của các doanh nghiệp 2009. Đơn vị ( triệu USD) Z: Lợi nhuận của các doanh nghiệp năm 2009. Đơn vị ( triệu USD) Để chứng minh cho bảng số liệu thu thập được có hiện tượng phương sai của sai số thay đổi ta thực hiện các công việc sau: 1, Phương pháp định tính a, Dựa vào bản chất của vấn đề nghiên cứu Chúng ta thu thập số liệu chéo giữa các công ty khác nhau trong cùng một thời điểm. Do quy mô, thương hiệu, số vốn... của các công ty là không giống nhau cho nên doanh thu của các công ty có quy mô khác nhau ứng với thu nhập ròng, lợi nhuận sẽ biến động không giống nhau. Do vậy chúng ta có bộ số liệu có phương sai thay đổi chúng ta cùng xem xét chúng trên những mặt khác. ei b. Dựa vào đồ thị của phần dư Đồ thị của phần dư và ei Đồ thị bình phương phần dư và Từ hai đồ thị cho thấy rằng độ rộng của biểu đồ rải tăng lên khi tăng, cho nên ta có thể nói rằng phương sai của sai số thay đổi khi tăng. 2, Phương pháp định lượng ei ei a, Kiểm định Park: Ta sử dụng Eviews hồi quy ln theo ln được kết quả sau: Ta có P-value = 0.000 < 0.05 nên bác bỏ H0 .Vậy phương sai thay đổi. b, Kiểm định Glejser Ta thực hiện hồi quy = β1 + β2 X1+ vi Ta có P-value = 0.0013 < 0.05 nên bác bỏ H0 .Vậy phương sai thay đổi. c, Kiểm định Goldfeld- Quandt Ta bỏ c = 10 quan sát ở giữa, từ quan sát 21- 30 Tính F = = = 6.5625 > F0,05(17,17) = 2.28. Vậy phương sai thay đổi. d, Kiểm định White Ta thực hiện hồi quy hàm sau: Ta có P-value = 0.00066 < 0.05 nên bác bỏ H0 .Vậy phương sai thay đổi. d, Kiểm định Dựa trên biến phụ thuộc Ta hồi quy theo nR2 = 50.0,226076 = 11.3038 > = (0,263607/0,070398)2 = 14.02146 > F0,05(1,48) Trong trường hợp này cả 2 tiêu chuẩn và F đều cho thông tin bác bỏ H0. Vậy phương sai của sai số thay đổi. Để khắc phục hiện tượng phương sai của sai số thay đổi xin có một số giải pháp như sau: 3. Cách khắc phục a, Giả Thuyết 1 E() = Ta thực hiện hồi quy sau: = +++ = ++ + Vi Dùng kiểm định white kiểm tra lại: Ta có P-value = 0.947834 nên chấp nhận H0 không còn phương sai thay đổi. b, Giả Thuyết 2 E(Ui)2=s2 Xi Ta thực hiện hồi quy sau: Dùng kiểm định white kiểm tra lại: Ta có P-value = 0.189010 nên chấp nhận H0 không còn phương sai thay đổi. c, Giả thuyết 3 Khi đó thực hiện phép biến đổi sau: Dùng kiểm định white kiểm tra lại: Ta có P-value = 0.995127 > 0.05 nên chấp nhận H0 không còn phương sai thay đổi.