Đề tài Rèn kĩ năng giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình cho học sinh lớp 9 trường THCS Long Giang

thể gọi ẩn là chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật. Hoặc đề bài yêu cầu tính quãng đường AB thì ta có thể gọi ẩn là vận tốc và thời gian đi từ A đến B…. 3.2- PHÂN TÍCH BÀI TOÁN : - Trong quá trình giảng dạy và hướng dẫn các em giải bài tập, giáo viên phải phân ra từng loại toán, giới thiệu đường lối chung từng loại, các công thức, các kiến thức có liên quan từng loại bài. Ở lớp 9 các em thường gặp các loại bài như : Loại toán : Bài toán về chuyển động. Bài tập năng suất lao động. Bài toán liên quan đến số học và hình học. Bài toán có nội dung vật lý - hóa học. Bài toán về công việc làm chung và làm riêng. Bài toán về tỷ lệ, chia phần. Khi bắt tay vào giải bài tập, một yêu cầu không kém phần quan trọng, đó là phải đọc kỹ đề bài, tự mình biết ghi tóm tắt đề bài, nếu tóm tắt được đề bài là các em đã hiểu được nội dung, yêu cầu của bài, từ đó biết được đại lượng nào đã biết, đại lượng nào chưa biết, mối quan hệ giữa các đại lượng. Cần hướng dẫn cho các em như tóm tắt đề bài như thế nào để làm toán, lên dạng tổng quát của phương trình, ghi được tóm tắt đề bài một cách ngắn gọn, toát lên được dạng tổng quát của phương trình thì các em sẽ lập được các phương trình dễ dàng. Đến đây coi như đã giải quyết được một phần lớn bài toán rồi. Khó khăn nhất đối với học sinh là bước lập hệ phương trình, các em không biết chọn đối tượng nào là ẩn, rồi điều kiện của ẩn ra sao? Điều này có thể khắc sâu cho học sinh là ở những bài tập đơn giản thì thường thường “bài toán yêu cầu tìm đại lượng nào thì chọn đại lượng đó là ẩn”. Còn điều kiện của ẩn dựa vào nội dung ý nghĩa thực tế của bài song cũng cần phải biết được nên chọn đối tượng nào là ẩn để khi lập ra phương trình bài toán, ta giải dễ dàng hơn. Muốn lập được phương trình bài toán không bị sai thì một yêu cầu quan trọng nữa là phải nắm chắc đối tượng tham gia vào bài, mối quan hệ của các đối tượng này lúc đầu như thế nào? lúc sau như thế nào? Ø Chẳng hạn khi giải bài toán : Phân tích: Ở đây, ta gặp các đại lượng: Số tấn cá đánh bắt trong tuần ( đã biết), tổng số tấn cá và số tuần đánh bắt (chưa biết): theo kế hoạch và thực tế đã thực hiện. Chúng ta có quan hệ: (Số tấn cá đánh bắt trong tuần) x (số tuần đánh bắt) = Tổng số tấn cá. Ta chọn ẩn là một trong các đại lượng chưa biết. Ở đây, ta chọn x là số tuần đánh bắt theo kế hoạch và y là tổng số tấn cá đánh bắt theo kế hoạch (ẩn được đề xuất) để chuyển bài toán về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Quy luật trên cho phép ta lập bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán ( Giáo viên kẻ bảng và hướng dẫn học sinh điền vào bảng) Số tấn cá đánh bắttrong 1 tuần Số tuần Tổng số tấn cá Theo kế hoạch 20 x y Đã thực hiện 26 x - 1 y+10 Khi đó: Phương trình (1) được thiết lập dựa trên địnnh mức trong kế hoạch Phương trình (2) được thiết lập dựa trên việc thực hiện kế hoạch trong thực tế 20x = y 26(x-1)=y+10 Như vậy theo điều kiện đề bài ta có hệ phương trình: Ở chương trình lớp 9 thường gặp các bài toán về dạng chuyển động ở dạng đơn giản như : Chuyển động cùng chiều, ngược chiều trên cùng quãng đường… hoặc chuyển động trên dòng nước. Do vậy, trước tiên cần cho học sinh nắm chắc các kiến thức, công thức liên quan, đơn vị các đại lượng. Trong dạng toán chuyển động cần phải hiểu rõ các đại lượng quãng đường, vận tốc, thời gian, mối quan hệ của chúng qua công thức . Từ đó suy ra: ; Do đó, khi giải nên chọn 1 trong 3 đại lượng làm ẩn Dạng toán chuyển động cũng có thể chia ra nhiều dạng và lưu ý: -Chuyển động cùng chiều trên cùng một quãng đường đến khi gặp nhau thì: (S) ôtô 1 đi = (S) ôtô 2 đi Nếu hai xe cùng xuất phát mà ô tô 1 đến trước ôtô 2 là t giờ thì: (t) ôtô 2 đi – (t) ôtô 1 đi = t -Chuyển động ngược chiều trên cùng một quãng đường thì: (S) ôtô 1 đi + (S) ôtô 2 đi = S Nếu hai xe gặp nhau ở chính giữa quãng đường AB thì: (S) ôtô 1 đi = (S) ôtô 2 đi -Chuyển động trên dòng sông: Vxuôi dòng = VRiêng + V dòng nước Vngược dòng = VRiêng - V dòng nước -Chuyển động trên cùng một đường tròn: Hai vật xuất phát tại một điểm sau t giờ gặp nhau: +Chuyển động cùng chiều: Độ dài đường tròn (S) = (t).(v1-v2) (Giả sử v1, v2 là vận tốc của hai vật, v1>v2) +Chuyển động ngược chiều: Độ dài đường tròn (S) =(t).(v1+v2) Ví dụ: Một người đi từ A đến B gồm quãng đường AC và CB hết thời gian là 4 giờ 20 phút. Tính quãng đường AC và CB biết rằng vận tốc của người đó trên AC là 30 km/h, trên CB là 20 km/h và quãng đường AC ngắn hơn CB là 20km. * Phân tích: Đối với dạng toán này, GV cần hướng dẫn HS tóm tắt bài toán bằng sơ đồ hình vẽ: A C B y(km) x(km) vAC = 30 km/h; vCB = 20km/h tAB=4 giờ 20 phút = (giờ) SBC – SAC = 20 (km) Sau đó GV hướng dẫn HS lập bảng phân tích thông qua các câu hỏi: v (km/h) t (h) S (km) Quãng đường AC 30 x Quãng đường CB 20 y Quãng đường AB Theo đề bài ta biết được những ô nào? HS: vAC, vCB, tAB Đề bài yêu cầu tìm đại lượng nào? HS:Quãng đường AC và CB Hãy chọn các đại lượng đó là ẩn (SAC : x(km), SCB : y (km), đk 0<x<y) Quãng đường AC ngắn hơn CB là 20 km, ta có phương trình thế nào? HS:y – x = 20 hay –x + y = 20 (1) Biết quãng đường và vận tốc đi trên mỗi quãng đường, ta tính được đại lượng nào? HS:thời gian đi trên mỗi quãng đường Vì thời gian đi tổng cộng là 4 giờ 20 phút = (giờ) nên ta có phương trình thế nào? HS: (2) Từ (1) và (2) ta đã tìm được hệ phương trình của bài toán Sau khi phân tích xong, giáo viên cần cho học sinh thấy rằng : Như ta đã phân tích ở trên thì bài toán này còn có thời gian đi trên mỗi quãng đường chưa biết, nên ngoài việc chọn quãng đường là ẩn, ta cũng có thể chọn thời gian đi trên mỗi quãng đường là ẩn Nếu gọi thời gian đi trên quãng đường AC là x (km), đk x>0 Thời gian đi trên quãng đường CB là y (km), đk y>0 Khi đó ta có bảng phân tích như sau: v (km/h) t (h) S (km) Quãng đường AC 30 x 30x Quãng đường CB 20 y 20y Quãng đường AB Vì thời gian đi tổng cộng là 4 giờ 20 phút = (giờ) nên ta có phương trình thế nào? HS: x + y = (1) Quãng đường AC ngắn hơn CB là 20 km, ta có phương trình thế nào? x + y = -30x + 20y =20 HS: 20y – 30x = 20 hay -30x + 20y =20 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: Giải hệ phương trình này ta sẽ tìm được x và y Đến đây học sinh dễ mắc sai lầm là dừng lại trả lời kết quả bài toán Do đó cần khắc sâu cho các em thấy được bài toán yêu cầu tìm quãng đường nên khi có thời gian rồi phải tìm quãng đường. vTóm lại : Khi giải dạng toán chuyển động, trong bài có nhiều đại lượng chưa biết, nên ở bước lập hệ phương trình ta tùy ý lựa chọn một trong các đại lượng chưa biết làm ẩn. Nhưng ta nên chọn trực tiếp đại lượng bài toán yêu cầu cần phải tìm là ẩn nhằm tránh những thiếu sót khi trả lời kết quả. Song thực tế không phải bài nào ta cũng chọn được trực tiếp đại lượng phải tìm là ẩn mà có thể phải chọn đại lượng trung gian là ẩn. Đối với bài toán “làm chung – làm riêng một công việc” giáo viên cần cung cấp cho học sinh một số kiến thức liên quan như : - Khi công việc không được đo bằng số lượng cụ thể, ta coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị công việc biểu thị bởi số 1. - Năng suất làm việc là phần việc làm được trong 1 đơn vị thời gian. Ta có công thức A = nt ; Trong đó: A : Khối lượng công việc n : Năng suất làm việc t : Thời gian làm việc - Tổng năng suất riêng bằng năng suất chung khi cùng làm. - Biết tìm năng suất làm việc như thế nào? thời gian hoàn thành, khối lượng công việc để vận dụng vào từng bài toán cụ thể. Khi ta nắm được các vấn đề trên rồi thì các em sẽ dễ dàng giải quyết bài toán. ØXét bài toán sau : Phân tích: - Trước hết phân tích bài toán để nắm được những nội dung sau : + Khối lượng công việc ở đây là lượng nước của một bể. + Đối tượng tham gia ? (2 vòi nước) + Số liệu đã biết ? (thời gian hai vòi cùng chảy). + Đại lượng liên quan: Năng suất chảy của mỗi vòi, thời gian hoàn thành của mỗi vòi. + Số liệu chưa biết ? (Thời gian làm riêng để hoàn thành công việc của mỗi vòi). - Bài toán yêu cầu tìm thời gian mỗi vòi chảy riêng để đầy bể. Gíao viên hướng dẫn học sinh lập bảng phân tích: Năng suất chảy trong 1 giờ Thời gian HTCV Cả 2 vòi (bể) 1 giờ 20 phút =giờ Vòi I x Vòi II y Qua bảng phân tích ta tìm được phương trình: += (1) Để tìm được phương thứ hai, ta dựa vào giả thiết còn lại của bài toán đó là:Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì đầy bể Như vậy ta phải tính xem trong 10 phút =giờ vòi I chảy được bao nhiêu? Trong 12 phút = giờ vòi II chảy được bao nhiêu? HS:Trong 10 phút =giờ vòi I chảy được :(bể) Trong 12 phút = giờ vòi II chảy được : (bể) Như vậy ta có phương trình thế nào? += HS: (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: GV: Ngoài cách chọn ẩn này ra, ta còn cách chọn nào nữa hay không? HS: chọn x, y lần lượt là năng suất của mỗi vòi. Giáo viên hướng dẫn học sinh lập bảng phân tích tương ứng: Năng suất chảy trong 1 giờ Thời gian HTCV Cả 2 vòi (bể) 1 giờ 20 phút =giờ Vòi I x Vòi II y GV: Qua bảng phân tích ta có phương trình thế nào? HS: x +y = (1) GV: Để tìm được phương trình (2) ta thực hiện như cách 1. Như vậy ta có phương trình thế nào? x +y = x + y = HS:x + y = (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: Đến đây học sinh dễ nhầm lẫn là lấy kết quả tím được để trả lời bài toán. Vì thế giáo viên cần nhắc nhở học sinh đây không phải là kết quả cuối cùng mà ta phải trả lời ở cột thời gian tức là lấy nghịch đảo kết quả tìm được để trả lời. Lưu ý: Dù chọn ẩn ở cột thời gian hay năng suất thì phương trình lập được bao giờ cũng dựa vào cột năng suất. * Ở chương trình đại số lớp 9 các em cũng thường gặp loại bài tìm 1 số tự nhiên có 2 chữ số, đây cũng là loại toán tương đối khó đối với các em; để giúp học sinh đỡ lúng túng khi giải loại bài thì trước hết phải cho các em nắm được một số kiến thức liên quan: - Cách viết số trong hệ thập phân: +Số có 2 chữ số được kí hiệu là: =10a+b +Số có 3 chữ số được kí hiệu là: =100a+10b+c Mối quan hệ giữa các chữ số, vị trí giữa các chữ số trong số cần tìm…; điều kiện của các chữ số. Quan hệ chia hết và chia có dư: + Chữ số hàng chục a chia hết cho chữ số hàng đơn vị b là a = b.q (q là thương) + Chữ số hàng chục a chia cho chữ số hàng đơn vị b được thương là q và dư là r thì: a = b.q + r Ví dụ : “Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số của nó là 16, nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau được một số lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị. Tìm số đã cho.” Phân tích: Học sinh phải nắm được : - Số cần tìm có mấy chữ số ?(2 chữ số). - Quan hệ giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị như thế nào? (Tổng 2 chữ số là 16). - Vị trí các chữ số thay đổi thế nào? (Chữ số hàng chục thành hàng đơn vị và ngược lại) - Số mới so với ban đầu thay đổi ra sao? (Số mới lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị) - Muốn biết số cần tìm, ta phải biết điều gì? (Chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị). - Đến đây ta dễ dàng giải bài toán, thay vì tìm số tự nhiên có hai chữ số ta đi tìm chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị Nếu gọi chữ số hàng chục là x, chữ số hàng đơn vị là y Điều kiện của x và y ? (x,yN, 0 < x,y < 10). Tổng các chữ số là 16, vậy ta có phương trình thế nào? x + y = 16 (1) Số đã cho được viết thế nào? = 10x + y Đổi vị trí hai chữ số cho nhau thì số mới được viết như thế nào? = 10y + x Số mới lớn hơn số đã cho là 18 nên ta có phương trình ra sao? x + y = 16 -x + y = 2 (10y + x) – (10x + y) = 18 hay –x + y = 2 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 3.3- MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA VỀ CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP HÌNH THÀNH KĨ NĂNG: Trong phần soạn một số bài toán điển hình của từng loại, bản thân tôi không có tham vọng gì lớn chỉ mong đó là tài liệu tham khảo để các em học sinh luyện tập thêm. Loại 1 : Bài toán về chuyển động Ví dụ 1 :Một ôtô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính thời gian dự định đi lúc đầu và quãng đường AB. Hãy xác định đối tượng tham gia vào bài toán? Đề bài yêu cầu ta tìm các đại lượng nào? Hãy chọn ẩn cho các đại lượng đó và xác định điều kiện tương ứng? Với giả thiết nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giơ, ta hiểu như thế nào? HS:Nếu thời gian dự định tăng thêm 2 giờ thì xe sẽ đi hết quãng đường AB Với giả thiết đó được biểu thị qua các ẩn x, y như thế nào? Tương tự, nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ, ta biểu thị qua các ẩn x, y như thế nào? Từ hai phương trình có được hãy lập hệ phương trình và giải hệ phương trình GV mời 1 HS lên bảng giải Sau khi HS giải xong, GV chú ý cho HS so sánh giá trị tìm được của ẩn với điều kiện ban đầu rồi kết luận Gọi thời gian dự định đi lúc đầu là x(h), điều kiện : x>0 Gọi độ dài quãng đường AB là y(km), điều kiện : y>0 Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ, tức là thời gian chạy bằng x+2 do đó: 35(x+2)=y (1) Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ, tức là thời gian chạy bằng x-1 do đó: 50(x-1)=y (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 35(x+2)=y 50(x-1)=y x = 8 y = 350 (TMĐK) Vậy quãng đường AB bằng 350 và thời gian dự định đi lúc đầu là 8 giờ Ví dụ 2 : Giữa hai địa điểm A và B cách nhau 30 km, một xe máy và một xe đạp khởi hành cùng lúc tại A và B. Nếu hai xe đi ngược chiều nhau thì sau 40 phút chúng gặp nhau, còn nếu hai xe đi cùng chiều theo hướng từ A đến B thì sau 2 giờ chúng gặp nhau. Hãy tính vận tốc của mỗi xe? GV tóm tắt bài toán trên hình vẽ cho HS chọn ẩn và tính các đại lượng chưa biết qua ẩn? Trường hợp 1: Xe máy Xe đạp A C B x km/h y km/h 30km 40 phút Khi hai xe chuyển động ngược chiều, hai xe gặp nhau khi nào? Từ đó ta thiết lập được phương trình nào? Trường hợp 2: 30km A B D Xe máy Xe đạp x km/h y km/h 2 giờ Gọi x(km/h), y(km/h) lần lượt là vận tốc của xe máy và xe đạp, điều kiện: x>y>0 Sau 40 phút =giờ : Xe máy đi được x (km) Xe đạp đi được y (km) Do đó ta có phương trình: x + y = 30 x + y = 45 (1) Sau 2 giờ: Xe máy đi được 2x (km) Xe đạp đi được 2y (km) Ta có phương trình: 2x – 2y = 30 x + y = 15 (2) x + y = 45 x – y = 15 x = 30 y = 15 (TMĐK) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: Vậy vận tốc của xe máy là 30 km/h Vận tốc của xe đạp là 15 km/h Bài tập hình thành kĩ năng : 1- Hai canô cùng khởi hành từ bến A và B cách nhau 85 km, đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi canô. Biết rằng vận tốc riêng của canô đi xuôi lớn hơn vận tốc riêng của ca nô đi ngược là 9 km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h. 2- Một ca nô đi xuôi từ đến B với vận tốc trung bình là 30 km/h sau đó đi ngược lại từ B về A. Tính quãng đường AB, biết thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược là 40 phút và vận tốc dòng nước là 3 km/h. 3- Lúc 7 giờ, một người đi xe máy khởi hành từ A với vận tốc 40 km/h. Sau đó, lúc 8 giờ 30 phút, một người khác cũng đi xe máy từ A đuổi theo với vận tốc 60 km/h. Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ? 4- Một người đi xe đạp dự định đi hết quãng đường AB với vận tốc 10 km/h. Sau khi đi được nửa quãng đường với vận tốc dự định người ấy nghỉ 30 phút. Vì muốn đến B kịp giờ nên người ấy phải đi với vận tốc 15 km/h trên quãng đường còn lại. Tính quãng đường AB? Loại 2 : Bài toán về năng suất lao động Chú ý : Năng suất lao động là kết quả làm được, như vậy: Năng suất lao động trội = mức quy định + tăng năng suất. Ví dụ 1: Trong tháng 3, hai tổ trồng được 720 cây xanh. Trong tháng 4, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên cả hai tổ trồng được 819 cây xanh. Tính xem trong tháng 3, mỗi tổ trồng được bao nhiêu cây xanh ? Đề bài yêu cầu tính gì? Hãy chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn Trong tháng 3, hai tổ trồng được 720 cây xanh nên ta có phương trình thế nào? Chú ý: Nếu làm vượt mức a% tức là đã làm đạt (100+a)% Hãy tính số cây xanh mà mỗi tổ trồng được trong tháng 4? HS : Tổ I : 115%x ; Tổ II : 112%y Tổng số cây trồng được trong tháng 4 là 819 cây. Như vậy ta có phương trình thế nào? So sánh kết quả với điều kiện đầu bài rồi trả lời Gọi số cây xanh tổ I trồng được trong tháng 3 là x(cây), điều kiện : 0<xN Số cây xanh tổ II trồng được trong tháng 3 là y (cây), điều kiện : 0<yN Trong tháng 3, hai tổ trồng được 720 cây xanh nên ta được: x + y = 720 (1) Trong tháng 4, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên trồng được 819 cây xanh. Do đó ta có phương trình: 115%x + 112%y = 819 115x + 112y = 81900 (2) x + y = 720 115x + 112y = 81900 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: x = 420 y = 300 (TMĐK) Vậy trong tháng 3 tổ I trồng được 420 cây xanh, tổ II trồng được 300 cây xanh Ví dụ 2: Hai tổ sản xuất phải hoàn thành 90 sản phẩm. Tổ I vượt mức 15% kế hoạch của tổ. Tổ II vượt mức 12% kế hoạch của tổ. Do đó, cả hai tổ làm được 102 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch, mỗi tổ phải làm bao nhiêu sản phẩm? Đề bài yêu cầu tính gì? Hãy chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn Theo kế hoạch, hai tổ sản xuất phải hoàn thành bao nhiêu sản phẩm? HS: 90 sản phẩm Như vậy ta có phương trình thế nào? Tổ I vượt mức 15% kế hoạch, vậy tổ I làm được bao nhiêu sản phẩm? HS: 115%x Tương tự, tổ II vượt mức 12% kế hoạch, vậy tổ I làm được bao nhiêu sản phẩm? HS: 112%y Khi thực hiện, cả hai tổ làm dược bao nhiêu sản phẩm? hãy lập phương trình ? HS: 102 sản phẩm So sánh kết quả với điều kiện đầu bài rồi trả lời Gọi số sản phẩm theo kế hoạch tổ I phải làm là x(sản phẩm), điều kiện: 0 < xN Số sản phẩm theo kế hoạch tổ II phải làm là y (sản phẩm), điều kiện: 0 < yN Vì hai tổ sản xuất phải hoàn thành 90 sản phẩm nên ta có phương trình: x + y = 90 (1) Tổ I vượt mức 15% kế hoạch, tổ II vượt mức 12% kế hoạch. Do đó, cả hai tổ làm được 102 sản phẩm, ta được phương trình: 115%x + 112%y = 102 115x + 112y = 10200 (2) x + y = 90 115x + 112y = 10200 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: x = 40 y = 50 (TMĐK) Vậy theo kế hoạch: Tổ I phải làm 40 sản phẩm Tổ II phải làm 50 sản phẩm Bài tập hình thành kĩ năng: 1- Theo kế hoạch, trong quý I, phân xưởng A phải sản xuất nhiều hơn phân xưởng B 200 bình bơm thuốc trừ sâu. Khi thực hiện, do phân xưởng A tăng năng suất 20%, còn phân xưởng B tăng năng suất 15% nên phân xưởng A sản xuất được nhiều hơn phân xưởng B là 350 bình bơm. Hỏi theo kế hoạch mỗi phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu bình bơm? 2- Trong tuần đầu hai tổ sản xuất được 1500 bộ quần áo. Sang tuần thứ hai, tổ A vượt mức 25% kế hoạch, tổ B giảm 18% kế hoạch. Do đó, trong tuần này cả hai tổ sản xuất được 1617 bộ. Hỏi trong tuần đầu, mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu bộ? 3- Theo kế hoạch, hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kỉ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II vượt mức 21%. Vì vậy, trong thời gian qui định, họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch? 4- Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Xí nghiệp I đã vượt mức kế hoạch 12%, xí nghiệp II đã vượt mức kế hoạch 10%. Do đó, cả hai xí nghiệp đã làm tổng cộng 400 dụng cụ. Tính số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch? Loại 3 : Bài toán có liên quan đến số học và hình học Ví dụ 1 : Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng hai chữ số đó bằng 7 và nếu ta viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được một số lớn hơn số đã cho là 27 đơn vị. Gọi HS nhắc lại cách biểu diễn của một số dưới dạng lũy thừa theo cơ số 10 : =10x+y ... GV cho HS hoạt động theo nhóm (7’) dưới sụ gợi ý của GV : - Số cần tìm có mấy chữ số ? - Quan hệ giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị như thế nào? - Vị trí các chữ số thay đổi thế nào? - Số mới so với ban đầu thay đổi ra sao? Sau đó mời đại diện một nhóm lên trình bày HS nhóm khác nhận xét GV nhận xét chung Gọi số đã cho là =10x+y, trong đó xN, yN và 1 < x < 9, 1 < y < 9 Theo giả thiết: tổng hai chữ số đó bằng 7, ta được: x + y = 7 (1) Số được viết theo thứ tự ngược lại là : Vì số mới lớn hơn số đã cho là 27 đơn vị nên ta có phương trình: (10y+x) – (10x+y) = 27 hay –x + y = 3 (2) x + y = 7 -x + y = 3 x = 2 y = 5 (TMĐK) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : Vậy số phải tìm là 25. Ví dụ 2: Tính độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông ,biết rằng nếu tăng các cạnh lên 3cm thì diện tích tăng lên 36cm2 và nếu giảm một cạnh 2cm, cạnh kia đi 4cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26cm2 GV hướng dẫn HS lập bảng phân tích: Cạnh 1 Cạnh 2 S Ban đầu x(cm) y(cm) (cm2) Tăng (x+3) (cm) (y+3)(cm) Giảm (x-2) (cm) (y-4) (cm) ĐK:x>2;y>4 Nếu gọi x(cm), y(cm) là độ dài hai cạnh góc vuông thì diện tíc của tam giác vuông này là bao nhiêu? HS: (cm2) Nếu tăng các cạnh lên 3cm thì diện tích tăng lên 36cm2, ta được phương trình thế nào ? Nếu giảm một cạnh 2cm, cạnh kia đi 4cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26cm2, ta được phương trình nào ? Giải hệ phương trình tìm x và y ? GV cho HS giải theo nhóm (10’) rồi mời đại diện nhóm lên trình bày HS nhận xét GV hoàn chỉnh bài cho HS Gọi độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông lầ lượt là x(cm), y(cm); điều kiện: x>2; y>4 Nếu tăng các cạnh lên 3cm thì diện tích tăng lên 36cm2, ta được phương trình : hay x + y = 21 (1) Nếu giảm một cạnh 2cm, cạnh kia đi 4cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26cm2, ta được phương trình : hay 2x + y = 30 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: x = 9 y = 12 (TMĐK) x + y = 21 2x + y = 30 Vậy hai cạnh góc vuông cần tìm là 9(cm) và 12(cm) Bài tậphình thành kĩ năng: 1- Tìm một số có hai chữ số. Biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 5, nếu viết xen chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì số tự nhiên đó tăng 630 đơn vị. 2- Tìm số tự nhiên có hai chữ số. Biết tổng các chữ số bằng 8, nếu đổi vị trí hai chữ số cho nhau thì số tự nhiên đó tăng lên 18 đơn vị. 3- Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 54m. Nếu giảm chiều dài đi 5m và tăng chiều rộng thêm 2m thì diện tích tăng thêm 9m2. Tính các kích thước của hình chữ nhật. 4- Cho một tam giác vuông : Nếu tăng mỗi cạnh góc vuông thêm 2m thì diện tích tăng 17m2. Nếu giảm một cạnh góc vuông đi 3m và giảm cạnh góc vuông kia 1m thì diện tích giảm 11m2. Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông Loại 4 : Bài toán có nội dung vật lý, hóa học Để lập được phương trình, ta phải dựa vào các công thức, định luật của vật lý, hóa học liên quan đến những đại lượng có trong đề toán. Chú ý : Trong đó : D : khối lượng riêng m : khối lượng V : thể tích Ví dụ : Một vật có khối lượng là 124 gam, thể tích là 15cm3 là hợp kim đồng và kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng, bao nhiêu gam kẽm. Biết rằng 89 gam đồng thì có thể tích 10cm3 và 7gam kẽm có thể tích là 1cm3. Bài toán yêu cầu tính gì ? Hãy chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn. Vật có khối lượng là 124g (gồm đồng và kẽm) nên ta có phương trình thế nào ? GV : 89 gam đồng thì có thể tích 10cm3. Vậy x(g) đồng có thể tích bao nhiêu ? HS : (g) GV : 7gam kẽm có thể tích là 1cm3. Vậy y(g) kẽm có thể tích bao nhiêu ? HS : (g) Vật có thể tích là 15 cm3, ta được phương trình thế nào ? Giải hệ phương trình, so sánh điều kiện rồi trả lời Gọi khối lượng đồng trong hợp kim là x(gam) Và khối lượng kẽm trong hợp kim là y(gam) Điều kiện: x>0;y>0 Vì khối lượng của vật là 124 gam nên ta có phương trình : x+y = 124 (1) Vì thể tích của vật là 15cm3 ta có phương trình: (2) Từ (1) và 2 ta có hệ phương trình : x+y = 124 x = 89 y = 35 (TMĐK) Vậy khối lượng đồng trong hợp kim là 89g. Khối lượng đồng trong hợp kim là 35g. Bài tập hình thành kĩ năng: 1- Có hai loại dung dịch chứa cùng một thứ axit. Loại I chứa 30% axit, loại II chứa 50% axit. Muốn có 50 lít dung dịch chứa 15% axit thì cần phải trộn lẫn bao nhiêu lít dung dịch mỗi loại? 2- Một hợp kim đồng và nhôm nặng 11,250kg, có thể tích là 3,500dm3. Tính khối lượng của đồng và nhôm có trong hợp kim, biết rằng khối lượng riêng của đồng là 8,9g/cm3; của nhôm là 2,6g/cm3. Loại 5 : Bài toán về công việc làm chung, làm riêng Chú ý : Nếu mất n đơn vị thời gian (giờ, ngày...) để làm xong một công việc thì trong 1 đơn vị thời gian ấy sẽ làm được công việc. Ví dụ : Hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước trong 12 giờ thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 4 giờ và vòi thứ hai chảy trong 6 giờ thì đầy bể. Hỏi mỗi vòi nếu chảy một mình thì phải mất bao lâu mới đầy bể ? GV cho HS phân tích đề, xác định các đối tương tham gia vào bài toán (qua bảng phân tích) Chọn ẩn cho bài toán ? Vòi I chảy trong x giờ thì đầy bể. Vậy trong 1 giờ, vòi I chảy được bao nhiêu phần của bể ? Tương tự cho vòi II, tính xem trong 1 giờ chảy được bao nhiêu phần của bể ? Hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước trong 12 giờ thì đầy bể. Vậy trong 1 giờ, cả hai vòi chảy được bao nhiêu phần của bể ? Ta thiết lập được phương trình nào từ giả thiết trên ? Nếu mở vòi I chảy trong 4 giờ thì vòi I chảy được bao nhiêu phần của bể ? Nếu mở vòi II chảy trong 6 giờ thì vòi II chảy được bao nhiêu phần của bể ? Nếu mở vòi I chảy trong 4 giờ và vòi II chảy trong 6 giờ thì đầy bể, ta lập được phương trình nào ? Giải hệ phươn