Đề tài Tìm tập hợp điểm trong chương trình THCS
Mục lục Mục lục. A. Lời nói đầu. B. Nội dung. Phần I. Những vấn đề cơ bản về bài toán tập hợp điểm. 1. Định nghĩa tập hợp điểm (quỹ tích). 2. Phương pháp chủ yếu giải bài toán tập hợp điểm. 3. Phương pháp giới hạn tập hợp điểm. 4. Một vài phương pháp khác giải bài toán quỹ tích. Phần II. Các tập hợp điểm cơ bản. I. Tập hợp điểm là đường thẳng hoặc một phần đường thẳng. 1.Tập hợp điểm là đường trung trực hoặc một phần đường trung trực. 2. Tập hợp điểm là tia phân giác. 3. Tập hợp điểm là hai đường thẳng song song. 4. Tập hợp điểm là một đường thẳng song song với đường thẳng cho trước. 5. Tập hợp điểm là đường thẳng hợp với đường thẳng cố định một góc không đổi. II. Tập hợp điểm là đường tròn hoặc một phần của đường tròn. 1. Tập hợp điểm là đường tròn . 2. Tập hợp điểm là cung tròn. Phần III. Ứng dụng quỹ tích vào thực tế và giải toán. Phần IV. Một số bài toán chọn lọc về tập hợp điểm. I. Các bài toán tập hợp điểm là đường thẳng hoặc một phần của đoạn thẳng II. Các bài toán tập hợp điểm là đường tròn hoặc một phần của đường tròn. C. Thực nghiệm. Phần IV. Kết luận. Phần V. Phụ lục. trang 2
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Đề tài Tìm tập hợp điểm trong chương trình THCS, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
®iÓm O
trªn AB, vµ MA = MB ( ®êng kÝnh vµ d©y cung)
KÎ AH ^ d , do Avµ d cè ®Þnh nªn AH cè ®Þnh .
KÎ MN ^ d, do MA = MB nªn MN = AH
VËy ®iÓm M di ®éng nhng lu«n c¸ch ®êng th¼ng d mét kho¶ng kh«ng ®æi b»ng AH vµ M lu«n n»m cïng phÝa víi A so víi ®êng th¼ng d. VËy ®iÓm M thuéc ®êng th¼ng D // d c¸ch ®êng th¼ng d mét kho¶ng AH, ®i qua trung ®iÓm cña AH.
b. Giíi h¹n:
Víi M lµ ®iÓm tuú ý trªn D lu«n lµ h×nh chiÕu cña mét ®iÓm O lµ t©m cña mét ®êng trßn qua A vµ tiÕp xóc víi ®êng th¼ng d.
c. PhÇn ®¶o:
LÊy ®iÓm M bÊt kú thuéc D, nèi A víi M c¾t d t¹i B; dùng O lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M vµ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi d t¹i B.
V× ®êng th¼ng D // d vµ ®i qua trung ®iÓm cña AH Þ M lµ trung ®iÓm cña AB. Mµ OM ^ AB Þ OM lµ ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AB
Þ OA=OB . VÏ ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh OA, khi ®ã B Î (O; OA). V× OB ^ d, B Î d, B Î (O; OA) Þ (O; OA) tiÕp xóc víi ®êng th¼ng d.
d. KÕt luËn: TËp hîp h×nh chiÕu t©m O cña ®êng trßn ®i qua ®iÓm A vµ tiÕp xóc víi ®êng th¼ng d cè ®Þnh lµ ®êng th¼ng D // d n»m cïng mét nöa mÆt ph¼ng víi ®iÓm A bê lµ ®êng th¼ng d, c¸ch ®êng th¼ng a mét kho¶ng b»ng nöa kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm A ®Õn d.
5. TËp hîp ®iÓm lµ ®êng th¼ng hîp víi ®êng th¼ng cè ®Þnh mét gãc kh«ng ®æi
Bµi to¸n 1:
Cho gãc xOy = 900 cè ®Þnh, ®iÓm A cè ®Þnh trªn tia Ox, ®iÓm B chuyÓn ®éng trªn tia Oy, vÏ D ABC ®Òu ( C vµ O kh¸c phÝa ®èi víi AB). T×m tËp hîp trung ®iÓm M cña BC.
y
x
z
C
M
D
O
E
A
B
Híng dÉn gi¶i:
a. PhÇn thuËn:
D ABC ®Òu, AM lµ trung tuyÕn Þ AM ^ BC
Þ Ð AOB = Ð AMB = 900
Þ tø gi¸c OBMA néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn
Þ Ð AOM = Ð ABM, mµ Ð AOM = 600
MÆt kh¸c, do OA cè ®Þnh, nªn M thuéc ®êng th¼ng
hîp víi Ox mét gãc b»ng 600
b. Giíi h¹n:
Khi B º O th× Cº D, nªn M º E ( E lµ trung ®iÓm cña OD)
Khi B ch¹y xa v« tËn trªn tia Oy th× C ch¹y xa v« tËn trªn tia Dz nªn M ch¹y xa v« tËn trªn tia ED.
VËy M chuyÓn ®éng trªn tia ED
c. PhÇn ®¶o:
LÊy ®iÓm M bÊt kú thuéc tia ED vÏ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AM t¹i M, c¾t tia Oy t¹i B, vÏ D ABC ®Òu.
Ð AOB = Ð AMB = 900 Þ tø gi¸c OAMB néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn Þ Ð ABM = Ð AOM mµ Ð AOM = 600 Þ Ð ABM = 600 . Ð ABM = 600, ÐABC =600 Þ M, B, C th¼ng hµng. D ABC ®Òu, AM ^ BC Þ M lµ trung ®iÓm cña BC.
d. KÕt luËn :
TËp hîp c¸c ®iÓm M lµ trung ®iÓm cña BC lµ tia ED thuéc ®êng th¼ng hîp víi Ox mét gãc b»ng 600.
Bµi to¸n 2:
Cho gãc xOy = 900 cè ®Þnh, ®iÓm A cè ®Þnh trªn tia Ox, ®iÓm B chuyÓn ®éng trªn tia Oy, vÏ D ABC ®Òu ( C vµ O kh¸c phÝa ®èi víi AB). T×m tËp hîp c¸c ®iÓm C.
Híng dÉn gi¶i:
y
x
z
C
D
O
A
B
a. PhÇn thuËn:
VÏ D OAD ®Òu cã O n»m trong gãc xOy.
V× O, A cè ®Þnh nªn D cè ®Þnh
XÐt D OAB vµ D DAC cã:
OA = AD ( do D OAD ®Òu)
Ð OAB = Ð DAC ( Ð OAB +Ð BAC =
= Ð DAC + Ð BAD = 600)
L¹i cã AB = AC ( D ABC ®Òu),
Do ®ã DOAB = D DAC (c.g.c)
Þ Ð AOB = Ð ADC.
Mµ Ð AOB =900, ®êng th¼ng AD cè ®Þnh. VËy C thuéc ®êng th¼ng cè ®Þnh Dz vu«ng gãc víi AD t¹i D
b. Giíi h¹n:
Khi B º O th× C º D
Khi B ch¹y xa v« tËn trªn tia Oy th× C ch¹y xa v« tËn trªn tia Dz. VËy C chuyÓn ®éng trªn tia Dz vu«ng gãc víi ®êng th¼ng AD
c. PhÇn ®¶o:
LÊy ®iÓm C bÊt kú thuéc tia Dz vÏ ®êng th¼ng AB ( B Î Oy ) sao cho ÐCAB = 600.
XÐt D OAB vµ D DAC cã:
+ Ð AOB = Ð ADC ( = 900 )
+ OA = AD ( D OAD ®Òu)
+ Ð OAB = Ð DAC ( Ð OAB + Ð BAD = Ð DAC + Ð BAD = 600)
Do ®ã D OAB = D DAC ( g.c.g) Þ AB = AC Þ D ABC c©n t¹i A, mµ ÐBAC=600 nªn D ABC ®Òu.
d. KÕt luËn:
TËp hîp c¸c ®iÓm C lµ tia Dz cña ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AD.
II/ TËp hîp ®iÓm lµ ®êng trßn hoÆc mét phÇn cña ®êng trßn
1. TËp hîp ®iÓm lµ ®êng trßn
a. Tãm t¾t lý thuyÕt:
+ TËp hîp c¸c ®iÓm M c¸ch ®iÓm O cho tríc mét kho¶ng kh«ng ®æi r ( r >0) lµ ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh r.
+ TËp hîp c¸c ®iÓm nh×n ®o¹n th¼ng cè ®Þnh AB díi gãc 900 lµ ®êng trßn ®êng kÝnh AB.
b. C¸c bµi to¸n:
1- TËp hîp c¸c ®iÓm M c¸ch ®iÓm O cho tríc mét kho¶ng kh«ng ®æi r ( r >0) lµ ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh r.
Bµi to¸n 1:
Mét ®êng th¼ng AB = h chuyÓn ®éng sao cho hai mót cña nã chuyÓn ®éng trªn hai ®êng th¼ng vu«ng gãc víi nhau. T×m tËp hîp trung ®iÓm M cña AB.
Híng dÉn gi¶i
B
A
y
x
O
M
a. PhÇn thuËn:
Gi¶ sö x vµ y lµ hai ®êng th¼ng vu«ng gãc
víi nhau t¹i O, hai ®iÓm A, B lÇn lît n»m trªn x, y.
Do DAOB vu«ng t¹i O, OM lµ ®êng trung tuyÕn
nªn: OM = AB = h ( kh«ng ®æi).
VËy ®iÓm M lu«n c¸ch O mét kho¶ng kh«ng ®æi AB
Þ M thuéc ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh AB
b. Giíi h¹n:
Khi A hoÆc B trïng víi O th× OM vÉn b»ng AB Þ M thuéc ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh AB.
c. PhÇn ®¶o:
LÊy ®iÓm M tuú ý trªn ®êng trßn (O; h). Trªn Ox lÊy ®iÓm A sao cho OA = OM.
KÎ MA c¾t Oy t¹i B, ta cÇn chøng minh AB = h.
V× M Î (O; h) Þ OM = OA =h.
D MOA c©n t¹i M Þ Ð MOA = Ð MAO (1)
D AOB cã Ð AOB = 900 Þ Ð OBA + Ð OAB = 900 (2)
Mµ Ð BOM + Ð MOA = 900 (3)
Tõ (1), (2), (3) Þ Ð MBO = Ð MOB Þ MB = MO
Þ MA = MB = MO Þ MA + MB = AB = h
d. KÕt luËn:
VËy tËp hîp trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AB lµ ®êng trßn (O; AB)
Bµi to¸n 2:
Cho ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB; C lµ mét ®iÓm di ®éng trªn ®êng trßn; trªn tia BC lÊy ®iÓm D sao cho CD = CB. T×m tËp hîp ®iÓm D.
Híng dÉn gi¶i:
a.PhÇn thuËn
Ð ACB = 900 ( Gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn )
Þ AC ^ BD, mµ CD = CB (gi¶ thiÕt)
Þ D ABD c©n t¹i A Þ AD = AB = 2R
D
C
A
O
B
Mµ 2R kh«ng ®æi, nªn AD kh«ng ®æi.
§iÓm A cè ®Þnh do ®ã D thuéc
®êng trßn (A; 2R)
b. Giíi h¹n:
Khi C chuyÓn ®éng trªn (O;R),
D chuyÓn ®éng trªn ®êng trßn (A; 2R)
c. PhÇn ®¶o:
LÊy D bÊt kú thuéc ®êng trßn (A; 2R), ta cã
AD = 2R, BD c¾t (O;R) t¹i C. Ta cã AD = AB =2R
Þ D ABD c©n t¹i A.
MÆt kh¸c Ð ACB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn )
D ABD c©n t¹i A, AC ^ BD Þ AC lµ trung tuyÕn cña D ABD. VËy C lµ trung ®iÓm cña BD.
d. KÕt luËn:
TËp hîp c¸c ®iÓm D cÇn t×m lµ ®êng trßn (A; 2R)
2- TËp hîp c¸c ®iÓm nh×n ®o¹n th¼ng cè ®Þnh AB díi gãc 900 lµ ®êng trßn ®êng kÝnh AB.
Bµi to¸n 1:
Cho nöa ®êng trßn t©m O, ®êng kÝnh AB, C lµ mét ®iÓm n»m trªn nöa ®êng trßn ®ã, kÎ CD vu«ng gãc víi AB. Nèi O víi C, trªn OC lÊy ®iÓm E sao cho OE = CD. T×m tËp hîp ®iÓm E.
C
A
F
E
E’
O
D’
C’
B
D
Híng dÉn gi¶i:
a. PhÇn thuËn:
KÎ b¸n kÝnh OF ^ AB th× ®iÓm F cè ®Þnh vµ
OF// CD nªn Ð OCD = Ð EOF ( so le trong).
Do OE = CD (gt) vµ OF = OC ( b¸n kÝnh cña
®êng trßn t©m O), v× thÕ D OEF = D CDO ( c. g. c)
Þ Ð OEF = Ð ODC = 900 . §iÓm E lu«n nh×n OF
díi mét gãc kh«ng ®æi 900 nªn E thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh OF.
b. Giíi h¹n:
V× ®iÓm C chuyÓn ®éng trªn nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB nªn khi C º A hoÆc Cº B th× D trïng víi A hoÆc B lóc ®ã ®iÓm E trïng víi O, cßn khi C trïng víi F th× D trïng víi O, lóc ®ã E º F . VËy E ch¹y trªn c¶ ®êng trßn ®êng kÝnh OF.
c. PhÇn ®¶o:
Trªn nöa ®êng trßn ®êng kÝnh OF lÊy ®iÓm E’ kh«ng trïng víi O vµ F. Tia OE’ c¾t ®êng trßn (O) ë C’ kÎ C’D’ ^ AB . Ta ph¶i chøng minh OE’=C’D’.
ThËt vËy, Ð OE’F = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ®êng kÝnh OF); C’D’ ^ AB nªn Ð C’D’O = 900, OF = OC’. Do ®ã D C’D’O = D OE’F nªn C’D’ = OE.
d. KÕt luËn
TËp hîp c¸c ®iÓm E lµ ®êng trßn ®êng kÝnh OF.
Bµi to¸n 2: Cho ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB . Gäi d lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t¹i A, M lµ mét ®iÓm di ®éng trªn ®êng th¼ng d, BM c¾t (O) t¹i C. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm N lµ trung ®iÓm cña BC.
Híng dÉn gi¶i:
a. PhÇn thuËn
B
M
N
O
A
C
d
N lµ trung ®iÓm cña d©y cung BC cña ®êng trßn (O) nªn
Þ ON ^ BCÞ Ð BNO =900, mµ OB cè ®Þnh do ®ã N thuéc ®êng
trßn ®êng kÝnh OB.
b. Giíi h¹n:
M chuyÓn ®éng trªn c¶ ®êng th¼ng d,
N chuyÓn ®éng trªn c¶ ®êng trßn ®êng kÝnh
OB.c. PhÇn ®¶o:
LÊy N bÊt k× thuéc ®êng trßn ®êng
kÝnh OB, BN c¾t ®êng trßn (O) vµ ®êng
th¼ng d lÇn lît t¹i C vµ M.
Ta cã Ð BNO = 900, mµ BC lµ d©y cung cña (O; R) vµ ON ^ BC Þ N lµ trung ®iÓm cña BC .
d. kÕt luËn:
TËp hîp c¸c ®iÓm N cÇn t×m lµ ®êng trßn ®êng kÝnh BO.
Bµi tËp 3:
Cho ®iÓm A cè ®Þnh n»m trong ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh R (A kh«ng trïng víi O). T×m tËp hîp c¸c trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AB khi B di chuyÓn trªn ®êng trßn ®ã.
Híng dÉn gi¶i
a. PhÇn thuËn
B1
M1
A
N
O
M2
B
M
B2
Gäi N lµ trung ®iÓm cña OA.
Trong tam gi¸c OAB, MN lµ ®êng trung b×nh,
nªn MN = OB = R kh«ng ®æi.
Khi A, O, B th¼ng hµng ®iÓm
M1 lµ trung ®iÓm
cña AB1 vµ M2 lµ trung ®iÓm
cña AB2 ta ®Òu tÝnh ®îc NM1= NM2= R.
Do ®ã M n»m trªn ®êng trßn t©m N b¸n kÝnh R.
b. Giíi h¹n: Khi B º B1 th× Mº M1; khi Bº B2 th× Mº M2. VËy ®iÓm M thuéc ®êng trßn (N; R).
c. PhÇn ®¶o
Trªn ®êng trßn (N; R) lÊy ®iÓm M . VÏ ®iÓm B ®èi xøng A qua M.
Trong tam gi¸c OAB ta cã nªn MN // OB Þ
Hay OB = 2 MN = 2. R = R, khi A, O, B th¼ng hµng. VËy B Î (O; R).
d. KÕt luËn
TËp hîp c¸c trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AB khi B di chuyÓn trªn ®êng trßn (O; R) lµ ®êng trßn (N; R).
2. TËp hîp ®iÓm lµ cung trßn:
a. tãm t¾t lý thuyÕt:
TËp hîp c¸c ®iÓm M t¹o thµnh víi hai mót cña ®o¹n th¼ng AB cho tríc mét gãc AMB cã sè ®o kh«ng ®æi lµ a (00 < a < 1800) lµ hai cung trßn ®èi xøng nhau qua AB.
Chó ý: Khi a = 900 th× tËp hîp ®iÓm M lµ ®êng trßn ®êng kÝnh AB (®· nãi ë trªn)
b. C¸c bµi to¸n:
Bµi to¸n 1:
Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB. Hai ®iÓm C vµ D trªn nöa ®êng trßn sao cho OC ^ OD (C thuéc cung AD). AD c¾t BC ë I; hai tia AC vµ BD c¾t nhau ë P. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm I vµ P khi hai ®iÓm C vµ D chuyÓn ®éng trªn nöa ®êng trßn.
P
P2
y
x
P1
C
I
K
D
A
O
B
Híng dÉn gi¶i:
a. PhÇn thuËn:
Ð ADB = 900, suy ra Ð ADP = 900
Ð CAD = Ð COD = 450. Tam gi¸c ADP
vu«ng c©n t¹i D nªn Ð APD = 450. Tam gi¸c ACI
vu«ng c©n ë C nªn Ð AIC = 450, suy ra
Ð AIB = 1350
C¸c ®iÓm P vµ I nh×n AB cè ®Þnh díi mét
gãc 450 vµ 1350 nªn P vµ I lÇn lît n»m trªn cung
chøa gãc 450 vµ 1350 vÏ trªn AB .
b. Giíi h¹n:
Trªn nöa mÆt ph¼ng chøa hai cung chøa gãc
nãi trªn, kÎ hai tia Ax vµ By vu«ng gãc
víi AB, hai tia nµy c¾t cung chøa gãc 450 theo thø tù
t¹i P1 vµ P2. Tõ O kÎ b¸n kÝnh OK vu«ng gãc víi AB.
- NÕu C º A th× D º K, khi ®ã P º P1 cßn I º B
- NÕu C º K th× D º B, khi ®ã P º P2 cßn I ºB
VËy P ch¹y trªn cung P1PP2 cßn I ch¹y trªn cung AIB thuéc c¸c cung chøa gãc nãi trªn.
c. PhÇn ®¶o:
Trªn cung P1PP2 lÊy ®iÓm P’ bÊt k× kh¸c P1 vµ P2 nèi P’ víi A vµ P’ víi B c¾t nöa ®êng trßn t©m O t¹i C’ vµ D’, BC’ c¾t AD’ t¹i I’. Ta ph¶i chøng minh I’ thuéc cung AIB vµ OC’ ^ OD’.
ThËt vËy, tam gi¸c vu«ng AD’P’ cã Ð AP’D’ = 450 nªn lµ tam gi¸c c©n Þ Ð P’AD’ =450. V× Ð C’OD’ = 2Ð C’AD’ = 900, suy ra CO’ ^ O’D. MÆt kh¸c tam gi¸c AC’I’ còng lµ tam gi¸c vu«ng c©n nªn Ð AI’C’ = 450, suy ra Ð AI’B =1350, vËy I thuéc cung AIB.
d. KÕt luËn:
TËp hîp ®iÓm P lµ cung PP1P2 thuéc cung chøa gãc 450, tËp hîp ®iÓm I lµ cung AIB chøa gãc 450, c¸c cung nµy ®Òu dùng trªn ®o¹n AB vµ trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng chøa ®êng trßn t©m O.
Bµi to¸n 2:
Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB cè ®Þnh. C lµ mét ®iÓm trªn nöa ®êng trßn, trªn d©y AC kÐo dµi lÊy ®iÓm D sao cho CD = CB.
T×m quü tÝch c¸c ®iÓm D khi C ch¹y trªn nöa ®êng trßn ®· cho
Trªn tia CA lÊy ®iÓm E sao cho CE = CB. T×m quü tÝch c¸c ®iÓm E khi C ch¹y trªn nöa ®êng trßn ®· cho.
A
B
B0
x
E
C
D
Híng dÉn gi¶i:
C©u a) Quü tÝch ®iÓm D
a. PhÇn thuËn:
Ta cã: AB cè ®Þnh, Ð ADB = 450
( v× tam gi¸c BCD vu«ng c©n).
VËy khi C chuyÓn ®éng trªn nöa ®êng trßn
®êng kÝnh AB th× D chuyÓn ®éng trªn
cung chøa gãc 450 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh.
b. Giíi h¹n quü tÝch:
D©y AC thay ®æi phô thuéc vµo vÞ trÝ cña
®iÓm C trªn nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB cè ®Þnh;
AC lín nhÊt, b»ng ®êng kÝnh nöa ®êng trßn, khi C trïng víi B, khi ®ã D còng trïng víi B, vËy B còng thuéc quü tÝch. AC nhá nhÊt b»ng 0 khi C º A, khi ®ã D trïng víi B0 ( B0 lµ giao cña cung chøa gãc 450 vµ tia tiÕp tuyÕn Ax t¹i A cña nöa ®êng trßn).VËy ®iÓm D chuyÓn ®éng trªn cung BB0 thuéc cung chøa gãc 450 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB.
c. PhÇn ®¶o
LÊy ®iÓm D tuú ý trªn cung BB0 thuéc cung chøa gãc 450 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB, nèi AD c¾t nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB t¹i C. Khi ®ã ta dÔ dµng chøng minh ®îc CD = CB.
ThËt vËy:
+ ta cã Ð ADB = 450 (v× D thuéc cung chøa gãc 450).
+Ð ACB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB)
+Mµ Ð BCD kÒ bï víi Ð ACB nªn Ð BCD = 900
Þ Ð CBD = Ð ADB = 450 Þ CD = CB.
d. KÕt luËn :
Quü tÝch c¸c ®iÓm D khi C ch¹y trªn nöa ®êng trßn lµ cung BB0 n»m trªn cung chøa cung chøa gãc 450 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB, trong nöa mÆt ph¼ng bê AB cã chøa ®iÓm C ( bÞ giíi h¹n bëi tiÕp tuyÕn Ax).
C©u b) Quü tÝch c¸c ®iÓm E:
a. PhÇn thuËn:
Ta cã AB cè ®Þnh ; Ð AEB =135 0 ( gãc ngoµi cña tam gi¸c vu«ng c©n BCE).
VËy khi C chuyÓn ®éng trªn nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB th× E chuyÓn ®éng trªn cung chøa gãc 1350 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh.
b. Giíi h¹n:
Khi C º A Þ E º B; khi C º B th× E º B; Khi C lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB th× E º A.
VËy ®iÓm E chuyÓn ®éng trªn cung chøa gãc 1350 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB.
c. PhÇn ®¶o:
LÊy ®iÓm E bÊt kú trªn cung chøa gãc 1350. Tia AE c¾t nöa ®êng trßn t¹i C. V× Ð AEB lµ gãc ngoµi ®Ønh E cña tam gi¸c vu«ng BCE, mµ Ð AEB = 1350, do ®ã Ð CBE = 450, tõ ®ã Þ tam gi¸c BCE lµ tam gi¸c vu«ng c©n vµ CE = CB.
d. KÕt luËn:
Quü tÝch c¸c ®iÓm E khi C ch¹y trªn nöa ®êng trßn lµ cung chøa gãc 1350 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh n»m cïng mét nöa mÆt ph¼ng víi nöa ®êng trßn bê lµ ®êng th¼ng AB.
Bµi to¸n 3:
M lµ mét ®iÓm chuyÓn ®éng trªn nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB. Trªn ®o¹n AM lÊy ®iÓm N sao cho AN = BM. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm N.
Híng dÉn gi¶i
a. PhÇn thuËn
Trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê lµ ®êng th¼ng AB chøa nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB, dùng tia Ax ^ AB, trªn ®ã lÊy ®iÓm B’ sao cho AB’ =AB,
x
B’
I
M
B
A
N
ta cã ®iÓm B’ cè ®Þnh
D AMB = D B’NA v× cã AB = AB’ ,
Ð ABM = Ð B’AN vµ AN =MB, nªn
Ð ANB’ = Ð AMB = 900. vËy ®iÓm N thuéc
®êng trßn ®êng kÝnh AB’.
b. Giíi h¹n:
Khi M º B th× N º A. Khi M º I
( lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB ) th× N º I . Khi M º A th× N º B’ . VËy N ch¹y trªn nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB’ = AB .
c. PhÇn ®¶o
Trªn nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB lÊy ®iÓm N bÊt k× kh¸c A, kh¸c B’. Tia AN c¾t nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB t¹i M . Ta ph¶i chøng minh AN = BM.
ThËt vËy, hai tam gi¸c vu«ng AMB vµ B’NA cã AB = AB’,
Ð NAB’ = Ð ABM nªn D MAB = D NB’A, do ®ã AN = MB.
d. KÕt luËn:
TËp hîp ®iÓm N lµ nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB’ ( víi B’ lµ giao cña ®êng trßn ®êng kÝnh AB’ = AB vµ tia Ax ^ AB t¹i A).
PhÇn III. øng dông quü tÝch vµo Thùc tÕ vµ gi¶i to¸n
Khi nghiªn cøu vÒ quü tÝch c¸c ®iÓm, ta cã thÓ thÊy rÊt nhiÒu c¸c øng dông cña gi¶i to¸n quü tÝch vµo viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n kh¸c, còng nh c¸c øng dông cña nã trong khoa häc kü thuËt. Ch¼ng h¹n, trong khoa häc øng dông quü tÝch ®Ó nghiªn cøu c¸c c¬ cÊu biÕn ®æi chuyÓn ®éng : biÕn chuyÓn ®éng th¼ng thµnh chuyÓn ®éng cong ( trßn) hoÆc biÕn chuyÓn ®éng th¼ng thµnh chuyÓn ®éng cong (trßn)... ®ã lµ øng dông cña quü tÝch ®iÓm di ®éng trªn ®êng th¼ng vµ ®iÓm di ®éng trªn ®êng trßn. Trong to¸n häc øng dông quü tÝch ®Ó gi¶i nhiÒu bµi to¸n kh¸c, song cã lÏ ®iÓn h×nh nhÊt lµ bµi to¸n dùng h×nh b»ng quü tÝch t¬ng giao. V× lÝ do khu«n khæ cña ®Ò tµi cã h¹n, ë ®©y t«i xin tr×nh bµy hai bµi to¸n dùng h×nh ®· øng dông quü tÝch vµo ®Ó gi¶i ( ë d¹ng tãm t¾t, híng dÉn). Bµi to¸n 1;
Dùng h×nh thang, biÕt ®êng cao, c¹nh ®¸y lín vµ hai ®êng chÐo cña nã
Gîi ý gi¶i:
a. Ph©n tÝch:
A
m
B
D
dCB
C
H
h
n
a
Gi¶ sö dùng ®îc h×nh thang tho¶ m·n yªu
cÇu cña bµi to¸n
- §o¹n th¼ng AB dùng ®îc ngay.
- §iÓm C c¸ch AB kho¶ng c¸ch b»ng
®êng cao h Þ thuéc quü tÝch ®êng
th¼ngd // AB c¸ch AB mét kho¶ng h.
§iÓm C c¸ch ®iÓm A mét kho¶ng
b»ng m (kh«ng ®æi ) cho tríc Þ C thuéc quü tÝch ®êng trßn (A; m) Þ C lµ giao cña hai quü tÝch trªn.
- §iÓm D thuéc d vµ c¸ch ®iÓm B mét kho¶ng n cho tríc Þ D lµ giao cña quü tÝch ®êng trßn ( B; n) vµ ®êng th¼ng d.
b. C¸ch dùng:
- Dùng AB = a ®· cho
- Dùng ®iÓm C thuéc ®êng th¼ng d,
d // AB vµ c¸ch AB mét kho¶ng CH = h cho tríc
®ång thêi C n»m trªn ®êng trßn (A; m)
( trong ®ã AC =m ®· cho)
- Dùng D : D thuéc ®êng th¼ng d vµ ®êng trßn (B; n) víi n = BD lµ ®é dµi ®· cho.
Bµi to¸n 2:
Dùng ®êng trßn t©m (O; 2cm ) sao cho ®êng trßn ®ã tiÕp xóc víi mét ®êng th¼ng xy vµ víi ®êng trßn (O’) cã b¸n kÝnh 2,5 cm ( cho kho¶ng c¸ch tõ O’ tíi xy lµ3 cm.
d
O
O’
y
x
Gîi ý gi¶i
a. Ph©n tÝch:
Gi¶ sö dùng ®îc ®êng trßn (O; 2cm)
tho¶ m·n yªu cÇu. Do (O) tiÕp xóc víi ®êng
th¼ng xy nªn t©m O cña ®êng trßn ®ã
thuéc quü tÝch ®êng th¼ng d // xy c¸ch xy
mét kho¶ng 2 cm
MÆt kh¸c OO’ = 2 + 2,5 = 4,5 (cm) nªn O thuéc quü tÝch ®êng trßn (O’;4,5cm)
VËy t©m O cña ®êng trßn cÇn dùng lµ giao cña cña (O’;4,5cm) vµ ®êng th¼ng d
b. C¸ch dùng:
- Dùng ®êng trßn (O’;4,5cm)
- Dng ®êng th¼ng d // xy c¸ch xy mét kho¶ng 2cm
- Giao cña d vµ (O’;4,5cm) lµ ®iÓm O. Tõ ®ã dùng ®îc ®êng trßn (O;2cm).
PhÇn iv. Mét s« bµi to¸n chän läc vÒ tËp hîp ®iÓm
I/ c¸c bµi to¸n tËp hîp ®iÓm lµ ®êng th¼ng hoÆc mét phÇn cña ®o¹n th¼ng
Bµi 1:
Cho ®iÓm A n»m ngoµi ®êng th¼ng d vµ cã kho¶ng c¸ch ®Õn d b»ng 2cm. LÊy ®iÓm B bÊt k× thuéc ®êng th¼ng d. Gäi C lµ ®iÓm ®èi xøng víi ®iÓm A qua ®iÓm B. T×m tËp hîp quü tÝch ®iÓm C khi ®iÓm B di chuyÓn trªn ®êng th¼ng d.
Híng dÉn gi¶i
C
H
d
2cm
A
B
K
C
H
d’
a. PhÇn thuËn:
KÎ AH ^ d; CK ^ d;
khi ®ã ta cã:
AH = 2cm (gt), CK //AH
Þ Ð HAB =Ð KCB
Þ D AHB = D CKB
Þ AH = CK Þ CK = 2cm Þ C c¸ch ®êng th¼ng d
mét kho¶ng cè ®Þnh 2cm , nªn C thuéc ®êng th¼ng d’ song song víi d c¸ch d mét kho¶ng 2cm vµ kh«ng cïng mét nöa mÆt ph¼ng víi ®iÓm A bê lµ ®êng th¼ng d.
b. Giíi h¹n:
Khi ®iÓm B di chuyÓn trªn ®êng th¼ng d th× C lu«n c¸ch d mét kho¶ng 2cm , C thuéc d’//d ( d’ c¸ch d 2cm)
c. PhÇn ®¶o:
LÊy ®iÓm C bÊt kú trªn ®êng th¼ng d’, kÎ CK ^ d ( K Î d), kÎ AH ^ d (H Î d); nèi AC c¾t d t¹i B. Ta cÇn chøng minh AB = BC.
ThËt vËy, xÐt D ABH vµ D CBK cã:
AH = CK ( = 2cm)
Ð AHB =Ð CKB (=900)
Ð ABH = Ð CBK ( hai gãc ®èi ®Ønh)
Þ D ABH = D CBK ( c¹nh gãc vu«ng vµ gãc nhän) Þ AB = BC
d. KÕt luËn:
TËp hîp ®iÓm C ®èi xøng víi ®iÓm A c¸ch ®êng th¼ng d mét kho¶ng 2cm qua ®iÓm B ( B Î d), lµ mét ®êng th¼ng d’ // d c¸ch ®êng th¼ng d 2cm kh«ng cïng mét nöa mÆt ph¼ng víi ®iÓm A bê lµ ®êng th¼ng d.
Bµi 2:
Cho tam gi¸c ABC. Mét ®iÓm D di ®éng trªn c¹nh BC. Tõ D vÏ c¸c ®êng th¼ng song song víi AB, AC c¾t AB, AC lÇn lît t¹i M vµ N. T×m tËp hîp trung ®iÓm I cña MN.
Híng dÉn gi¶i
a. PhÇn thuËn:
V× I lµ trung ®iÓm cña MN nªn IM = IN
XÐt tø gi¸c AMDN, ta cã: AM // DN; AN // DM Þ AMDN lµ h×nh b×nh hµnh
Do ®ã ®êng chÐo AD ®i qua trung ®iÓm I cña MN, nªn IA = ID .
Tõ A kÎ AH ^ BC khi ®ã AH cã ®é dµi kh«ng ®æi, tõ I vÏ IJ ^ BC th× IJ //AH vµ IJ lµ ®êng trung b×nh cña D DHA. Do ®ã: IJ = AH kh«ng ®æi.
A
C
B
D
H
d
I1
M
N
I2
I
§iÓm I c¸ch ®êng th¼ng BC mét kho¶ng kh«ng ®æi AH nªn I lu«n n»m trªn ®êng th¼ng d //BC c¸ch BC mét kho¶ng AH
b. Giíi h¹n:
V× D chØ ch¹y trªn ®o¹n BC nªn I chØ
ch¹y trªn ®o¹n I1I2 víi I1,I2 lµ giao ®iÓm cña
®êng th¼ng d víi c¹nh AB vµ c¹nh AC.
VËy I thuéc ®êng trung b×nh cña D ABC.
c. PhÇn ®¶o
LÊy ®iÓm I bÊt k× trªn ®o¹n III2, AI c¾t BC t¹i D. C¸c ®êng th¼ng kÎ tõ D song song víi AB, AC c¾t AB, AC lÇn lît t¹i M vµ N, khi ®ã ta cã AMDN lµ h×nh b×nh hµnh. Do ®ã IM = IN
d. KÕt luËn
TËp hîp ®iÓm I lµ ®o¹n III2 lµ ®êng trung b×nh cña D ABC (III2 // BC).
Bµi 3:
Cho gãc xOy vu«ng, trªn tia Ox lÊy mét ®o¹n cè ®Þnh OA, trªn tia Oy lÊy mét ®iÓm B di ®éng. Dùng h×nh vu«ng ABCD víi hai ®êng chÐo c¾t nhau t¹i I. T×m tËp hîp ®iÓm I khi B ®i ®éng.
Híng dÉn gi¶i
a. PhÇn thuËn:
Gäi I lµ mét ®iÓm thuéc tËp hîp th× I lµ t©m cña h×nh vu«ng ABCD nªn cã: IA = IB = IC = ID.
Tõ I kÎ IH ^ Ox, IK ^ Oy, xÐt hai tam gi¸c vu«ng IHA vµ IKB ta cã:
IA = IB; Ð AIH = Ð BIK ( gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc)
A
D
t
H
I
D1
K
C1
B
deO
y
C
x
I1
Þ D IHA = D IKB Þ IH =IK do ®ã ®iÓm I c¸ch ®Òu hai c¹nh cña gãc xOy cè ®Þnh. VËy I thuéc tia ph©n gi¸c cña gãc xOy.
b. Giíi h¹n:
Khi B º O th× I º I1
( I 1 lµ t©m h×nh vu«ng giíi h¹n AOC1D1)
Khi B ch¹y trªn tia Oy th× I
ch¹y trªn tia I1t n»m trªn tia ph©n
gi¸c cña gãc xOy
c PhÇn ®¶o:
LÊy mét ®iÓm I’ tuú ý trªn tia I1t,
vÏ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AI’ t¹i I’
c¾t Oy t¹i B’. Dùng I’H’ ^ Ox, I’K’ ^ Oy
th× ta cã hai tam gi¸c vu«ng b»ng nhau:
D I’AH’ = D I’B’K’ Þ I’A = I’B
lóc ®ã ta dùng ®îc h×nh vu«ngAB’C’D’ víi I’ lµ giao ®iÓm hai ®êng chÐo theo yªu cÇu cña cña thiÕt.
d. KÕt luËn:
TËp hîp ®iÓm I khi B di ®éng trªn tia Oy lµ tia I’t n»m trªn tia ph©n gi¸c Ot cña gãc xOy.
Bµi 4:
Cho tam gi¸c ABC cã c¹nh BC cè ®Þnh vµ ®Ønh A di ®éng trªn mét ®êng th¼ng xy cè ®Þnh song song víi BC. T×m tËp hîp träng t©m G cña tam gi¸c ABC.
Híng dÉn:
C’
C
B
M
G
I
y’
x’
y
x
A
Gäi G lµ mét ®iÓm thuéc tËp hîp th× G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC
Nèi A víi G c¾t BC t¹i M th× M cè ®Þnh
vµ MB = MC. Theo tÝnh chÊt träng t©m
cña tam gi¸c ta cã
Tõ C vÏ CC’ ^ xy khi ®ã CC’ cè ®Þnh.
Gäi I lµ mét ®iÓm sao cho:
th× I còng cè ®Þnh. Do ®ã Þ GI // xy //BC
VËy G n»m trªn ®êng th¼ng x’y’ // xy vµ ®i qua ®iÓm I cè ®Þnh ( I Î CC’ vµ C’I = 2CI)
Khi A chuyÓn ®éng trªn xy th× G chuyÓn ®éng trªn x’y’.
VËy tËp hîp träng t©m G lµ mét ®êng th¼ng x’y’ // xy vµ ®i qua ®iÓm I cè ®Þnh
Bµi 5:
A
M
M1
d
M2
B
N
I
Cho (O) cã ®êng kÝnh AB = 4, cã d©y cung AN. Trªn d©y cung AN ta lÊy M sao cho AN . AM = 5. T×m tËp hîp ®iÓm M.
Híng dÉn
Tõ M kÎ ®êng th¼ng d ^ AB t¹i I.
ta cã hai tam gi¸c vu«ng ®ång d¹ng:
D AMI ®ång d¹ng D ANB Þ
Þ AM . AN = AI . AB
Þ AI = Þ I cè ®Þnh
Do ®ã ®êng th¼ng d ^ AB t¹i I cè ®Þnh
VËy tËp hîp ®iÓm M lµ ®o¹n th¼ng M1M2 n»m trªn ®êng th¼ng d
Ii/ c¸c bµi to¸n tËp hîp ®iÓm lµ ®êng trßn hoÆc mét phÇn cña ®êng trßn
Bµi 1
D
A
O
B
P
Q
C
Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB, BC lµ mét d©y cung bÊt kú. KÐo dµi BC mét ®o¹n CD = BC; DO c¾t AC t¹i P. T×m quü tÝch ®iÓm P
Híng dÉn
a. PhÇn thuËn
KÎ PQ // CO ( Q Î AB ). Trong D ABD, AC vµ DO
lµ hai ®êng trung tuyÕn nªn P lµ träng t©m. Bëi vËy
Tõ ®ã suy ra PQ = AQ = CO Þ PQ = AO
§iÒu nµy chøng tá Q lµ ®iÓm cè ®Þnh vµ P n»m
trªn ®êng trßn ( Q; R), ( R lµ b¸n kÝnh cña ®êng trßn (O)).
b. Giíi h¹n:
Khi C di ®éng trªn ®êng trßn (O) thi P chuyÓn ®éng trªn (Q; R)
c. PhÇn ®¶o:
LÊy P bÊt kú thuéc ®êng trßn (Q; R) ; ta cã PQ = R = CO => Þ P lµ träng t©m cña D ABD Þ CD = CB
d. KÕt luËn:
TËp hîp ®iÓm P lµ ®êng trßn (Q; R), víi Q thuéc AB sao cho
AQ = AO
Bµi 2:
Cho D ABC cã c¹nh BC cè ®Þnh vµ ¢ = a kh«ng ®æi. T×m quü tÝch giao ®iÓm cña ba tia ph©n gi¸c trong cña tam gi¸c ®ã.
Híng dÉn
a. PhÇn thuËn:
Gäi I lµ giao ®iÓm cña 3 ®êng ph©n gi¸c cña D ABC, ta cã:
Ð BIC = 180 – (Ð B1- Ð C1) = 1800 – (Ð B +Ð C) : 2
= 1800 – ( 1800 – Ð A): 2= 900 + a kh«ng ®æi.
B
1
1
A
I
C
VËy I thuéc cung chøa gãc 900 + a dùng trªn ®o¹n th¼ng BC
b. Giíi h¹n
khi Aº B hoÆc A º C th× kh«ng cã I.
VËy ®iÓm I thuéc cung chøa gãc 900 + a
dùng trªn ®o¹n th¼ng BC trõ c¸c ®iÓm B,C.
c. PhÇn ®¶o
LÊy ®iÓm I bÊt k× thuéc cung chøa gãc 900 + a dùng trªn ®o¹n th¼ng BC vµ I kh¸c A, kh¸c B.
kÎ tia Bx, Cy sao cho c¸c gãc Ð xBC; Ð yBC lÇn lît nhËn BI, CI lµm ph©n gi¸c. Bx c¾t Cy t¹i A.
Ð BAC = 1800 – ( Ð ABC + Ð ACB) = 1800 – 2( Ð IBC +Ð ICB) =
= 1800 – 2( 1800 – Ð BIC) = 1800 – 2.1800 +2 ( 900 +a ) =a .
d. KÕt luËn:
TËp hîp ®iÓm I lµ c¸c cung chøa gãc 900 +a dùng trªn ®o¹n th¼ng BC, trõ c¸c ®iÓm B; C.
Bµi 3
M lµ mét ®iÓm chuyÓn ®éng trªn nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB. Trªn ®o¹n AM lÊy ®iÓm N sao cho AN = BM. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm N.
Híng dÉn
a. PhÇn thuËn
Trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê lµ ®êng th¼ng
AB chøa nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB, dùng tia Ax ^ AB, trªn ®ã lÊy ®iÓm B’ sao cho AB’ =AB, ta cã ®iÓm B’ cè ®Þnh
D AMB = D B’NA v× cã AB = AB’ ,
x
B’
I
M
B
A
N
Ð ABM = Ð B’AN vµ AN =MB, nªn
Ð ANB’ = Ð AMB = 900. VËy ®iÓm N thuéc ®êng trßn
®êng kÝnh AB’.
b. Giíi h¹n:
Khi M º B th× N º A.
Khi M º I ( lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB ) th×
N º I . Khi M º A th× N º B’ .
VËy N ch¹y trªn nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB’ = AB .
c. PhÇn ®¶o
Trªn nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB lÊy ®iÓm N bÊt k× kh¸c A, kh¸c B’. Tia AN c¾t nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB t¹i M . Ta ph¶i chøng minh
AN = BM.
ThËt vËy, hai tam gi¸c vu«ng AMB vµ B’NA cã AB = AB’,
Ð NAB’ = Ð ABM nªn D MAB = D NB’A, do ®ã AN = MB.
d. KÕt luËn:
TËp hîp ®iÓm N lµ nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB’ ( víi B’ lµ giao cña ®êng trßn ®êng AB’ = AB vµ tia Ax ^ AB t¹i A).
Bµi 4
Tõ hai ®Çu cña mét ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh kÎ hai tia song song Ax vµ By (thuéc cïng mét nöa mÆt ph¼ng cã bê lµ ®êng th¼ng AB). T×m quü tÝch giao ®iÓm cña hai ®êng ph©n gi¸c c¸c gãc xAB; yAB.
x
y
M
A
B
Híng dÉn
Gäi giao ®iÓm cña hai ®êng ph©n gi¸c
c¸c gãc xAB; yAB lµ M
Khi ®ã ta cã: Ð MAB + Ð MBA
= ( Ð xAB +Ð yBA) = .1800 = 900.
VËy ®iÓm M n»m trªn ®êng trßn
®êng kÝnh AB
Khi Ax, By trïng víi AB th× kh«ng x¸c ®Þnh ®îc M. Nh vËy M thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh AB trõ hai ®iÓm A, B.
Bµi 5:
Cho h×nh t
Các file đính kèm theo tài liệu này:
Tìm tập hợp điểm- Quỹ tích chuan.doc
