Đề tài Tính hệ số tăng cường và tốc độ hủy positron trong Titan dioxit (TiO2)

ra tỉ số xác suất . Gồm hai bước: + Nếu , chấp nhận bước dịch chuyển và R’ trở thành vị trí mới + Trong trường hợp , ta phải gieo số ngẫu nhiên , nếu thì bước dịch chuyển cũng được chấp nhận và R’ trở thành vị trí mới Nếu không chấp nhận thì quay trở lại tìm khác cho đến khi thỏa mãn điều kiện chấp nhận. Sau mỗi bước lặp, giá trị năng lượng luôn được cập nhật cho dù giá trị có được chấp nhận hay không. Khi kết thúc N vòng lặp Monte Carlo ta tính được năng lượng trung bình . Ta có thể khái quát qui trình thuật toán Monte Carlo lượng tử bởi sơ đồ trong hình 1.2 sau đây: Hình 1.2: Sơ đồ thuật toán biến phân Monte Carlo lượng tử Thiết lập các thông số ban đầu cho hệ Thiết lập các thông số ban đầu cho hệ Thực hiện bước dịch chuyển Kiểm tra thuật toán Metropolis Tính năng lượng cục bộ Cập nhật vị trí mới Kết quả Tính tỉ số xác suất Loại bỏ Chấp nhận CHƯƠNG 2 LÝ THUYẾT TĂNG CƯỜNG HỦY VÀ TỐC ĐỘ HỦY POSITRON 2.1 Các mô hình tính toán Việc nghiên cứu sự hủy positron trong vật liệu sẽ cho ta thu được một số thông tin về những sai hỏng trong vật liệu. Chẳng hạn như một positron khi rơi vào chỗ khuyết trong vật liệu, nơi mà mật độ electron thấp hơn so với các vùng khác trong vật liệu, điều này làm giảm sự hủy của electron-positron, vì vậy thời gian sống của positron tăng lên… Tốc độ hủy electron-positron được tính như sau [8]: (2.1) Với là hàm sóng tổng của hệ electron-positron, và positron có tọa độ trùng với tọa độ của electron thứ N. Biểu thức (2.1) thường được tính tốc độ hủy positron-electron cho ra 2. Trong lý thuyết hàm mật độ hai thành phần, tốc độ hủy thường được viết dưới dạng ma trận bao gồm các yếu tố mật độ electron, mật độ positron và hệ số tăng cường như sau: (2.2) Trong đó: : mật độ electron : mật độ positron : hệ số tăng cường mật độ electron quanh vị trí positron và electron trùng nhau. Chính vì positron mang điện tích dương nên việc xuất hiện positron trong vật liệu làm mật độ electron xung quanh positron tăng lên theo một hệ số tăng cường + Theo mô hình hạt độc lập IPM (Independent Particle Model) thì sự tương quan electron-positron không ảnh hưởng đến tốc độ hủy [8], vì vậy + Tuy nhiên trong mô hình gần đúng mật độ cục bộ (LDA) thì hệ số tăng cường là một hàm theo mật độ electron, hệ số này được dẫn ra từ việc tính toán với chỉ một positron trong một thể tích khí electron đồng nhất. * Với mô hình LDA, Arponen và Pajanne [8] đã dẫn ra biểu thức tính hệ số tăng cường như sau: (2.3) Với là tham số mật độ electron được cho bởi: Công thức gần đúng được dẫn ra bởi Brant-Reiheimer [5] là: (2.4) - Gần đây, hệ số tăng cường được tính toán bởi Lanto [8]: * : (2.5) * : (2.6) * : (2.7) Từ những tính toán hệ số tăng cường trên ta có thể tính được tốc độ hủy positron-electron bởi: (2.8)2.2 Khoảng cách trung bình của mỗi lớp electron đến positron. Để tìm hệ số tăng cường tại vị trí positron và electron trùng nhau, điều cần thiết ta phải tích lũy hàm tương quan cặp trong suốt quá trình mô phỏng Monte-Carlo. Chúng ta hình dung rằng khi positron vào trong vật liệu thì mật độ electron xung quanh tăng lên tạo nhiều lớp hình cầu có tâm đặt tại vị trí positron và mỗi lớp cầu cách nhau một khoảng dr như nhau [5], [11]. Với thể tích của lớp cầu thứ n là: (2.9) Trong đó lớp cầu ứng với n = 1 là lớp gần tâm nhất và có thể tích là (2.10) Để tìm giá trị trung bình của mật độ electron, thì số electron trong mỗi lớp phải được chia cho thể tích của lớp đó. Một khi phân bố mật độ electron trung bình xung quanh positron được tìm thấy, nó phải được chuẩn hóa bằng cách chia cho số bước dịch chuyển trong quá trình chạy Monte Carlo và đó cũng chính là giá trị của hàm tương quan cặp electron-positron theo khoảng cách r giữa electron và positron. Để tìm giá trị r từ positron tới mỗi lớp, ta có thể giả sử rằng khoảng cách từ positron đến mỗi lớp là hàm gần đúng theo một đường thẳng cắt ngang lớp. Vì thế hàm này sẽ có dạng: (2.11) Với lớp có bán kính trong và bán kính ngoài lần lượt là ra, rb thì giá trị hàm của lớp này là: (2.12) Vậy khoảng cách r của lớp này là: (2.13) Và như vậy thì bán kính từ positron đến lớp n là (2.14) 2.3 Làm khớp để tìm hàm số tăng cường Do ta chỉ thu được dữ liệu hàm tăng cường tại các vị trí để biết được hàm tăng cường tại vị trí positron (r = 0) ta cần làm khớp dữ liệu này rồi sau đó dùng phương pháp ngoại suy để tìm. Để thực hiện việc làm khớp hàm tăng cường, ta viết hàm tăng cường là tổ hợp tuyến tính của các đa thức Chebyshev, Ti(x) [11]. (2.15) Với L được chọn lớn hơn khoảng cách ngắn nhất của ô mạng được sử dụng trong mô phỏng. Bởi vì các đa thức Chebyshev có dạng (2.16) Vì thế nó chỉ được xác định khi -1<x<1 nên ta đã đặt để vừa đảm bảo được điều kiện của x vừa có thể mở rộng biến r của đa thức. Ta có các điều kiện sau: + Điều kiện biên g(r) có thể được xem như là thể tích ô mô phỏng nhân với mật độ xác suất tìm thấy electron ở khoảng cách r từ positron. Bên trong ô mô phỏng, số electron được bảo toàn vì thế g(r) chỉ phân bố lại các electron xung quanh positron. Do đó (2.17) + Điều kiện đầu [11] (2.18) Thay vào phương trình (2.17) ta được (2.19) Hoặc (2.20) Trong đó (2.21) (2.22) Sử dụng các điều kiện (2.23) (2.24) Thay (2.24) và (2.25) vào (2.18) ta được: (2.25) Trong đó: (2.26) Kết hợp phương trình (2.21) và (2.26) ta có phương trình ma trận như sau: (2.27) Phương trình (2.28) có thể giải để tìm các phương trình c0 và c1: (2.28) (2.29) Trong đó: (2.30) (2.31) (2.32) (2.33) Từ những định nghĩa này, ta có thể viết lại g(r) như sau: (2.34) Ta định nghĩa một hàm mới như sau: (2.35) Để tìm các hệ số ci của các đa thức Chebyshev trong mô phỏng thì ta cần phải giải phương trình ma trận sau: (2.36) Với i chạy từ 2 đến NCheb và j chạy từ 1 đến Nlớp. c là vector những hệ số ứng với i = 2…NCheb và là vector các giá trị trong mỗi lớp (j = 1…Nlớp) Bởi vì thể tích khác nhau của mỗi lớp nên ta sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu có trọng số để làm khớp sẽ tốt hơn là không có trọng số. Khi mỗi dữ liệu điểm có trọng số thì ma trận A được viết lại như sau: (2.37) Và vector được thay thế bởi (2.38) CHƯƠNG 3 HÀM SÓNG VÀ MÔ HÌNH TÍNH TOÁN MONTE CARLO CHO TiO2 3.1 Hàm sóng cho hệ electron-positron trong phân tử TiO2 3.1.1 Mô tả cấu hình phân tử TiO2 Ta có góc liên kết O-Ti-O trong phân tử TiO2 xấp xỉ 90o và khoảng cách giữa hạt nhân titan đến mỗi hạt nhân oxy lần lượt là d1 và d2 nên ta có thể gắn hệ trục tọa độ Descarses vuông góc trong không gian ba chiều với hạt nhân titan nằm ở gốc tọa độ: Hình 3.1: Mô hình phân tử TiO2 Khi đó: Tọa độ vector của hạt nhân titan: Tọa độ vector của hạt nhân oxy thứ nhất (O1): Tọa độ vector của hạt nhân oxy thứ hai (O2): Tọa độ vector vị trí của electron thứ i: Tọa độ vector khoảng cách giữa electron thứ i và hạt nhân titan: Tọa độ vector khoảng cách giữa electron thứ i và hạt nhân oxy thứ nhất: Tọa độ vector khoảng cách giữa electron thứ i và hạt nhân oxy thứ hai: Tọa độ vector khoảng cách giữa electron thứ i và electron thứ j: m 2 1 0 -1 -2 * Xét nguyên tử titan (Z=22): 1s22s22p63s2 3p6 3d24s2 với sự phân bố electron như hình 3.2: Hình 3.2: Sự phân bố electron trong nguyên tử titan Nhận thấy rằng nguyên tử Titan có 4 electron hóa trị: 2 electron ở lớp 4s, 2 electron ở phân lớp 3d lần lượt ứng với số lượng tử từ là 2 và 1. * Xét nguyên tử oxy (Z=8): 1s22s22p4 với sự phân bố electron như hình 3.3: m 1 0 -1 Hình 3.3: Sự phân bố electron trong nguyên tử oxy Nhận thấy rằng nguyên tử oxy có 2 electron hóa trị ở phân lớp 2p lần lượt ứng với số lượng tử từ là 0 và -1. 3.1.2 Mô tả cấu hình phân tử TiO2 khi có positron Hình 3.4: Positron trong mô hình phân tử TiO2 Tọa độ vector vị trí của positron: Tọa độ vector khoảng cách giữa positron và hạt nhân titan: Tọa độ vector khoảng cách giữa positron và hạt nhân oxy thứ nhất: Tọa độ vector khoảng cách giữa positron và hạt nhân oxy thứ hai: Tọa độ vector khoảng cách giữa positron và electron thứ i: 3.1.3 Hàm sóng cơ sở của electron trong nguyên tử titan và nguyên tử oxy Xét nguyên tử titan Trong nguyên tử titan có 4 electron hóa trị: 2 electron ở lớp 4s, 2 electron ở phân lớp 3d lần lượt ứng với số lượng tử từ là 2 và 1. * Hàm sóng cơ sở của electron ở lớp 4s có dạng như sau: (3.1) Với là hằng số chuẩn hóa. là điện tích hiệu dụng trung bình của hạt nhân nguyên tử titan đối với electron. * Hàm sóng cơ sở của electron ứng với số lượng tử từ m = 2 ở phân lớp 3d có dạng: (3.2) Với là hằng số chuẩn hóa. * Hàm sóng cơ sở của electron ứng với số lượng tử từ m = 1 ở phân lớp 3d có dạng: (3.3) Với là hằng số chuẩn hóa. Xét nguyên tử oxy thứ nhất Trong nguyên tử oxy có 2 electron hóa trị ở phân lớp 2p lần lượt ứng với số lượng tử từ là 0 và -1. * Hàm sóng cơ sở của electron ứng với số lượng tử từ m = 0 ở phân lớp 2p có dạng như sau: (3.4) Với là hằng số chuẩn hóa. là điện tích hiệu dụng của hạt nhân nguyên tử oxy đối với electron. * Hàm sóng cơ sở của một electron ứng với số lượng tử từ m = -1 ở phân lớp 2p có dạng như sau: (3.5) Với là hằng số chuẩn hóa. Xét nguyên tử oxy thứ hai Tương tự như nguyên tử oxy thứ nhất, nguyên tử oxy thứ hai có các hàm sóng cơ sở của electron như sau: (3.6) (3.7) 3.1.4 Hàm sóng của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 3.1.4.1 Hàm sóng của hệ electron trong phân tử TiO2 Do electron trên quỹ đạo của các nguyên tử đều chịu tác dụng của ba trường hạt nhân ( một titan và hai oxy) nên hàm sóng của các electron trong phân tử TiO2 được thiết lập như sau: * Đối với electron ở lớp 4s trong nguyên tử titan: (3.8) * Đối với electron ứng với m = 2 ở phân lớp 3d trong nguyên tử titan: (3.9) * Đối với electron ứng với m = 1 ở phân lớp 3d trong nguyên tử titan: (3.10) * Đối với electron ứng với m = 0 ở phân lớp 2p trong nguyên tử oxy thứ nhất: (3.11) * Đối với electron ứng với m = -1 ở phân lớp 2p trong nguyên tử oxy thứ nhất: (3.12) * Đối với electron ứng với m = 0 ở phân lớp 2p trong nguyên tử oxy thứ hai: (3.13) * Đối với electron ứng với m = -1 ở phân lớp 2p trong nguyên tử oxy thứ hai: (3.14) Trong đó các hệ số c1, c2, c3 trong mỗi phương trình là khác nhau và c1, c2, c3 thỏa mãn: Vậy hàm sóng của hệ electron trong phân tử TiO2 là tích của các hàm sóng được thiết lập từ (3.8) đến (3.14) và hệ số Jastrow. Cụ thể như sau: (3.15) Trong đó là hệ số Jastrow thể hiện sự tương quan trao đổi giữa electron-electron theo xấp xỉ Pade có dạng: (3.16) Với là các hằng số biến phân. 3.1.4.2 Hàm sóng của positron trong phân tử TiO2 Khi positron trong phân tử TiO2 tiếp cận electron trong lớp nào thì hàm sóng của nó có dạng như hàm sóng cơ sở của electron trong lớp đó. Có nghĩa là hàm sóng positron sẽ là tổ hợp tuyến tính của các dạng hàm cơ sở của electron ở các phân lớp mà ta đã xét. Và như vậy thì hàm sóng positron trong phân tử TiO2 là: (3.17) Trong đó: c1, c2, c3 là các hằng số thỏa mãn: là điện tích hiệu dụng của hạt nhân titan đối với positron. là điện tích hiệu dụng của hạt nhân oxy đối với positron. Kết luận: Ta đã thiết lập tất cả các hàm sóng đơn hạt electron và positron trong hệ. Vậy hàm sóng tổng của cả hệ phân tử TiO2 và có sự tồn tại của positron là tích của các hàm sóng đơn hạt này và hệ số Jastrow (3.18) Trong đó là các hệ số Jastrow thể hiện sự tương quan trao đổi giữa electron-positron, theo xấp xỉ Pade có dạng: (3.19) Với là các hằng số biến phân. Trong (3.18), để cho đơn giản trong việc tính toán năng lượng của hệ ta có thể đặt: (3.20) Vậy ta có thể viết hàm sóng của hệ như sau: (3.21) 3.2 Xây dựng hàm Hamilton Bởi vì khối lượng của hạt nhân rất lớn so với khối lượng electron nên ta có thể chọn mô hình gần đúng Born – Oppenheimer để xây dựng Hamilton cho hệ. Ta viết lại phương trình (1.17) cho hệ N electron và M hạt nhân như sau: (3.22) Cụ thể đối với phân tử TiO2 khi chưa có positron, ta có dạng xấp xỉ cho hàm Hamilton như sau: (3.23) Trong đó: là khoảng cách giữa tâm hạt nhân nguyên tử O1 và tâm hạt nhân nguyên tử Ti. là khoảng cách giữa tâm hạt nhân nguyên tử O2 và tâm hạt nhân nguyên tử Ti. là khoảng cách giữa tâm hạt nhân nguyên tử O1 và tâm hạt nhân nguyên tử O2. là toán tử động năng của electron thứ i. là khoảng cách giữa electron thứ i và electron thứ j. là khoảng cách của electron thứ i đến tâm hạt nhân Ti. là khoảng cách của electron thứ i đến tâm hạt nhân O1. là khoảng cách của electron thứ i đến tâm hạt nhân O2. là điện tích hiệu dụng của hạt nhân Ti. là điện tích hiệu dụng của hạt nhân O1. là điện tích hiệu dụng của hạt nhân O2. Các đại lượng trong các công thức được tính theo đơn vị nguyên tử, . Hay (3.24) Trong đó: (3.25) (3.26) (3.27) (3.28) lần lượt là tổng động năng của electron; thế tương tác giữa electron-electron, electron-nhân, nhân-nhân. Khi positron vào hệ phân tử TiO2, hệ này tăng thêm một hạt có khối lượng giống electron nhưng mang điện tích dương. Khi đó, xấp xỉ cho hàm Hamilton của hệ TiO2 có dạng: (3.29) Trong đó: (3.30) (3.31) (3.32) lần lượt là động năng của positron; thế tương tác giữa electron- positron, positron-nhân. Trong đó: là khoảng cách của electron thứ i với positron. là khoảng cách của positron đối với tâm hạt nhân Ti. là khoảng cách của positron đối với tâm hạt nhân O1. là khoảng cách của positron đối với tâm hạt nhân O2. Tóm lại, dạng xấp xỉ cho hàm Hamilton gồm có động năng của các electron, động năng của positron, thế năng của electron, thế năng tương tác giữa các electron với nhau, giữa các electron với positron, giữa electron với hạt nhân nguyên tử, giữa positron với hạt nhân nguyên tử. 3.3 Năng lượng của hệ electron và positron [11]. Ta có phương trình Schrodinger: suy ra: (3.33) Thay , được tính từ các công thức (3.29) và (3.21) vào (3.33) ta được (3.34) Với: lần lượt là toán tử động năng của electron và positron, là thế năng của hệ và . và (3.35) Trong đó: và (3.36) và (3.37) 3.3.1 Biểu thức động năng Động năng của từng electron (3.38) Thế hàm sóng từ (3.21) vào (3.36) ta có: (3.39) Với: (3.40) (3.41) (3.42) Thế hàm sóng từ (3.21) vào (3.37) ta có: (3.43) Với: (3.44) Tương tự: (3.45) (3.46) Động năng của positron (3.47) Thế hàm sóng từ (3.21) vào (3.36) ta có: (3.48) Trong đó: (3.49) (3.50) Thế hàm sóng từ (3.21) vào (3.37) ta có: (3.51) Với: (3.52) (3.53) 3.3.2 Biểu thức thế năng Ta có : (3.54) Thế năng của hệ electron (3.55) Thế năng positron (3.56) Thế năng tương tác giữa electron và positron (3.57) Thế năng của hạt nhân (3.58) Vậy thế năng của hệ electron và positron là: (3.59) 3.3.3 Năng lượng tổng của hệ electron và positron (3.60) trong đó: được lấy lần lượt từ các công thức (3.39), (3.48), (3.43), (3.51), (3.59). CHƯƠNG 4 KẾT QUẢ TÍNH TOÁN 4.1. Biến phân Monte Carlo để tìm bộ tham số tối ưu trong hàm sóng Chương trình tính toán được viết bằng ngôn ngữ lập trình C++. Số cấu hình không gian là 300, số bước Monte Carlo là 3000 cho mỗi electron và mỗi positron. Hàm sóng mô tả trạng thái của hệ electron và positron có chứa các tham số: λO, λTi , α, β, λpTi, λpO , α’, β’ . Ta thực hiện phương pháp biến phân để tìm bộ tham số này cho trạng thái cơ bản của hệ. 4.1.1. Biến phân theo λO Ta biến phân λO trong khoảng từ 3,0 đến 7,0 với bước nhảy là 0,2, kết quả thu được như trong bảng 4.1.1. Bảng 4.1: Giá trị năng lượng theo tham số λO λO (a.u) λO (a.u) λO (a.u) 3 -43.5963 4.4 -70.6229 5.8 -72.5763 3.2 -49.5583 4.6 -72.6632 6 -73.1754 3.4 -53.7787 4.8 -74.247 6.2 -71.5716 3.6 -57.9685 5 -74.7169 6.4 -73.4149 3.8 -62.1606 5.2 -74.5924 6.6 -71.7951 4 -65.7031 5.4 -73.5647 6.8 -70.5053 4.2 -68.609 5.6 -73.0647 7 -70.2837 Từ số liệu trong bảng 4.1 ta vẽ dạng đồ thị của theo tham số λO như trong hình 4.1: Hình 4.1: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số λO. Từ đồ thị trên hình 4.1 ta thấy nhận giá trị cực tiểu tại λO = 5,0. Vậy ta chọn λO = 5,0 là giá trị tối ưu. 4.1.2. Biến phân theo λTi Ta biến phân λTi trong khoảng từ 3,0 đến 7,0 với bước nhảy là 0,2, kết quả thu được như trong bảng 4.2. Bảng 4.2: Giá trị năng lượng theo tham số λTi λO (a.u) λO (a.u) λO (a.u) 4 -68.6836 5.4 -99.1207 6.8 -96.5295 4.2 -76.8851 5.6 -99.7635 7 -96.6911 4.4 -84.9081 5.8 -99.047 7.2 -97.1096 4.6 -90.2533 6 -98.0875 7.4 -96.5937 4.8 -93.1568 6.2 -97.6825 7.6 -96.7636 5 -95.9081 6.4 -97.4508 7.8 -96.7541 5.2 -98.0137 6.6 -97.3394 8 -96.7219 Từ số liệu trong bảng 4.2 ta vẽ dạng đồ thị của theo tham số λTi như trong hình 4.2: Hình 4.2: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số λTi. Từ đồ thị trên hình 4.2 ta thấy nhận giá trị cực tiểu tại λTi = 5,6. Vậy ta chọn λTi = 5,6 là giá trị tối ưu. 4.1.3. Biến phân theo β Ta biến phân β trong khoảng từ 0,0 đến 0,4 với bước nhảy là 0,02, kết quả thu được như trong bảng 4.3. Bảng 4.3: Giá trị năng lượng theo tham số β β (a.u) β (a.u) β (a.u) 0 -102.062 0.14 -102.259 0.28 -101.988 0.02 -102.318 0.16 -102.364 0.3 -101.98 0.04 -101.986 0.18 -101.926 0.32 -102.099 0.06 -101.853 0.2 -101.738 0.34 -102.142 0.08 -102.311 0.22 -101.807 0.36 -101.544 0.1 -102.227 0.24 -101.872 0.38 -101.887 0.12 -102.252 0.26 -101.867 0.4 -102.033 Từ số liệu trong bảng 4.3 ta vẽ dạng đồ thị của theo tham số β như trong hình 4.3: Hình 4.3: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số β. Từ đồ thị trên hình 4.3 ta thấy nhận giá trị cực tiểu tại β = 0,16 . Vậy ta chọn β = 0,16 là giá trị tối ưu. 4.1.4. Biến phân theo α Ta biến phân α trong khoảng từ 0,0 đến 1,0 với bước nhảy là 0,05, kết quả thu được như trong bảng 4.4. Bảng 4.4: Giá trị năng lượng theo tham số α ZO (a.u) ZO (a.u) ZO (a.u) 0 -97.8168 0.35 -99.2892 0.7 -99.169 0.05 -98.4151 0.4 -99.2624 0.75 -99.698 0.1 -98.7495 0.45 -99.3242 0.8 -99.5278 0.15 -99.1249 0.5 -99.5526 0.85 -99.5661 0.2 -99.4916 0.55 -99.744 0.9 -99.4591 0.25 -99.272 0.6 -99.5999 0.95 -99.4933 0.3 -99.5627 0.65 -99.4609 1 -99.5097 Từ số liệu trong bảng 4.4 ta vẽ dạng đồ thị của theo tham số α như trong hình 4.4: Hình 4.4: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số α. Từ đồ thị trên hình 4.4 ta thấy nhận giá trị cực tiểu tại α = 0,55. Vậy ta chọn α = 0,55 là giá trị tối ưu 4.1.5. Biến phân theo λpTi Ta biến phân λpTi trong khoảng từ 1,5 đến 2,5 với bước nhảy là 0,05, kết quả thu được như trong bảng 4.5. Bảng 4.5: Giá trị năng lượng theo tham số λpTi λpTi (a.u) λpTi (a.u) λpTi (a.u) 1.5 -99.2571 1.85 -99.4709 2.2 -99.5703 1.55 -99.5258 1.9 -99.8357 2.25 -99.4639 1.6 -99.4216 1.95 -99.7314 2.3 -99.7107 1.65 -99.6295 2 -99.5775 2.35 -99.4168 1.7 -99.4927 2.05 -99.4937 2.4 -99.6347 1.75 -99.463 2.1 -99.5119 2.45 -99.3365 1.8 -99.5221 2.15 -99.332 2.5 -99.2843 Từ số liệu trong bảng 4.5 ta vẽ dạng đồ thị của theo tham số λpTi như trong hình 4.5: Hình 4.5: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số λpTi. Từ đồ thị trên hình 4.5 ta thấy nhận giá trị cực tiểu tại λpTi = 1,9. Vậy ta chọn λpTi = 1,9 là giá trị tối ưu. 4.1.6. Biến phân theo λpO Ta biến phân λpO trong khoảng từ 0,0 đến 1,0 với bước nhảy là 0,05, kết quả thu được như trong bảng 4.6. Bảng 4.6: Giá trị năng lượng theo tham số λpO λpO (a.u) λpO (a.u) λpO (a.u) 0 -99.5884 0.35 -99.4133 0.7 -99.5455 0.05 -99.4928 0.4 -99.6748 0.75 -99.395 0.1 -99.5162 0.45 -99.3395 0.8 -99.1086 0.15 -99.3244 0.5 -99.2662 0.85 -99.6164 0.2 -99.5661 0.55 -99.3561 0.9 -99.4544 0.25 -99.4677 0.6 -99.447 0.95 -99.4972 0.3 -99.7171 0.65 -99.7041 1 -99.3816 Từ số liệu trong bảng 4.6 ta vẽ dạng đồ thị của theo tham số λpO như trong hình 4.6: Hình 4.6: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số λpO. Từ đồ thị trên hình 4.6 ta thấy nhận giá trị cực tiểu tại λpO = 0,3 . Vậy ta chọn λpO = 0,3 là giá trị tối ưu. 4.1.7. Biến phân theo β’ Ta biến phân β’ trong khoảng từ 0,0 đến 1,0 với bước nhảy là 0,05, kết quả thu được như trong bảng 4.7. Bảng 4.7: Giá trị năng lượng theo tham số β’ β' (a.u) β’ (a.u) β’ (a.u) 0 -94.8242 0.35 -94.1475 0.7 -93.5422 0.05 -93.5985 0.4 -94.5762 0.75 -94.6592 0.1 -95.1772 0.45 -94.0858 0.8 -94.4454 0.15 -94.2434 0.5 -94.7904 0.85 -94.4142 0.2 -94.0003 0.55 -93.4661 0.9 -94.2171 0.25 -93.2066 0.6 -94.1381 0.95 -94.451 0.3 -94.826 0.65 -94.8748 1 -94.2727 Từ số liệu trong bảng 4.7 ta vẽ dạng đồ thị của theo tham số β như trong hình 4.7: Hình 4.7: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số β’. Từ đồ thị trên hình 4.7 ta thấy nhận giá trị cực tiểu tại β’ = 0,1 . Vậy ta chọn β’ = 0,1 là giá trị tối ưu. 4.1.8. Biến phân theo α’ Ta biến phân α’ trong khoảng từ 1,0 đến 2,0 với bước nhảy là 0,05, kết quả thu được như trong bảng 4.8. Bảng 4.8: Giá trị năng lượng theo tham số α’ α' (a.u) α’ (a.u) α’ (a.u) 1 -94.2953 1.35 -94.0006 1.7 -93.9954 1.05 -95.3019 1.4 -94.1229 1.75 -94.4479 1.1 -94.3671 1.45 -94.7557 1.8 -94.0695 1.15 -94.3152 1.5 -94.1255 1.85 -93.4916 1.2 -94.4329 1.55 -94.2771 1.9 -94.2005 1.25 -93.7065 1.6 -94.4576 1.95 -95.0538 1.3 -94.0944 1.65 -94.918 2 -93.7189 Từ số liệu trong bảng 4.8 ta vẽ dạng đồ thị của theo tham số α’ như trong hình 4.8: Hình 4.8: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số α’. Từ đồ thị trên hình 4.8 ta thấy nhận giá trị cực tiểu tại α’ = 1,05. Vậy ta chọn α’ = 1,05 là giá trị tối ưu. Vậy, khi positron đi vào phân tử TiO2, ta áp dụng phương pháp biến phân Monte Carlo lượng tử với công cụ tính toán là ngôn ngữ lập trình C++ sau khi thực hiện biến phân các tham số với số lần di chuyển cấu hình là 300 và số bước Monte Carlo là 3000 lần, ta nhận được bộ giá trị tối ưu của các tham số được liệt kê trong bảng 4.9: Bảng 4.9: Giá trị các tham số tối ưu λO λTi α β λpTi λpO α’ β’ 5,0 5.6 0,55 0.16 1.9 0.3 1,05 0.1 4.2. Các giá trị hàm tương quan g(r). Với bộ tham số tối ưu như trong bảng 4.9, ta có thể thu được bộ số liệu hàm tương quan cặp g(n) theo số lớp n. Từ đó, dựa vào công thức (2.14) ta tìm được các giá trị hàm tương quan g(r) theo khoảng cách rep như trong phụ lục B. Các số liệu này được biểu diễn bằng đồ thị trên hình 4.9 và hình 4.10. Hình 4.9: Đồ thị biểu diễn hàm tương quan cặp g(n) theo n. Hình 4.10: Đồ thị biểu diễn hàm tương quan cặp g(r) theo r. Từ các số liệu tính toán ta tìm được giá trị cực đại của hàm tương quan cặp tương ứng với n = 109. Theo công thức (2.14) ta có giá trị rep tương ứng: rep = 2,821ao (ao là bán kính Bohr). Tuy nhiên, ta cần tính toán hàm tương quan cặp tại vị trí rep = 0, tức là tại vị trí electron và positron trùng nhau. Để làm được điều này, chúng ta cần phải làm khớp hàm tương quan từ dữ liệu được lựa chọn từ vị trí electron-positron ở xa nhau đến vị trí cực đại ở trên (rep = 2,821ao). Sử dụng phần mềm tính toán Mathematica, hàm tương quan cặp được làm khớp theo dạng hàm như trong (2.34). Trong đó chọn N = 8, L = 13ao, các hệ số ci trong (2.34) thu được từ việc làm khớp được liệt kê trong bảng 4.10. Bảng 4.10: các hệ số trong hàm được làm khớp c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 1.64748 -1.05793 0.48202 -0.09709 -0.11203 0.12648 -0.09192 Đồ thị của hàm làm khớp sau khi ngoại suy đến vị trí rep = 0 được trình bày trong hình 4.11. Hình 4.11. Đồ thị hàm tương quan cặp g(r). Giá trị ngoại suy tại điểm r = 0: g(rep=0) = 6.60 đây chính là hệ số tăng cường hủy positron trong TiO2. Từ đó dựa vào công thức (2.5) ta tính được tham số mật độ electron của hệ: rs = 2,84. Vây tốc độ hủy positron-electron theo công thức (2.8) là: hay thời gian sống của positron trong phân tử TiO2 là: phù hợp với kết quả của H.P.Shivaraju [10]. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Trong đề tài đã giới thiệu lý thuyết tổng quan về positron, sự hủy positron, các mô hình gần đúng trong việc xây dựng hàm sóng và hàm Hamilton cho hệ electron-positron. Từ đó áp dụng cho hệ positron-TiO2, dạng hàm sóng của hệ được lựa chọn là hàm Slater ứng với các tham số biến phân trong đó có xét đến phần góc , hàm Hamilton được lựa chọn theo mô hình gần đúng Oppenheimer. Ngoài ra, phương pháp biến phân Monte Carlo lượng tử và lý thuyết hàm mật độ được nêu ra để áp dụng trong việc viết chương trình tìm các tham số biến phân trong hàm sóng. Sau khi có được bộ tham số tối ưu trong hàm sóng tiếp tục chạy chương trình để tìm hệ số tăng cường hủy từ đó tốc độ hủy positron trong phân tử TiO2 được tính toán. Chương trình tính