Đề tài Ứng dụng phần mềm Matlab và Simulink để khảo sát các chỉ tiêu chất lượng của hệ thống điều khiển tự động tuyến tính liên tục

ụng: Kiểm tra xem hệ là mô hình liên tục hay mô hình gián đoạn Cú pháp: isct(sys) isdt(sys) Lệnh: issiso Công dụng: Kiểm tra một hệ có là dạng SISO (hệ một vào/ một ra) hay không. Cú pháp: issiso(sys) Ví dụ: Cho hàm truyền: (3-2) Ta kiểm tra xem H(s) là liên tục hay gián đoạn : Tại dấu nhắc của Matlab ta nhập: >> h=tf([2 1],[4 0 3]) Transfer function: 2 s + 1 --------- 4 s^2 + 3 >> isct(h) ans = 1 % hệ thống liên tục Cũng với hàm truyền trên, ta sử dụng lệnh isdt(sys) >> isdt(h) ans = 0 % hệ thống không là hệ gián đoạn Với lệnh issiso(sys), sử dụng hàm truyền trên ta có: >> issiso(h) ans = 1 % H(s) là một hệ SISO 3.4.2. Nhóm lệnh về chuyển đổi mô hình Lệnh c2d: Công dụng: Chuyển đổi mô hình từ liên tục sang gián đoạn Cú pháp: sysd = c2d(sysc,Ts[,method]) Lệnh c2d chuyển đổi một hệ liên tục sysc sang hệ gián đoạn sysd . Trong đó: Ts chu kỳ trích mẫu, tham số tuỳ chọn method quyết định phương pháp gián đoạn hoá được sử dụng khi chuyển đổi. Sử dụng ví dụ (3-2): Tại cửa sổ Matlap ta nhập: >> sysc=tf([2 1],[4 0 3]) % khai báo hàm Transfer function: 2 s + 1 --------- 4 s^2 + 3 >> sysd=c2d(sysc,1.5) % gián đoạn bằng ZOH(giữ chậm bậc 0) Transfer function: 0.8 z - 0.3123 ------------------ z^2 - 0.5369 z + 1 Sampling time: 1.5 % chu kỳ trích mẫu Lệnh d2c: Công dụng: chuyển đổi mô hình từ gián đoạn sang liên tục Cú pháp: sysc= d2c (sysd[,method]) Ví dụ: Cho hàm: Sử dụng chu kỳ trích mẫu Ts= 0.01 Tại dấu nhắc của Matlab: >> h=tf([1 -0.5],[1 1 -2] ,0.01) Transfer function: z - 0.5 ----------- z^2 + z - 2 Sampling time: 0.01 >> isdt(h) ans = 1 %hệ gián đoạn Ta thực hiện chuyển mô hình H(z) từ gián đoạn sang hệ liên tục: >> h1=d2c(h) Transfer function: -2.587 s^2 + 2.644e004 s + 1.725e006 ------------------------------------------ s^3 - 138.6 s^2 + 1.035e005 s + 1.834e-009 Lệnh tf2ss: Công dụng: chuyển hệ thống từ dạng hàm truyền thành dạng không gian trạng thái, mục đích của việc này là biểu diễn từ một hệ có một đầu vào/một đầu ra sang hệ có nhiều đầu vào/nhiều đầu ra. Cú pháp: [a,b,c,d]=tf2ss(num,den) Ví dụ: cho hàm truyền: để chuyển sang dạng không gian trạng thái ta nhập: >> num=[2 1]; >> den=[3 1 2]; >> [a,b,c,d]=tf2ss(num,den) a = -0.3333 -0.6667 1.0000 0 b = 1 0 c = 0.6667 0.3333 d = 0 CHƯƠNG 4 : KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU CHỈNH TỰ ĐỘNG 4.1. Xác định tính ổn định từ đa thức đặc tính 4.1.1. Nhận xét chung - Cho mô hình toán học là hàm truyền đạt dạng thực hữu tỷ và hợp thức: G(s) = (4-1) Giả thiết: B(s) và A(s) là 2 đa thức nguyên tố cùng nhau (chúng không có một nghiệm chung nào): Nghiệm của A(s)=0 gọi là điểm cực của hệ thống . Nghiệm của B(s)=0 gọi là điểm không hữu hạn của hệ. Và đa thức mẫu số A(s) được gọi là đa thức đặc tính của hệ thống. - Để nhận biết được hệ có hàm truyền đạt (4-1) với 2 đa thức tử số B(s), mẫu số A(s) có ổn định hay không, ta chỉ cần kiểm tra xem tất cả các nghiệm của đa thức đặc tính: A(s) = a0 + a1s + a2s2 + …+ansn ; (với ai, i=0,1,2,…,n là những số thực) có nằm bên trái trục ảo hay không. *Phân vùng trên mặt phẳng phân bố nghiệm như sau: - Nếu xét trên mặt phảng phân bố thí nghiệm thì: +Khi tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính phân bố bên trái trục ảo thì hệ thống ổn định. +Chỉ cần có một nghiệm nằm bên phải trục ảo thì hệ thống sẽ không ổn định. +Nếu có một nghiệm nằm trên trục ảo còn các nghiệm khác đều ở bên trái trục ảo thì hệ thống sẽ ở biên giới ổn định. Mặt phẳng phân bố nghiệm số 4.1.2. Các trường hợp đơn giản a) Xét hệ thống có phương trình đặc tính bậc nhất a0s+a1 = 0 => Dễ thấy rằng nghiệm của phương trình là nghiệm thực. Muốn hệ ổn định thì nghiệm này phải là nghiệm thực âm, điều này tương đương với: a0, a1 đều dương, khi đó : . Như vậy, điều kiện cần cũng chính là điều kện đủ để hệ thống ổn định. b) Xét hệ thống có phương trình đặc tính bậc hai. a0s2+a1s+a2=0 với a0, a1, a2 đều không âm Nếu thì phương trình có 2 nghiệm , vì theo Viet: s1s2=a2/a0>0 s1+s2=-a1/a0 => phương trình có 2 nghiệm thực cùng âm. Nếu thì phương trính có 2 nghiệm phức có phần thực âm: *Nhận xét: với hệ thống có phương trình đặc tính bậc hai thì chỉ cần các hệ số của phương trình đặc tính không âm là hệ sẽ ổn định. c) Xét hệ thống có phương trình đặc tính bậc ba: a0s3+a1s2+a2s+a3 = 0 với a0, a1, a2, a3 đều dương Việc giải phương trình bậc ba là phức tạp, ta giả sử hệ ở biên giới ổn định, tức là phương trình dặc tính có nghiệm s=j, thay vào phương trình ta được: Một số phức bằng không khi cả phần thực và phần ảo bằng không, như vậy ta có: Suy ra Như vậy khi a1a2=a0a3 thì hệ ở biên giới ổn định. Điều kiện này sẽ chia hệ thống ra làm hai vùng: ổn định và không ổn định tương ứng với hai điều kiện: a1a2>a0a3 và a1a2 <a0a3. Để xét điều kiện ổn định của hệ thống ta chuyển phương trình đặc tính sang dạng: a0(s3+3as2+3a2s+a3)= a0(s+a)3= 0, với a là một tham số thỏa mãn điều kiện của phương trình. Vì các hệ số của phương trình đặc tính đều dương nên a>0. phương trình đặc tính có 3 nghiệm trùng nhau s=-a<0 suy ra hệ thống ổn định. Các hệ số tương ứng của phương trình đặc tính là: a1= 3aa0, a2=3a2a0, a3= a3a0, rõ ràng: a1a2=9a3a02 >a0a3=a3a02. Như vậy hệ sẽ ổn định nếu thoả mãn : a1a2 > a0a3. 4.2. Khảo sát tính ổn định của hệ thống Như vậy, một cách trực tiếp ta sẽ phải đi giải phương trình đặc tính và kết luận về tính ổn định của hệ thông qua nghiệm của phương trình đặc tính. Điều này sẽ không đơn giản với hệ bậc cao ( từ bậc 3 trở lên). Do đó, trước khi ra đời các phần mềm máy tính, người ta phải sử dụng các tiêu chuẩn ổn định đại số, hình học hay tần số để xét ổn định hệ thống. Ngày nay, sử dụng phần mềm MATLAB thì việc này hoàn toàn đơn giản. 4.2.1. Giải trực tiếp phương trình đặc tính Ví dụ 1: Giả sử có phương trình đặc trưng là: s3+2s2+3s+4=0 (4-2) Tính toán thông thường: Để xét sự ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng trên, như trên ta có được: + Các hệ số của phương trình đều dương + a1a2 = 2.3 = 6 > a0a3 = 1.4 = 4 Vậy, hệ thống ổn định. Sử dụng MATLAB: Lệnh Roost: Công dụng: Tìm nghiệm của phương trình đặc tính Cú pháp: roots(sys) Tại cửa sổ CommandWindow, ta nhập hệ số của phương trình đặc tính theo chiều giảm dần của số mũ, cùng với lệnh Roots. Ta sẽ dùng Matlab để tìm nghiệm của(4-2), xem xét vị trí các nghiệm của nó trên mặt phẳng phức. Vectơ của đa thức được gõ vào tại dấu nhắc của Matlab: >> c=[1 2 3 4] c = 1 2 3 4 >> roots(c) ans = -1.6506 -0.1747 + 1.5469i -0.1747 - 1.5469i Nhìn vào các nghiệm số của phương trình ta nhận thấy chúng cùng nằm bên trái mặt phẳng phức.=> hệ thống ổn định. Ví dụ 2: Hệ thống có phương trình đặc trưng: 7s7+9s6+11s5+s4+3s3+4s2+5s+11=0 Rõ ràng, với phương trình đặc tính trên, việc giải nghiệm trực tiếp bằng tay là rất khó khăn, mất nhiều thời gian. Nhưng với Matlab ta chỉ cần nhập như sau: >> c=[7 9 11 1 3 4 5 11] c = 7 9 11 1 3 4 5 11 >> roots(c) ans = -0.7961 + 1.0563i -0.7961 - 1.0563i -0.9799 -0.1152 + 1.0072i -0.1152 - 1.0072i 0.7583 + 0.5630i 0.7583 - 0.5630i Kết luận: Nhìn vào kết quả của bài toán, công việc còn lại là đưa ra nhận xét: Phương trình đặc trưng có 2 nghiệm phức nằm bên phải trục ảo nên hệ thống trên là không ổn định. 4.2.2. Xét ổn định bằng các tiêu chuẩn ổn định đại số Như trên đã nói, các tiêu chuẩn ổn định đại số giúp cho việc khảo sát tính ổn định của hệ thống dễ dàng hơn ( đối với cách tính toán thông thường). Nhưng với cách đó, ta cũng có thể can thiệp bằng MATLAB. 4.2.2.1. Tiêu chuẩn ổn định Routh * Tiêu chuẩn Routh phát biểu như sau: “Hệ thống điều khiển tự động có phương trình đặc tính với các hệ số dương ( cùng dấu) sẽ ổn định nếu tất cả các hệ số trong cột đầu tiên của bảng Routh dương (cùng dấu)” -Bảng Routh đựoc thành lập từ các hệ số ai R, i=0,1,…,n của A(s) như sau: a0 a2 a4 … a1 a3 a5 … b0 = … … … … … … … - Minh ho¹ tiªu chuÈn Routh: VÝ dô 1: Cho ®a thøc: A(s) = 5+16s +18s2+8s3+s4 (5-2) TÝnh to¸n th«ng th­êng: +) Tõ lý thuyÕt ta lËp ®­îc b¶ng Routh nh­ sau: LËp b¶ng Routh: 5 18 1 16 8 15,5 1 6,97 1 Do tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ trong cét ®Çu tiªn ®Òu d­¬ng, nªn tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña ®a thøc ®· cho ®Òu cã phÇn thùc ©m => hÖ thèng cã ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng trªn æn ®Þnh. Sö dông MATLAB: Ta gọi chương trình đánh giá ổn định của hệ thống bằng tiêu chuẩn Routh như sau: Tại cửa sổ của CommandWindow ta gõ edit open (chương trình lập bảng Routh)nhấn nút F5 để chạy chương trình. Tại chương trình của Routh ta nhập các hệ số của phương trình đặc trưng theo hệ số của số mũ giảm dần giảm dần, Matlab sẽ tự động lập bảng Routh như sau: Chuong trinh danh gia tinh on dinh cua he thong theo tieu chuan on dinh Routh DANH GIA SU ON DINH CUA HE THONG THEO TIEU CHUAN ROUTH Cho biet bac cua phuong trinh dac trung: 4 Nhap he so cua phuong trinh a(0) = 1 Nhap he so cua phuong trinh a(1) = 8 Nhap he so cua phuong trinh a(2) = 18 Nhap he so cua phuong trinh a(3) = 16 Nhap he so cua phuong trinh a(4) = 5 BANG ROUTH LAP DUOC c = 1.0000 18.0000 5.0000 8.0000 16.0000 0 16.0000 5.0000 0 13.5000 0 0 5.0000 0 0 Ket luan: HE THONG ON DINH Nhìn vào hai bảng Routh (bảng Routh lý thuyết và bảng Routh trên Matlab) ta thấy có sự khác biệt, nhưng đó không phải là sự nhầm lẫn, mà ở đây ta áp dụng định lý đối ngẫu, tức là khi lập bảng Routh ta có thể sử dụng 2 dạng phương trình đặc trưng của một đa thức để tính: A(s) = a0+a1s+a2s2+…+ansn Hoặc : A(s) = a0sn+a1sn-1+…+an Minh hoạ: G(s)=1+s+3s2+ s3+ s4+2s5+ s6 Hoặc: G(s)=s6+2s5+s4+s3+3s2+s+1s Ví dụ2: Khảo sát tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng sau trên Matlab: 7s7+9s6+11s5+s4+3s3+4s2+5s+11=0 Tại môi trường của Routh ta nhập : Chuong trinh danh gia tinh on dinh cua he thong theo tieu chuan on dinh Routh DANH GIA SU ON DINH CUA HE THONG THEO TIEU CHUAN ROUTH Cho biet bac cua phuong trinh dac trung: 7 Nhap he so cua phuong trinh a(0) = 7 Nhap he so cua phuong trinh a(1) = 9 Nhap he so cua phuong trinh a(2) = 11 Nhap he so cua phuong trinh a(3) = 1 Nhap he so cua phuong trinh a(4) = 3 Nhap he so cua phuong trinh a(5) = 4 Nhap he so cua phuong trinh a(6) = 5 Nhap he so cua phuong trinh a(7) = 11 BANG ROUTH LAP DUOC c = 7.0000 11.0000 3.0000 5.0000 9.0000 1.0000 4.0000 11.0000 10.2222 -0.1111 -3.5556 0 1.0978 7.1304 11.0000 0 -66.5050 -105.9802 0 0 5.3810 11.0000 0 0 29.9719 0 0 0 11.0000 0 0 0 Ket luan: HE THONG KHONG ON DINH Nhận xét: Như vậy, với công cụ Matlab ta thấy rõ được ưu điểm nổi bật của nó: dễ sử dụng, nhanh và cho kết quả chính xác. 4.2.2.2. Tiêu chuẩn đại số thứ hai ( Tiêu chuẩn Hurwitz) *Tiêu chuẩn Hurwit phát biểu như sau: “ Hệ thống điều chỉnh tự động có phương trình đặc tính với các hệ số dương ( cùng dấu) sẽ ổn định nếu giá trị tất cả các định thức Hurwitz dương ( cùng dấu)”. Dựng ma trận H kiểu (nn) từ các hệ số ai ,i= 1,2,..,n của A(s). -Xác định ma trận vuông Hi -Tính định thức Di =det(Hi), i= 1, 2,3…,n. +Số lần đổi dấu trong dãy: , , , , …, bằng số các nghiệm nằm bên phải trục phức của A(s). VD1: Xét đa thức: A(s)= 51+11s+s2+s3 (5-3) Tính toán thông thường: +) Từ lý thuyết ta có: Dựng ma trận H: Từ đó ta có: D1= 11, D2= -40, D3=-40 Ta thấy các định thức Hurwitz đổi dấu => hệ không ổn định. Xét dãy: , , , Vì các số hạng của dãy đổi dấu 2 lần (từ 11 sang -40 , từ -3,63 sang 1) => A(s) có hai nghiệm nằm bên phải trục ảo.=>hệ không ổn định. Sử dụng Matlab: Trong Matlab ta kiểm tra kết quả trên theo hai cách: Cách thứ nhất: ta tìm nghiệm của đa thức (5-3) trên Matlab để tìm vị trí các nghiệm trong mặt phẳng phức. Tại dấu nhắc của Matlab: >> c=[1 1 11 5 1] c = 1 1 11 51 >> roots(c) ans = 1.0000 + 4.0000i 1.0000 - 4.0000i -3.0000 Rõ ràng (5-3) có hai nghiệm nằm bên phải trục ảo. => Hệ không ổn định. Cách thứ hai: ta sẽ dùng Matlab để tính định thức của ma trận như sau:(sử dụng đa thức (5-3)). >> h2=[11 1;51 1] h2 = 11 1 51 1 >> det(h2) ans = -40 >> h3 = [11 1 0 ;51 1 0 ;0 11 1] h3 = 11 1 0 51 1 0 0 11 1 >> det(h3) ans = -40 Như vậy, sau khi Matlab tính xong các định thức, ta sẽ lấy kết quả để nhận xét: xét dãy: , , , => Hệ thống ổn định. Nhận xét: đối với phương trình đặc tính với số mũ nhỏ, thì việc tính định thức ma trận là dễ dàng, nhưng khi số mũ của phương trình đặc tính tăng lên, công việc tính toán sẽ nhiều hơn,và trong quá trình tính toán có thể có sai sót, làm ảnh hưởng đến kết quả của bài toán. Nhưng khi thực hiện công việc này trong Matlab thì vấn đề này không còn đáng ngại. Ta lại thấy được một ưu điểm nữa của Matlab. 4.2.3. Vẽ đáp ứng của hệ trên miền thời gian Ta biết rằng, tính ổn định là một thuộc tính bên trong của hệ thống, không phụ thuộc vào các tác dộng bên ngoài hệ. Vì vậy, ta có thể ngay lập tức khảo sát được tính chất này thông qua việc vẽ đáp ứng của hệ trên miền thời gian trong MATLAB. Đây là một cách xét ổn định của hệ rất trực quan. Lệnh initial: Cú pháp: initial(sys, x0, [,t]) [y, t, x]=initial(sys, x0, [,t]) Công dụng: Vẽ đáp ứng giá trị ban đầu của hệ trên miền thời gian Đáp ứng giá trị ban đầu mô tả phản ứng của hệ khi không có kích thích đầu vào nhưng tồn tại các giá trị ban đầu của véctơ trạng thái x0, phản ứng đó được gọi là chuyển động tự do của hệ. Ví dụ : cho hàm truyền dạng: Hệ đã cho là liên tục vì: >> h=tf(1,[1 1 10]) Transfer function: 1 ------------ s^2 + s + 10 >> isct(h) ans = 1 Tại dấu nhắc của Matlab, ta sẽ tạo nên các đáp ứng ban đầu. >> h=tf(1,[1 1 10]) Transfer function: 1 ------------ s^2 + s + 10 >> h1=ss(h); | >> [y,t,x]=initial(h1,'r-',[2 1],12); >> subplot(221) >> plot(t,y) >> subplot(223) >> plot(t,x(:,1),'r-',t,x(:,2),'g--') . Nhìn vào đáp ứng của hệ khi chưa có kích thích đầu vào ta thấy hệ có tính chất ổn định bởi vì sau một khoảng thời gian quá độ, hệ sẽ đi vào vùng xác lập. 4.2.4. Khảo sát tính ổn định của hệ thống trong miền tần số 4.2.4.1. Tiêu chuẩn Nyquist Tiêu chuẩn ổn định Nyquist dùng để xét tính ổn định của hệ thống kín dựa vào đặc tính tần số biên độ pha của hệ thống hở: + Hệ thống ổn định ở trạng thái hở, sẽ ổn định ở trạng thái kín nếu biểu đồ Nyquist không bao điểm (-1+i0) trên mặt phẳng phức. + Hệ thống không ổn định ở trạng thái hở, sẽ ổn định ở trạng thái kín nếu biểu đồ Nyquist bao điểm (-1+i0)p lần ngược chiều kim đồng hồ (p là số cực GH nằm ở phải mặt phẳng phức). Như vậy, khi xét ổn định của hệ kín theo tiêu chuẩn Nyquis thì trước hết ta đi xét tính ổn định của hệ hở, sau đó căn cứ vào kết quả nhận được từ hệ hở, ta xét tính ổn định của hệ kín dựa vào phát biểu trên. Ví dụ : Xét hệ thống có hàm truyền đạt sau: (4.4) Tính toán thông thường: Tìm hàm truyền tần số: Tách phần thực và phần ảo ta có: (4.4a) ( 4.4b) Cho I()= 0 ta tìm được giá trị tần số mà tại đó đặc tính tần số biên độ pha của hệ thống hở cắt truc thực. Từ (4.4b) ta có: => Thay vào (4.4a) ta có: toạ độ điểm cắt: Như vậy đặc tính tần số biên độ pha của hệ thống hở cắt trục thực trong đoạn hay đặc tính tần số biên độ pha của hệ thống hở không bao điểm (-1+j0). Theo tiêu chuẩn Nyquist =>hệ kín ổn định.(hình vẽ bên). Sử dụng MATLAB: Câu lệnh: Nyquist Cú pháp: nyquist(sys) Chức năng: Vẽ đồ thị Nyquist của hàm truyền đạt. Từ dấu nhắc của Matlab, ta kiểm tra tính ổn định của hệ hở bằng cách tìm nghiệm của đa thức đặc tính sau đó ta sẽ dùng tiêu chuẩn Nyquist để kiểm tra chất lượng hệ kín. >> c=[12 6 18 6 3 0]; >> roots(c) ans = 0 -0.0604 + 1.1186i -0.0604 - 1.1186i -0.1896 + 0.4040i -0.1896 - 0.4040i Nhìn vào các nghiệm của phương trình ta thấy chúng đều nằm ở bên trái mặt phẳng phứcDo đó hệ hở ổn định. Bây giờ ta đi xét tính ổn định của hệ kín nhờ Nyquis. >> sys=tf([3 1],[12 6 18 6 3 0]) Transfer function: 3 s + 1 ------------------------------------- 12 s^5 + 6 s^4 + 18 s^3 + 6 s^2 + 3 s >> nyquist(sys) Kết quả cho như hình vẽ. Từ đồ thị ta thấy rằng: điểm (-1+j0) được đánh dấu (+) trên hình vẽ không bị bao bởi biểu đồ Nyquist. => Hệ thống ổn định. *So sánh đồ thị vẽ tay và độ thị trên Matlab thấy rằng: đồ thị vẽ tay có độ chính xác không cao, nó chỉ mang tính chất mô tả dạng đồ thị. Điều này càng khó khăn hơn với những hệ thống có phương trình đặc tính phức tạp. Với Matlab, kết quả đưa ra về hình dạng đồ thị là chính xác. Đây là một ưu điểm nữa của Matlab. 4.2.4.2. Kiểm tra tính ổn định nhờ biểu đồ Bode Biểu đồ Bode biểu diễn đặc tính tần số của hàm truyền thành hai đồ thị riêng rẽ biên và pha với trục tần số được chia theo thang Logarit. - Đồ thị thứ nhất có tên là đặc tính biên tần Logait được chia theo thứ nguyên dB. - Đồ thị thứ hai có tên là đặc tính pha tần Logarit chia theo độ. Điểm (-1+j0) ứng với biên độ là 0dB và pha là -1800. Ta sẽ gọi tần số tại (GH)dB=0dB là tần số cắt biên, ứng với là tần số pha . Tần số cắt pha chính là tần số mà tại đó biểu đồ GH cắt nửa truc thực âm (giải phương trình ImGH=0). Ta có thể áp dụng giản đồ Bode để xét ổn định như sau: - Vẽ giản đồ Bode của hàm truyền vòng hở GH(p). (GH(p) không được có cực ở phải mặt phẳng phức). -Tìm tần số cắt biên , xem đặc tính pha ở tần số cắt biên. Nếu: + Đường pha ở trên đường -1800 thì hệ kín ổn định. + Đường pha cắt đường -1800 thì hệ kín ở biên giới ổn định. + Đường pha ở dưới đường -1800 thì hệ kín không ổn định. Ví dụ: Cho hàm truyền của hệ thống hở: GH(s)= Xét ổn định của hệ kín bằng biểu đồ Bode. Ta kiểm tra tính liên tục của hệ bằng lệnh: isct(sys): >> sys=tf([3 1],[12 6 18 6 3 0]) Transfer function: 3 s + 1 ------------------------------------- 12 s^5 + 6 s^4 + 18 s^3 + 6 s^2 + 3 s >> isct(sys) ans = 1 % hệ thống liên tục Tại Matlab: >> h = tf([31], [12 6 18 6 3 0]) Transfer function: 3 s + 1 ------------------------------------- 12 s^5 + 6 s^4 + 18 s^3 + 6 s^2 + 3 s >> bode(h) Biểu đồ Bode như hình vẽ bên. Ta thấy ứng với tần số cắt biên đường pha ở trên đường -1800 => hệ thống ổn định. * Độ dự trữ ổn định biên và pha Độ dự trữ ổn định là một đại lượng dương, đánh giá mức độ ổn định của hệ thống và nếu vượt qua độ dự trữ đó thì hệ thống ổn định sẽ trở nên mất ổn định. Đối với tiêu chuẩn đại số thì độ dự trữ ổn định chính là khoảng cách giữa trục ảo và nghiệm của phương trình đặc trưng ở gần trục ảo nhất. ( Vẽ hình) - Dự trữ biên: được định nghĩa là hệ số khuếch đại Gm, mà nếu ta bổ xung Gm thêm vào hàm truyền đạt của vòng hở, hệ kín sẽ vừa vặn đạt tới giới hạn giữa ổn định và không ổn định. Giá trị Gm được tính bằng nghịch đảo của biên độ tại tần số đảo pha (pha bắt đầu vượt -1800). - Dự trữ pha: Được định nghĩa là khoảng cách góc (tính từ góc pha tại vị trí điểm cắt giữa của vòng hở với đường tròn đơn vị ) tới -1800. Tần số tại điểm cắt đó được gọi là tần số cắt biên. *Trong Matlab có hai lệnh: margin & allmargin Đối với lệnh margin ta có được các thông số: dự trữ biên Gm với tần số đảo pha, dự trữ pha Pm với tần số cắt biên . Với lệnh allmargin có tác dụng rộng hơn lệnh margin, allmargin tính nhiều tham số liên quan đến vòng hở,các tham số này được cất trong biến stabil. Gainmargin Dự trữ biên: giá trị đảo của biên độ tại tần số GMFrequency. GMFrequency Giá trị tần số mà tại đó đồ thị pha cắt đường thẳng nằm ngang -1800. PhaseMargin Dự trữ pha: Khoảng cách góc(>0) từ vị trí PMFrequency tới -1800. PMFrequency Giá trị tần số mà tại đó đồ thị biên cắt đường thẳng nằm ngang 0dB (ứng với hệ số khuếch đại 1). DelayMargin Dự trữ thời gian trễ: Giá trị thời gian trễ mà nếu vượt quá, hệ sẽ mất ổn định. DMFrequency Giá trị tần số ứng với DelayMargin Stabil =1 khi mạch vòng khép kín ổn định. =0 cho các trường hợp còn lại. Ví dụ1: cho hàm truyền đạt: Hàm này liên tục vì: >> h=tf(4,[1 3 3 1]) Transfer function: 4 --------------------- s^3 + 3 s^2 + 3 s + 1 >> isct(h) ans = 1 %hệ đã cho là liên tục Tại dấu nhắc của Matlab ta thực hiện lệnh Margin & Allmargin như sau: >> h=tf(4,[1 3 3 1]) Transfer function: 4 --------------------- s^3 + 3 s^2 + 3 s + 1 >> margin(h); Ta có dạng đồ thị Bode như hình vẽ bên: Từ đồ thị Bode, rõ ràng < , từ biểu đồ ta đọc được: Dự trữ biên : Gm = 6.02dB Tần số cắt pha : W= 1.7322rad/s Dự trữ pha : Pm = 27.10 Tầsốcắtbiên:WA=1.23rad/s Với lệnh allmargin: >> stabil=allmargin(h) stabil = GMFrequency : 1.7322 GainMargin : 2.0003 PMFrequency : 1.2328 PhaseMargin : 27.1424 DMFrequency : 1.2328 DelayMargin : 0.3843 Stable : 1 % hệ kín ổn định. Ví dụ2:Tìm biên dự trữ và pha dự trữ của hàm truyền đạt sau: Kiểm tra H(s) là hệ liên tục hay không bằng cách nhập tại cửa sổ của Matlab: >> h=tf(10,[-1 1 0]) Transfer function: -10 ------- s^2 - s >> isct(h) ans = 1 % hệ trên là liên tục Từ dấu nhắc của Matlab, ta dùng lệnh Margin: >> h=tf(10,[-1 1 0]) Transfer function: -10 ------- s^2 - s >> margin(h) >> stabil=allmargin(h) stabil = GMFrequency: [1x0 double] GainMargin: [1x0 double] PMFrequency: 3.0842 PhaseMargin: 162.0358 DMFrequency: 3.0842 DelayMargin: 0.9169 Stable: 0 % hệ kín không ổn định. Ta cũng có thể đọc được các thông số này từ biểu đồ Bode: Pm = 1620 WA = 3.08 rad/s Gm = inf(Gm = ∞) 4.2.4.3. Khảo sát sự ổn định của hệ thống bằng phương pháp quỹ đạo nghiệm số Phương pháp quỹ đạo nghiêm số dùng để phân miền ổn định cho hệ thống điều chỉnh, nó thường được dùng khi hệ thống có một thông số thay đổi. Nội dung của phương pháp như sau: 1/ Tìm điểm xuất phát: là điểm ứng với điểm cực của hàm truyền hở GH(p). 2/ Tìm điểm kết thúc: là điểm zero của hàm truyền hở GH(p). 3/ Nhánh quỹ đạo nghiệm số: N=max(P,Z) Thường thì N=P=n. Trong đó: P là số cực, Z là số zero của hàm truyền, n là bậc của mẫu. 4/ Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục hoành. 5/ Điểm tách: là điểm mà hai nhánh quỹ đạo nghiệm số gặp nhau và sau đó tách ra khi K tăng (K là hệ số khuếch đại). 6/ Giao điểm của quỹ đạo nghiệm với trục ảo. -Dùng tiêu chuẩn Routh Ta có thể xác định bằng hai phương pháp: tính K giới hạn (Kgh) và sau đó xác định ImGH(p). -Thay p=j vào phương trình đặc tính, cho phần thực và phần ảo bằng 0 => để tìm K. Ví dụ 1. Vẽ quỹ đạo nghiệm của hệ thống: (với K=2) Giải: Ta kiểm tra xem hệ trên là hệ liên tục hay gián đoạn: Tại dấu nhắc của MatLab: >> h=tf(2,[1 9 20 0]) Transfer function: 2 ------------------ s^3 + 9 s^2 + 20 s >> isct(h) ans = 1 % kết luận: hệ trên là một hệ liên tục. Để vẽ quỹ đạo nghiệm trên Matlab ta sử dụng lệnh Rlocus(num, den) Công dụng: lệnh Rlocus tìm quỹ đạo nghiệm của hàm truyền. Quỹ đạo nghiệm dùng để nghiên cứu ảnh hưởng của việc thay đổi độ lợi hồi tiếp lên vị trí cực của hệ thống, cung cấp các thông tin về đáp ứng thời gian và tần số. Lệnh này dùng cho cả hệ liên tuc và gián đoạn. Từ cửa sổ Matlab ta nhập: >> h=tf(2, [1 9 20 0]) Transfer function: 2 ------------------ s^3 + 9 s^2 + 20 s >> rlocus(h) %vẽ quỹ đạo nghiệm Kết quả: Từ đồ thị cho ta: 1/ Điểm xuất phát: điểm cực: 0, -4, -5 (P=3) (được đánh dấu bằng x trên hình vẽ). 2/ Điểm kết thúc: zero vô hạn: ∞ (Z=0) (được đánh dấu o trên đồ thị nếu có) 3/ Nhánh quỹ đạo nghiệm: N = max(P,Z) = (3,0) = 3 4/ Quỹ đạo nghiệm đối xứng qua trục hoành 5/ Điểm tách KGH được xác định bằng cách gọi từ cửa sổ Matlab lệnh Rlocfind. Lệnh Rlocfind(num, den) dùng để chọn điểm bằng cách kéo rê chuột. Điểm này sẽ được minh hoạ trên đồ thị. Sau khi nháy chuột vào điểm chọn, ta sẽ có được thông tin về điểm vừa chọn. >> rlocfind(h) Select a point in the graphics window selected_point = -1.516 Điểm tách có giá trị: -1.4516 6/ Giao điểm của quỹ đạo nghiệm với trục ảo được xác định bằng cách gọi từ cửa sổ Matlab: >> rlocfind(h) Select a point in the graphics window selected_point = 4.472i Giao điểm có giá trị: +4.472i, -4.472i Từ giá trị tại giao điểm của quỹ đạo nghiệm với trục ảo ta thế vào phương trình đặc trưng của hệ kín: F(s) = s3+9s2+20s+k =0 F => kgh = 180 Kết luận: hệ thống sẽ ổn định khi 0<k <180 4.2.4.4. Khảo sát hệ thống trong không gian trạng thái Hệ phương trình trạng thái mô tả động học của hệ thống tuyến tính dừng có dạng: Tuỳ theo mục đích của việc nghiên cứu mà ta có thể sử dụng các phương pháp mô tả khác nhau trên không gian trạng thái, ví dụ như: các ma trận mô tả đặc điểm điều khiển hay quan sát, cho phép khảo sát tính điều khiển được hay quan sát được của hệ. Tính quan sát được Một thông tin rất quan trọng khi khảo sát hệ thống, đó là: liệu trạng thái của đối tượng có quan sát được hay không? Hay, nếu không phải tất cả các trạng thái đều quan sát được thì những trạng thái nào có thể quan sát được? Để trả lời câu hỏi trên ta sử dụng ma trận kiểm tra đặc điểm quan sát được Ob(