Đề tài Xây dựng chương trình kiểm tra số nguyên tố bằng thuật toán Miller- Rabin

XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH KIỂM TRA SỐ NGUYÊN TỐ BẰNG THUẬT TOÁN MILLER- RABIN MỤC LỤC CHƯƠNG 1: CƠ SỞ THUẬT TOÁN CHƯƠNG 2: PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ CHƯƠNG 3: CÀI ĐẶT VÀ KIỂM THỬ PHỤ LỤC Chương 1 CƠ SỞ THUẬT TOÁN 1.Giới thiệu Bài toán kiểm tra số nguyên tố là một trong những bài toán cơ bản nhưng hết sức quan trong trọng lĩnh vực an toàn và bảo mật thông tin cụ thể là trong hệ mật RSA.Có rất nhiều phương pháp kiểm tra số nguyên tố như : phương pháp chứng minh theo định lý Fecma, phương pháp sàng số nguyên tố Eratosthenes, phương pháp kiểm tra theo xác suất. Thuật toán Miller- Rabin là thuật toán dựa trên phương pháp chứng minh theo xác suất.Thuật toán này được thao tác trên số lớn. 2.Cơ sở thuật toán Miller-Rabin Thuật toán này dựa trên một định lý quan trong sau: ”Nếu n là số nguyên tố thì (n-1 )!≡ (n-1) mod n”. “Với mỗi số nguyên n, Ф(n) là số các số nguyên tố cùng nhau với n mà nhỏ hơn n. Khi đó, với mọi x, x > 0, xФ(n) ≡ 1 mod n ”. 3.Thuật toán Sơ đồ thuật toán: Begin + n : số lớn cần kiểm tra + t : số lần kiểm tra n – 1 = 2k * m; a = Random(); b = am mod n; b ≡1 mod n n : prime b = b2 mod n; i = i+1; i = 0 i < k b≡-1 mod n End. Thuật toán: a.Đầu vào : Là một số nguyên n > 3, và một tham số an toàn t (là số lần thực hiện kiểm tra n ) b.Đầu ra : Trả lời câu hỏi n có là số nguyên tố không ?Câu trả lời là “prime” nếu là số nguyên tố ngược lại là “composite” c.Thuật toán: Bước 1: Thực hiện tính n -1 = 2k.m. Trong đó: n : số cần kiểm tra s : số nguyên m : số nguyên lẻ. Bước 2: Chọn số ngẫu nhiên a. Với 1 < a < n-1. Bước 3: Tính b ≡ am mod n If( b ≡ 1 mod n) then return “prime”; Else for( I =1 ; i<k ; i++) if( b≡-1 mod n ) then return “prime”; return “composite” An toàn và bảo mật thông tin trong lĩnh vực công nghệ thông tin ngày càng trở nên quan trọng và cần thiết Chương 2 PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ 1.Công cụ Chương trình được xây dựng sử dụng VisualC++6.0. 2.Thiết kế Chương trình được thiết kế theo lớp tên là : bigNumber.Bao gồm các thuộc tính và phương thức sau(hình vẽ): a.Thuộc tinh: + great: là một mảng dữ liệu kiểu NN_DIGIT để biểu diễn số lớn. + one : là một mảng dữ liệu kiểu NN_DIGIT để biểu diễn số lớn dùng thao tác trung gian b.Phương thức: + void Div (NN_DIGIT *a, NN_DIGIT *b, NN_DIGIT *c,UINT2 cDigits, NN_DIGIT *d,UINT2 dDigits); Thực hiện phép chia a = c div d and b = c mod d. + NN_DIGIT LShift (NN_DIGIT *a, NN_DIGIT *b, UINT2 c,UINT2 digits); Thực hiện a = b*2^c + NN_DIGIT RShift (NN_DIGIT *a, NN_DIGIT *b, UINT2 c,UINT2 digits); Thực hiện a = b/2^c + void Modul (NN_DIGIT *a, NN_DIGIT *b, UINT2 bDigits, NN_DIGIT *c,UINT2 cDigits); Thực hiện a = b mod c + void Multiply (NN_DIGIT *a, NN_DIGIT *b, NN_DIGIT *c,UINT2 digits) Thực hiện a = b*c + void ModMult (NN_DIGIT *a, NN_DIGIT *b, NN_DIGIT *c,NN_DIGIT *d,UINT2 digits); Thực hiện a = b * c mod d. + void ModExp (NN_DIGIT *a, NN_DIGIT *b, NN_DIGIT *c,UINT2 cDigits, NN_DIGIT *d,UINT2 dDigits) Thực hiện a = b^c mod d. + int Compare (NN_DIGIT *a, NN_DIGIT *b,UINT2 digits); Thực hiện so sánh a, và b + NN_DIGIT Sub (NN_DIGIT *a, NN_DIGIT *b, NN_DIGIT *c,UINT2 digits); Thực hiện a = b - c + NN_DIGIT Add (NN_DIGIT *a, NN_DIGIT *b, NN_DIGIT *c, UINT2 digits); Thực hiện a = b + c. Chương 3 CÀI ĐẶT VÀ KIỂM THỬ 1.Mã chương trình : // bigNumber.cpp: implementation of the bigNumber class. // ////////////////////////////////////////////////////////////////////// #include "bigNumber.h" #include "stdlib.h" #include #include #define NN_SIZE 32 #define NN_SIZE2 16 NN_DIGIT one[NN_SIZE]; ////////////////////////////////////////////////////////////////////// // Construction/Destruction ////////////////////////////////////////////////////////////////////// void bigNumber::Encode(UINT1 *a, UINT2 len, NN_DIGIT *b, UINT2 digits) { NN_DIGIT t; UINT2 i, j, u; /* @##$ unsigned/signed bug fix added JSAK - Fri 31/05/96 18:09:11 */ for (i = 0, j = 0; i < digits && j < len; i++) { t = b[i]; for (u = 0; j < len && u < NN_DIGIT_BITS; j++, u += 8) a[j] = (UINT1)(t >> u); } for (; j <len ; j++) a[j] = 0; } void bigNumber::Decode(NN_DIGIT *a, UINT2 digits, UINT1 *b, UINT2 len) { NN_DIGIT t; UINT2 i, j, u; /* @##$ unsigned/signed bug fix added JSAK - Fri 31/05/96 18:09:11 */ for (i = 0, j = 0; i < digits && j < len ; i++) { t = 0; for (u = 0; j <len && u < NN_DIGIT_BITS; j++, u += 8) t |= ((NN_DIGIT)b[j]) << u; a[i] = t; } for (; i < digits; i++) a[i] = 0; } NN_DIGIT bigNumber::Add(NN_DIGIT *a, NN_DIGIT *b, NN_DIGIT *c, UINT2 digits) { NN_DIGIT temp, carry = 0; if(digits) do { if((temp = (*b++) + carry) < carry) temp = *c++; else { /* Patch to prevent bug for Sun CC */ if((temp += *c) < *c) carry = 1; else carry = 0; c++; } *a++ = temp; }while(--digits); return (carry); } NN_DIGIT bigNumber::Sub(NN_DIGIT *a, NN_DIGIT *b, NN_DIGIT *c, UINT2 digits) { NN_DIGIT temp, borrow = 0; if(digits) do { /* Bug fix 16/10/95 - JSK, code below removed, caused bug with Sun Compiler SC4. if((temp = (*b++) - borrow) == MAX_NN_DIGIT) temp = MAX_NN_DIGIT - *c++; */ temp = *b - borrow; b++; if(temp == MAX_NN_DIGIT) { temp = MAX_NN_DIGIT - *c; c++; }else { /* Patch to prevent bug for Sun CC */ if((temp -= *c) > (MAX_NN_DIGIT - *c)) borrow = 1; else borrow = 0; c++; } *a++ = temp; }while(--digits); return(borrow); } void bigNumber::AssignZero(NN_DIGIT *a, UINT2 digits) { if(digits) { do { *a++ = 0; }while(--digits); } } void bigNumber::Rand(NN_DIGIT *a, NN_DIGIT digits) { NN_DIGIT i,t; for (i=0;i<digits;i++) { /* Sinh p ngau nhien */ t= rand(); t = (t<<16) ^ (UINT4)rand(); a[i] = t; } } int bigNumber::Compare(NN_DIGIT *a, NN_DIGIT *b, UINT2 digits) { if(digits) { do { digits--; if(*(a+digits) > *(b+digits)) return(1); if(*(a+digits) < *(b+digits)) return(-1); }while(digits); } return (0); } void bigNumber::ModExp(NN_DIGIT *a, NN_DIGIT *b, NN_DIGIT *c, UINT2 cDigits, NN_DIGIT *d, UINT2 dDigits) { NN_DIGIT bPower[3][MAX_NN_DIGITS], ci, t[MAX_NN_DIGITS]; int i; UINT2 ciBits, j, s; /* Store b, b^2 mod d, and b^3 mod d. */ Assign (bPower[0], b, dDigits); ModMult (bPower[1], bPower[0], b, d, dDigits); ModMult (bPower[2], bPower[1], b, d, dDigits); NN_ASSIGN_DIGIT (t, 1, dDigits); cDigits = NN_Digits (c, cDigits); for (i = cDigits - 1; i >= 0; i--) { ci = c[i]; ciBits = NN_DIGIT_BITS; /* Scan past leading zero bits of most significant digit. */ if (i == (int)(cDigits - 1)) { while (! DIGIT_2MSB (ci)) { ci <<= 2; ciBits -= 2; } } for (j = 0; j < ciBits; j += 2, ci <<= 2) { /* Compute t = t^4 * b^s mod d, where s = two MSB's of ci. */ ModMult (t, t, t, d, dDigits); ModMult (t, t, t, d, dDigits); if ((s = DIGIT_2MSB (ci)) != 0) ModMult (t, t, bPower[s-1], d, dDigits); } } Assign (a, t, dDigits); } void bigNumber::Assign(NN_DIGIT *a, NN_DIGIT *b, UINT2 digits) { if(digits) { do { *a++ = *b++; }while(--digits); } } void bigNumber::ModMult(NN_DIGIT *a, NN_DIGIT *b, NN_DIGIT *c, NN_DIGIT *d, UINT2 digits) { NN_DIGIT t[2*MAX_NN_DIGITS]; Multiply (t, b, c, digits); Modul (a, t, (UINT2)(2 * digits), d, digits); } void bigNumber::Multiply(NN_DIGIT *a, NN_DIGIT *b, NN_DIGIT *c, UINT2 digits) { NN_DIGIT t[2*MAX_NN_DIGITS]; NN_DIGIT dhigh, dlow, carry; UINT2 bDigits, cDigits, i, j; AssignZero ((UINT4*)t, (UINT2)(2 * digits)); bDigits = NN_Digits (b, digits); cDigits = NN_Digits (c, digits); for (i = 0; i < bDigits; i++) { carry = 0; if(*(b+i) != 0) { for(j = 0; j < cDigits; j++) { dmult(*(b+i), *(c+j), &dhigh, &dlow); if((*(t+(i+j)) = *(t+(i+j)) + carry) < carry) carry = 1; else carry = 0; if((*(t+(i+j)) += dlow) < dlow) carry++; carry += dhigh; } } *(t+(i+cDigits)) += carry; } Assign(a, t, (UINT2)(2 * digits)); } void bigNumber::Modul(NN_DIGIT *a, NN_DIGIT *b, UINT2 bDigits, NN_DIGIT *c, UINT2 cDigits) { NN_DIGIT t[2 * MAX_NN_DIGITS]; Div (t, a, b, bDigits, c, cDigits); } void bigNumber::dmult(NN_DIGIT a, NN_DIGIT b, NN_DIGIT *high, NN_DIGIT *low) { NN_HALF_DIGIT al, ah, bl, bh; NN_DIGIT m1, m2, m, ml, mh, carry = 0; al = (NN_HALF_DIGIT)LOW_HALF(a); ah = (NN_HALF_DIGIT)HIGH_HALF(a); bl = (NN_HALF_DIGIT)LOW_HALF(b); bh = (NN_HALF_DIGIT)HIGH_HALF(b); *low = (NN_DIGIT) al*bl; *high = (NN_DIGIT) ah*bh; m1 = (NN_DIGIT) al*bh; m2 = (NN_DIGIT) ah*bl; m = m1 + m2; if(m < m1) carry = 1L << (NN_DIGIT_BITS / 2); ml = (m & MAX_NN_HALF_DIGIT) << (NN_DIGIT_BITS / 2); mh = m >> (NN_DIGIT_BITS / 2); *low += ml; if(*low < ml) carry++; *high += carry + mh; } NN_DIGIT bigNumber::RShift(NN_DIGIT *a, NN_DIGIT *b, UINT2 c, UINT2 digits) { NN_DIGIT temp, carry = 0; UINT2 t; if(c < NN_DIGIT_BITS) if(digits) { t = NN_DIGIT_BITS - c; do { digits--; temp = *(b+digits); *(a+digits) = (temp >> c) | carry; carry = c ? (temp << t) : 0; }while(digits); } return (carry); } NN_DIGIT bigNumber::LShift(NN_DIGIT *a, NN_DIGIT *b, UINT2 c, UINT2 digits) { NN_DIGIT temp, carry = 0; UINT2 t; if(c < NN_DIGIT_BITS) if(digits) { t = NN_DIGIT_BITS - c; do { temp = *b++; *a++ = (temp << c) | carry; carry = c ? (temp >> t) : 0; }while(--digits); } return (carry); } NN_DIGIT bigNumber::subdigitmult(NN_DIGIT *a, NN_DIGIT *b, NN_DIGIT c, NN_DIGIT *d, unsigned int digits) { NN_DIGIT borrow, thigh, tlow; UINT2 i; borrow = 0; if(c != 0) { for(i = 0; i < digits; i++) { dmult(c, d[i], &thigh, &tlow); if((a[i] = b[i] - borrow) > (MAX_NN_DIGIT - borrow)) borrow = 1; else borrow = 0; if((a[i] -= tlow) > (MAX_NN_DIGIT - tlow)) borrow++; borrow += thigh; } } return (borrow); } UINT2 bigNumber::NN_Digits(NN_DIGIT *a, UINT2 digits) { if(digits) { digits--; do { if(*(a+digits)) break; }while(digits--); return(digits + 1); } return(digits); } void bigNumber::Div(NN_DIGIT *a, NN_DIGIT *b, NN_DIGIT *c, UINT2 cDigits, NN_DIGIT *d, UINT2 dDigits) { NN_DIGIT ai, cc[2*MAX_NN_DIGITS+1], dd[MAX_NN_DIGITS], s; NN_DIGIT t[2], u, v, *ccptr; NN_HALF_DIGIT aHigh, aLow, cHigh, cLow; int i; UINT2 ddDigits, shift; ddDigits = NN_Digits (d, dDigits); if(ddDigits == 0) return; shift = NN_DIGIT_BITS - NN_DigitBits (d[ddDigits-1]); AssignZero (cc, ddDigits); cc[cDigits] = LShift (cc, c, shift, cDigits); LShift (dd, d, shift, ddDigits); s = dd[ddDigits-1]; AssignZero (a, cDigits); for (i = cDigits-ddDigits; i >= 0; i--) { if (s == MAX_NN_DIGIT) ai = cc[i+ddDigits]; else { ccptr = &cc[i+ddDigits-1]; s++; cHigh = (NN_HALF_DIGIT)HIGH_HALF (s); cLow = (NN_HALF_DIGIT)LOW_HALF (s); *t = *ccptr; *(t+1) = *(ccptr+1); if (cHigh == MAX_NN_HALF_DIGIT) aHigh = (NN_HALF_DIGIT)HIGH_HALF (*(t+1)); else aHigh = (NN_HALF_DIGIT)(*(t+1) / (cHigh + 1)); u = (NN_DIGIT)aHigh * (NN_DIGIT)cLow; v = (NN_DIGIT)aHigh * (NN_DIGIT)cHigh; if ((*t -= TO_HIGH_HALF (u)) > (MAX_NN_DIGIT - TO_HIGH_HALF (u))) t[1]--; *(t+1) -= HIGH_HALF (u); *(t+1) -= v; while ((*(t+1) > cHigh) || ((*(t+1) == cHigh) && (*t >= TO_HIGH_HALF (cLow)))) { if ((*t -= TO_HIGH_HALF (cLow)) > MAX_NN_DIGIT - TO_HIGH_HALF (cLow)) t[1]--; *(t+1) -= cHigh; aHigh++; } if (cHigh == MAX_NN_HALF_DIGIT) aLow = (NN_HALF_DIGIT)LOW_HALF (*(t+1)); else aLow = (NN_HALF_DIGIT)((TO_HIGH_HALF (*(t+1)) + HIGH_HALF (*t)) / (cHigh + 1)); u = (NN_DIGIT)aLow * (NN_DIGIT)cLow; v = (NN_DIGIT)aLow * (NN_DIGIT)cHigh; if ((*t -= u) > (MAX_NN_DIGIT - u)) t[1]--; if ((*t -= TO_HIGH_HALF (v)) > (MAX_NN_DIGIT - TO_HIGH_HALF (v))) t[1]--; *(t+1) -= HIGH_HALF (v); while ((*(t+1) > 0) || ((*(t+1) == 0) && *t >= s)) { if ((*t -= s) > (MAX_NN_DIGIT - s)) t[1]--; aLow++; } ai = TO_HIGH_HALF (aHigh) + aLow; s--; } cc[i+ddDigits] -= subdigitmult(&cc[i], &cc[i], ai, dd, ddDigits); while (cc[i+ddDigits] || (Compare (&cc[i], dd, ddDigits) >= 0)) { ai++; cc[i+ddDigits] -= Sub (&cc[i], &cc[i], dd, ddDigits); } a[i] = ai; } AssignZero (b, dDigits); RShift (b, cc, shift, ddDigits); } UINT2 bigNumber::NN_DigitBits(NN_DIGIT a) { UINT2 i; for (i = 0; i >= 1) if (a == 0) break; return (i); } int bigNumber::isPrime(NN_DIGIT *a, UINT2 digits, NN_DIGIT steps) { NN_DIGIT x[NN_SIZE],t[NN_SIZE],a1[NN_SIZE]; NN_DIGIT i,ok; AssignZero(x ,NN_SIZE); AssignZero(t ,NN_SIZE); AssignZero(a1,NN_SIZE); if (! (a[0] & 1) ) return 0; /* So chan! */ Sub(a1,a,one,NN_SIZE2); /* a1 = a - 1 */ ok = 1; i = steps; do { Rand(x,NN_SIZE2/2); ModExp(t,x,a1,NN_SIZE2,a,NN_SIZE2); ok = !Compare(t,one,NN_SIZE2); } while (--i && ok); return ok; } void main(){ UINT4 i; bigNumber veryLong; veryLong.AssignZero(veryLong.great,NN_SIZE); veryLong.AssignZero(one,NN_SIZE); one[0]=1; srand(time(NULL)); i=0; /* Sinh p nguyen to */ printf("Xin vui long doi...\n"); do { veryLong.Rand(veryLong.great,NN_SIZE2); veryLong.great[NN_SIZE2-1] |= 0x80000000; veryLong.great[0] |= 1; if (!(++i&0x1F)) { printf("\r%4d",i); } } while (!veryLong.isPrime(veryLong.great, NN_SIZE2, 10)); printf("\rMot so nguyen to ngau nhien:\n\n"); for (i=NN_SIZE2;i>0; printf("%08lX",veryLong.great[--i])); printf("\n\n"); } 2.Kiểm thử Chuwong trình khi chạy: