Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9

UBND HUYỆN KRÔNG NÔ PHÒNG GIÁO DỤC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC Môn Thi : TOÁN Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài 1 : ( 2 điểm ) : Cho A = - a)Tìm điều kiện để biểu thức A có nghĩa . b)Chứng minh rằng biểu thức A không phụ thuộc vào x . Bài 2 : ( 2 điểm ) Cho hai số a , b thoả mãn điều kiện 2a + 3b = 5 . Chứng minh rằng 2a + 3b 5 Bài 3 : ( 2 điểm ) Cho hàm số y = 2mx – 2m –1 ( m 0 ) Xác định m để đồ thị hàm số đi qua gốc toạ độ O . Gọi A , B lần lượt là giao điểm của đồ thị hàm số với các trục Ox , Oy . Xác định m để diện tích tam giác AOB bằng 4 ( đvdt ) Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định . Bài 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : A = + Bài 5 ( 2 điểm ) Chứng minh rằng : 4 nếu 2 + = 2 nếu m>6 Bài 6 : ( 2 điểm ) Giải phương trình sau : x + = 1 Bài 7 : ( 2 điểm ) Cho biểu thức : S = a + b + c+ d + ac + bd trong đó ab – bc = 1 a) Chứng minh rằng S b) Tính giá trị của tổng ( a + b ) + ( b + d) khi biết S = Bài 8 : ( 3 điểm ) Cho hai đường tròn ( O ; R ) và ( O’ ; r’ ) tiếp xúc ngoài tại A kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC ( B (O) ; C (O’) ) Tính BC Gọi D là giao điểm của CA với đường tròn tâm O ( D A ) . Chứng minh rằng ba điểm B , O , D thẳng hàng . Tính BA biết R = 16 cm ; r’ = 9 cm . Bài 9 : ( 2 điểm ) Cho tam giác nhọn ABC có BC = a , CA = b , BC = c . Chứng minh rằng : sin . sin . sin . sin Bài 10 : ( 1 điểm ) Cho ABC vuông tại A có AB = c , AC = b và đường phân giác trong góc A là AD = d . Chứng minh rằng : = + UBND HUYỆN KRÔNG NÔ PHÒNG GIÁO DỤC ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2007 – 2008 Môn Thi : TOÁN Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài 1 : ( 2 điểm ) : a) tìm đúng điều kiện ( 0,75 điểm ) 1-x 0 1+x 0 x 0 x 0 ( 0,25 điểm ) 1 (0,25 điểm ) x 0 ( 0,25 điểm) x 1 -1 < 1 1 - x b) 1,25 điểm A = - = - 0,25điểm A = - 0,25 điểm A = - 0,25 điểm A = = 1 0,25 điểm Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào x 0,25 điểm Bài 2 : ( 2 điểm ) Aùp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a – cốp – Ski (ax + by) ( a+ b) (x + y) Ta có : 5= (2a + 3b ) = (. a + . b ) ( 2 + 3 ) ( 2a + 3b) => 2a + 3b Dấu đẳng thức xảy ra = 2a + 3b= 5 a = b = 1 Bài 3 : ( 2 điểm ) Đồ thị đi qua gốc toạ độ suy ra x = 0 , y = 0 thay vào hàm số y = mx – 2m – 1 ta có : -2m – 1 = 0 m = - b) A là giao điểm của đồ thị với trục Ox ta có y = 0 thay vào hàm số ta được x = B là giao điểm của đồ thị với trục Oy ta có y = 0 thay vào hàm số ta được y = -2m – 1 Vậy A ; 0 ; B ( 0 ; -2m-1 ) Diện tích tam giác là : S = OA . OB = . = = Ta có S = 4 ( 2m + 1 )= 8 ( 2m – 1 )= 0 m = Giả sử đồ thị hàm số đi qua điểm M( x, y ) với mọi m . Ta có : y = mx-2m-1 y + 1 = m (x- 2 ) Với mọi m x - 2 = 0 y + 1 = 0 x = 2 y = -1 Vậy đồ thị hàm số đi qua điểm cố định M ( 2 ; -1 ) Bài 4 : ( 2 điểm ) A = + = + = + Aùp dụng + . Dấu “=” xảy ra khi a.b 0 A = + = = 4 Vậy khi A = 4 Bài 5 : ( 2 điểm ) Điều kiện VT có nghĩa : m-2 0 => m2 (1). Đặt t = => m = t+ 2 Hay VT = + 2 + . Nếu - 2 => m . Kết hợp với (1) ta có : VT = + 2 – ( - 2 ) = 4 Nếu -2 > 0 => m > 6 thì VT = 2 4 nếu Tóm lại :VT = 2 nếu m>6 Bài 6 : ( 2 điểm ) Giải phương trình sau : x + = 1 đk -< 1 x + = 1 x+ = 1 x + + = 1 x + + + = 1 = x + = => x = 0 Bài 7 : ( 2 điểm ) ( ad – bc ) + ( ac + bd ) = ad+bc+ac+bd = (a+b) (c+d) Vì ab – bc = 1 Nên 1 + ( ac + bd )= (a+b) (c+d) (1) Aùp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai vế không âm ta có : a+b+ c+d S (2) Từ (1) và (2) suy ra S Đặt x = ac + bd Ta có : S = (1 + x) + 4x+4x + 3 = (+2x)+3 Từ đó : S+3 . Do đó S . b) S a+b= c+d + 2x = 0 Từ +2x = 0 => x<0 ; = -2x Tính được x = Vì x< 0 nên giá trị x = - Bài 8 ( 2 điểm ) a) IO IO’ ( tia phân giác của hai góc kề bù ) Suy ra OIO’ = 90 Tam giác IOO’ vuông , đường cao AI . Suy ra AI= OA . O’A = R . r Do đó BC = 2 . IA = 2 Các tam giác cân O’AC và OAD có các góc ở đáy bằng nhau suy ra OD // O’C Ta lại có OB // O’C Vậy B , O , D thẳng hàng . c) Xét tam giác vuông BDC theo hệ thức lượng ta có : = + = + = Suy ra BA = = = 1,92 cm Bài 9 : ( 2 điểm ) A B D C Vẽ AD là đường phân giác của tam giác ABC . Vẽ BH là đường cao của tam giác ABD . Tam giác ABC có AD là phân giác nên : = => = = Vậy = . Do đó BH vuông góc với AN nên BH BD b) Tam giác HAB vuông tại H nên sin BAH = => sin = = Tương tự ta có sin = , sin = . Do đó sin . sin . sin Theo bất đẳng thức Cô Si cho hai số dương ta có : b +c 2 ; a+c ; b + a Nên . Vậy sin . sin . sin . Bài 10 : ( 2 điểm ) A B C D Vẽ DE AB , DF AC ( EAB , F AC ) Tứ giác AFDE là hình chử nhật ( Vì = = F = 90 ) Có tia AD là phân giác của góc ADE tứ giác AFDE là hình vuông DE = DF = = S + S = S . DE .AB 6 + DF. AC = AB . AC => c + b = bc => = + .