Đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2011 - 2012 môn: Toán 8

Phòng GD-ĐT việt yên ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN nĂM học 2011-2012 Mụn: TOÁN 8 (Thời gian làm bài : 120 phút) Bài 1 (4 điểm) Cho biểu thức: A = a) Chứng minh rằng giỏ trị của A khụng phụ thuộc vào x. b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A? Bài 2 (4 điểm) a) Phõn tớch đa thức thành nhõn tử b) Tỡm a và b để đa thức x4 + x3 + ax2 + 4x + b chia hết cho x2 - 2x + 2 Bài 3 (6 điểm) Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC. Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh: a) BD.CE=. b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED. c) Chu vi tam giác ADE không đổi. Bài 4 (4điểm) 1. Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh xy +y = x3 + x2 + 7 2. Giải phương trỡnh Bài 5 (2 điểm) Cho và x2+y2=1 Chứng minh rằng: Phòng GD-ĐT việt yên HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2011-2012 Mụn: TOÁN 8 Bài 1 (4 điểm) a. x2y2 + 1 + (x2 – y)(1 – y) = x2y2 + 1 + x2 – x2y – y + y2 = x2(y2 – y + 1) +(y2 – y + 1) = (x2 + 1)(y2 – y + 1) (x2 + 1)[] > 0 với mọi x,y = x2y ++ y2 ++ x2y2 + + = x2(y2 + y + ) + (y2 + y + ) = (x2 + 1)(y2 + y + ) Rỳt gọn được A = . Chứng tỏ A khụng phụ thuộc và x b) A = , với mọi y. Dấu “ =” xảy ra y = -1/2 Võy GTNN của A bằng 0 khi y = -1/2 Bài 2 (4 điểm) a) Phõn tớch đa thức thành nhõn tử = = b. Bài 2 phần 1 đề Hiền HN (2011-2012) x2–2x+ 2 x2+ 3x + a + 4 x4–2x3+ 2x2 3x3+( a – 2)x2 +4x+b 3x3 – 6x2 + 6x ( a +4)x2 – 2x + b – – ( a +4)x2 – 2( a +4)x + 2( a +4) – (2a +6)x + b - 2( a +4) 1 x4 + x3 + ax2 + 4x + b Để x4 + x3 + ax2 + 4x + b chia hết cho x2– 2x+ 2 thì (2a +6)x + b - 2(a +4) = 0 khi Vậy a = -3; b = 2 là giá trị cần tìm. Bài 3 (6 điểm) a. Trong tam giác BDM ta có : Vì =600 nên ta có : Suy ra Chứng minh (1) Suy ra , từ đó BD.CE=BM.CM Vì BM=CM= , nên ta có BD.CE= b. Từ (1) suy ra mà BM=CM nên ta có Chứng minh (c.g.c) Từ đó suy ra , do đó DM là tia phân giác của góc BDE Chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của góc CED c. Kẻ MI, MK, MH theo thứ tự vuông góc với AB, DE, AC. Suy ra AI, AH không đổi. Chứng minh DI = DK, EK = EH. Chứng minh chu vi tam giác ADE bằng AI + AH không đổi Bài 4 (4điểm) xy +y = x3 + x2 + 7 ú y(x+1) = x2(x+1) +7 ú(x+1)(y - x2) =7 Do x, y nguyờn nờn x+1 và y- x2 là ước của 7 . Hay x+1 và y-x2 Ư(7) ={ 1;-1;7;-7} Ta cú bảng cỏc giỏ trị tương ứng của x+1,y-x2 với x , y như sau: x+1 1 7 -1 -7 y-x2 7 1 -7 -1 x 0 6 -2 -8 y 7 37 -3 63 Vậy cỏc cặp số (x;y) thỏa món pt là (0;7); (6;37); (-2;-3); (-8;63) b. Ta cú: Vậy: ú úúú x= 2010 Bài 5: (2điểm) Ta có: ( vì x2+y2=1) (a+b)(bx4 + ay4)=ab(x2 +y2)2 Nhân hai vế và thu gọn ta được (ay2 - bx2)2 = 0 ay2 = bx2 áp dụng tính chất tỉ lệ thức ta có và Vậy: