Đề thi Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế - IMTS

là một số chính ph−ơng. Chứng minh rằng nếu a ~ b, thì tồn tại một số nguyên d−ơng c sao cho a ~ c và b ~ c. Bài toán 5/14. Cho tam giác ABC, kéo dài các cạnh để dựng thành hai hình lục giác nh− hình vẽ. So sánh diện tích của hai lục giác đó. Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net International Mathematical Talent Search - 15 - handuc@hello.to IMTS vòng 15 Bài toán 1/15. Có thể ghép đôi các số nguyên d−ơng 1,2, 3, ..., 50 sao cho tổng của mỗi cặp số là các số nguyên tố khác nhau hay không? Bài toán 2/15. Hãy thay thế các chữ cái khác nhau bởi các chữ số khác nhau trong {0, 1, ..., 9} sao cho các phép cộng sau đúng. (Hai phép toán độc lập với nhau). H A R R I E T D I A N A M A R R I E D A N D + H E R S A R A H D E N T I S T + A R E R E B E L S Bài toán 3/15. Hai hình chóp có chung đáy 7 cạnh, với các đỉnh kí hiệu là A1, A2, ..., A7. Chúng có các đỉnh khác là B và C. Không có ba điểm nào trong 9 điểm là thẳng hàng. Mỗi cạnh trong 14 cạnh BAi và CAi (i = 1, ..., 7), 14 đ−ờng chéo của đáy, và đoạn BC, đ−ợc tô màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng có ba đoạn trong chúng có cùng màu và là ba cạnh của một tam giác. Bài toán 4/15. Giả thiết cho các số nguyên d−ơng a, b, c và x, y, z thoả mãn a2 + b2 = c2 và x2 + y2 = z2. Chứng minh rằng: (a + x)2 + (b + y)2 ≤ (c + z)2. Và hãy xác định khi nào dấu bằng xảy ra? Bài toán 5/15. Cho C1 và C2 là hai đ−ờng tròn cắt nhau tại A và B. C0 là đ−ờng tròn qua A với tâm B. Hãy xác định điều kiện để cho dây cung chung của C0 và C1 tiếp xúc với C2? Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net International Mathematical Talent Search - 16 - handuc@hello.to IMTS vòng 16 Bài toán 1/16. Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc. Bài toán 2/16. Với n là một số nguyên d−ơng, đặt P(n) là tích của các chữ số khác không trong hệ thập phân của n. Ta gọi n là "prodigitious" nếu P(n) chia hết n. Chứng minh rằng không thể có một dãy 14 số nguyên d−ơng liên tiếp mà tất cả là prodigitious. Bài toán 3/16. Các đĩa đ−ợc đánh số từ 1 đến n và xếp vào một hàng các ô vuông với một ô vuông để trống. Một b−ớc chuyển bao gồm lấy đi một đĩa và di chuyển nó vào ô trống. Mục đích là sắp xếp lại các đĩa với số b−ớc chuyển ít nhất sao cho đĩa 1 trong ô vuông 1, đĩa 2 trong ô vuông 2, ..., đĩa n trong ô vuông n, và ô vuông cuối cùng là ô trống. Chẳng hạn, nếu vị trí ban đầu là 3 2 1 6 5 4 9 8 7 12 11 10 thì mất ít nhất 14 b−ớc chuyển; cụ thể là chúng ta có thể di chuyển các đĩa vào ô trống theo thứ tự sau: 7, 10, 3, 1, 3, 6, 4, 6, 9, 8, 9, 12, 11, 12. Hỏi vị trí ban đầu đòi hỏi số lớn nhất các b−ớc chuyển là thế nào nếu n = 1995? Chỉ rõ số b−ớc chuyển cần thiết. Bài toán 4/16. Cho ABCD là một tứ giác lồi tuỳ ý, với E, F, G, H là những trung điểm của các cạnh nh− đ−ợc chỉ ra trên hình vẽ. Chứng minh rằng ng−ời ta có thể ghép các mảnh tam giác AEH, BEF, CFG, DGH lại với nhau để thành một hình bình hành t−ơng đẳng (congruent) với hình bình hành EFGH. C H F G D A E B Bài toán 5/16. Một hình bát giác đẳng giác (các góc bằng nhau) ABCDEFGH có các cạnh với độ dài là 2, 2 2 , 4, 24 , 6, 7, 7, 8. Cho AB = 8, hãy tìm độ dài EF. Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net International Mathematical Talent Search - 17 - handuc@hello.to IMTS vòng 17 Bài toán 1/17. Số 154 chữ số 19202122 ...939495 nhận đ−ợc bằng cách viết liền nhau các số nguyên từ 19 đến 95 theo chiều tăng dần. Chúng ta xoá đi 95 chữ số của số đó để đ−ợc một số lớn nhất có thể đ−ợc. Hỏi 19 chữ số của số có 59 chữ số này là gì? Bài toán 2/17. Tìm tất cả các cặp số nguyên d−ơng (m, n) sao mà m2 - n2 = 1995. Bài toán 3/17. Chứng minh rằng có thể sắp xếp trên mặt phẳng 8 điểm sao cho không có 5 điểm nào trong chúng là các đỉnh của một ngũ giác lồi. (Một ngũ giác là lồi nếutất cả các góc trong của nó không v−ợt quá 180 độ). Bài toán 4/17. Một ng−ời đàn ông hơn vợ ông ta 6 tuổi. Ông ta cho biết 4 năm tr−ớc ông ta đã c−ới vợ đ−ợc đúng một nửa số tuổi ông ta. Ông ta sẽ bao nhiêu tuổi vào lễ kỉ niệm 50 năm ngày c−ới nếu vào 10 năm tới thì bà vợ đã trải qua 2/3 cuộc đời lấy ông ta? (*) Bài toán 5/17. Số bé nhất các hình chữ nhật 3 x 5 là bao nhiêu sẽ phủ kín một hình vuông 26 x 26? Các hình chữ nhật có thể đè lên nhau và/hoặc lên các cạnh của hình vuông. Bạn nên chứng minh kết luận của bạn bằng một ví dụ cụ thể. Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net International Mathematical Talent Search - 18 - handuc@hello.to IMTS vòng 18 Bài toán 1/18. Xác định độ dài nhỏ nhất của khoảng [a, b] sao cho a ≤ x + y ≤ b với mọi số thực x ≥ y ≥ 0 thoả mãn 19x + 95y = 1995. Bài toán 2/18. Với số nguyên d−ơng n ≥ 2, kí hiệu P(n) là tích của các −ớc số nguyên d−ơng (bao gồm 1 và n) của n. Tìm số n nhỏ nhất để P(n) = n10. Bài toán 3/18. Cho đồ thị (graph) trên hình vẽ với 10 đỉnh, 15 cạnh và mỗi đỉnh có bậc 3 (nghĩa là có 3 cạnh nối với mỗi đỉnh). Một số cạnh đ−ợc đánh số 1, 2, 3, 4, 5 nh− hình vẽ. Chứng minh rằng có thể đánh số 6, 7, ..., 15 các cạnh còn lại sao cho tại mỗi đỉnh tổng của các số trên các cạnh nối với nó là bằng nhau. Bài toán 4/18. Cho a, b, c, d là các số thực khác nhau sao cho a + b + c + d = 3 và a2 + b2 + c2 + d2 = 45. Tìm giá trị của biểu thức: )db)(cb)(ab( b )da)(ca)(ba( a 55 −−−+−−− .)cd)(bd)(ad( d )dc)(bc)(ac( c 55 −−−+−−−+ Bài toán 5/18. Cho a và b là hai đ−ờng thẳng trên mặt phẳng, và C là một điểm nh− hình vẽ. Chỉ dùng một compa và một th−ớc thẳng không chia vạch, hãy dựng một tam giác vuông cân ABC, sao cho A nằm trên a, B nằm trên b và AB là cạnh huyền của tam giác ABC. b a C Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net International Mathematical Talent Search - 19 - handuc@hello.to IMTS vòng 19 Bài toán 1/19. Có thể thay thế mỗi dấu ± d−ới đây thành - hoặc + để ±1 ± 2 ± 3 ± 4 ± 5 ± ... ± 96 = 1996. Nhiều nhất bao nhiêu dấu ± có thể đ−ợc thay bởi dấu +? Bài toán 2/19. Ta nói (a, b, c) là một primitive Heronian triple nếu a, b và c là các số nguyên d−ơng không có thừa số chung (khác 1), và diện tích của tam giác mà độ dài các cạnh a, b, c cũng là một số nguyên. Chứng minh rằng nếu a = 96 thì b và c phải cùng là lẻ. Bài toán 3/19. Các số trong hình chữ nhật 7 x 8 trên hình vẽ đ−ợc tạo thành bằng cách đặt 28 quân đôminô khác nhau của một bộ cờ thông th−ờng, ghi lại các số (số chấm, từ 0 đến 6) trên mỗi mặt của các quân đôminô và xoá đi biên của chúng. Xác định lại biên ban đầu của các quân đôminô. (Chú ý: Mỗi quân đôminô chứa hai ô vuông liền nhau bởi một cạnh). 5 5 5 2 1 3 3 4 6 4 4 2 1 1 5 2 6 3 3 2 1 6 0 3 3 0 5 5 0 0 0 6 3 2 1 6 0 0 4 2 0 3 6 4 6 2 6 5 2 1 1 4 4 4 1 5 Bài toán 4/19. Giả sử rằng hàm f thoả mãn ph−ơng trình hàm sau 2f(x) + 3 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − + 2x 29x2f = 100x + 80. Hãy tìm f(3). Bài toán 5/19. Trong hình vẽ, hãy xác định diện tích của hình bát giác tô đậm theo diện tích của hình vuông. Trong đó các biên của hình bát giác đều là các đ−ờng thẳng kẻ từ các đỉnh của hình vuông đến trung điểm của các cạnh đối diện. Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net International Mathematical Talent Search - 20 - handuc@hello.to IMTS vòng 20 Bài toán 1/20. Hãy xác định số điểm (x, y) trên hyperbol 2xy - 5x + y = 55 sao mà cả x và y là các số nguyên. Bài toán 2/20. Tìm giá trị nhỏ nhất của n sao cho phát biểu sau đây là đúng: Với mọi tập hợp gồm n số nguyên d−ơng ng−ời ta luôn luôn chọn ra đ−ợc bảy số nguyên d−ơng có tổng chia hết cho 7. Bài toán 3/20. Những ông chồng của 11 nhà toán học đi theo các bà vợ của họ đến dự một cuộc meeting. Thỉnh thoảng những ng−ời chồng đi qua một ng−ời khác trên đại sảnh, nh−ng một khi đôi nào đó đã đi qua nhau một lần, thì họ không bao giờ đi qua nhau lần nào nữa. Khi họ qua đi qua nhau, hoặc chỉ một ng−ời nhận thấy ng−ời kia, hoặc họ nhận ra nhau, hoặc không ai nhận ra ng−ời khác. Chúng ta sẽ quy cho sự kiện một ông chồng nhận ra ng−ời khác nh− là một "cái nhìn" (sighting), và sự kiện họ nhận ra nhau là một "cuộc tán gẫu" (chat), vì lẽ rằng trong tr−ờng hợp này họ ngừng lại để tán gẫu. Chú ý rằng mỗi cuộc tán gẫu ứng với hai cái nhìn. Nếu 61 cái nhìn xảy ra, chứng minh rằng một trong những ông chồng phải có ít nhất hai cuộc tán gẫu. Bài toán 4/20. Giả sử rằng a và b là hai số nguyên d−ơng sao cho các phân số a/(b - 1) và a/b, khi làm tròn (theo quy tắc thông th−ờng, nghĩa là gặp chữ số 5 và lớn hơn thì làm tròn lên, còn chữ số 4 và nhỏ hơn thì làm tròn xuống) tới 3 chữ số thập phân sau dấu phảy, thì cả hai số thập phân có giá trị là 0,333. Bài toán 5/20. Trong hình vẽ, các tâm của những đ−ờng tròn C0, C1, và C2 là thẳng hàng, A và B là các giao điểm của C1 và C2, và C là giao điểm của C0 và đ−ờng thẳng đi qua AB. Chứng minh rằng hai đ−ờng tròn nhỏ, tiếp xúc với C0, C1, BC, và C0, C2,BC t−ơng ứng, là bằng nhau. Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net International Mathematical Talent Search - 21 - h IMTS vòng 21 Bài toán 1/21. Hãy xác định các số trong ô trống của hình vuông kì ảo (magic square) trên hình vẽ sao cho tổng của ba số trên mỗi hàng, cột và trên mỗi đ−ờng chéo chính đều bằng một hằng số k. Số k là bao nhiêu? 33 31 28 Bài toán 2/21. Tìm số nguyên d−ơng nhỏ nhất xuất hiện trong mỗi cấp số cộng cho ở d−ới, và chứng minh rằng có vô hạn số nguyên d−ơng xuất hiện trong cả ba dãy này. 5, 16, 27, 38, 49, 60, 71, ... 7, 20, 33, 46, 59, 72, 85, ... 8, 22, 36, 50, 64, 78, 92, ... Bài toán 3/21. Sắp xếp lại các số nguyên 1, 2, 3, 4, ..., 96, 97 thành một dãy a1, a2, a3, a4, ..., a96, a97 sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu của ai+1 và ai là 7 hoặc 9 với mọi i = 1, 2, 3, ..., 96. Bài toán 4/21. Thừa nhận quá trình vô hạn nh− trên hình vẽ bên trái (mà ng−ời ta th−ờng gọi là liên phân số - ND), có lợi khi biểu diễn một số thực d−ơng. Hãy xác định số thực này. ...1 ...5 1 ...3 ...15 1 ...1 ...5 3 ...3 ...1 1 5 3 ...1 ...51 ...3 ...1 5 3 ...1 ...5 3 ...3 ...11 1 1 1 + ++ + ++ + + ++ + ++ + + + ++ + ++ + + ++ + ++ + + + E B D A C Bài toán 5/21. Cho tam giác cân (trên hình bên phải) ABC với ∠ABC = ∠ACB = 78o. Gọi D và E là các điểm t−ơng ứng trên AB và AC sao cho ∠BCD = 24o và ∠CBE = 51o. Hãy xác định, với một chứng minh, góc ∠BED. anduc@hello.to Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net International Mathematical Talent Search - 22 - handuc@hello.to IMTS vòng 22 Bài toán 1/22. Trong năm 1996 không ng−ời nào mà vào ngày sinh nhật của họ thì tuổi của họ bằng tổng các chữ số của năm sinh của họ. Năm cuối cùng tr−ớc 1996 có cùng tính chất đó là năm nào? Bài toán 2/22. Hãy xác định số nguyên d−ơng lớn nhất n để có duy nhất số nguyên d−ơng m sao cho m < n2 và mnmn −++ là một số nguyên. Bài toán 3/22. Giả thử rằng hiện có 120 triệu máy điện thoại đang đ−ợc sử dụng ở n−ớc Anh. Có thể phân thành các số-điện-thoại-10-chữ-số (trong khoảng (0, 1, ..., 9) cho họ sao cho bất kì lỗi đơn nào khi quay số đều có thể phát hiện và khắc phục hay không? (Ví dụ, nếu một thuê bao là 812-877-2917 và nếu một cuộc quay số sai thành 812-872-2917, thì không một số nào khác mà sai khác 812-872- 2917 một chữ số, là số của một thuê bao nào đó). Bài toán 4/22. Nh− trên hình vẽ đầu, một khối gỗ lập ph−ơng rộng có một góc bị c−a thành một tứ diện ABCD. Hãy xác định độ dài của CD nếu AD = 6, BD = 8 và dt(∆ABC) = 74. Bài toán 5/22. Nh− chỉ ra trên hình thứ hai, trong một hình vuông cạnh 96 có một đ−ờng tròn bán kính r1, có hai đ−ờng tròn bán kính là r2 và có ba đ−ờng tròn bán kính là r3. Tất cả các đ−ờng tròn tiếp xúc với đ−ờng thẳng và/hoặc với một đ−ờng khác nh− đã chỉ ra, và đ−ờng tròn nhỏ nhất đi qua đỉnh của tam giác nh− hình vẽ. Hãy tìm các bán kính r1, r2, và r3. Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net International Mathematical Talent Search - 23 - handuc@hello.to IMTS vòng 23 Bài toán 1/23. Trong phép cộng trên hình vẽ, mỗi chữ cái thay thế cho một chữ số khác nhau từ 0 đến 9. Hãy xác định chúng sao cho tổng số là lớn nhất có thể đ−ợc. Giá trị của GB là bao nhiêu với các chữ số đã thay thế? A R L O B A R T B R A D E L T O N + R O G E R Bài toán 2/23. Ta sẽ gọi số nguyên n là số may mắn nếu nó có thể biểu diễn d−ới dạng 3x2 + 32y2, trong đó x và y là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu n là số may mắn thì 97n cũng vậy. Bài toán 3/23. Hãy chỉ ra trên mặt phẳng 19 đ−ờng thẳng sao cho chúng cắt nhau tại đúng 97 điểm. Chấp nhận rằng có thể có một số điểm có hơn hai đ−ờng thẳng giao nhau. Lời giải của bạn nên kèm theo một hình vẽ đ−ợc chuẩn bị cẩn thận. Bài toán 4/23. Chứng minh rằng: cot100.cot300.cot500.cot700 = 3. Bài toán 5/23. Tam giác cân ABC bị cắt ra thành 13 tam giác nhọn cân, nh− đ−ợc chỉ ra trên hai hình bên d−ới. Trong đó các đoạn có cùng độ dài đ−ợc đánh dấu giống nhau, và hình thứ hai chỉ ra chi tiết cách chia tam giác EFG. Biết rằng góc đáy θ của tam giác ABC là một số nguyên độ. Hãy xác định θ. Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net International Mathematical Talent Search - 24 - handuc@hello.to IMTS vòng 24 Bài toán 1/24. L−ới điểm của góc phần t− thứ nhất đ−ợc đánh số nh− chỉ ra trên hình vẽ. Nh− vậy, chẳng hạn, điểm l−ới thứ 19 là điểm (2, 3), còn điểm l−ới thứ 97 là điểm (8, 5). Hãy xác định, với chứng minh, điểm l−ới thứ 1997 theo sự sắp xếp trên. o o o o o o o o 22 35 o o o o o o 21 23 34 o o o o o 11 20 24 33 o o o o 10 12 19 25 32 o o o 4 9 13 18 26 31 o o 3 5 8 14 17 27 30 o 1 2 6 7 15 16 28 29 Bài toán 2/24. Cho Nk = 131313... 131 là một số có (2k + 1) chữ số (trong hệ thập phân), đ−ợc tạo thành từ k + 1 chữ só 1 và k chữ số 3. Chứng minh rằng Nk không chia hết cho 31 với mọi k = 1, 2, 3, ... Bài toán 3/24. Cho tam giác ABC với AB = 52, BC = 64, CA = 70 và giả sử rằng P và Q lần l−ợt là các điểm đ−ợc chọn trên các cạnh AB và AC sao cho tam giác APQ và tứ giác PBCQ có cùng diện tích và chu vi. Hãy xác định bình ph−ơng độ dài của đoạn PQ. Bài toán 4/24. Hãy xác định các số nguyên d−ơng x < y < z sao cho 97 19 xyz 1 xy 1 x 1 =−− . Bài toán 5/24. Cho P là một đa giác phẳng lồi n đỉnh. Và từ mỗi đỉnh của P ta kẻ các đ−ờng vuông góc với n - 2 cạnh (hoặc với các đ−ờng kéo dài của chúng) của P không chứa đỉnh đó. Chứng minh rằng hoặc một trong các đ−ờng vuông góc nằm hoàn toàn trong P, hoặc nó là một cạnh của P. Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net International Mathematical Talent Search - 25 - handuc@hello.to IMTS vòng 25 Bài toán 1/25. Giả sử rằng chúng ta có 12 thanh, mỗi thanh dài 13 đơn vị. Chúng đ−ợc cắt thành các phần dài 3, 4 và 5 đơn vị. Từ đó các phần có thể đ−ợc ghép lại thành 13 tam giác với các cạnh 3, 4 và 5. Các thanh sẽ đ−ợc cắt nh− thế nào? Bài toán 2/25. Cho f(x) là một đa thức với các hệ số nguyên, và giả sử f(0) = 0, f(1) = 2. Chứng minh rằng f(7) không phải là một số chính ph−ơng. Bài toán 3/25. Ng−ời ta có thể chứng minh rằng với mỗi ph−ơng trình bậc hai (x - p )( x - q) = 0, tồn tại các hằng số a, b và c với c ≠ 0, sao cho ph−ơng trình (x - a)(b - x) = c t−ơng đ−ơng với ph−ơng trình đó, và lập luận không hoàn toàn: "Hoặc x - a hoặc b - x phải bằng c" dẫn đến câu trả lời đúng là "x = p hoặc x = q". Xác định các hằng số a, b và c, với c ≠ 0, sao cho ph−ơng trình (x - 19)(x - 97) = 0 có thể "đ−ợc giải" theo cách đó. Bài toán 4/25. Cho ABC là một tam giác không cân với AB là cạnh dài nhất. Kéo dài AB đến điểm D sao cho B nằm giữa A và B trên đoạn AD và BD = BC. Chứng minh rằng ∠ACD là góc tù. Bài toán 5/25. Cho hình chóp PABCD (hình vẽ) với đáy ABCD là hình thoi có ∠DAB = 60o. Giả sử PC2 = PB2 + PD2. Chứng minh rằng PA = AB. Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net International Mathematical Talent Search - 26 - handuc@hello.to IMTS vòng 26 Bài toán 1/26. Cho x, y và z là các số thực d−ơng thoả mãn các ph−ơng trình: x + y + xy = 8, y + z + yz = 15, z + x + zx = 35. Tính giá trị của x + y + z + xyz. Bài toán 2/26. Xác định số các đa giác đều không đồng dạng mà mỗi số đo góc trong của chúng là một số nguyên độ. Bài toán 3/26. Thay thế các chữ số khác nhau (0, 1, ..., 9) vào các chữ cái khác nhau trong phép tính sau, sao cho phép tính đó là đúng, và giá trị của kết quả MONEY càng lớn càng tốt. Giá trị đó là bao nhiêu? S H O W M E + T H E M O N E Y Bài toán 4/26. Chứng minh rằng nếu a ≥ b ≥ c > 0, thì ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++≤++−++ a c4 c b b a 3 1cabcab 3 8c5b3a2 222 Bài toán 5/26. Cho ABCD là một tứ giác lồi nội tiếp trong một đ−ờng tròn. Gọi M là giao điểm của hai đ−ờng chéo của ABCD, và E, F, G, H là các chân của các đ−ờng vuông góc hạ từ M xuống các cạnh của ABCD, nh− trên hình vẽ. Hãy xác định (với chứng minh) tâm của đ−ờng tròn nội tiếp trong tứ giác EFGH. Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net International Mathematical Talent Search - 27 - handuc@hello.to IMTS vòng 27 Bài toán 1/27. Có hay không các số nguyên M, N, K sao cho M + N = K và (i) Mỗi số trong chúng chứa mỗi chữ số trong bảy chữ số 1, 2, 3, ..., 7 đúng một lần? (ii) Mỗi số trong chúng chứa mỗi chữ số trong chín chữ số 1, 2, 3, ..., 9 đúng một lần? Bài toán 2/27. Giả sử R(n) là số các biểu diễn của số nguyên d−ơng n d−ới dạng tổng của các bình ph−ơng của bốn số nguyên không âm, trong đó chúng ta xem hai biểu diễn là trùng nhau nếu chúng chỉ khác nhau ở thứ tự của các số hạng. (Chẳng hạn, R(7) = 1 vì 22 + 12 + 12 + 12 là biểu diễn duy nhất của 7.) Chứng minh rằng nếu k là một số nguyên d−ơng, thì R(2k) + R(2k + 1) = 3. Bài toán 3/27. Giả thiết rằng f(1) = 0, và với mọi số nguyên m và n ta có f(m + n) = f(m) + f(n) + 3(4mn - 1). Xác định f(19). Bài toán 4/27. Trong mặt phẳng toạ độ vuông góc, ABCD là một hình vuông và các điểm (31, 27), (42, 43), (60, 27), và (46, 16) lần l−ợt nằm trên các cạnh AB, BC, CD, DA của nó. Xác định diện tích của ABCD. Bài toán 5/27. Có thể dựng trung điểm của một đoạn thẳng cho tr−ớc chỉ sử dụng compa hay không? (nghĩa là, không sử dụng th−ớc thẳng trừ khi để vẽ đoạn thẳng ban đầu). Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net International Mathematical Talent Search - 28 - handuc@hello.to IMTS vòng 28 Bài toán 1/28. Với số nguyên b và c nào thì 9819x += là nghiệm của ph−ơng trình x4 + bx2 + c = 0? Bài toán 2/28. Các cạnh của tam giác có độ dài là a, b, c, ở đó a, b, c là các số nguyên, a > b, và số đo góc đối diện với c là 60o. Chứng minh rằng a phải là một hợp số. Bài toán 3/28. Hãy xác định, kèm theo một chứng minh toán học, giá trị của [x], nghĩa là số nguyên lớn nhất nhỏ thua hoặc bằng x, với: 1000000 1... 3 1 2 11x ++++= . Bài toán 4/28. Cho n là một số nguyên d−ơng và giả thiết rằng với mỗi số nguyên k, 1 ≤ k ≤ n, ta có hai đĩa đ−ợc đánh số k. Yêu cầu sắp xếp 2n đĩa trên một hàng sao cho với mỗi k, 1 ≤ k ≤ n, có k đĩa nằm giữa hai đĩa đánh số k. Chứng minh rằng: (i) nếu n = 6, thì không sự sắp xếp nào là thích hợp; (ii) nếu n = 7, thì có thể sắp xếp các đĩa theo yêu cầu. ? Bài toán 5/28. Gọi S là tập hợp tất cả các điểm của một hình lập ph−ơng đơn vị (tức là hình lập ph−ơng với độ dài các cạnh bằng 1) mà có khoảng cách ngắn nhất từ bất kỳ đỉnh nào của hình lập ph−ơng bằng từ tâm của hình lập ph−ơng, tới nó. Xác định hình dạng và thể tích của S. Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net International Mathematical Talent Search - 29 - handuc@hello.to IMTS vòng 29 Bài toán 1/29. Một vài cặp số nguyên d−ơng (m, n) thoả mãn ph−ơng trình 19m + 90 + 8n = 1998. Dễ thấy trong đó (100, 1) là cặp với giá trị nhỏ nhất của n. Hãy xác định cặp với giá trị nhỏ nhất của m. Bài toán 2/29. Tìm số hữu tỷ nhỏ nhất s r sao cho n 1 m 1 k 1 ++ s r≤ , trong đó k, m, n là các số nguyên d−ơng thoả mãn bất đẳng thức n 1 m 1 k 1 ++ < 1. Bài toán 3/29. Có thể sắp xếp tám trong chín số 2, 3, 4, 7, 10, 11, 12, 13, 15, vào các ô vuông trống của bảng 3 hàng 4 cột trên hình vẽ sao cho trung bình cộng của các số trong mỗi hàng và trong mỗi cột đều bằng một số nguyên. Hãy chỉ ra một cách sắp xếp và chỉ rõ số nào trong 9 số phải bỏ đi khi hoàn thành bảng. 1 9 5 14 Bài toán 4/29. Chứng minh rằng có thể sắp xếp bảy điểm phân biệt trên mặt phẳng sao cho với bất kỳ 3 điểm nào trong 7 điểm đó, thì hai trong ba điểm cách nhau một khoảng bằng đơn vị. (Lời giải của bạn nên bao gồm một phác hoạ cẩn thận của bảy điểm, cùng với tất cả (*) các đoạn thẳng có độ dài đơn vị). Bài toán 5/29. Sơ đồ bên vẽ hình elip có ph−ơng trình O R3 R4 R1 R2 y x .1998 98 )98y( 19 )19x( 22 =−+− Gọi R1, R2, R3, R4 lần l−ợt là diện tích phía trong hình elip trong các góc phần t− thứ I, thứ II, thứ III và thứ IV. Tính giá trị của R1 - R2 + R3 - R4. Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net International Mathematical Talent Search - 30 - handuc@hello.to IMTS vòng 30 Bài toán 1/30. Xác định cặp số thực duy nhất (x, y) thoả mãn ph−ơng trình (4x2 + 6x + 4)(4y2 - 12y + 25) = 28. Bài toán 2/30. Chứng minh rằng có vô số bộ ba sắp thứ tự các số nguyên d−ơng (a, b, c) sao cho −ớc chung lớn nhất của a, b và c là 1; và tổng a2b2 + b2c2 + c2a2 là bình ph−ơng của một số nguyên. Bài toán 3/30. Chín tấm thẻ có thể đ−ợc đánh số bằng cách sử dụng các số bán- nguyên d−ơng (1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, ...) sao cho tổng của các số trong một cặp thẻ đ−ợc chọn ngẫu nhiên là một số nguyên từ 2 đến 12. Và tổng đó xuất hiện với cùng tần số của sự kiện nó xuất hiện khi ta gieo hai con xúc sắc và lấy tổng số nốt của chúng. Các số trên chín tấm thẻ là số nào và mỗi số xuất hiện bao nhiêu lần trên các tấm thẻ? Bài toán 4/30. Hình vuông PQRS nội tiếp trong tam giác vuông ABC, vuông tại C, với S và P lần l−ợt trên cạnh BC và CA, còn Q và R nằm trên cạnh AB. Chứng minh rằng AB ≥ 3QR và chỉ ra khi nào có dấu đẳng thức. Bài toán 5/30. Cho tứ giác lồi ABCD. K, L, M và N lần l−ợt là các trung điểm của các cạnh và PQRS là tứ giác đ−ợc tạo thành bởi các giao điểm của AK, BL, CM và DN. Xác định diện tích của tứ giác PQRS nếu dt(ABCD) = 3000 (diện tích của tứ giác ABCD); dt(AMQP) = 513; dt(CKSR) = 388. Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net International Mathematical Talent Search - 31 - handuc@hello.to IMTS vòng 31 Bài toán 1/31. Xác định ba chữ số ngoài cùng bên trái của số: 11 + 22 + 33 + ... + 999999 + 10001000. Bài toán 2/31. Có vô số cặp sắp thứ tự số nguyên d−ơng (m, n) để cho tổng m + (m + 1) + (m + 2) + ... + (n - 1 ) + n bằng với tích mn. Bốn cặp với giá trị nhỏ nhất của m là (1, 1), (3, 6), (15, 35), và (85, 204). Hãy tìm thêm ba cặp (m, n) nữa. Bài toán 3/31. Các số nguyên từ 1 đến 9 có thể sắp xếp vào trong bảng 3 ì 3 sao cho tổng các số trong mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đ−ờng chéo là một bội của 9. (a) Chứng minh rằng số ở tâm của bảng phải là một bội của 3. (b) Hãy chỉ ra một ví dụ với số ở tâm của bảng là 6. Bài toán 4/31. Chứng minh rằng nếu 0 < x < π/2 thì sec6 x + csc6 x + (sec6 x)(csc6 x) ≥ 80. Bài toán 5/31. Trên hình vẽ, O là tâm của đ−ờng tròn, OK và OA là hai bán kính vuông góc nhau, M là trung điểm OK, BN song song với OK, và ∠AMN = ∠NMO. Xác định số đo tính theo độ của ∠ABN. Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net International Mathematical Talent Search - 32 - handuc@hello.to IMTS vòng 32 Bài toán 1/32. Hãy chỉ ra một số nguyên có 13 chữ số N là bội nguyên của 213 và chỉ bao gồm các chữ số 8 và 9. Bài toán 2/32. Với số nguyên khác 0 i, số mũ của 2 trong phép phân tích ra thừa số nguyên tố của i đ−ợc ký hiệu là ord2(i ). Chẳng hạn, ord2(9) = 0 do 9 là số lẻ, và ord2(28) = 2 do 28 = 22 ì 7. Các số 3n - 1 với n = 1, 2, 3, ... đều là số chẵn, do đó ord2(3n - 1) ≥ 1 với n > 0. Với số nguyên d−ơng n nào t hì a) ord2(3n - 1) = 1 ? b) ord2(3n - 1) = 2 ? c) ord2(3n - 1) = 3 ? Chứng minh lời giải của bạn. Bài toán 3/32. Cho f là đa thức bậc 98, sao cho f(k) = 1/k với k = 1, 2, ..., 99. Hãy xác định f(100). Bài toán 4/32. Tập A gồm 16 phần tử của tập hợp {1, 2, 3, ..., 106}, sao cho không có hai phần tử nào của A chênh nhau (*) 6, 9, 12, 15, 18, hoặc 21. Chứng minh rằng có hai phần tử của A chênh nhau 3. Bài toán 5/32. Trong tam giác ABC, gọi D, E, và F là các trung điểm các cạnh của tam giác, và gọi P, Q, R lần l−ợt là các trung điểm của các trung tuyến t−ơng ứng AD, BE, và CF (hình vẽ). Chứng minh rằng giá trị của 222 222222 CABCAB CQCPBRBPARAQ ++ +++++ không phụ thuộc vào hình dạng của tam giác ABC và hãy tìm giá trị đó. Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net International Mathematical Talent Search - 33 - handuc@hello.to IMTS vòng 33 Bài toán 1/33. Các chữ số của các số