Định lý điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong không gian S -Mêtric

Tạp chí Khoa học – 2014, Quyển 3 (2), 7 - 14 Trường Đại học An Giang 7 ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO ÁNH XẠ CO PHI TUYẾN SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN S -MÊTRIC Nguyễn Thành Nghĩa 1 , Nguyễn Trung Hiếu 2 và Võ Đức Thịnh 3 1 ThS. Khoa Sư phạm Toán Tin, Trường Đại học Đồng Tháp 2 ThS. Khoa Sư phạm Toán Tin, Trường Đại học Đồng Tháp 3 ThS. Khoa Sư phạm Toán Tin, Trường Đại học Đồng Tháp Thông tin chung: Ngày nhận bài: 11/12/13 Ngày nhận kết quả bình duyệt: 19/02/14 Ngày chấp nhận đăng: 30/07/14 Title: Several fixed point theorems for generalized nonlinear contractive mappings in S - metric spaces Từ khóa: Điểm bất động, ánh xạ C -co, ánh xạ co yếu suy rộng, ánh xạ f -co yếu suy rộng, không gian S -mêtric Keywords: Fixed point, C -contractive mapping, generalized weakly contractive mapping, generalized f -weakly contractive mapping, S - metric space ABSTRACT The aim of this paper was to introduce the notion of a C -contractive mapping, a weakly contractive mapping, a f -weakly contractive mapping in S-metric spaces and to establish several fixed point theorems for these mappings. The findings showed generalizations of the fixed point theorems in the literature. In addition, an example was given to illustrate the results obtained. TÓM TẮT Mục đích của bài báo này là giới thiệu khái niệm ánh xạ C -co, ánh xạ co yếu suy rộng, ánh xạ f -co yếu suy rộng trên không gian S -mêtric và thiết lập một số định lí điểm bất động cho những ánh xạ này. Các kết quả này là sự mở rộng của những định lí điểm bất động trong các tài liệu tham khảo. Đồng thời, nghiên cứu xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được. 1. GIỚI THIỆU Trong lí thuyết điểm bất động, nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gian mêtric đầy đủ là cơ bản nhất. Do đó, nhiều tác giả đã mở rộng nguyên lí này cho những không gian khác nhau cũng như cho những lớp ánh xạ khác nhau. Trong hướng nghiên cứu đó, nhiều tác giả đã xây dựng những không gian mêtric suy rộng như 2-mêtric,D - mêtric, G -mêtric,.. Gần đây, Sedghi, Shobe và Aliouche (2012) đã giới thiệu một khái niệm mêtric suy rộng như sau. Định nghĩa 1.1. Cho X là tập khác rỗng. Ánh xạ    : [0, )S X X X được gọi là S - mêtric trên X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn với mọi , , , .x y z a X (1) ( , , ) 0S x y z nếu và chỉ nếu   ;x y z (2)   ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ).S x y z S x x a S y y a S z z a Tạp chí Khoa học – 2014, Quyển 3 (2), 7 - 14 Trường Đại học An Giang 8 Cặp ( , )X S được gọi là không gian S -mêtric. Đồng thời, Sedghi và cs. (2012) cũng giới thiệu một số tính chất của không gian S -mêtric và mở rộng Nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gian mêtric đầy đủ sang không gian S -mêtric đầy đủ. Từ đó, việc mở rộng những định lí điểm bất động trên không gian mêtric sang không gian S - mêtric được một số tác giả quan tâm nghiên cứu và đạt được những kết quả nhất định (Chouhan, 2013; Nguyễn Văn Dũng, 2013; Nguyễn Trung Hiếu, Nguyễn Thị Thanh Lý & Nguyễn Văn Dũng, 2013; Nguyễn Trung Hiếu & Nguyễn Thị Kiều Trang, 2013; Sedghi & Nguyễn Văn Dũng, 2014). Với mục đích mở rộng Nguyên lí ánh xạ co Banach cho những lớp ánh xạ khác nhau, nhiều tác giả đã thiết lập những điều kiện co suy rộng khác nhau (Rhoades, 1977). Trong bài báo của mình, Chatterjee (1972) đã giới thiệu một điều kiện co như sau. Định nghĩa. 1.2. Cho ( , )X d là không gian mêtric. Ánh xạ :T X X được gọi là C -co nếu tồn tại 1 [0, ) 2 k sao cho ( , ) [ ( , ) ( , )]d Tx Ty k d x Ty d y Tx với mọi ,x y X . Sau đó, Choudhury (2009) đã mở rộng khái niệm C -co của Chatterjee và đã thiết lập định lí điểm bất động cho lớp ánh xạ C -co suy rộng này trên không gian mêtric đầy đủ, kết quả chính là Theorem 2.1 trong Choudhury (2009). Kí hiệu là lớp các hàm liên tục 2: [0, ) [0, ) thỏa mãn ( , ) 0x y khi và chỉ khi 0x y . Định nghĩa 1.3. Cho ( , )X d là không gian mêtric. Ánh xạ :T X X được gọi là ánh xạ co yếu suy rộng nếu 1 ( , ) [ ( , ) ( , )] ( ( , ), ( , )) 2 d Tx Ty d x Ty d y Tx d x Ty d y Tx với mọi ,x y X và . Gần đây, S. Chandok (2011) đã mở rộng khái niệm ánh xạ co yếu suy rộng của Choudhury (2011) cho cặp ánh xạ T , f và thiết lập một số định lí điểm bất động chung cho lớp ánh xạ này trên không gian mêtric đầy đủ ( , )X d với giả thiết bổ sung là hai ánh xạ này giao hoán tại điểm trùng (xem Định lí 1 trong S. Chandok (2011) ) và T là ánh xạ f - đơn điệu giảm (xem Định lí 2, S. Chandok (2011)). Định nghĩa 1.4. Cho ( , )X d là không gian mêtric và hai ánh xạ , :T f X X . Ánh xạ T được gọi là ánh xạ f -co yếu suy rộng nếu 1 ( , ) [ ( , ) ( , )] ( ( , ), ( , )) 2 d Tx Ty d fx Ty d fy Tx d fx Ty d fy Tx với mọi ,x y X và . Vào năm 2013, bằng cách sử dụng một số giả thiết khác cho cặp ánh xạ T và f , Chandok đã thiết lập được một số định lí điểm bất động chung cho lớp ánh xạ f -co yếu suy rộng, kết quả chính là Theorem 2.1 trong Chandok (2013). Đồng thời, từ định lí này tác giả cũng nhận được định lí điểm bất động chung cho cặp toán tử Banach. Các kết quả này là sự mở rộng của các kết quả trong các tài liệu tham khảo của Chandok (2013). Từ những vấn đề trên, chúng tôi đặt vấn đề mở rộng một số định lí điểm bất động của lớp ánh xạ f -co suy rộng của Chandok (2013) trên không gian mêtric sang không gian S -mêtric. Đồng thời, chúng tôi cũng xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được. Trước hết, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và kết quả được sử dụng trong bài báo này. Những khái niệm và kết quả này được trích từ các Tạp chí Khoa học – 2014, Quyển 3 (2), 7 - 14 Trường Đại học An Giang 9 kết quả của Nguyễn Văn Dũng (2013), Sedghi và cs. (2012). Mệnh đề 1.5. Cho ( , )X S là không gian S - mêtric. Khi đó ( , , ) ( , , )S x x y S y y x với mọi , .x y X Mệnh đề 1.6. Cho ( , )X S là không gian S - mêtric. Khi đó với mọi , , ,x y z X ta có ( , , ) 2 ( , , ) ( , , )S x x z S x x y S y y z Định nghĩa 1.7. Cho ( , )X S là không gian S - mêtric. Khi đó (1) Dãy { } n x X được gọi là hội tụ về x nếu ( , , ) 0 n n S x x x khi .n Điều này có nghĩa là với mỗi 0 , tồn tại 0 n sao cho với mọi 0 n n thì ( , , ) . n n S x x x Kí hiệu là lim nn x x hay  n x x khi .n (2) Dãy { } n x X được gọi là dãy Cauchy nếu ( , , ) 0 n n m S x x x khi , .n m Nói cách khác, { } n x là dãy Cauchy khi và chỉ khi với mọi 0, tồn tại 0 n sao cho với mỗi 0 ,n m n thì ( , , ) . n n m S x x x (3) Không gian S -mêtric ( , )X S được gọi là đầy đủ nếu với mỗi dãy Cauchy trong ( , )X S đều là dãy hội tụ. Mệnh đề 1.8. Cho ( , )X S là không gian S - mêtric. Nếu dãy { } n x trong X hội tụ thì giới hạn đó duy nhất. Mệnh đề 1.9. Cho ( , )X S là không gian S - mêtric. Nếu tồn tại hai dãy { } n x và { } n y sao cho lim nn x x và lim nn y y thì lim ( , , ) ( , , ). n n nn S x x y S x x y Định nghĩa 1.10. Cho M là tập con khác rỗng của X và hai ánh xạ , :T f M M . Khi đó (1) Điểm x M được gọi là điểm trùng của f và T nếu fx Tx . Kí hiệu, tập hợp điểm bất động của f và T là ( , )F f T , tập hợp điểm trùng của f và T là ( , )C f T . (2) Hai ánh xạ f và T được gọi là giao hoán nếu Tfx fTx với mọi x M . (3) Hai ánh xạ f và T được gọi là tương thích nếu  lim ( , ) 0 n nn d Tx fTx với mọi dãy { } n x thỏa mãn    lim lim n nn n Tx fx t với t M . (4) Hai ánh xạ f và T được gọi là tương thích yếu nếu f và T giao hoán tại các điểm trùng. 2. CÁC KẾT QUẢ CHÍNH Trước hết, chúng tôi đề xuất khái niệm ánh xạ C -co, ánh xạ co yếu suy rộng và ánh xạ f -co yếu suy rộng trên không gian S -mêtric. Kí hiệu là lớp các hàm liên tục 3: [0, ) [0, ) thỏa mãn ( , , ) 0x y z khi và chỉ khi 0x y z . Định nghĩa 2.1. Cho ( , )X S là không gian S - mêtric và hai ánh xạ , :T f X X . Khi đó Tạp chí Khoa học – 2014, Quyển 3 (2), 7 - 14 Trường Đại học An Giang 10 (1) Ánh xạ T được gọi là C-co nếu tồn tại 1 [0, ) 3 k sao cho ( , , ) [2 ( , , ) ( , , )]S Tx Tx Ty k S x x Ty d y y Tx với mọi ,x y X . (3) Ánh xạ T được gọi là co yếu suy rộng nếu 1 ( , , ) 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ), ( , , ), ( , , ) 3 S Tx Tx Ty S x x Ty S y y Tx S x x Ty S x x Ty S y y Tx với mọi ,x y X và . (3) Ánh xạ T được gọi là f -co yếu suy rộng nếu 1 ( , , ) 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ), ( , , ), ( , , ) 3 S Tx Tx Ty S fx fx Ty S fy fy Tx S fx fx Ty S fx fx Ty S fy fy Tx với mọi ,x y X và Nhận xét 2.2. (1) Ánh xạ C -co là trường hợp đặc biệt của ánh xạ co yếu suy rộng khi ánh xạ xác định bởi 1 ( , , ( ) 3 )x y z k x y z với   1 0 3 k . (2) Khi f là ánh xạ đồng nhất, ánh xạ f -co yếu suy rộng trở thành ánh xạ co yếu suy rộng. Định lý 2.3. Cho ( , )X S là không gian S -mêtric, M là tập con khác rỗng của X và hai ánh xạ , :T f M M thỏa mãn các điều kiện sau: (1) ( ) ( );T M f M (2) ( )T M đầy đủ; (3) T là ánh xạ f -co yếu suy rộng; Khi đó, hai ánh xạ T và f có điểm trùng trong .M Hơn nữa, nếu T và f là hai ánh xạ tương thích yếu thì ( ) ( )F T F f có duy nhất điểm. Chứng minh. Lấy bất kì  0 x M . Do ( ) ( )T M f M nên ta có thể chọn  1 x M sao cho  1 0 )(f x Tx . Vì  1 ( )Tx f M nên tồn tại  2 x M sao cho  2 1 ( )f x Tx . Tương tự, ta xây dựng được dãy { } n x trong M sao cho   1n n fx Tx với mọi  0n . Do T là ánh xạ f -co yếu suy rộng nên ta có         1 1 1 1 1 1 ( , , ) 2 ( , , ) ( , , ) 3n n n n n n n n n S Tx Tx Tx S fx fx Tx S fx fx Tx 1 1 1 1 1 ( , , ), ( , , ), ( , , ) n n n n n n n n n S fx fx Tx S fx fx Tx S fx fx Tx 1 1 1 1 1 1 1 ( , , ) (0,0, ( , , )) 3 n n n n n n S Tx Tx Tx S Tx Tx Tx (2.1) Suy ra       1 1 1 1 1 1 ( , , ) ( , , ) 3n n n n n n S Tx Tx Tx S Tx Tx Tx       1 1 1 1 1 2 ( , , ) ( , , 3 )[ ] n n n n n n S Tx Tx Tx S Tx Tx Tx (2.2) Do đó     1 1 1 ( , , ) ( , , ) n n n n n n S Tx Tx Tx S Tx Tx Tx Suy ra,  1 1 ( ,{ )}, n n n S Tx Tx Tx là dãy không âm đơn điệu giảm. Do đó, tồn tại  0r sao cho    1 1 lim ( , , ) n n nn S Tx Tx Tx r . Khi đó, cho n trong (2.2) ta được        1 1 1 1 1 lim ( , , ) (2 ) 3 3n n nn r S Tx Tx Tx r r r Tạp chí Khoa học – 2014, Quyển 3 (2), 7 - 14 Trường Đại học An Giang 11 Suy ra     1 1 1 lim ( , , ) 3 n n nn S Tx Tx Tx r (2.3) Cho n trong (2.1), sử dụng (2.3) và tính liên tục hàm , ta được   1 3 (0,0,3 ) 3 r r r (2.4) Từ (2.4) và tính chất của hàm , ta suy ra 0r . Do đó    1 1 lim ( , , ) 0 n n nn S Tx Tx Tx (2.5) Tiếp theo, ta chứng minh dãy { } n Tx là dãy Cauchy. Giả sử ngược lại, khi đó tồn tại 0 sao cho từ dãy { } n Tx ta tìm được dãy con ( ) { } n k Tx và ( ) { } m k Tx với  ( ) ( )n k m k k sao cho với mọi k ta có ( ) ( ) ( ) ( , , ) m k m k n k S Tx Tx Tx và ( ) ( ) ( ) 1 ( , , ) m k m k n k S Tx Tx Tx Khi đó    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( , , ) m k m k n k n k n k m k S Tx Tx Tx S Tx Tx Tx     ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( , ) 2 ( , , ) m k m k n k n k n k n k S Tx Tx Tx S Tx Tx Tx     ( ) ( ) ( ) 1 2 ( , , ) n k n k n k S Tx Tx Tx (2.6) Cho k trong (2.6) và sử dụng (2.5) ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 lim ( , , ) lim ( , , ) m k m k n k m k m k n kk k S Tx Tx Tx S Tx Tx Tx (2.7) Ta lại có        ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( , , ) 2 ( , , ) ( , , ) m k m k n k m k m k m k n k n k m k S Tx Tx Tx S Tx Tx Tx S Tx Tx Tx ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( , , ) 2 ( , , ) m k m k m k n k n k n k S Tx Tx Tx S Tx Tx Tx    ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( , , ) m k m k n k S Tx Tx Tx ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 ( , , ) 2 ( , , ) m k m k m k n k n k n k S Tx Tx Tx S Tx Tx Tx    ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 2 ( , , ) ( , , ) m k m k m k n k n k m k S Tx Tx Tx S Tx Tx Tx (2.8) Cho k trong (2.8) và sử dụng (2.5) ta được ( ) 1 ( ) 1 ( ) lim ( , , ) m k m k n kk S Tx Tx Tx Do đó     ( ) 1 ( ) 1 ( ) lim ( , , ) m k m k n kk S Tx Tx Tx (2.9) Mặt khác   ( ) ( ) ( ) ( , , ) m k m k n k S Tx Tx Tx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 ( , , ) ( , , ) 3 m k m k n k n k m k m k S fx fx Tx S fx Tx Tx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , ), ( , , ), ( , , ) m k m k n k m k m k n k n k m k m k S fx fx Tx S fx fx Tx S fx Tx Tx Tạp chí Khoa học – 2014, Quyển 3 (2), 7 - 14 Trường Đại học An Giang 12        ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 2 ( , , ) ( , , ) 3 m k m k n k n k m k m k S Tx Tx Tx S Tx Tx Tx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , ), ( , , ), ( , , ) m k m k n k m k m k n k n k m k m k S fx fx Tx S fx fx Tx S fx Tx Tx (2.10) Cho k trong (2.10) và sử dụng (2.7), (2.9) ta được 1 (2 ) ( , , ) 3 . Suy ra ( , , ) 0 . Điều này là điều mâu thuẫn với 0 . Vậy { } n Tx là dãy Cauchy. Vì tính đầy đủ của ( )T M nên tồn tại  ( )u T M sao cho   lim nn u Tx . Vì ( ) ( )T M f M nên tồn tại z M sao cho fz u . Ta lại có ( , , )S fz fz Tz    1 1 2 ( , , ) ( , , ) n n S fz fz Tx S Tz Tz Tx 1 1 11 1 2 ( , , ) 2 ( , , 3 ) ( , , ) n nn n S fz fz Tx S fz fz Tx S fx fx Tz 1 1 1 1 ( , , ( , ,), ), ( , , ) n n n n S fz fz Tx S f S fx fz fz Tx x Tz       1 1 1 2 ( , , ) 2 ( ) ( , ), 3 ,, n n n n S fz fz Tx S fz fz S Tx Tx TzTx 1 1 ), )( , ( , ,, , , )( , n n n n S fz fz Tx S fz f S Tx Txz T Tzx (2.11) Cho n trong (2.11) và sử dụng tính liên tục của , ta được ( , , )S fz fz Tz    1 ( , , ) 0,0, ( , , ) 3 S fz fz Tz S fz fz Tz Điều này suy ra ( , , ) 0S fz fz Tz . Do đó  Tz fz u hay z là một điểm trùng của T và f . Bây giờ giả sử rằng T và f là tương thích yếu. Khi đó,   Tu Tfz fTz fu . Do đó ( , , )S Tz Tz Tu 1 2 ( 3 ), , ,, ) (S fu fu TzS fz fz Tu ( , , ( , ,), ), ( , , )S fz fz Tu S fuS fz fz T fu zu T 1 2 ( 3 ), , ,, ) (S Tu Tu TzS Tz Tz Tu ( , , ( , ,), ), ( , , )S Tz Tz Tu S TuS Tz Tz T Tu zu T Điều này suy ra ( , , ) 0S Tz Tz Tu . Vì vậy   Tu Tz fu u . Do đó u là điểm bất động chung của f và T . Cuối cùng, ta chứng minh ( ) ( )F T F f có duy nhất một điểm. Giả sử  ( ) ( ) { , }F T F f x y . Khi đó  ( , , ) ( , , )S x x y S Tx Tx Ty     ) ( , , ) 1 2 ( , , 3 S fy fy TTy xS fx fx ( , , ( , ,), ), ( , , )S fx fx Ty S fyS fx fx T fy xy T ) ( , , ) ), ), ( , , ) 1 2 ( , , ( , , ( , , . 3 S x x y S x x y S xS y y x y yx Sy x Suy ra ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) 0S x x y S x x y S y y x Do đó ( , , ) 0S x x y hay y x . Vậy T và f có duy nhất điểm bất động. Từ Nhận xét 2.2.(2) và Định lí 2.3, ta nhận được hệ quả sau. Hệ quả 2.4. Cho M là một tập hợp con khác rỗng của không gian S -mêtric ( , )X S và ánh xạ :T M M thỏa mãn ( )T M M . Nếu ( )T M là đầy đủ và T là ánh xạ co yếu suy rộng. Khi đó T có duy nhất điểm bất động. Hệ quả sau là sự mở rộng của Theorem 2.1 trong Choudhury (2009) trên không gian S -mêtric. Hệ quả 2.5. Cho ( , )X S là không gian S -mêtric đầy đủ. Nếu :T X X là một ánh xạ co yếu suy rộng thì T có duy nhất điểm bất động trên X . Tạp chí Khoa học – 2014, Quyển 3 (2), 7 - 14 Trường Đại học An Giang 13 Từ Hệ quả 2.5 và Nhận xét 2.2.(1), ta nhận được hệ quả sau. Hệ quả 2.6. Cho ( , )X S là không gian S -mêtric đầy đủ. Nếu :T X X là một ánh xạ C-co thì T có duy nhất điểm bất động trên X . Áp dụng Hệ quả 2.4, chúng ta chứng minh được kết quả sau. Định lý 2.7. Cho M là một tập hợp con khác rỗng của không gian S -mêtric ( , )X S và hai ánh xạ , :f T M M thỏa mãn ( ( )) ( )T F f F f . Nếu ( )T M đầy đủ, tập ( )F f là khác rỗng và T là ánh xạ f -co yếu suy rộng với mọi , ( )x y F f thì ( ) ( )F T F f có duy nhất điểm. Chứng minh. Do ( ( ))T F f là tập hợp con của ( )T M và ( )T M đầy đủ nên ( ( ))T F f đầy đủ. Mặt khác, với mọi , ( )x y F f , ta có     1 ( , , ) 2 ( , , ) ( , , ) 3 S Tx Tx Ty S fx fx Ty S fy fy Tx ( , , ), ( , , ), ( , , )S fx fx Ty S fx fx Ty S fy fy Tx 1 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ), ( , , ), ( , , ) 3 S x x Ty S y y Tx S x x Ty S x x Ty S y y Tx Điều này chứng tỏ T là ánh xạ co yếu suy rộng trên ( )F f . Vì vậy, từ Hệ quả 2.4 ta suy ra ánh xạ T có duy nhất điểm bất động  ( )z F f . Do đó, tập ( ) ( )F T F f có duy nhất một điểm. Cuối cùng, chúng tôi xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được, trong đó Ví dụ 2.8 minh họa cho trường hợp ,T f có điểm trùng còn Ví dụ 2.9 minh họa cho trường hợp ,T f có duy nhất điểm bất động chung. Ví dụ 2.8. Đặt  { , , }X p q r và  { , }M p q . Trên X xét S -mêtric xác định bởi     1 ( , , ) ( , ) , ) 2 S x y z d x z dy z , trong đó d là mêtric trên X cho bởi   ( , ) ( , ) ( , ) 0d p p d q q d r r ,  ( , ) ( , ) 1d q p d p q ,  ( , ) ( , ) 2d p r d r p ,   3 ( , ) ( , ) 2 d q r d r q Xét hai ánh xạ , :T f M M xác định bởi   Tp Tq fq p , fp q . Khi đó, ( ) { } { , } ( )T M p p q f M , ( )T M đầy đủ và T là ánh xạ f -co yếu suy rộng với 1 ( , , ) ( ) 12 a b c a b c , , , 0a b c . Do đó, theo Định lí 2.3, ta suy ra T và f có điểm trùng trong M . Ví dụ 2.9. Đặt  [0, )X và  [0,2]M . Xét S -mêtric xác định bởi     1 ( , , ) (| | | |) 2 S x y z x z y z với mọi , ,x y z X . Xét hai ánh xạ , :T f M M xác định bởi  1Tx và 2fx x với mọi x M . Khi đó, ( ) {1} [0,2] ( )T M f M , ( )T M đầy đủ và T là ánh xạ f -co yếu suy rộng với 1 ( , , ) ( ) 4 a b c a b c , , , 0a b c . Hơn nữa, 1 1 1 1 1Tf T f fT hay ,T f tương thích yếu tại 1x . Do đó, theo Định lí 2.3, ta suy ra T và f có điểm bất động chung duy nhất trong M và điểm bất động chung là 1x . Tạp chí Khoa học – 2014, Quyển 3 (2), 7 - 14 Trường Đại học An Giang 14 TÀI LIỆU THAM KHẢO Chandok, S. (2011). Some common fixed point theorems for generalized f -weakly contractive mappings. J. Appl. Math. Inform. 29, 257 - 265. Chandok, S. (2013). Common fixed points for generalized nonlinear contractive mappings in metric spaces. Mat. Vesnik. 65(1), 29 - 34. Chatterjee, K. (1972). Fixed point theorem. C. R. Acad. Bulgare Sci. 25, 727 - 730. Choudhury, S. (2009). Unique fixed point theorem for weakly C -contractive mappings. Kathmandu Uni. J. Sci. Eng. Tech. 5 (1), 6 - 13. Chouhan, P. (2013). A common unique fixed point theorem for expansive type mappings in S -metric spaces. Int. Math. Forum. 8(26), 1287 - 1293. Nguyễn Văn Dũng. (2013). On coupled common fixed points for mixed weakly monotone maps in partially ordered S-metric spaces. Fixed Point Theory Appl., 48, 1 - 25. Nguyễn Trung Hiếu., Nguyễn Thị Thanh Lý., & Nguyễn Văn Dũng. (2013). A generalization of Ciric quasi-contractions for maps on S -metric spaces. Thai J. Math. accepted paper. Nguyễn Trung Hiếu., & Nguyễn Thị Kiều Trang. (2013). Về định lí điểm bất động cho lớp ánh xạ tựa co trên không gian S -mêtric thứ tự bộ phận. Tạp chí Khoa học Trường Đại học An Giang, 1, 8 - 16. Rhoades, E. (1977). A comparison of various definitions of contractive mappings, Trans. Amer. Math. Soc. 226, 257- 290 Sedghi, S., & Nguyễn Văn Dũng. (2014). Fixed point theorems on S -metric spaces. Mat. Vesnik, 66(1), 113 - 124. Sedghi, S., Shobe, N., & Aliouche, A. (2012). A generalization of fixed point theorem in S -metric spaces. Mat. Vesnik, 64(3), 258 - 266.