Đồ án Dao động uốn của tấm mỏng hình chữ nhật với điều kiện biên không đối xứng

iết của lý thuyết tấm mỏng cổ điển như sau : Biến dạng uốn của tấm khi dao động là những biến dạng nhỏ tuân theo định luật Hooke. Trong tấm luôn tồn tại một lớp trung hoà mà khoảng cách giữa các điểm của nó không thay đổi. Khi tấm đồng chất bị uốn ít, lớp trung hoà trùng với mặt cong trung bình chia đôi bề dày của tấm. Ta gọi mặt này là mặt trung hoà. Các phần tử của tấm nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt trung hoà, khi tấm bị uốn vẫn nằm trên đường thẳng đó và đường thẳng đó vẫn vuông góc với mặt trung hoà. Không xét đến các ứng suất vuông góc với mặt trung hoà. Bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng trượt và quán tính quay. Ta chọn mặt phẳng trùng với mặt trung hòa trạng thái chưa biến dạng làm mặt phẳng toạ độ xy, trục z được chọn vuông gócvới mặt phẳng xy và hướng về phía dưới. Ta ký hiệu u, v, w là các thành phần dịch chuyển của điểm M(x,y,z) của tấm tương ứng theo các trục x, y và z. Ký hiệu u0,v0,w0 là các thành phần dịch chuyển tương ứng của điểm A thuộc mặt trung hoà mà MA vuông góc với mặt trung hoà. Từ các giả thiết trên ta có: u0= v0 = 0 , w0= w(x,y,t) u = -z , v = -z (2.1) Với các lực và mômen đã vẽ như trên, áp dụng nguyên lý d’Alembert ta nhận được các phương trình sau: (2.2) (2.3) (2.4) Thế các biểu thức (2.3) và (2.4) vào phương trình (2.2) ta được : (2.5) Trong các phương trình trên ta sử dụng các ký hiệu: Qx , Qy : Lực cắt trên một đơn vị chiều dài ở các mặt cắt x = const, y = const theo hướng z. x y z Mx , My : Mômen uốn trên một đơn vị chiều dài, vuông góc với mặt cắt x = const, y = const, (Mxy = Myx). p(x,y,t) : Tải trọng ngoài trên một đơn vị diện tích, vuông góc với mặt trung hoà. w(x,y,t) : Dịch chuyển của các điểm thuộc mặt trung hoà theo phương z. Từ các công thức Cauchy quen thuộc trong lý thuyết đàn hồi tuyến tính ta có các quan hệ hình học sau [ ] : , , (2.6) Từ các định luật Hooke đối với trạng thái suất phẳng [ ] ta có : (2.7) Từ đó ta tính được các mômen mặt cắt [ ] : Mx = - D My = - D (2.8) Mxy = - D Trong đó : D = (2.9) Gọi là độ cứng trụ của tấm, còn m gọi là hệ số Poisson. Thế các biểu thức (2.8) vào phương trình (2.5) ta nhận được phương trình dao động uốn của tấm mỏng theo lý thuyết Kirchhoff. D (2.10) Phương trình (2.10) là phương trình dao động uốn của tấm mỏng. Nếu ta sử dụng toán tử (2.11) Thì phương trình (2.10) có dạng : D (2.12) Nếu chỉ xét dao động uốn tự do của tấm, ta lấy p(x,y,t) = 0, từ phương trình (2.12) ta suy ra : D (2.13) 2.2 Các điều kiện biên. Điều kiện biên là những điều kiện trên mặt ngoài của tấm mà ta cần cho trước để nghiệm phương trình (2.10) tương ứng với từng bài toán cụ thể. Trong các điều kiện biên có cả tải trọng q(x,y) tác động ở mặt trên và mặt dưới của tấm. Khi đặt bài toán tổng quát của tấm đã tính đến nó và nó đã có mặt ở một số hạng tự do của phương trình (2.10). Do đó ta chỉ còn điều kiện trên các cạnh của tấm. 2.2.1 Tấm tựa tự do ( gối tựa). Độ võng bằng 0, mômen bằng 0. VD : x = 0 có wùx = 0 = 0, Mxùx = 0 = = 0 Mặt khác, khi wùx = 0 = 0 ị = 0 Vậy điều kiện biên là : wùx = 0 = 0 , = 0 2.2.2 Tấm bị ngàm. Độ võng và góc xoay bằng 0. VD : x = 0 có wùx = 0 = 0 , = 0 2.2.3 Biên tự do. Lực cắt, mômen uốn và mômen xoắn đều bắng 0. VD : x = 0 có Hai điều kiện cuối được sát nhập theo điều kiện Kirchoff. Như vậy ta có điều kiện biên đối với cạnh tự do x = 0 là : 2.3 Dao động uốn của tấm mỏng hình chữ nhật. 2.3.1 Dao động tự do. Ta tìm nghiệm phương trình (2.13) dưới dạng : w(x,y,t) = W(x,y)sin(wt + d) (2.14) Thế (2.14) vào phương trình (2.13) ta có : (2.15) Trong đó ta ký hiệu (2.16) Phương trình (2.15) có thể viết dưới dạng : (2.17) Trong đó toán tử có dạng Nghiệm của phương trình (2.17) có thể tìm dưới dạng W(x,y) = W1(x,y) + W2(x,y) Trong đó W1, W2 tương ứng là nghiệm của các phương trình (2.18a) (2.18b) Nếu xét bài toán dao động tự do của tấm trên nền đàn hồi, thì phương trình dao động tự do của tấm có dạng : Phương trình này có thể đưa về dạng (2.15), nếu ta ký hiệu : Phương trình vi phân đối với các dạng dao động riêng của tấm: (2.19) Trong hệ toạ độ Đề các vuông góc, phương trình (2.19) có dạng: (2.20) Ta có nghiệm phương trình trên dưới dạng W = W1 + W2. Trong đó W1 , W2 là nghiệm của phương trình : (2.21) (2.22) Nghiệm của phương trình (2.21) có dạng : (2.23) Nghiệm của phương trình (2.22) có dạng : W2(x,y) = X(x).Y(y) (2.24) Thế biểu thức (2.24) vào phương trình (2.22) ta có : (2.25) Từ đó suy ra : (2.26) (2.27) (2.28) Nghiệm của (2.26),(2.27) có dạng : (2.29a) (2.29b) Nghiệm của phương trình (2.19) bây giờ có dạng : Trong đó Các giá trị và do đó b và w được xác định từ điều kiện biên. 2.3.2 Dao động cưỡng bức. Dao động uốn cưỡng bức không cản của tấm hình chữ nhật được biểu diễn bởi phương trình vi phân : (2.30) Để tìm nghiệm riêng của phương trình (2.30) ta có nhiều phương pháp khác nhau. Nếu đã biết được các hàm riêng của bài toán dao động tự do Wm,n(x,y), ta có thể tìm một nghiệm riêng của phương trình (2.30) dưới dạng: (2.31) Trong đó qm,n(t) là các hàm cần tìm. Dựa trên tính chất trực giao của các hàm riêng, ta có thể tìm phương trình vi phân đối với hàm qm,n(t) tương tự như trong tính toán dao động uón của dầm. Thế biểu thức (2.31) vào phương trình (2.30) ta được : (2.32) Do Wm,n(x,y) là các hàm riêng nên theo phương trình (2.15) ta có : (2.33) Thế biểu thức (2.33) vào phương trình (2.32) ta suy ra : (2.34) Nhân cả hai vế của phương trình (2.34) với hàm riêng rồi lấy tích phân trên diện tích mặt tấm, chú ý đến tính chất trực giao của hàm riêng . ta nhận được hệ phương trình vi phân thường đối với qm,n(t) (2.35) với (2.36) Nếu không biết trước các hàm riêng Wm,n(x,y) ta áp dụng phương pháp Rit – Galerkin tìm nghiệm dưới dạng : (2.37) trong đó được chọn sao cho thoả mãn điều kiện biên. 2.4 Một Số Bài Toán Ví Dụ 2.4.1 Bài toán 1. Xét dao động cảu tấm mỏng hình chữ nhật chịu điều kiện biên như hình vẽ, chịu tác động của lực phân bố đều q. a x y Giải : Phương trình dao động uốn của tấm mỏng : (1) Với Điều kiện biên bài của toán : x = 0, x = a : y = 0 : y = : Ta tìm nghiệm của (1) dưới dạng : w = w1 + w2 (2) Trong đó : (3) (4) Với w1 : là nghiệm của bài toán chịu mômen phân bố đều trên một đơn vị dài của cạnh ( tương đương với cạnh chịu ngàm ). w2 : là nghiệm của bài toán tấm có 4 cạnh tựa tự do. Khi tấm có 4 cạnh tựa tự do thì độ dốc của mặt võng tại cạnh là : (5) Tại cạnh ngàm chặt nên độ võng do mômen gây ra trên cạnh này sẽ là: (6) Hai biểu thức (5) và (6) bằng nhau nên ta có : (7) Ta có : (8) (9) (10) (11) Mômen uốn Mx được tính như sau : Mx = Mx1 + Mx2 (12) Trong đó : (13) (14) Mômen uốn My được tính như sau : My = My1 + My2 (15) Trong đó : (16) (17) 2.4.2 Bài toán 2. b a Xét dao động của tấm mỏng hình chữ nhật chịu liên kết như hình vẽ, chịu tác dụng của lực phân bố đều trên toàn mặt tấm. A B x y Giải Có thể coi tấm chữ nhật ABCD có hai cạnh kề nhau, x = 0, y = 0 tựa tự do, hai cạnh kia bị ngàm như một phần của tấm bị ngàm tại toàn bộ chu vi x = ± a, y =± b. b a y Tải trọng phân bố đều trên diện tích của tấm cho trước. Lúc này, việc chia ô trên diện tích 2ax2b như hình vẽ sẽ xác định điều kiện tựa tự do tại x = 0 và y = 0. Như vậy, bài toán này được đưa về bài toán tấm ngàm tại toàn bộ chu vi. A B x D C Điều kiện biên của bài toán : x = 0 : y = 0 : x = a : x = b : Ta tìm nghiệm bài toán dưới dạng : w = w1 + w2 (1) Trong đó : w2 – nghiệm của bài toán tấm có 4 cạnh tựa tự do. (2) w1 – nghiệm của bài toán tấm chịu mômen phân bố đều trên một đơn vị dài. (3) ở đây : Góc xoay của mặt phẳng tấm hay độ dốc ở cạnh y = b là : (4) Độ dốc tương ứng với độ võng w1 ở cạnh y = b là : (5) Hai biểu thức (4) và (5) bằng nhau về trị số nhưng ngược dấu nên ta có : (6) Thay (6) vào (3) ta được : Mômen uốn Mx tương ứng với độ võng w1 là : (7) Đạo hàm (3) hai lần theo x và hai lần theo y, sau đó thay vào (7) ta được : (8) (9) (10) Với Em được tính trong công thức (6). Mômen uốn Mx tương ứng với độ võng w2 là : (11) Đạo hàm (2) hai lần theo x và hai lần theo y ta có : (12) (13) Thay (12) và (13) vào (11) ta có : (14) Mômen uốn My tương ứng w1 là : (15) Thay (8) và (9) vào (15) ta có : (16) Mômen uốn My tương ứng w2 là : (17) Thay (12) và (13) vào (17) ta được : (18) Như vậy, mômen uốn Mx sẽ được tính là : Mx = M1x + M2x Với M1x được tính trong (10), M2x được tính trong (14). Mômen uốn My sẽ được tính là : My = M1y + M2y Với M1y được tính trong (16), M2y được tính trong (18). 2.4.3 Bài toán 3. Xét dao động của tấm mỏng hình chữ nhật chịu điều kiện biên như hình vẽ, dưới tác dụng của lực phân bố đều q. x y a b Giải Điều kiện biên của bài toán : x = 0, x = a : (1) y = 0 : (2) y = b : (3) Ta tìm nghiệm của bài toán dưới dạng : w = w1 + w2 Trong đó : w1 – là độ võng của dải tựa tự do có chiều dài a chịu tải trọng phân bố đều và được biểu thị bằng chuỗi : (4) Còn w2 có thể xác định theo chuỗi : (5) Với (6) Những chuỗi (4) và (5) thoả mãn điều kiện biên (1), bốn hằng số trong biểu thức (6) được chọn sao cho điều kiện (2) và (3) được nghiệm đúng. Từ điều kiện (2) ta được : (7) Từ hai điều kiện còn lại, tìm thấy : (8) Trong đó : Sau khi thay các hằng số (7) và (8) vào phương trình (6) và dùng các chuỗi (4) và (5) ta rút ra biểu thức của mặt võng. Đạo hàm hai lần theo x biểu thức (4) ta có : (9) Đạo hàm hai lần theo x biểu thức (5) ta có : (10) Đạo hàm hai lần theo y biểu thức (5) ta có : (11) Mômen uốn Mx tương ứng với độ võng w1 là : (12) Mômen uốn Mx tương ứng với độ võng w2 là : (13) Mômen uốn My tương ứng w1 là : (14) Mômen uốn My tương ứng w2 là : (15) Như vậy, mômen uốn Mx sẽ được tính là : Mx = M1x + M2x Với M1x được tính trong (12), M2x được tính trong (13). Mômen uốn My sẽ được tính là : My = M1y + M2y Với M1y được tính trong (14), M2y được tính trong (15). Chương 3 Phương pháp phần tử hữu hạn 3.1 Giới thiệu chung. Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp rất tổng quát và hữu hiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau. Bằng cách thay thế kết cấu thực tế bằng một mô hình dùng để tính toán bao gồm một số hữu hạn phần tử riêng lẻ liên kết với nhau chỉ ở một số hữu hạn điểm nút, tại các điểm nút tồn tại các lực tương tác biểu thị tác dụng qua lại giữa các phần tử kề nhau, nhằm đơn giản hoá tính toán mà vẫn đảm bảo đủ mức chính xác yêu cầu. 3.2 Xấp xỉ bằng phần tử hữu hạn. Giả sử V là miền xác định của một đại lượng cần khảo sát nào đó ( chuyển vị, ứng suất, biến dạng, nhiệt độ…). Ta chia V ra nhiều miền con ve có kích thước và bậc tự do hữu hạn. Đại lượng xấp xỉ của đại lượng trên sẽ được tính trong tập hợp các miền ve. Phương pháp xấp xỉ nhờ các miền con ve được gọi là phương pháp xấp xỉ bằng phương pháp phần tử hữu hạn, nó có một số đặc điểm sau : Xấp xỉ nút trên mỗi miền con ve chỉ liên quan đến những biến nút gắn vào nút của ve và biên của nó. Các hàm xấp xỉ trong mỗi miền con ve được xây dựng sao cho chúng liên tục trên ve và phải thoả mãn các điều kiện liên tục giữa các miền con khác nhau. Các miền con ve được gọi là các phần tử hữu hạn. 3.3 Định nghĩa hình học các phần tử hữu hạn. 3.3.1 Nút hình học. Nút hình học là tập hợp n điểm trên miền V để xác định hình học các phần tử hữu hạn. Chia miền V theo các nút trên, rồi thay miền V bằng một tập hợp các phần tử ve có dạng đơn giản hơn. Mỗi phần tử ve cần chọn sao cho nó được xác định giải tích duy nhất theo các toạ độ nút hình học của phần tử đó, có nghĩa là các toạ độ nằm trong ve hoặc trên biên của nó. 3.3.2 Quy tắc chia miền thành các phần tử. Việc chia miền V thành các phần tử ve phải thoả mãn hai quy tắc sau : Hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên biên của chúng. Điều này loại trừ khả năng giao nhau giữa hai phần tử. Biên giới giữa các phần tử có thể là điểm, đường hay mặt. Biên giới Biên giới Biên giới Hình 3.1 – Biên giới của phần tử hữu hạn Tập hợp tất cả các phần tử ve phải tạo thành một miền càng gần với miền V cho trước càng tốt. Tránh không được tạo lỗ hổng giữa các phần tử. 3.3.3 Các dạng phần tử hữu hạn. Có nhiều dạng phần tử hữu hạn: phần tử một chiều, hai chiều và ba chiều. Trong mỗi dạng đó đại lượng khảo sát có thể biến thiên bậc nhất ( gọi là phần tử bậc nhất), bậc hai hoặc bậc ba…Dưới đây, chúng ta làm quen với một số dạng phần tử thường gặp. a. Phần tử một chiều. PT bậc nhất PT bậc hai PT bậc ba b. Phần tử hai chiều. PT bậc nhất PT bậc hai PT bậc ba Hình 3.3 – Phần tử hai chiều c. Phần tử ba chiều. PT bậc ba PT bậc hai PT bậc nhất Hình 3.4 – Phần tử ba chiều 3.3.4 Lực, chuyển vị, biến dạng và ứng suất. Có thể chia lực tác dạng ra làm ba loại và ta biểu diễn chúng dưới dạng véctơ cột : Lực thể tích f: f = f [fx, fy, fz]T. Lực diện tích T: f = T [Tx, Ty, Tz]T. Lực tập trung Pi: fi = Pi [Tx, Ty, Tz]T. Chuyển vị của một điểm thuộc vật được kí hiệu bởi : u = [u, v, w]T Các thành phần của tenxơ biến dạng được kí hiệu bởi ma trận cột : e = [ex, ey, ez, gyz, gxz, gxy]T Trường hợp biến dạng bé : Các thành phần của tenxơ ứng suất được kí hiệu bởi ma trận: s = [sx, sy, sz, syz, sxz, sxy]T Với vật liệu đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, ta có quan hệ giữa ứng suất với biến dạng : s = De Trong đó : E là môđun đàn hồi, m là hệ số Poisson của vật liệu. 3.3.5 Nguyên lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần. Thế năng toàn phần P của một vật thể đàn hồi là tổng của năng lượng biến dạng U và công của ngoại lực tác dụng W : Với vật thể đàn hồi tuyến tính thì năng lượng biến dạng trên một đơn vị thể tích được xác định bởi : sTe Do đó năng lượng biến dạng toàn phần : Công của ngoại lực được xác định bởi : Thế năng toàn phần của vật thể đàn hồi sẽ là : Trong đó u là véctơ chuyển vị và Pi là lực tập trung tại i có chuyển vị là ui. áp dụng nguyên lý cực tiểu hoá thế năng : Đối với một hệ bảo toàn, trong tất cả các di chuyển khả dĩ, di chuyển thực ứng với trạng thái cân bằng sẽ làm cho thế năng đạt cực trị. Khi thế năng đạt giá trị cực tiểu thì vật (hệ) ở trạng thái cân bằng ổn định. 3.4 áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải bài toán uốn tấm. 3.4.1 Phần tử không tương thích dạng tam giác. Trong đồ án này chúng ta sẽ xét cụ thể phần tử tam giác và xây dựng chúng theo lý thuyết Kirchoff, việc tính toán tấm mỏng chịu uốn không kể tới biến dạng trượt theo phương pháp phần tử hữu hạn. Có thể thấy rằng trong lý thuyết Kirchoff, khi bỏ qua biến dạng trượt ( gxy =gyz = 0 ), trạng thái ứng suất và biến dạng của tấm hoàn toàn được biểu diễn qua hàm độ võng w(x, y) của mặt trung gian của tấm. Vậy theo phương pháp phần tử hữu hạn, nếu hàm chuyển vị được xấp xỉ hoá và cần tìm là hàm độ võng w(x,y) thì đòi hỏi xấp xỉ của nó không chỉ là liên tục mà còn đảm bảo tính liên tục của các đạo hàm của nó giữa các phần tử. Ngoài ra theo các yêu cầu hội tụ, đa thức xấp xỉ của hàm độ võng w phải có khả năng mô tả các trạng thái biến dạng mà có độ cong không đổi, tức đảm bảo và là hằng số. Và tất nhiên đa thức xấp xỉ cũng đảm bảo tính đẳng hướng hình học. Điều này rõ ràng làm việc chọn xấp xỉ thoả mãn tất cả các yêu cầu trên lại càng phức tạp hơn. Để đơn giản chúng ta chỉ cần đảm bảo sự liên tục của chuyển vị và các góc xoay tại các nút góc theo phương pháp tuyến của các cạnh biên. Những phần tử được xây dựng với hàm xấp xỉ thoả mãn các điều kiện này được gọi là các phần tử tương thích ( compatible hay conformal ). Tuy nhiên việc tìm ma trận độ cứng với các phần tử tương thích là rất phức tạp. Do đó người ta sử dụng một loại phần tử tấm chỉ đòi hỏi sự liên tục của chuyển vị và góc xoay tại các nút góc. Khi đó, các bậc tự do của mỗi nút sẽ là giá trị của và tại nút đó. Phần tử loại này được gọi là phần tử không tương thích ( incompatible hay non- conformal ). Và thực tế cho thấy các phần tử không tương thích vẫn cho kết quả tốt và thường được sử dụng để tính toán tấm chịu uốn. Như vậy có thể thấy rằng các bước phân tích và xây dựng cho các phần tử tấm dựa trên cơ sở lý thuyết Kirchoff vừa dẫn đến việc phải sử dụng các phần tử không tương thích vừa kéo theo các thủ tục phức tạp trong phân tích và lập trình. Trong thời gian gần đây người ta đã xây dựng phần tử tấm chịu uốn dẳng tham số đơn giản và hiệu quả với việc sử dụng các đại lượng cần tìm chỉ đòi hỏi liên tục về giá trị. Các phần tử này được phát triển trên cơ sở lý thuyết của Mindlin và lý thuyết có kể đến biến dạng trượt của tấm. Xét một phần tử tấm mỏng dạng tam giác chịu uốn cùng hệ trục toạ độ địa phương xyz như hình vẽ. z y q7 q9 k q8 q1 q4 i q2 j q5 x q3 q6 Hình 3.5 - Các thành phần chuyển vị y k(0,b) b i(0,0) a j(a,0) x Tại mỗi nút phần tử, độ võng w và các góc xoay qx, qy theo các trục x, y được xem là các bậc tự do của nút. Bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng trượt ( theo lý thuyết Kirchoff ) nên các góc xoay chính là đạo hàm của hàm độ võng w theo x, y. Cụ thể các bậc tự do của nút hay còn gọi là các chuyển vị của mỗi nút là : và 3.4.2 Chọn hàm dạng cho phần tử tam giác không tương thích. Theo mô hình tương thích ( tính toán theo chuyển vị ) ta thấy rằng hàm độ võng w(x,y) là đại lượng cần tìm trong bài toán tấm chịu uốn theo lý thuyết Kirchoff. Vì phần tử tam giác như trên có 9 bậc tự do nên hàm độ võng w(x,y) được xấp xỉ hoá bằng một đa thức 9 tham số. Để đảm bảo tính đẳng hướng hình học hàm đa thức xấp xỉ của độ võng như sau : w(x,y) = a1 + a2x + a3y + a4x2 + a5xy + a6 y2 + a7x3 + a8(x2y + xy2) + a9y3 Đến đây ta thử tính tương thích của phần tử tam giác đang xét với hàm độ võng đang xét. Điều này có nghĩa là cần xem rằng chuyển vị và các đạo hàm của nó trên các ( mặt ) biên có xác định một cách duy nhất theo các chuyển vị ( bậc tự do ) không. B A i j i j Hình 3.6 - Xét điều kiện tương thích dọc theo cạnh ij Xét cạnh biên ij là cạnh biên chung giữa hai phần tử A và B kề sát nhau. Trong hệ toạ độ địa phương cạnh ij có phương trình y = 0. Chuyển vị theo phương z hay độ võng dọc theo cạnh này là : wij = (w)y=0 = a1 + a2x + a4x2 + a7x3 (3.1) Độ dốc theo phương x hay dọc theo cạnh này là : a2+ 2a4x + 3 a7x2 (3.2) Vì nút i và nút j là chung của hai phần tử A và B nên các bậc tự do hay các chuyển vị nút này cũng là chung đối với hai phần tử có chung cạnh biên ij này. Tuy nhiên nếu để ý đến bốn chuyển vị nút wi ,, wj ,ta có thể thấy rằng bằng phép đồng nhất bốn bậc tự do này với giá trị hàm w và giá trị đạo hàm tại hai điểm nút i( x = 0 ) và j( x = a ) tức là chúng ta có bốn điều kiện biên sau : (3.3) thì chúng ta có thể hoàn toàn xác định được bốn tham số a1, a2, a4 và a7 một cách duy nhất theo bốn bậc tự do trên. Do đó hoàn toàn được xác định trên cạnh biên ij và tính liên tục của chuyển vị và độ dốc dọc theo cạnh này được đảm bảo khi chuyển từ phần tử A sang phần tử B. Tuy nhiên kết luận trên không đúng đối với độ dốc theo phương y, tức dọc theo cạnh biên chung ij. Thật vậy, trên cạnh biên ij ( y = 0 ) ta có a3 + a5x + a8x2 (3.4) Để xác định được dọc theo cạnh biên ij ta cần xác định được ba tham số a3 ,a5 và a8 . Nhưng chúng ta chỉ có hai phương trình : (3.5) Do đó độ dốc vuông góc với biên ij là không xác định. Độ dốc này tại các nút i và j là như nhau đối với hai phần tử, nhưng có thể là khác nhau tại các điểm khác dọc theo cạnh biên chung ij. Do vậy phần tử này sẽ không tương thích. Sau đay ta sẽ xây dựng phương pháp chuyển vị với phần tử tam giác theo lý thuyết Kirchoff. Theo cách biểu diễn hàm độ võng dưới dạng ma trận như sau: w(x,y) = [P(x,y)] {a} Trong đó : [P(x,y)] = [ 1 x y x2 xy y2 x3 ( x2y + xy2 ) y3 ] { a} = { a1 a2 a3 ... a9 }T Véc tơ chuyển vị nút của phần tử {q}e gồm 9 thành phần là chuyển vị của ba nút i, j, k. Ta có : {q}e= Các tham số [a] đợc xác định bằng cách đồng nhất bậc tự do của nphânf tử với giá trị nhận được tại các nút trong hệ toạ độ địa phương. Với các toạ độ nút i( 0, 0); j( a, 0) và k( 0, b) ta có : Hay ở dạng ma trận : {q}e = [A] {a} (3.6) Trong đó [A] là ma trận : [A] = (3.7) Nghịch đảo của [A] là : [A]-1 = (3.8) Trong đó c = b – a Hàm độ võng được biểu diễn như tổ hợp tuyến tính các hàm dạng : (3.9) [N] = [P(x,y)].[A]-1 = [N1 N2 ... N9] Với các hàm dạng Ni như sau : 3.4.3 Xây dựng ma trận độ cứng phần tử. Các biến dạng trong tấm của phần tử khảo sát. (3.10) Vì w(x,y) = [N] {q}e = [P(x,y)] [A]-1{q}e (3.11) Nên biến dạng được biểu diễn theo {q}e như sau : (3.12) Hay gọn lại : {e}e = [B]{q}e (3.13) Trong đó ma trận biến dạng [B] là : (3.14) ở đây : (3.15) Ma trận độ cứng phần tử tấm dạng tam giác 3 nút không tương thích : (3.16) Bằng cách thay [B] xác định theo (3.14) vào (3.16), ta có : (3.17) Vì [A]-1 chỉ chứa các hằng số nên đưa ra khỏi dấu tích phân, và ta được : (3.18) ở đây S là diện tích phần tử. Hay ở dạng gọn hơn : (3.19) Trong đó : (3.20) ở đây [D]t là ma trận các hệ số đàn hồi của tấm chịu uốn và xác định như sau: [D]t = , với D = là độ cứng trụ của tấm. Với trong (3.15), ta tính sẵn tích các ma trận là (3.21) Trong đó : Để tính tích phân ta chỉ cần lưu ý rằng : là diện tích tam giác phần tử. như mômen tĩnh của tam giác phần tử với trục y. như mômen quán tính của tam giác phần tử với trục y. như mômen quán tính ly tâm của phần tử với hệ trục xy. Thực hiện các tích phân (3.20), ta xác định được ma trận [I] như sau : (3.22) Trong đó : Cuối cùng thực hiện nhân ma trận như (3.19) với [A]-1 đã có ở (3.8), ta xác định được ma trận độ cứng của phần tử tam giác ba nút. [K]e =([A]-1)T[I] [A]-1 Ma trận độ cứng phần tử trong hệ toạ độ tổng thể x’y’z’ được xác định bằng công thức : [K’]e = [T]eT [K]e [T]e (3.23) Trong đó [T]e là ma trận chuyển đổi hệ trục toạ độ. Nếu hệ trục toạ độ tổng thể x’y’z’ có mặt phẳng toạ độ (x’y’) là trùng với mặt phẳng (xy) của hệ toạ độ địa phương, tức là trùng với mặt trung gian tấm thì ma trận [T]e được cho bởi : (3.24) Trong đó : (lx, mx) và (ly, my) là các cosin chỉ phương của các trục x và y trong mặt phẳng (x’,y’) với các trục x’, y’. 3.4.4 Xây dựng ma trận khối lượng phần tử. Với phần tử tấm mỏng chịu uốn dạng tam giác thì hàm độ võng w(x,y) được xấp xỉ bởi đa thức sau : w(x,y) = [P(x,y)] {a} (3.25) với ma trận [P(x,y)] cho bởi : [P(x,y)] = [ 1 x y x2 xy y2 x3 ( x2y + xy2 ) y3 ] {a} = { a1 a2 a3 ... a9 }T và được biểu diễn qua các bậc tự do của phần tử {q}e bởi phương trình : {a} = [A]-1{q}e (3.26) với [A]-1 được cho trong (3.8). Vậy hàm độ võng được biểu diễn theo {q}e là : w(x,y) = ( [P(x,y)] [A]-1) {q}e (3.27) Ngoài ra, các điểm nằm cách mặt trung gian tấm cũng có các chuyển vị theo các phương trục x, y là : (3.28) Vậy cả ba chuyển vị thẳng có thể được biểu diễn theo véctơ {q}e các bậc tự do của phần tử, với chú ý sử dụng (3.27) và (3.28) sẽ là : (3.29) Hay (3.30) ở đây : (3.31) và (3.32) Như vậy, ma trận khối lượng tương thích của phần tử tấm dạng tam giác là (3.33) Ma trận khối lượng tính theo (3.33) trên cơ sở ma trận [N] cho bởi (3.32) là kể tới cả quán tính quay của phần tử do các đoạn thẳng vuông góc mặt trung bình quay xung quanh trục x và y trong quá trình tấm bị uốn. Nếu bỏ qua quán tính quay như trong thực tế vẫn làm thì cũng có nghĩa là bỏ qua các chuyển vị u và v. Khi đó ma trận chính là [P(x,y)]. Và ma trận khối lượng tương thích của phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác trong trường hợp này là : (3.34) Trong đó : Sau khi nhân [P(x,y)]T với [P(x,y)] rồi lấy tích phân ta sẽ được ma trận [H]. Trong đó : Sau khi tìm được ma trận [H], thay vào phương trình (3.34) ta có ma trận khối lượng tương thích của phần tử tấm dạng tam giác [M]e . Với phần tử lẻ thì ma trận khối lượng tổng thể sẽ là [M]e’ = [M]e, còn với phần tử chẵn thì ma trận khối lượng tổng thể sẽ được tính như sau: [M]e’ = [T]eT[M]e [T]e 3.4.5 Xây dựng véc tơ tải trọng. a. Trường hợp tấm chịu tải trọng phân bố p(x,y) vuông góc mặt phẳng tấm. Khi đó công dA của di chuyển khả dĩ dw(x,y) bằng : (3.36) Ta có : w(x,y) = [N] {q}e, nên dw(x,y) = [N] {dq}e (3.37) Thay (3.37) vào (3.36) ta được : (3.38) Thế năng biến dạng : dw = (3.39) Ta có : {s} = [D]t{e} ị {s}T = {e}T[D]tT = {e}T[D]t (3.40) {e} = [B] {q}e ị {de}e = {dq}e[B]T (3.41) {e} = {q}eT [B]T (3.42) Trong đó ma trận [B] được tình theo công thức (3.14). Thay các công thức (3.40), (3.41), (3.42) vào công thức (3.39) ta được : dw = (3.43) Từ phương trình cân bằng dw = dA ta có : (3.44) Rút gọn {q}e ở hai vế ta được : (3.45) Trường hợp tấm chịu tải trọng phân bố đều p(x,y) = p0 {P}e = p0 (3.46) Tính tích phân trên ta được : b. Lực tập trung và mômen tập trung. Ta có véctơ tải tổng thể : (3.47) Trong đó : là véctơ tải trọng tập trung đặt tại các nút theo phương tương ứng của các thành phần trong véctơ chuyển vị nút kết cấu z k P i j Hình 3.7 - Tải trọng tập trung Ví dụ : Trường hợp tải trọng tập trung P đặt tại nút j của phần tử ( như hình 3.7)