Đồ án Nghiên cứu, thiết kế robot song song hai bậc tự do ứng dụng trong khắc chữ

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT Độc lập-Tự do-Hạnh phúc ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Họ tên sinh viên : Trần Duy Khánh Nguyễn Xuân Lự Nguyễn Văn Chữ Nguyễn Văn Tuyên Lớp : CĐTK4 Chuyên ngành : Cơ điện tử Khóa học : 2006-2010 Tên đề tài : NGHIÊN CỨU, THIẾT KẾ ROBOT SONG SONG HAI BẬC TỰ DO ỨNG DỤNG TRONG KHẮC CHỮ Số liệu cho trước: - Các thông số, kích thước robot cần chế tạo Nội dung hoàn thành: 1. Phần thuyết minh - Thiết kế cơ khí (bao gồm các bản vẽ chi tiết của robot và mô hình 3D) - Tính toán thông số của Robot, động học, động lực học , mô phỏng hoạt động và làm việc của Robot. 2. Sản phẩm của đề tài - 04 cuốn thuyết minh - 01 đĩa CD với toàn bộ nội dung đề tài Người hướng dẫn: Thứ nhất: Phạm Tuấn Tài Ngày giao đề tài: 09 /2010 Thứ hai : Trần Xuân Tiến Ngày hoàn thành: 11 /2010 Đề tài đã được hội đồng Khoa học và Đào tạo khoa thông qua! Hưng Yên, ngày tháng 11 năm 2010. TRƯỞNG BỘ MÔN TRƯỞNG KHOA Th.S Nguyễn Văn Diên PGS.TS Trần Vĩnh Hưng NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN Hưng Yên , ngày tháng 11 năm 2010 Giáo viên hướng dẫn NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN Hưng Yên , ngày tháng 11 năm 2010 Giáo viên phản biện LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện đề tài đồ án tốt nghiệp “NGHIÊN CỨU, THIẾT KẾ ROBOT SONG SONG HAI BẬC TỰ DO ỨNG DỤNG TRONG KHẮC CHỮ ” chúng em đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ quý báu. Trước hết, chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Phạm Tuấn Tài và thầy Trần Xuân Tiến, những người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ để chúng em có thể hoàn thành đồ án một cách tốt nhất. Chúng em xin chân thành cảm ơn các Thầy (Cô) giáo giảng dạy của bộ môn trong suốt 4 năm qua đã cung cấp cho chúng em những kiến thức cần thiết, tạo điều kiện giúp chúng em hoàn thành được đồ án theo đúng yêu cầu và thời gian quy định. Cám ơn các bạn trong lớp CĐTK4 đã nhiệt tình tham gia đóng góp ý kiến trong quá trình thực hiện đề tài. Chúng em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp từ Thầy (Cô) giáo và các bạn đồng nghiệp, để có thêm những hiểu biết và hoàn thiện hơn trong quá trình làm việc sau này. Chúng em xin chân thành cảm ơn ! Hưng Yên, ngày tháng 11 năm 2010 Nhóm sinh viên thực hiện: Trần Duy Khánh Nguyễn Xuân Lự Nguyễn Văn Chữ Nguyễn Văn Tuyên LỜI NÓI ĐẦU Thế kỷ XXI thế kỷ của khoa học và công nghệ. Tất cả các ngành kỹ thuật đều có những bước tiến vượt bậc và đạt được nhiều thành tựu to lớn. Với xu thế các ngành công nghệ hướng tới kết hợp với nhau để tạo ra sản phẩm ngày càng hiện đại, tối ưu. Sự kết hợp những công nghệ hiện đại đó đã cho ra đời ngành công nghệ “Cơ điện tử”. Trước động lực là nhu cầu của tương lai và những khó khăn thử thách trước mắt ngành “Cơ điện tử” đang phát triển mạnh mẽ. Ngành đã chế tạo ra những Robot có nhiều tính năng ưu việt, khẳng định và kế thừa trong bước đầu tiên phong về công nghệ. Ngày càng chứng tỏ “Cơ điện tử” là sự kết hợp hoàn hảo. Để đáp ứng những yêu cầu đặt hiện nay của xã hội và sự cần thiết của sản phẩm chúng em đã thực hiện nghiên cứu đề tài: “nghiên cứu, thiết kế robot song song hai bậc tự do ứng dụng trong khắc chữ ”. Đây là đề tài có tính ứng dụng thực tế cao. Có thể áp dụng trong sản xuất và đề tài này giúp sinh viên vận dụng được những kiến thức đã học vào trong thực tế. Việc nghiên cứu đề tài đồng thời thúc đẩy sự hứng thú học tập, khả năng tuy duy sáng tạo kỹ thuật cho sinh viên sau. Đề tài thực sự hữu ích cho phát triển của ngành trong tương lai. Sau khi nhận đề tài chúng em đã nỗ lực tìm hiểu và thực hiện. Song do thời gian có hạn đề tài không tránh khỏi những thiếu sót nhất định rất mong các Thầy (Cô) giáo và các bạn góp ý thêm để đề tài hoàn thiện hơn. Chúng em xin chân thành cảm ơn ! HưngYên, ngày tháng 11 năm 2010 Nhóm sinh viên thực hiện: Trần Duy Khánh Nguyễn Xuân Lự Nguyễn Văn Chữ Nguyễn Văn Tuyên MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời nói đầu Mục Lục Trang Phần mở đầu Phần nội dung Chương I : Tổng quan về Robot có cấu trúc song song 1.1. Giới thiệu chung 10 1.2. Một số ưu nhược điểm của robot song song 10 1.3. Cấu trúc robot song song 11 1.4.Ý tưởng thiết kế 25 Chương II: Tính toán động học, động lực học, mô phỏng miền làm việc bằng Matlab 2.1.Tính toán động học của robot 26 2.2. Động lực học robot 27 2.3. Mô phỏng bằng phần mềm Matlab 33 Chương III: Thiết kế cơ khí robot song song hai bậc tự do ứng dụng trong khắc chữ 3.1. Nội dung thiết kế 47 3.2. Xác định điều kiện cắt gọt 51 3.3. Thiết kế robot 52 Phần kết luận 1. Kết luận 62 2. Khuyến nghị 62 Tài liệu tham khảo A. PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Ở nước ta, Robot song song cũng đã được nghiên cứu vào năm 2007 nhưng nhìn chung mới chỉ dừng lại ở việc đưa ra mô hình và đi tìm thuật toán giải bài toán động học mà chưa thiết kế và chế tạo được Robot cụ thể. Phòng cơ điện tử Viện cơ học là đơn vị đầu tiên ở Việt Nam cho ra đời sản phẩm như vậy . Sau 2 năm nghiên cứu Phòng Cơ điện tử - Viện cơ học Việt nam đã thiết kế và chế tạo hoàn chỉnh một Robot song song 6 chân (Hexapod) dùng cho ngành kỹ thuật hiện đại trước mắt là trong gia công cơ khí chính xác. Phiên bản đầu tiên có tên gọi PR6-01, dùng làm giá đỡ phôi cho các máy gia công cơ khí bán tự động kiểu cũ. Dự kiến sẽ hoàn thiện Hexapod PR6-01 đưa vào ứng dụng trong thực tế khoảng 1 năm nữa. Thực tế đến nay, nhiều cơ sở nghiên cứu như ĐH Bách khoa Hà Nội , ĐH Bách khoa TP HCM, Viện cơ học, Viện công nghệ thông tin ... đã chế tạo được một số Robot mẫu . Trước những ứng dụng và nghiên cứu của Robot song song. Chúng em là sinh viên bộ môn cơ điện tử trường ĐH sư phạm kỹ thuật Hưng Yên đã lựa chọn việc “NGHIÊN CỨU, THIẾT KẾ ROBOT SONG SONG HAI BẬC TỰ DO ỨNG DỤNG TRONG KHẮC CHỮ ”.. Chúng em đã thực hiện việc tính toán, thiết kế và chế tạo . Mong rằng đề tài này của chúng tôi sẽ giúp cho những người chế tạo ra Robot song song hai bậc tự do giải quyết việc thiết kế và tính toán rút ngắn được thời gian đem nó vào ứng dụng trong thực tế . 2. Mục đích nghiên cứu * Kiểm tra đánh giá tình trạng khi thiết kế robot song song hai bậc tự do. * Có những phương án thiết kế ứng dụng của robot song song hai bậc tự do. 3. Đối tượng và khách thể nghiên cứu * Đối tượng nghiên cứu: Tính toán , thiết kế và chế tạo mô hình Robot song. song hai bậc tự do. * Đối tượng sử dụng: Dùng cho tất cả những học sinh, sinh viên học ngành kỹ thuật nói riêng và cho nhưng ai quan tâm muốn tim hiểu nói chung. * Khách thể nghiên cứu: Robot song song ứng dụng trong khắc chữ. 4. Giả thiết khoa học * Robot song song hai bậc tự do vẫn chưa sử dụng nhiều trong đời sống và trong công nghiệp. * Những tài liệu về robot song song hai bậc tự do vẫn chưa có nhiều và trọn vẹn. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu * Phân tích đặc điểm, nguyên lý hoạt động robot song song hai bậc tự do. * Nghiên cứu, thiết kế, tính toán robot hai bậc tự do. * Kết hợp những tài liệu khác có liên quan đến robot song song hai bậc tự do để hoàn thành đề tài. 6. Giới hạn đề tài * Nghiên cứu, tính toán, thiết kế robot song song hai bậc tự do. * Do điều kiện và thời gian hạn hẹp cũng như trình độ chuyên môn và kinh nghiệm thực tế còn hạn chế nên chúng tôi thực hiện đề tài chỉ tập trung nghiên cứu một số nội dung sau : - Tính toán động học, động lực học mô phỏng động học vùng làm việc. - Thiết kế mô hình lý thuyết cho Robot song song hai bậc tự do. - Chế tạo mô hình robot song song hai bậc tự do. 7. Phương pháp nghiên cứu * Chọn phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm là chủ yếu ngoài ra còn phương pháp nghiên cứu thực tiễn và nghiên cứu tài liệu để đưa ra kết quả chính xác. * Thực hiện: từ thực tiễn nghiên cứu và tìm hiểu đưa ra những cách thức thiết kế chế tạo, sửa chữa của hệ thống . - Bước 1: Tìm hiểu các thông số lắp đặt của robot. - Bước 2: Chuẩn đoán các phương án thiết kế lắp đặt cho robot. - Bước 3: Thiết kế chế tạo mô hình robot song song hai bậc tự do. B. PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ ROBOT CÓ CẤU TRÚC SONG SONG 1.1 Giới thiệu chung Xuất phát từ nhu cầu và khả năng linh hoạt hóa trong sản xuất, các cơ cấu Robot cũng ngày càng phát triển rất đa dạng và phong phú. Trong những thập niên gần đây, Robot cấu trúc song song được Gough và Whitehall nghiên cứu năm 1962 và sự chú ý ứng dụng của Robot cấu trúc song song đã được khởi động bởi Stewart vào năm 1965. Ông là người cho ra đời một buồng (phòng) tập lái máy bay dựa trên cơ cấu song song. Hiện nay cơ cấu song song được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Loại Robot song song điển hình gồm có bàn máy động được nối với giá cố định, dẫn động theo nhiều nhánh song song hay còn gọi là số chân. Thường số chân bằng số bậc tự do, được điều khiển bởi nguồn phát động đặt trên giá cố định hoặc ngay trên chân. Chính lý do này mà các Robot song song đôi khi gọi là các Robot có bệ. Các cơ cấu tác động điều khiển tải ngoài, nên cơ cấu chấp hành song song thường có khả năng chịu tải lớn. Do tính ưu việt của Robot song song nên ngày càng thu hút được nhiều nhà khoa học nghiên cứu, đồng thời cũng được ứng dụng ngày càng rộng rãi vào nhiều lĩnh vực: - Ngành Vật lý: Giá đỡ kính hiển vi, giá đỡ thiết bị đo chính xác. - Ngành Cơ khí: Máy gia công cơ khí chính xác, máy công cụ. - Ngành Bưu chính viễn thông : Giá đỡ Ăngten, vệ tinh địa tĩnh. - Ngành chế tạo ôtô: Hệ thống thử tải lốp ôtô, buồng tập lái ôtô. - Ngành quân sự: Robot song song được dùng làm bệ đỡ ổn định được đặt trên tàu thủy, các công trình thủy, trên xe, trên máy bay, trên chiến xa và tàu ngầm. Để giữ cân bằng cho ăngten, camera theo dõi mục tiêu, cho rada, cho các thiết bị đo laser, bệ ổn định cho pháo và tên lửa, buồng tập lái máy bay, xe tăng, tàu chiến. 1.2. Một số ưu nhược điểm của Robot song song         Nhìn chung, tất cả các lọai Robot có cấu trúc song song đều có nhiều ưu điểm và có thể được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực, các bộ mô hình máy bay, các khung đỡ kiến trúc có khớp nối điều chỉnh, các máy khai thác mỏ ... Ưu điểm : - Khả năng chịu tải cao: các thành phần cấu tạo nhỏ hơn nên khối lượng của các thành phần cũng nhỏ hơn. - Độ cứng vững cao do kết cấu hình học của chúng: Tất cả các lực tác động đồng thời được chia sẻ cho tất cả các chân. Cấu trúc động học một cách đặc biệt của các khớp liên kết cho phép chuyển tất cả các lực tác dụng thành các lực kéo/nén của các chân. - Có thể thực hiện được các thao tác phức tạp và họat động với độ chính xác cao: với cấu trúc song song, sai số chỉ phụ thuộc vào sai số dọc trục của các cụm cơ cấu chân riêng lẻ và các sai số không bị tích lũy. - Có thể thiết kế ở các kích thước khác nhau. - Đơn giản hóa các cơ cấu máy và giảm số lượng phần tử do các chân và khớp nối được thiết kế sẵn thành các cụm chi tiết tiêu chuẩn. - Cung cấp khả năng di động cao trong quá trình làm việc do có khối lượng và kích thước nhỏ gọn. - Các cơ cấu chấp hành đều có thể định vị trên tấm nền. - Tầm hoạt động của Robot cơ cấu song song rất rộng từ việc lắp ráp các chi tiết cực nhỏ tới các chuyển động thực hiện các chức năng phức tạp, đòi hỏi độ chính xác cao như: phay, khoan, tiện, hàn, lắp ráp...           - Các Robot cơ cấu song song làm việc không cần bệ đỡ và có thể di chuyển tới mọi nơi trong môi trường sản xuất. Chúng có thể làm việc ngay cả khi trên thuyền và treo trên trần, tường ... - Giá thành của các Robot song song ứng dụng trong gia công cơ khí ít hơn so với máy CNC có tính năng tương đương. Nhược điểm: Tuy nhiên các Robot song song cũng có những nhược điểm nhất định khi so sánh với các Robot chuỗi như: - Khoảng không gian làm việc nhỏ và khó thiết kế. - Việc giải các bài toán động học, động lực học phức tạp... - Có nhiều điểm suy biến (kỳ dị) trong không gian làm việc. 1.3. Cấu trúc Robot song song 1.3.1. Cấu trúc cơ cấu      Cũng như các Robot thông thường, Robot song song là loại Robot có cấu trúc vòng kín trong đó các khâu (dạng thanh) được nối với nhau bằng các khớp động. Sơ đồ động cơ cấu tay máy thông thường là một chuỗi nối tiếp các khâu động, từ khâu ra (là khâu trực tiếp thực hiện thao tác công nghệ) đến giá cố định. Còn trong Robot song song, khâu cuối được nối với giá cố định bởi một số mạch động học, tức là nối song song với nhau và cũng hoạt động song song với nhau. Sự khác nhau về sơ đồ động đó cũng tạo nên nhiều đặc điểm khác biệt về động học và động lực học. 1.3.2. Khâu, khớp, chuỗi động và máy trong cơ cấu Robot song song Khâu : Là phần có chuyển động tương đối với phần khác trong cơ cấu. Chúng ta coi tất cả các khâu là các vật rắn. Điều đó làm cho việc nghiên cứu các cơ cấu, Robot được dễ dàng và đơn giản hơn. Tuy nhiên, với các cơ cấu tốc độ cao hoặc mang tải lớn thì hiện tượng đàn hồi của vật liệu trở nên quan trọng đáng kể và chúng ta phải xét đến. Khớp: Là chỗ nối động giữa hai khâu. Tùy theo cấu trúc, mỗi khớp hạn chế một số chuyển động giữa hai khâu. Bề mặt tiếp xúc của mỗi khâu tại khớp gọi là một thành phần khớp. Hai thành phần khớp tạo thành một khớp động. Khớp động có thể phân thành khớp thấp và khớp cao tùy thuộc vào dạng tiếp xúc. - Khớp thấp: Nếu hai thành phần tiếp xúc là mặt. - Khớp cao: Nếu hai thành phần tiếp xúc là điểm hoặc đường. Có 6 loại khớp thấp và hai loại khớp cao cơ bản thường dùng trong các cơ cấu máy và các Robot, đó là: - Khớp quay (Revolute Joint - R) : Khớp để lại chuyển động quay của khâu này đối với khâu khác quanh một trục quay. Nghĩa là khớp quay hạnchế 5 khả năng chuyển động giữa hai thành phần khớp và có một bậc tự do . Khớp quay thường được gọi là khớp quay bản lề. - Khớp lăng trụ (Prismatic Joint - P) : Cho phép hai khâu trượt trên nhau theo một trục. Do đó, khớp lăng trụ hạn chế 5 khả năng chuyển động tương đối giữa hai khâu và có một bậc tự do. Người ta cũng thường gọi khớp lăng trụ là khớp tịnh tiến. - Khớp trụ (Cylindrical Joint - C) : Cho phép hai chuyển động độc lập, gồm một chuyển động quay quanh trục và chuyển động tịnh tiến dọc trục quay. Do đó, khớp trụ hạn chế 4 khả năng chuyển động giữa hai khâu và có hai bậc tự do. - Khớp ren (Helical Joint - H) : Cho phép chuyển động quay quanh trục đồng thời tịnh tiến theo trục quay. Tuy nhiên chuyển động tịnh tiến phụ thuộc vào chuyển động quay bởi bước của ren vít. Do đó, khớp ren hạn chế 5 chuyển động tương đối hai khâu và còn lại một bậc tự do. - Khớp cầu (Spherical Joint - S) : Cho phép thực hiện chuyển động quay giữa hai thành phần khớp quanh tâm cầu theo tất cả các hướng, nhưng không có chuyển động tịnh tiến giữa hai thành phần khớp này. Do đó, khớp cầu hạn chế 3 khả năng chuyển động và có ba bậc tự do. - Khớp phẳng (Plane Joint - E): Cho hai khả năng chuyển động tịnh tiến theo hai trục trong mặt tiếp xúc và một khả năng quay quanh trục vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc. Do đó, khớp phẳng hạn chế 3 bậc tự do và có ba bậc tự do.  - Khớp bánh răng phẳng (Gear Pair - G): Cho hai bánh răng ăn khớp với nhau. Các mặt răng tiếp xúc đẩy nhau, chúng thường trượt trên nhau. Do đó, khớp bánh răng phẳng hạn chế 4 khả năng chuyển động tương đối giữa hai thành phần khớp, còn lại hai bậc tự do. - Khớp cam phẳng (Cam Pair - Cp) : Tương tự như khớp bánh răng, hai thành phần khớp luôn tiếp xúc với nhau. Do đó, khớp cam phẳng có hai bậc tự do. Khớp quay, khớp lăng trụ, khớp trụ, khớp ren, khớp cầu và khớp phẳng là các khớp thấp. Khớp bánh răng phẳng và khớp cam phẳng là các khớp cao. Chuỗi động: Là tập hợp các khâu được nối với nhau bằng các khớp động. Robot nối tiếp có cấu trúc chuỗi hở, còn Robot song song có cấu trúc là chuỗi kín. Chuỗi động học được gọi là cơ cấu khi một trong các khâu là giá cố định. Trong cơ cấu có thể có một hoặc nhiều khâu được ấn định là khâu dẫn với các thông số cho trước. Sự chuyển động của các khâu dẫn là độc lập, sự chuyển động của các khâu khác sẽ phụ thuộc vào chuyển động của khâu dẫn. Cơ cấu là một thiết bị truyền chuyển động từ một hay nhiều khâu dẫn tới các khâu khác. Máy móc: Gồm một hoặc nhiều cơ cấu, cùng với các thành phần điện, thủy lực và/hoặc khí nén, được dùng để biến đổi năng lượng bên ngoài thành cơ năng hoặc dạng năng lượng khác. Cơ cấu chấp hành của hệ thống robot là cơ cấu. Để cơ cấu này trở thành máy cần phải có bộ điều khiển dựa trên bộ vi xử lý, bộ mã hóa và/hoặc các cảm biến lực, cùng với các bộ phận khác, chẳng hạn hệ thống quan sát, phối hợp với nhau để chuyển đổi năng lượng bên ngoài thành công hữu ích. Mặc dù máy có thể gồm một hoặc nhiều cơ cấu, nhưng cơ cấu không phải là máy, do không thực hiện công, chỉ có chức năng truyền chuyển động. 1.3.3. Bậc tự do của Robot cấu trúc song song Xét hai vật thể ( hay hai khâu ) A và B để rời nhau trong không gian. Gắn vào A một hệ tọa độ Đề Các Oxyz (hình I.1) thì B sẽ có 6 khả năng chuyển động tương đối so với A, hay nói cách khác là giữa A và B có 6 khả năng chuyển động tương đối, ta gọi là 6 bậc tự do tương đối . Các khả năng chuyển động độc lập là : - Các chuyển động dọc theo các trục Ox, Oy, Oz ,kí hiệu là Tx, Ty,Tz. - Các chuyển động quay quanh các trục Ox, Oy, Oz kí hiệu là Rx, Ry, Rz.
Định nghĩa : Bậc tự do của cơ cấu là thông số độc lập tuyến tính cần thiết hoàn toàn xác định vị trí của cơ cấu. Ta có thể xác định được các biểu thức tổng quát về số bậc tự do của robot theo số khâu, số khớp và kiểu khớp trong cơ cấu . Để thống nhất cho việc tính toán cho việc tự do của cơ cấu, ta sử dụng ký hiệu sau:
: số ràng buộc của khớp i F: số bậc tụ do của cơ cấu
: số chuyển động tương đối được phép của khớp i, j Số khớp trong cơ cấu .
: số khớp với i bậc tự do. L : số vòng độc lập trong của cơ cấu. n: số khâu trong cơ cấu, kể cả khâu cố định. λ : số bậc tự do trong không gian lam việc của cơ cấu . Ta giả thiết tất cả các khớp đều là 2 chiều, khớp 3 chiều được coi là 2 khớp hai chiều, khớp 4 chiều được coi là 3 khớp hai chiều ..., ngoai ra còn giả thiết một giá trị λ được dùng cho tất cả các chuyển động của tất cả các khâu chuyển động, chúng đều vận hành trong khong gian làm việc, do đó λ = 6 đối với cơ cấu không gian và λ = 3 đối với cơ cấu phẳng và khớp cầu . Giá trị bậc tự do của cơ cấu chính bằng số bậc tự do của tất cả các khâu hoạt đọng trừ đi số ràng buộc bởi các khớp. Do đó nếu các khâu đều tự do, số bậc tự do của cơ cấu là n khớp vói một khớp cố định sẽ bằng λ(n
1). Tuy nhiên tổng các rằng buộc của các khớp bằng
Do đó giá trị bậc tự do của cơ cấu được tính theo phương trình: f = λ(n
1)
(1.1) (1.1) số ràng buộc của một khâu và sô bậc tự do của khâu đó , bằng thông số chuyển động λ do đó . λ =
+
(1.2) do tổng các ràng buộc của các khâu là :
= j*λ -
(1.3) Thay phương trình (1.3) vào phương trình (1.1) f = λ(n – j – 1 )

(1.4) phương trinh (1.4) được gọi theo tiêu chuẩn Gru bler hoặc Kutzbach. theo tiêu chuẩn Gru bler hoặc Kutzbach đúng cho các trường hợp các ràng buộc tại các khớp là đọc lập và không dư.Ví dụ một khớp quay cầu liên kết chuỗi với khớp quay co trục xuyên qua tâm của khớp cầu sẽ tạo ra một bậc tự do thừa. Kiểu bậc tự do này gọi là bậc tự do thụ động, cho phép khâu trung gian quay tự do quanh trục được xác định từ 2 khớp đó. Mặc dầu khâu trung gian có khả năng truyền lực hoặc mô men và chuyển động cho các khâu khác , nhưng nó không có khả năng truyền mô men cho trục chủ động. Nói chung, các khâu hai chiêu vói các cặp S – S, S – E, E – E đều có bậc tự do thụ động bảng sau thống kê sự phối hợp các khâu loại hai chiều với các khâu S – S, S – E, E– E với các khớp cuối cùng của chúng có một bậc tự do. STT  Kiểu  Bậc tự do thụ động (thừa)   1  S
S  Quay quanh trục đi qua các tâm khớp cầu.   2  S
E  Quay quanh trục đi qua tâm khớp cầu và vuông góc với mặt   3  E
E  Trượt dọc trục song song với giaotuyến tạo bởi các mặt phẳng của khớp phẳng. Nếu hai mặt phẳng này song song sẽ có ba bậc tự do thụ động ( thừa ).   Bậc tự do thụ động không thể truyền mô men và chuyển động cho trục thụ động. khi có một loại khớp loại này tồn tại trong cơ cấu , cần trừ đi một bậc tự do từ phương trình tính bậc tự do. Giả sử, fp là số bậc tự do thụ động trong cơ cấu thì số bậc tự do chủ động trong cơ cấu là: f = λ(n – j
1 )

Hình 1.2: Cơ cấu không gian Stewart - Gough Là cơ cấu không gian gồm có một bàn máy động được nối với đế cố định bởi sáu chân trượt thông qua các khớp cầu. mỗi chân được tạo thành từ hai khâu và được nối với nhau bằng khớp lăng trụ. Cấu trúc này gọi là cấu trúc S
P – S . Do sựu phối hợp S
P – S, nên mỗi chân có một bậc tự do thừa từ hình vẽ ta có: λ = 6,n =14 , ji =6, j3 = 12, fp =6 số bậc tự do của cơ cấu được tính theo phương trinh (1.5): f =6(14 - 18 - 1) + (12x3 + 6) - 6 = 6 sử dụng phương trình (1.5) tính bậc tự do cho cơ cấu không gian có nói tới giá trị λ . cho tất cả các khâu di chuyển, khi tính bậc tự do cho co cấu phẳng va cơ cấu được xem như hệ con của hệ không gian nên cần phải chú ý tới thông số này. Đặc biệt λ = 3 với cơ cấu phẳng và cơ cấu cầu. với cơ cấu không gian thì λ = 6. Nói chung tiêu chuẩn Gru bler có f > 0 thì cơ cấu có f bậc tự do. Nếu f = 0 cơ cấu không có bậc tự do, lúc này cơ cấu trở thành giàn tĩnh định. Nếu f <0 cơ cấu sẽ có số ràng buộc thừa. Tuy nhiên, cũng có các cơ cấu không tuân theo tiêu chuẩn Grubler. Các cơ cấu này đòi hỏi chiều dài khâu đặc biệt để đạt được tính linh động cao được gọi là cơ cấu thắng ràng buộc.