Đồ án Triệt nhiễu trong hệ thống thông tin vệ tinh

CHƯƠNG II KHAI TRIỂN CHUỖI DÙNG WAVELET. I ĐỊNH NGHĨA. Khai triển chuỗi của các tín hiệu rời rạc. Cho tập hợp các chuỗi các chuỗi trực giao một tín hiệu bất kỳ có thể viết : ( 2.1 ). Trong đó . Bây giờ chúng ta tìm tập các hàm thời gian liên tục được chuẩn hoá sao cho với có thể biểu diễn: ( 2.2 ). Trong đó Như vậy, có thể được viết dưới dạng tổng của các hình chiếu trực giao của nó lên tập vector cơ sở . Điều kiện trực chuẩn cơ sở là: là đầy đủ. Khai triển chuỗi được biết thông dụng nhất là chuỗi Fourier. Trong đó một hàm tuần hoàn có thể viết như một tổ hợp tuyến tính của các sine và cosine hoặc số mũ phức: ( 2.3 ). là hệ số Fourier nó được tính: . Đó là biến đổi Fourier của xấp xỉ có chu kỳ tại nguyên lần . Dễ dàng thấy rằng tập các hàm số ,là một trực giao hay là : . Một khai triển chuỗi tiêu biểu khác là của các tín hiệu có băng thông hữu hạn . Cho một tín hiệu x(t) có với thì tần số mẫu của x(t) và xs(t) có được bằng cách nhân x(t) với xung Dirac tại nguyên lần của T. ( 2.4 ). Lấy biến đổi Fourier của xs(t) với chu kỳ ta có: ( 2.5 ); Từ ( 2.5 ) ta thấy rằng biết đổi Fourier của x(t) và xs(t) trên đoạn có quan hệ với nhau . Để khôi phục lại tín hiệu , chúng ta phải lấy cửa sổ tín hiệu mẫu hoặc là , trong đó là hàm của sổ: Biến đổi Fourier ngược của nó : ( 2.6 ). Gọi là hàm Sine. Tương ứng trong miền thời gian, chúng ta chập hàm mẫu xs(t) với hàm cửa sổ g(t) để được tín hiệu nguyên thuỷ x(t): ( 2.7 ). Tập hàm là một tập trực giao vì: Một tín hiệu x(t) băng thông hữu hạn, quá trình xử lý mẫu tại nT có thể được viết : ( 2.8 ). Khi đó ( 2.7 ) được viết lại : ( 2.9 ). Nếu một tín hiệu không có băng thông hữu hạn ( 2.9 ) biểu diễn một hình chiếu trực giao lên băng thông của tín hiệu băng thông hữu hạn trên . Độ phân giải thời gian và tần số. Trong các phần trước, chúng ta chỉ xét một không gian tín hiệu giới hạn tín hiệu tuần hoàn và băng thông giới hạn. Trong phần này chúng ta sẽ xét đến các tín hiệu tổng quát hơn. Lúc đó các hàm cơ sở phải có các khai triễn dạng sóng và ít suy giảm trong miền thời gian. Chúng ta xây đượng các khai triễn chuỗi dựa trên Wavelet. Nhưng trước hết ta cần đưa ra các đặc tính cần thiết của các hàm cơ sở. Đặc tính đơn giản . Tính định vị trong miền thời gian và tần số, đó là sự suy giảm thích ứng trong cả hai miền. Bất biến. Bằng phẳng ( Liên tục, Khả năng sai phân ). Tính chất Moment( moment = 0 ). Tuy nhiên một số yêu cầu trên có thể mâu thuẫn lẫn nhau và tuỳ theo các ứng dụng mà ta chọn các yêu cầu nào cho tiêu biểu. Khi phân tích một tín hiệu tại các độ phân giải khác nhau thì Fourier cổ điển không đáp ứng được. Đạt đến một độ phân giải nào đó, không những quan trọng trong các ứng dụng ( xử lý tín hiệu và nén ảnh ), mà còn lại một lý thuyết hiệu quả để xây đựng và phân tích các cơ sở Wavelet thay cho cơ sở Fourier. Để thoả mãn một số yêu cầu trên, đầu tiên chúng ta quan tâm đến các phương pháp hổ trợ phân tích Fourier sao cho các đặc tín hiệu cục bộ ở miền thời gian có thể nhận biết được trong miền biến đổi liên quan đến ý tưởng này, ta sử dụng hai phép biến đổi Fourier và biến đổi Fourier thời gian ngắn và biến đổi Fourier từng đoạn. Biến đổi Fourier thời gian ngắn: Với một tín hiệu có chiều dài bất kỳ, chúng ta chọn một hàm cửa sổ có độ rộng cố định là T, sau đó trượt của sổ này trên suốt chiều dài của tín hiệu. Lấy biến đổi Fourier của nó, ta có biến đổi Fourier thời gian ngắn. Biến đổi Fourier từng đoạn: Với một tín hiệu có chiều dài bất kỳ, chúng ta chia tín hiệu ra các đoạn có chiều dài T và triển khai các đoạn này thành dạng chuỗi Fourier. Chú ý, tại biên giữa các đoạn của khai triển là không chính xác với các quá trình chu kỳ hoá không liên tục. Tuy nhiên các sai số này không đáng kể và phương pháp đơn giản là dùng khai triển trực giao mà có cả hai chỉ số: một chỉ số cho tần số và một cho thời gian. Ta khai triển x(t) như sau: ( 2.10 ). Trong đó : Hệ số làm cơ sở chuẩn là l. Khai triển ( Ngoại trừ ) và vì vậy ( 2.10 ) gọi là chuỗi Fourier từng đoạn. Khai triển ( 2.10 ) là hợp lệ cho các hàm bất kỳ. Thay cho khai triển phân tích ở biến đổi Fourier, ta có một khai triển tổng kép (double-sum), tập làm cơ sở là trực chuẩn và đầy đủ. Theo cách này tính định vị thời gian là đạt được và ngay cả đối với tần số ( tuy nhiên không được tốt ). Ở dạng độ phân giải thời gian - tần số. Ta có Tiling chữ nhật của miền thời gian và tần số, đó là tiêu biểu của biến đổi fourier thời gian ngắn. Kích thước của đoạn T được chọn một cách tuỳ ý, nên gây ra một số khó khăn. Việc xây dựng có các đặt điểm kỳ dị ngay cả khi x(t) là liên tục và biến đổi của x(t) có thể có nhiều thành phần tần số cao ngay cả khi x(t) là tuần hoàn đơn giản.Vì vậy khai triển sẽ hội tụ chậm đến hàm. Hay nói cách khác, nếu chúng ta muốn xấp xỉ một hàm tín hiệu với một chuỗi chất lượng của xấp xỉ sẽ phụ thuộc vào việc chọn T. Đặc biệt sự hội tụ tại các điểm không liên tục mà khó đạt được do hiện tượng Gibbs. Cuối cùng một sự dịch của tín hiệu có thể gây ra các hệ số biến đổi khác nhau và biến đổi bất biến thời gian. Khai triển kiểu haar. Chúng ta tìm hiểu khai triển haar vì nó là một ví dụ đơn giản về khai triển Wavelet nó chứa tất cả các thành phần để xây dựng Wavelet. Thay cửa sổ có chiều dài cố định T là cửa sổ có kích thước thay đổi được. Vấn đề bất biến thời gian là không đạt được. Harr Wavelet hoặc hàm cơ sở mẫu có support hữu hạn trong miền thời gian và suy giảm trong miền tần số. Harr được định nghĩa: ( 2.11 ). Tất cả các hàm cơ sở đạt được bằng cách co giản và dịch : Hình 2.1 – Hàm tỷ lệ và Wavelet Haar. Hàm tỷ lệ . Biên độ của biếnn đổi Fourier . Wavelet . Biên độ của biến đổi Fourier . ( 2.12 ). m là hệ số tỷ lệ, có chiều dài 2m. n là hệ số dịch. 2-m/2 là hệ số chuẩn hoá để. Haar Wavelet được cho trong hình 2.1. Các hàm cơ sở ở ( 2.12 ) là trực giao. Thật vậy, tại một tỷ lệ nào đó và không có một support chung. Ngay cả khi support chung, thì hàm cơ sở dài hơn là hằng số trên support của cơ sở ngắn hơn. Do đó trong với trị trung bình của hàm ngắn hơn là bằng 0 hay : . Ưu điểm của các hàm cơ sở là chúng định vị tốt trong miền thời gian. Khi , chúng nén trong miền thời gian vì chiều dài tiến về 0. Tuy nhiên sự định vị trong miền tần số là không tốt vì biến đổi fourier của ( 2.11) suy giảm khi . Các hàm cơ sở không bằng phẳng, thậm chí không liên tục. Một đặc tính cơ bản của loại khai triển Wavelet là chúng khai triển qua tổng kép ( double-sum ). Trong đó một tổng dịch và tổng kia cho tỷ lệ, có sự đánh đổi giữa độ phân giải thời gian và tần số. Các hàm cơ sở dài (m lớn và dương) là nét ở tần số (tương ứng mất mác độ phân giải trong miền thời gian). Các hàm cơ sở ngắn (với n lớn) là nét trong miền thời gian. Định lý 4.1: Tập hàm , với và cho trong ( 2.11 ) và ( 2.12 ) là một cơ sở trực chuẩn cho L2(R). Chứng minh: Chúng ta xét các hàm là hằng số trên đoạn và chúng có support hữu hạn hạn trên. Bằng cách chọn m0 và m1 một hàm bất kỳ có thể xấp xỉ với một hàm số trong L2(R). Gọi hàm hằng số từng đoạn . Hàm Indicator được đưa ra trên đoạn là: ( 2.13 ). Đây gọi là hàm tỷ lệ trong trường hợp Haar. có thể viết thành một tổ hợp tuyến tính các hàm Indicator ( 2.13 ) ( 2.14 ). Trong đó ,. Bước tiếp theo : kiểm chứng trên hai đoạn và . Hàm này qua hai giai đoạn đó từ ( 2.14 ) là: ( 2.15 ). Tuy nhiên có thể biểu diễn hàm trên bằng trung bình ( average ) cộng với sai cộng với sai phân (difference) cần thiết. Giá trị trung bình : Và sai phân biểu diễn qua Haar Wavelet: Chú ý ở đây ta dùng hàm Wavelet và tỷ lệ có độ dài gấp đôi support của nó từ và cũng chú ý hệ số bởi vì và có độ cao là thay vì như chúng ta bắt đầu. Bây giờ gọi Và Chúng ta có thể viết ( 2.15 ) thành . Áp dụng biểu thức trên với hai đoạn trên toàn hàm, cuối cùng chúng ta được : Các phân tích trung bình và sai phân riêng biệt . Để có được , ta cộng thêm một số tổ hợp tuyến tính của . Quá trình này cũng được lập lại trên hàm . Lặp lại quá trình trên cho đến khi trung bình qua các đoạn có chiều dài 2m, vì vậy: ( 2.16 ). Hàm là bằng trung bình của qua các đoạn và tương ứng. Xét đến nữa phải, nó bằng từ 0 đến, có chuẩn là . Hàm này có thể phân tích ra bằng trung bình trên đoạn cộng với hàm Haar. Hàm trung bình mới có chuẩn . Lặp lại M lần thì chuẩn của hàm trung bình giảm theo . Tương tự với đoạn trái, vì vậy ta có có thể xấp xỉ: : là sai số xấp xỉ. Sai số xấp xỉ có thể chọn một cách tuỳ ý khi là giới hạn và M có thể chọn lớn hơn một cách tuỳ ý. Cùng với việc chọn và lớn một cách tuỳ ý, đã chứng minh rằng một số hàm trong L2(R) có thể biểu diễn bằng một tổ hợp tuyến tính của Haar Wavelet. Cơ sở cho việc chứng minh ở trên là phân tích một hàm ra một xấp xỉ thô (trung bình) và một chi tiết (sai phân). Khi chuẩn của phiên bản thô dần tới 0 thì tỷ lệ tiến đến vô cùng, như vậy một số trong L2(R) có thể biểu diễn thành một dãy các chi tiếc đa phân giải . Ta tìm hiểu một số đặc tính của trường hợp Haar. Đầu tiên định nghĩa không gian của các hàm hằng số từng đoạn có chiều dài . Trong đó chứa cơ sở trực giao của là và các hàm của nó dịch đi một số nguyên lần. Gọi là bù trực giao của trong . Cơ sở trực giao của là và các hàm dịch của nó đi một số nguyên lần . Chứng minh trên dựa vào việc phân tích thành và và quá trình này được lặp lại trên các không gian sau đó. II. KHÁI NIỆM VÀ PHÂN TÍCH ĐA PHÂN GIẢI. Trong phần này ta phân tích tín hiệu ra thành các phần dựa trên dãy xấp xỉ. Một tín hiệu sẽ được xấp xỉ thô cộng với các chi tiết. Trong đó không gian con thô và không gian con chi tiết là trực giao với nhau. Nói cách khác tín hiệu chi tiết là hiệu của phiên bản thô và phiên bản tinh của tín hiệu. Bằng cách áp dụng một cách đệ quy các dãy xấp xỉ, chúng ta sẽ thấy không gian các tín hiệu đầu vào L2(R) có thể được sinh ra bởi các không gian của dãy xấp xỉ tại tất cả các độ phân giải. Khi độ phân giải chi tiết tiến đến vô cùng thì sai số xấp xỉ tiến đến 0. Độ phân giải được đưa ra bởi Matlat và Meyer nó không chỉ là cơ sở cho Wavelet mà còn là công cụ toán học rất mạnh để liên kết wavelet và phân tích băng con tín hiệu. Định nghĩa mang tính nguyên tắt của phân tích đa phân giải. Định nghĩa : Một phân tích đa phân giải bao gồm một chuỗi của khối các không gian con đóng. Sao cho Đầy đủ hợp : ( 2.17 ). Đầy đủ giao : ( 2.18 ). Bất biến tỷ lệ : ( 2 19 ). Bất biến dịch : ( 2.20 ). Tồn tại sao cho : ( 2.21 ). Là một cơ sơ trực chuẩn . Chú ý : Nếu ký hiệu là hình chiếu trực giao của lên thì ( 2.17 ) được biểu diễn: Ý tưởng phân tích đa phân giải liên hệ mật thiết với ( 2.20 ) vì tất cả các không gian chỉ là các bản được định tỷ lệ của không gian chính . Hàm trong ( 2.21 ) là hàm tỷ lệ. Dùng công thức Poisson tính trực giao của họ như trong ( 2.21 ) là tương đương trong miền biến đổi Fourier sau: ( 2.22 ). Tập hàm là một tập cơ sở của . Tính trực giao của là không cần thiết vì một cơ sở bất kỳ có thể được trực giao hoá. Ví dụ : định nghĩa là không gian của các hàm hằng số từng đoạn có chiều dài và định nghĩa là hàm Indicator của đoạn đơn vị. Lúc đó ta thấy rằng Haar Wavelet thoả mãn nguyên tắc của đa phân giải. Theo tập các không gian và tính tỷ lệ, chúng ta thấy rằng hàm tỷ lệ thoả mãn hai phương trình tỷ lệ. Khi .Vì vậy nó có thể được viết thành một tổ hợp tuyến tính của hàm cơ sở từ . Tuy nhiên, chúng ta biết rằng là một cơ sở trực chuẩn của thì có thể được viết. ( 2.23 ). Trong đó và . Lấy biến đổi Fourier hai vế ta có: Trong đó . Như vậy hàm đặc trưng cho một phân tích đa phân giải. Nó tuần hoàn với chu kỳ và có thể xem như là một biến đổi Fourier rời rạc của bộ lọc rời rạc thời gian. Cuối cùng là sự bảo toàn mối liên hệ giữa thời gian rời rạc và liên tục, nó cho phép chúng ta xây dựng các cơ sở Wavelet liên tục bắt đầu từ các bộ lọc rời rạc lặp lại. Nó cũng cho phép tính toán các khai triển Wavelet thời gian liện tục dùng các giải thuật rời rạc. Một tính chất quan trọng của là: ( 2.25 ). Chứng minh: Sử dụng ( 2.22 ) cho : ( 2.26 ). Thay ( 2.24 ) vào ( 2.26 ) ta có: Xây dựng Wavelet. Chúng ta đã trình bày một phân tích đa phân giải được đặc trưng bởi một hàm tuần hoàn, chu kỳ , với một số tính chất. Nguyên tắt ( 2.17 ) – ( 2.21 ) bảo đảm tồn tại một cơ sở cho không gian xấp xỉ . Sự quan trọng trong phân tích đa phân giải được nhấn mạnh trong định lý sau. Định lý :Với bất kỳ một không gian thoả mãn ( 2.17 ) – ( 2.21 ) thì tồn tại một cơ sở trực chuẩn cho : Sao cho là một cơ sở trực chuẩn cho . Trong đó là bù trực giao của trong . Chứng minh: Để chứng minh định lý chúng ta cần có một số định nghĩa: Gọi là bù trực giao của trong . Bằng cách lập lại lại quá trình trên cuối cùng ta có : ( 2.27 ). Do tính chất tỷ lệ của không gian Vm trong ( 2.19 ) nên cũng tồn tại một tính chất tỷ lệ cho không gian Wm. ( 2.28 ). Từ các điều kiện ở trên chúng ta xây dựng một Wavelet sao cho , là một cơ sở trực chuẩn cho . Nếu chúng ta có một Wavelet thì bằng tính chất ( 2.28 ) là một cơ sở trực chuẩn cho Cùng với các tính chất đầy đủ hợp giao thì ta thấy rằng , là một cơ sở trực chuẩn cho . Như vậy định lý đã được chứng minh. Chúng ta xây dựng một Wavelet , sao cho . ( 2.29 ). Lấy biến đổi Fourier hai vế ta có: ( 2.30 ). Trong đó là hàm tuần hoàn từ . Vì nên suy ra : Diễn tả trong miền Fourier. Hoặc tương đương : Như vậy có nghĩa rằng : ( 2.31). Thay ( 2.24) và(2.30) vào ( 2.31) đồng thời chia tổng qua l thành hai tổng qua l lẽ và l chẳn. Tuy nhiên, hàm và tuần hoàn và thay ta có. Theo ( 2.22 ) thì : Vì và không tiến đến zero cùng lúc nên ta phải có: Trong đó là tuần hoàn . Chúng ta có thể chọn : để đạt : (2.33 ). Tương ứng trong miền thời gian : Cuối cùng ta có Wavelet là : ( 2.34a). (2.34b). Ví dụ về phân tích đa phân giải . a . trường hợp Haar. Gọi là không gian của hàm hằng số qua đoạn , khi đó : . Lấy trung bình qua hai đoạn liên tiếp tạo nên hàm , hàm này là hằng số trên đoạn , rõ ràng. Quá trình lấy trung bình thực chất là lấy hình chiếu trực giao của lên , khi đó sai phân là trực giao với ( tích trong của với một hàm từ là bằng 0). Một cách khác, trực giao với .Không gian con được sinh ra bằng cách dịch . Hàm sai phân lại là hình chiếu trực giao của lên . Chúng ta biết một hàm có thể được viết là một trung bình cộng với một hàm sai phân : (2.35). Vậy Wm-1 là bù trực giao của Vm-1 trong Vm nên: . ( 2.35 ) có thể viết lại : . Tiếp tục quá trình trên ( phân tích thành ) cuối cùng ta có: . Khi các hàm hằng số từng đoạn là trùng lập , kích thước các bước dần tiến về 0 thì thoả mãn ( 2.17 ) hay ( 2.27 ) và như vậy dạng Haar Wavelet là cơ sở cho . Bây giờ ta xây dưng Haar Wavelet từ các kỹ thuật đã dùng ở phần trước. Cơ sở cho là với: Để tìm , ta viết: Vì vậy : Từ đó : Khi đó : Như vậy ta có được : Cuối cùng ta có : Hoặc Hàm Wavelet hàm tỷ lệ biến đổi Fourier của nó cho như trong hình ( 2.1). Trường hợp . Để đưa ra các Wavelet ta bắt đầu các tập không gian. Thay cho các hàm hằng số từng đoạn, ta đề cập đến các hàm băng thông hữu hạn. Gọi là không gian các hàm băng thông hữu hạn trên ( Chính xác là chỉ chứa các hàm , không chứa các hàm ). là không gian các hàm băng thông hữu hạn trên . là không gian các hàm băng thông hữu hạn ( chỉ chứa (, không chứa ). Vì vậy : trực giao với và chúng cùng sinh ra cùng một không gian . Rõ ràng, một hình chiếu của một hàm từ lên sẽ là một xấp xỉ thông thấp , trong khi đó sai phân sẽ tồn tại trong . Lập lại quá trình trên, ta có : Đây gọi là phân tích bát bộ của . Nó cũng được gọi là một bộ lọc Q hằng bởi vì mỗi băng chứa mỗi một băng thông tương đối hằng số. Rõ ràng một cơ sở trực giao cho V0 cho bởi: Là hàm tỷ lệ cho trường hợp của và không gian các hàm băng thông hữu hạn trên . Như vậy có thể được biểu diễn: ( 2.36 ). Khi đó : là bộ lọc thông thấp lí tưởng. được tính : là một bộ lọc thông cao lí tưởng với một độ dịch pha. được tính: ( 2.37). Ta được . Ta có thể xây dựng Wavelet một cách trực tiếp bằng cách biến đổi Fourier ngược hàm Indicator trên các đoạn : ( 2.38 ). Hàm trực giao với các hàm dịch nguyên lần của nó hay . Để kết hợp với định nghĩa của W0, chúng ta cần dịch đi ½ và do đó là một cơ sở trực giao cho W0 Wavelet cơ sở bây giờ là: Trong đó là một cơ sở cho các hàm có Support trên . Vì m có thể lớn hơn một cách tuỳ ý ( dương hoặc âm ), nên ta có một cơ sở cho các hàm trong L2(R). Hàm wavelet, hàm tỷ lệ và biến đổi Fourier sinc Wavelet được trình bày trong hình 2.3. III CHUỖI WAVELET VÀ TÍNH CHẤT CỦA NÓ. Định nghĩa và tính chất. a Định nghĩa. Giải một phân tích đa phân giải được định nghĩa bởi các nguyên tắt từ (2.17) – (2.21) và Wavelet mẹ cho trong (2.29) thì một hàm có thể biểu diễn: ( 2.39 ). Trong đó ( 2.40 ) Chúng ta giả sử một Wavelet là thực ( đôi khi liên hiệp phức là cần thiết ). Phương trình ( 2.39 ) là công thức phân tích. Phương trình ( 2.40 ) là công thức tổng hợp. b Các tính chất. Tuyến tính. Giả sử rằng toán tử T được định nghĩa: Với thì: Dịch: Nếu tín hiệu và hệ số biến đổi của nó được kí hiệu là và thì tín hiệu sẽ có là hệ số biến đổi của nó, đó là: Với . Do đó, nếu một tín hiệu có một khai triển tỷ lệ hữu hạn Thì tín hiệu này sẽ có tính dịch yếu tương ứng được dịch đi , đó là: Với . Tỷ lệ: Nếu tín hiệu f(t) có hệ số biến đổi Wavelet là thì: Đẳng thức Pareval. Họ Wavelet trực chuẩn thoả mãn Lấy mẫu đôi và Tiling thời gian – tần số. khi đề cập một khai triển chuỗi, điều quan trọng là xác định vị trí các hàm cơ sở trong miền thời gian- tần số. Quá trình lấy mẫu ở miền thời gian, tại tỷ lệ , được thực hiện với chu kỳ , lúc đó . Ở dạng tỷ lệ, số mũ của 2 thường được đề cập. Khi tần số là đảo của tỷ lệ thì ta thấy nếu Wavelet tập trung quanh thìtập trung quanh . Điều này sinh ra một quá trình lấy mẫu đôi của miền thời gian- tần số. Định vị : Định vị thời gian: giả sử rằng chúng ta quan tâm đến tín hiệu xung quanh . Câu hỏi đặt ra : giá trị nào sẽ mang một thông tin về tín hiệu tại , hay là vùng lưới nào sẽ cho thông tin về . Giả sử Wavelet có supprot một cách chặt chẽ trên đoạn . Do đó là supprot trên và là support trên . Vì vậy, tại tỷ lệ m, hệ số Wavelet với chỉ số thoả mãn: Sẽ được đảm bảo. Điều này có thể được viết lại: Câu hỏi ngược lại: cho một điểm trong khai triển chuỗi Wavelet, vùng nào của tín hiệu phân bố đến nó?. Từ support của , theo đó với t thoả mãn: Bảo đảm . Định vị tần số: Biến đổi Fourier của là , ta có thể viết bằng cách dùng công thức Parseval: Giả sử một Wavelet biến mất trong miền Fourier bên ngoài vùng . Tại tỷ lệ m, support của sẽ là . Vì vậy, một thành phần tần số tại bảo đảm chuỗi Wavelet tại tỷ lệ nếu. Ngược lại, cho một tỷ lệ tất cả các tần số của tín hiệu nằm giữa và sẽ bảo đảm cho các khai triển tại tỷ lệ đó. Các tính chất của hàm tỷ lệ. a. Phương trình hai tỷ lệ. Hàm tỷ lệ có thể được xây dựng từ chính nó. Trở lại định nghĩa mang tính nguyên tắt của đa phân giải hàm tỷ lệ . Tuy nhiên . Ta biết rằng là một cơ sở trực chuẩn của , do đó là một cơ sở trực chuẩn của . Điều này có nghĩa rằng một số hàm từ ( bao gồm cả ) có thể được biểu diễn thành một tổ hợp tuyến tính của các hàm cơ sở từ , đó là . Từ điều này ta có phương trình hai tỷ lệ: ( 2.41 ). Tương tự đối với Wavelet thì. ( 2.42 ). Hai hệ quả này có thể được biểu diễn trong miền Fourier. ( 2.43 ). (2.44 ). Phương trình hai tỷ lệ cũng có thể dùng là điểm bắt đầu để xây xựng một phân tích đa phân giải. trong đa phân giải. trong đó, thay cho định nghĩa mang tính nguyên tắt của một đa phân giải, chúng ta cho như ( 2.41 ) với và . Lúc đó, định nghĩa là một không gian con đóng được sinh bởi . b. Tính chất moment. Trở lại bộ lọc thông thấp trong phần dãi lọc, nó có ít nhất một zero tại , và vì vậy có ít nhất một zero tại . Khi thì nó kéo theo có ít nhất một zero tại do đó. Điều này luôn được mong đợi khi là một hàm băng thông. Một cách tổng quát, nếu với một zero bậc N tại thì Wavelet có một zero bậc N tại . Dùng định lí moment của biến đổi Fourier ta có như sau: Điều đó có nghĩa N momwent đầu tiên của Wavelet là zero Tính toán chuỗi Wavelet và giải thuật Mallat. Một đặc điểm nổi bậc của khai triển Wavelet là dựa trên nền tảng cấu trúc đa phân giải để đưa ra một giải thuật rời rạc thời gian hiệu quả, bằng cách thực hiện một dãi lọc, giải thuật này được đưa ra bởi Mallat và được gọi là giải thuật Mallat. Cho hàm và , lúc đó: ( 2.45 ). Giả sử rằng các nguyên tắt của phân tích đa phân giải vẫn giữ. Việc khảo sát hình chiếu lên và chúng ta dùng và và thoả mãn các phương trình hai tỷ lệ. Hình chiếu đầu tiên của lên là : ( 2.46 ). Bởi vì , nên : ( 2.47 ). Khi đó ( 2.46 ) trở thành : Và dùng ( 2.45 ): ( 2.48 ) Bởi vì tính trực giao của với các dịch nguyên lần của nó, tích trong ở phương trình trên thì bằng . Do đó chỉ tại thì tổng thứ hai tồn tại. Bằng cách thay đổi biến số, chúng ta có thể viết lại ( 2.48 ). ( 2.49 ). Các hệ số hình chiếu lên đạt được bằng cách lọc với và lấy mẫu giảm 2. để tính hình chiếu lên , chúng ta dùng . Gọi là hệ số hình chiếu lên hoặc: Dùng phương trình tỷ lệ cho hay khai triển cho trong ( 2.45 ), ta tính được : Trong đó Các hệ số của hình chiếu có được bằng cách lọc với và lấy mẫu giảm 2. Tương tự hình chiếu của và có thể đạt được bằng cách lọc và lấy mẫu giảm 2. Như vậy hình chiếu đạt được bằng cách lọc với , sau đó là lấy mẫu giảm 2, kết thúc quá trình lọc bởi và cũng lấy mẫu giảm 2. Gải thuật thời gian rời rạc này được gọi là giải thuật Matlal và được thực hiện để khai triễn chuỗi Wavelet. IV. BIẾN ĐỔI WAVELET LIÊN TỤC. Phân tích tổng hợp. Cho hàm Wavelet mẹ , chúng ta có thể thành lập Wavelet ( 2.50 ). và chuẩn . Giả sử Wavelet thoả mãn điều kiện cho phép ( 2.51 ) . Trong đó là biến đổi Fourier của . Biến đổi Fourier của tại là 0. Phổ của giảm ở tần số cao, wavelet có đặc tính thông qua. Bây giờ ta chuẩn hoá Wavelet sao cho nó có năng lượng là đơn vị: Biến đổi Wavelet liên tục của hàm được định nghĩa: ( 2.52 ). Hàm có thể khôi phục lại từ biến đổi của nó bởi công thức khôi phục gọi là đặc trưng phân giải: Cho biến đổi Wavelet liên tục của hàm , hàm có thể khôi phục. ( 2.53 ). Ở đây ta chỉ xây dựng lại hàm . Một cách tổng quát, công thức phân tích tổng hợp liên quan đến hai Wavelet: cho phân tích ; cho tổng hợp. Nếu cả hai thoả mãn: Thì : ( 2.54 ). Trong đó . Tính chất . Tuyến tính . Tuyến tính CWT chính là tuyến tính tích trong. Dịch. Nếu CWT là thì có CWT cho bởi: ( 2.55 ). Tỷ lệ. Nếu có là biến đổi Wavelet liên tục của nó, thì có biến đổi: ( 2.56 ). Bảo toàn năng lượng. Cho và biến đổi Wavelet liên tục của nó là thì ta có: ( 2.57 ). Cho hai hàm và có biến đổi wavelet là và thì: ( 2.58 ). V. BIỀN ĐỔI FOURIER TRONG THỜI GIAN NGẮN. Định nghĩa. Để đạt được một biến đổi Fourier cục bộ, chúng ta có thể định nghĩa một biến đổi Fourier cửa sổ. Tín hiệu đầu vào được nhân với một hàm cửa sổ và sau đó lấy biến đổi Fourier của nó. Kết quả là một biến đổi hai chỉ số được cho bởi: (2.59 ). Khi đó ta có thể biểu diễn dưới dạng tích trong: Với Mỗi hàm thành phần trong khai triển có cùng độ phân giải thời gian và tần số, một cách đơn giản là một sự định vị khác nhau ở miền thời gian – tần số. Tính chất. Các hàm dùng trong khai triển STFT có được bằng cách dịch và điều chế hàm cửa sổ : ( 2.60 ). Cho và giả sử nó có khả tích tuyệt đối. có thể được khôi phục lại trong bằng tích phân kép ( 2.61 ). STFT cũng có tính chất bảo toàn năng lượng theo định đề sau: Định đề: cho và biến đổi Fourier thời gian ngắn của nó là thì : Kết luận . Khi khai triển Wavelet là quá trình lấy xấp xỉ của một tín hiệu bất kỳ thành một tổ hợp các xấp xỉ và sai phân trên một tập không gian. Với một tỷ lệ tuỳ ý được chọn, tín hiệu sẽ được phân tích ở các độ phân giải khác nhau. Phân tích tín hiệu dùng Wavelet có các đặc tính tốt hơn dùng phương pháp Fourier cổ điển.