Đường tròn - Đường thẳng với đường tròn

như cách dựng trên . Vấn đề 4 : Tính toán hình học Ví dụ : Cho đường tròn tâm O và hai dây AB, AC vuông góc với nhau có độ dài theo thứ tự bằng 6 cm và 8 cm . Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây . Tính bán kính của đường tròn (O) . Giải : a) Vẽ OH ^ AB và OK ^ AC . Suy ra AH=BH=AB/2=3cm, AK=CK=AC/2=4cm, Ta có OHAK là hình chữ nhật (có 3 góc vuông) Nên OH = AK = 4cm ; OK = AH = 3cm b) Ta có DABC vuông tại A nên . Mà DABC vuông tại A nội tiếp trong (O) nên BC là đường kính . Do đó bán kính của đường tròn là BC/2 = 5cm Cách khác : Ta có DOBA vuông tại H nên Vậy bán kính đường tròn (O) là 5cm . Vấn đề 5 : Vận dụng chứng minh . Ví dụ : Cho đường tròn (O) và dây CD cắt đường kính AB tại I . Gọi H, K, M lần lượt là hình chiếu của A, B, O lên CD . Chứng minh CH = DK . Giải : Ta có CM = DM ( OM ^ CD) (1) Mặt khác OM//KB (cùng vuông góc với CD) và OA = OB Nên AN = NK ( N là giao điểm của OM với AK) . Ta lại có AN = NK và NM // AH (cùng vuông góc với CD)nên MH = MK (2) Từ (1) và (2) suy ra CH = DK III - Bài tập áp dụng : Bài 1 : Cho đường tròn (O) và điểm M khác O và nằm trong (O) Qua M dựng dây AM sao cho AB có độ dài lớn nhất (nhỏ nhất) . Dựng điểm P trên đường tròn (O) để góc OPM có số đo lớn nhất Hướng dẫn : Dây lớn nhất là đường kính, dây nhỏ nhất là dây vuông góc với OM tại M . Vẽ dây PQ qua M ta được góc OPM lớn nhất ó góc POM nhỏ nhất ó PQ nhỏ nhất để áp dụng câu a Bài 2 : Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B nằm ngoài (O) . Dựng đường kính CD của đường tròn sao cho AC = BD . Hướng dẫn : Đường kính CD xác định khi biết một mút của nó nên vẽ điểm A' đối xứng với A qua O ta sẽ có DA'BC cân tại C => cách xác định điểm C trên (O). Bài 3 : Cho tam giác nhọn ABC . Các đường cao AD, BE cắt nhau tại H . Chứng minh rằng : A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn . DE < CH Hướng dẫn : a) Chú ý các tam giác ADB và AEB vuông tai E và D. b) Chứng minh C, D, H, E cùng nằm trên đường tròn đường kính CH . Bài 4 : Cho đường tròn (O ; R), AB là dây cung không đi qua O . I là một điểm di động trên đoạn thẳng AB . Vẽ dây CD của đường tròn (O), CD vuông góc với AB tại I . Đường thẳng qua O song song với AB cắt CD tại K . Chứng minh KC = KD . Xác định vị trí điểm I để diện tích tứ giác ACBD lớn nhất . Hướng dẫn : a) Chứng minh OK vuông góc với CD . b) Bài 5 : Cho đường tròn (O) đường kính AD = 2R . Vẽ dây BC vuông góc với AD tại trung điểm I của OD . Chứng minh rằng tam giác ABC đều . Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo R . Hướng dẫn : a) Chứng minh tam giác ABC cân có một góc bằng 600 b) Tính độ dài BI để suy ra BC. Bài 6 : Chứng minh rằng trong một đường tròn hai dây đi qua tâm không thể cắt nhau tại trung điểm của mỗi dây . Hướng dẫn : Sử dụng phản chứng và dựa vào tiên đề EuClid về vuông góc để lập luận Bài 7 : Từ một điểm A trên đường tròn (O ; R) ta vẽ hai dây AB và AC vuông góc với nhau . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC . Chứng minh MN có độ dài không đổi khi góc BAC quay quanh A . Hướng dẫn :Tứ giác MANO là hình chữ nhật => MN= OA = R (không đổi) Bài 8 : Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I . Giả sử IA = 2cm, IB = 4cm . Hãy tính : Khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây . Bán kính đường tròn (O) . Hướng dẫn: Có IA, IB tính được AB và CD và mỗi nửa dây AB, CD, chứng minh được một hình chữ nhật để tính được các khoảng cách từ O đến mỗi dây, sau đó ứng dụng Pitago để tính bán kính . Bài 9 : Cho đường tròn (O ; 6cm) và hai dây AB và CD song song với nhau . Chứng minh AC = BD và AD = BC Tính khoảng cách từ tâm O đến AC biết khoảng cách từ O đến AM là 2cm, khoảng cách từ O đến CD là 4 cm . Hướng dẫn : a) Cần chứng minh ABDC là hình thang cân theo hướng hình thang có trục đối xứng là đường thẳng đi qua trung điểm của hai đáy . b) Vẽ thêm CH vuông góc với AB và chú ý phải tính trong hai trường hợp AB và CD nằm ở hai phía điểm O, AB và CD nằm ở một phía điểm O Bài 10 : Cho hình thang vuông ABCD (AB^BC, DC^BC) . Vẽ nửa đường tròn đường kính AD cắt BC tại E và F . Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh rằng : a) AD > AB + CD b) ÐAID > 900 c) BE = CF Hướng dẫn : a) AD = 2OE , OE > OI, OI là đường trung bình hình thang ABCD . b) OI cắt (O) tại H , có ÐAID =ÐAIO+ÐOID ; ÐAHD = ÐAHO+ÐOHD = 900 ; ÐAIO >ÐAHO, ÐOID>ÐOHD . Chứng minh BI = CI và EI = IF LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY I - Ghi nhớ : 1 - Trong một đường tròn, hai dây bằng nhau thì cách đều tâm . hai dây cách đều tâm thì bằng nhau 2 - Trong hai dây của một đường tròn, Dây nào gần tâm hơn thì lớn hơn . Dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn . II .Một số vấn đề cần thiết : Vấn đề 6 : So sánh các dây, các đoạn thẳng, các góc ... Phương pháp chung : Để so sánh các dây, các đoạn thẳng, các góc với nhau ta có thể sử dụng các định lý về mối quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây, các bất đẳng thức trong tam giác, mối quan hệ giữa góc và cạnh trong một tam giác ... Ví dụ 1 : Cho đường tròn (O ; 6cm) và hai dây AB và CD không song song nhau có độ dài theo thứ tự là 8cm và 10cm . Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD . Hãy so sánh các góc OMN và ONM . Hãy so sánh diện tích hai tam giác OCD và OAB Giải : a) So sánh hai góc OMN và ONM Ta có AB =8cm < 12cm nên dây AB không qua tâm O Và CD = 10cm < 12cm nên dây CD không qua tâm O Vì AM = MB và CN = ND nên OM^AB và ON^CD Vì AB = 8 cm ON Do đó ÐONM > ÐOMN . b) So sánh diện tích của hai tam giác OCD và OAB Ta có các tam giác OCN và OAM vuông nên và Do đó ; Vì nên Vấn đề 7 : Chứng minh hai dây bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau Phương pháp chung : Để chứng minh hai dây bằng nhau hay các đoạn thẳng có liên quan đến các dây bằng nhau ta có thể chứng minh các dây đó cách đều tâm hay tổng các đoạn thẳng tạo nên đoạn thẳng đó bằng nhau . Ví dụ : Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD bằng nhau và cắt nhau tại điểm I nằm bên trong đường tròn . Chứng minh rằng : IO là tia phân giác của một trong các góc tạo bởi hai dây AB và CD . Điểm I chia AB và CD thành các đoạn thẳng bằng nhau từng đôi một . Giải : a) Chứng minh IO là phân giác góc DIB Ta vẽ OK^CD và OH^AB. Vì AB = CD nên OK = OH Do đó IO là tia phân giác của góc DIB ( O cách đều hai cạnh của góc đó) b) Chứng minh AI = CI ; DI = BI Xét DIKO và DIHO có OH = OK, OI chung, và ÐK=ÐH=900 nên DIKO = DIHO (ch - gn) Suy ra HI = KI . Mà AH = HB =(OH^AB) ; CK= KD =(OK^CD) Và AB = CD nên AH = HB = CK = KD Do đó AH - HI = CK - KI ; IK + KD = IH + HB Hay AI = CI ; DI = BI . III - Bài tập áp dụng : Bài 1 : Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O) .Kẻ hai cát tuyến MAB và MCD (A nằm giữa M và B, C nằm giữa M và D) gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD . Cho biết ME < MF, hãy so sánh MB và MD Hướng dẫn : Chứng minh được OE > OF nhờ ME2 + OE2 = MF2 + OF2 = MO2 Bài 2 : Cho đường tròn (O) và hai dây AB, CD song song nhau . So sánh khoảng cách từ tâm O đến hai dây AC và BD Hướng dẫn : Chứng minh ABDC là hình thang cân để có AC = BD Bài 3 : Cho DABC cân tại A (ÐA>600) nội tiếp trong đường tròn (O) . Gọi OD, OE, OF lần lượt là khoảng cách từ O đến AB, BC, CA . So sánh : a) OD và OF b) OD và OE Hướng dẫn : a) chú ý AB = AC b) Chú ý điều kiện ÐA>600 và ÐB=ÐC Bài 4 : Cho góc xOy khác góc bẹt, hai cạnh Ox, Oy cắt đường tròn tâm M theo hai dây AB và CD sao cho AB > CD . Vẽ MH ^ AB tại H, MK ^ CD tại K . So sánh OH với OK . Hướng dẫn : Tương tự hướng dẫn bài 1 Bài 5 : Cho đường tròn (O) và các dây AB, CD bằng nhau . Các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E ở ngoài đường tròn . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và CD . Chứng minh EO là tia phân giác của góc HEK . Tứ giác ABDC là hình gì ?Vì sao ? Hướng dẫn : a) DEHO=D EKO b) ABDC là hình thang cân Bài 6 : Cho đường tròn (O), các bán kính OA và OB . Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M và N sao cho AM = BN . Gọi C là giao điểm của các đường thẳng AM và BN . Chứng minh rằng : OC là phân giác góc AOB . OC vuông góc với AB . Hướng dẫn : Vẽ các đoạn thẳng OH, OK theo thứ tự vuông góc với AM , BN . VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN I - Ghi nhớ : 1 - Đường thẳng và đường tròn có nhiều nhất hai điểm chung . 2 - Cho đường tròn (O ; R) và đường thẳng a . Gọi d là khoảng cách từ tâm O với đường thẳng a (d = OH , OH ^a, H Î a) . Ta có ba vị trí tương ối của đường tròn (O ; R) với đường thẳng a như sau : a - Đường thẳng a cắt đường tròn (O ; R) ó số điểm chung : 2 ó d < R . Khi đó đường thẳng a được gọi là cát tuyến . b - Đường thẳng a tiếp xúc đường tròn (O ; R) ó số điểm chung : 1 ó d = R . Khi đó đường thẳng a được gọi là tiếp tuyến của đường tròn (O ; R) và H gọi là tiếp điểm . c - Đường thẳng a và đường tròn (O ; R) không giao nhau ó số điểm chung : 0 ó d > R . 3 - Tính chất của một tiếp tuyến : Nếu đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O) thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm . II .Một số vấn đề cần thiết : Vấn đề 8 : Vị trí tương đối của một đường thẳng với một đường tròn . Phương pháp chung : Ta sử dụng mối quan hệ hai chiều của vị trí tương đối của đường tròn (O ; R) với đường thẳng bằng cách so sánh khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng với bán kính của đường tròn . Ví dụ : Cho điểm A cách đường thẳng xy là 12cm . Vẽ đường tròn (A ; 13cm) . Chứng minh rằng đường tròn (A ; 13cm) có hai giao điểm với đường thẳng xy . Gọi B và C là hai giao điểm nói trên . Tính độ dài BC . Giải : a) Đường tròn (A ; 13cm) có hai giao điểm với đường thẳng xy Vẽ AH ^ BC, ta có AH = 12 cm < R = 13cm nên đường thẳng a cắt đường tròn (O ; 13cm) . Do đó đường thẳng xy có hai điểm chung với (A) b) Độ dài BC Vì AH ^BC nên BC = 2.CH và Do đó BC = 10cm Vấn đề 9 : Chứng minh, tính toán hình học : Phương pháp chung : Sử dụng tính chất vuông góc của tiếp tuyến với bán kính đi qua tiếp điểm và các hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh hay tính toán Ví dụ : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Một đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tại M . Từ A và B vẽ AE, BF lần lượt vuông góc với d (E, F Î d) . Chứng minh AE + BF không đổi khi M chạy trên nửa đường tròn . Kẻ MD ^ AB, chứng minh rằng MD2 = AE.BF Xác định vị trí của M để AE.BF lớn nhất . Giải : a) Chứng minh rằng AE + BF không đổi khi M chạy trên nửa đường tròn . Ta có AE ^ d, BF^d (gt) và OM^d (d là tiếp tuyến của (O)) Nên AE // BF // OM . Mà AO = OB = bk nên EM = MF . Do đó OM là đường trung bình của hình thang AEFB . Cho nên AE + BF = 2OM = không đổi b) Chứng minh MD2 = AE.BF Ta có ÐAMB = 900 (MÎđường tròn đường kính AB) Mà MD ^ AB nên MD2 = AD.BD (1) Xét DAEM và DADM có ÐE=ÐD=900, AM chung và ÐEMA=ÐDMA (phụ với ÐAMD=ÐMAD) Nên DAEM và DADM => AE = AD (2) Tương tự ta chứng minh được BF = BD (3) Từ (1), (2) và (3), ta được MD2 = AE.BF c) Vị trí M để AE.BF lớn nhất Ta có MD2=AE.BF nên AE.BF lớn nhất khi MD lớn nhất . Mà MD £ MO Nên MD lớn nhất khi MD là bán kính tức D trùng với O và M là điểm chính giữa của nửa đường tròn (O) . IV - Bài tập áp dụng : Bài 1 : Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho I(- 3 ; 2) . Nếu vẽ đường tròn (I ; 2) thì đường tròn đó có vị trí tương đối như thế nào đối với các trục tọa độ . Hướng dẫn : (I ; 2) tiếp xúc với trục Ox và không giao nhau với trục Oy . Bài 2 : Cho đường tròn (O ; 2cm) và một điểm A nằm ngòa đường tròn (O) . một cát tuyến qua A và đường tròn tại B và C sao cho AB = BC . Vẽ đường kính COD . Tính độ dài AD . Hướng dẫn : AD=4cm (có thể chứng minh DADC cân tại D hay AD = 2OB) Bài 3 : Cho hình thang vuông ABCD (ÐA =ÐD =900), AB= 4cm, BC = 13cm, CD = 9cm . Tính độ dài AD . Chg minh đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn có đường kính là BC . Hướng dẫn : a) Vẽ thêm BH^CD .b) Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC dến AD để so sánh với bán kính đường tròn và kết luận . Bài 4 : Cho đường tròn (O), bán kính OA, dây CD là đường trung trực của OA . Tứ giác OCAD là hình gì ? vì sao / Vẽ tiếp tuyến với đường tròn tại C, tiếp tuyến này cắt đường thẳng OA tại I . Tính độ dài CI biết OA = R Hướng dẫn : a) OCAD là hình thoi . b) Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông . Bài 5 : Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB . Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, vẽ tiếp tuyến d của nửa đường tròn . Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến d . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB . Chứng minh rằng : a) CE = CF b) AC là tia phân giác của góc BAE c) CH2= AE.BF Bài 6 : Cho điểm A và đường tròn (O ; 8cm) biết OA = 16cm . Vẽ một đường thẳng d qua A và tạo với AO một góc a . Hỏi số đo góc a phải như thế nào để : đường thẳng d không giao nhau với đường tròn . đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn . đường thẳng d cắt đường tròn . d cắt đường tròn tại hai điểm C và D sao cho CD = 12cm . Hướng dẫn : Vẽ OI vuông góc với d, ta có OI = AO.sina = 16.sina . So sánh 16.sina với R = 8cm để tìm ra điều kiện của góc a Giả sử dựng được cát tuyến ABC theo đề bài . Gọi I là trung điểm BC . Ta có BI=AI/3. Vẽ BP//OI ta được AP=2AO/3 và ÐABP = 900. Do đó điểm P xác định được và từ đó xác định được điểm B Bài 7 : Cho đường tròn (O ; R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn . Hãy dựng một cát tuyến ABC sao cho AB = BC Hướng dẫn : Bài 8 : Cho đường tròn (O ; R) và điểm I nằm bên trong đường tròn . Dựng dây AB đi qua I và có độ dài bằng k ( k < 2R) . Hướng dẫn : Dây AB đó là tiếp tuyến đi qua I của đường tròn Bài 9 : Cho đường tròn (O ;R) . Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) . Kẻ cát tuyến ABC sao cho phần ở ngoài (O) là AB = R . Vẽ cát tuyến AED đi qua O (E nằm giữa A và D) . Chứng minh ÐCOD = 3ÐCAD Tính số đo ÐCAD trong trường hợp AB = BC = R . Hướng dẫn : a) Sử dụng góc ngoài tam giác và góc của tam giác cân . b) Tam giác OBC đều . DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN . I - Ghi nhớ : 1 - Nếu một đường thẳng đi qua một điểm thuộc đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đố thì đường thẳng này là tiếp tuyến của đường tròn . 2 - Nếu một đường thẳng mà khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn . II. Một số vấn đề cần thiết : Vấn đề 10 : Nhận biết một tiếp tuyến Phương pháp chung : Muốn nhận biết một đường thẳng là một tiếp tuyến của một đường tròn, ta thường chứng minh hai việc : đường thẳng đó phải vuông góc với bán kính tại một điểm A . điểm A đó phải thuộc đường tròn . Ví dụ : Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BH . Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, vẽ tia Bx vuông góc với AB . Tia Bx cắt đường tròn (B ; BH) tại E. Chứng minh CE là tiếp tuyến của đường tròn (B ; BH) Giải : Chứng minh CE là tiếp tuyến của đường tròn (B ; BH) }=>ÐHBC=ÐEBC Ta xét DBHC và DBEC có BC chung, BH = BR= bk ÐHBC+ÐHCB=ÐCBE+ÐABC=900 ÐACB =ÐABC (DABC cân tại A) Nên DBHC = DBEC (c.g.c) =>ÐBEC = ÐBHC = 900 Hay CE ^ BE mà E Î (B ; BH) (gt) Do đó CE là tiếp tuyến của (B ; BH) . Vấn đề 11 : Dựng hình qua tiếp tuyến Ví dụ : Cho đường thẳng m, điểm A Î m và điểm B Ï m . Dựng đường tròn tâm O đi qua B và tiếp xúc với đường thẳng m tại A Giải : a) Phân tích : Giả sử dựng được đường tròn (O) theo đề bài thì tâm O phải là giao điểm của đường trung trực của đoạn thẳng AB và đường thẳng d vuông góc với m tại A, bán kính đường tròn lúc đó là OA hoặc OB . b) Cách dựng : Dựng đường trung trực a của BC . Dựng đường thẳng a vuông góc với m tại A . d và a cắt nhau tại O Dựng đường tròn (O ; OA) c) Chứng minh : Ta có m ^ OA tại A (theo bước dựng 2 và 3) Ta lại có OA = OB (theo bước dựng 1 và 3) d) Biện luận : Bài toán luôn có một nghiệm hình III - Bài tập áp dụng : Bài 1 : Cho hình thang vuông ABCD (ÐA=ÐB=900) có ÐCMD = 900 với M là trung điểm của AB . Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD . Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB . Giả sử AB = 2a . Tính BC.AD theo a . Hướng dẫn : a) Chứng minh AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD tại M . b) Vẽ MH^CD . Chứng minh MH = MB c) Chứng minh BC.AD = CH.HD = MH2 = a2 Bài 2 : Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H . Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AH . Hướng dẫn : Chứng minh E thuộc đường tròn đường kính AH và ÐDEO = 900 . Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông ở A, AB < AC, đường cao AH . Gọi E là điểm đối xứng của B qua H . Đường tròn tâm O đường kính EC cắt AC tại K . Gọi M là trung điểm HK . Chứng minh a) Tam giác AHK cân b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CE Hướng dẫn : a) Chú ý HM vừa là trung tuyến vừa là đường cao (đtb của AKEB) b) Chứng minh ÐHKO=900 bằng cách ÐHKA +ÐCKO = 900 Bài 4 : Cho đường thẳng xy, điểm A và đường tròn tâm O nằm cùng phía với xy. Dựng điểm M nằm trên đường thẳng xy sao cho nếu vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn (O) thì ÐxMA = ÐyMB Hướng dẫn : M là giao điểm của xy với tiếp tuyến của đường tròn tâm O vẽ từ điểm A' (A' là điểm đối xứng của A qua xy) Bài 5 : Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không giao nhau . Dựng tiếp tuyến của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến đó song song với d . Hướng dẫn : Tiếp tuyến cần dựng phải có tiếp điểm là giao điểm của (O) với đường thẳng vẽ từ O vuông góc với d Bài 6 : Cho nửa đường tròn (O ; R) . Vẽ dây AB, đường kính AC . Điểm M di dộng trên nửa đường tròn (O) (M khác A và C) . Đường thẳng đi qua trung điểm K của dây MB vuông góc với AM tại E cắt BC tại N . Chứng minh rằng : a) AM là tiếp tuyến của đường tròn (C ; CM) . b) N là trung điểm của BC . c) E luôn di động trên một đường cố định . Hướng dẫn : c) E luôn di dộng trên nửa đường tròn đường kính AN . Bài 7 : Cho đường tròn (O ; R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A . Vẽ đường kính AB. Dựng tiếp tuyến với (O ; R) tại M và vuông góc với d . BM cắt d tại N . Chứng minh M là trung điểm của BN . Chứng minh BN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AM . Hướng dẫn : a) Tiếp tuyến cần dựng cách AB một khoảng bằng R b) Sử dụng định lý Thalets c) Chứng minh AM vuông góc với BN . Bài 8 : Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O ; R) vẽ tiếp tuyến AB với đường tròn ( B là tiếp điểm) . Vẽ dây BC vuông góc với OA . Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) . Cho R = 15cm, OA = 25cm . Tính các cạnh của tam giác ABC . Hướng dẫn : a) Chứng minh D ABO =D ACO . b) AB = AC = 20cm , BC = 24cm Bài 9 : Cho hai đường tròn đồng tâm (O ; R) và (O ; r) . Từ một điểm M ở ngoài hai đường tròn vẽ các tiếp tuyến MP và MQ (P Î (O ; R), Q Î (O ; r)) . Gọi I là trung điểm MO . Chứng minh tam giác IPQ cân . Hướng dẫn : IP, IQ là các trung tuyến của các tam giác vuông có chung cạnh huyền . Bài 10 : Cho hai đường tròn đồng tâm (O ; R) và (O ; r) và R = 2r . Đường tròn (O' ; a) cắt (O ; R) tại M và N . Hai bán kính OM và ON cắt (O ; r) tại P và Q . Vẽ hai tiếp tuyến của (O ; R) tại M và N, chúng cắt nhau tại I . Chứng minh : O'P và O'Q là các tiếp tuyến của (O ; r) . Ba điểm O, O' và I thẳng hàng . Hướng dẫn : a) Các tam giác O'OM và O'ON cân . b) O, O', I cùng nằm trên đường phân giác của góc MON . Bài 11 : Cho hình vuông ABCD . Trên đoạn BD lấy điểm I sao cho BI = BA . Đường thẳng vuông góc với BD tại I cắt AD tại E . Chứng minh BD là tiếp tuyến của đường tròn (E ; EA) Hướng dẫn : Chứng minh DABE=DIBE. Bài 12 : Cho đường tròn (O;R), đường kính AD . Vẽ đường tròn (D;R) cắt (O;R) tại B và C . Chứng minh tứ giác BDCO là hình thoi . Tam giác ABC là tam giác gì ? Vì sao . Từ đó nêu cách vẽ một tam giác đều nội tiếp trong một đường tròn . Kéo dài AD một đoạn DO' = R . Vẽ đường tròn (O' ; O'B) . Chứng minh đường tròn này cũng đi qua C và tiếp xúc với OB, OC . TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU I - Ghi nhớ : 1 - Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì : Điểm đó cách đều hai tiếp điểm . Tia vẽ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến . Tia vẽ từ tâm di qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua hai tiếp điểm . Nhận xét : Đường thẳng di qua tâm và điểm đó là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai tiếp điểm . 2 - Tóm tắt các loại đường tròn của tam giác . Đường tròn Chủ đề Ngoại tiếp tam giác Nội tiếp tam giác Bàng tiếp tam giác Định nghĩa Là đường tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác đó . Là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác đó . Là đường tròn tiếp xúc với một cạnh và hai cạnh kia kéo dài của tam giác Số lượng 1 1 3 Vị trí của tâm Tâm là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác Tâm là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác Tâm là giao điểm của một đường phân giác trong và hai đường phân giác ngoài của tam giác II. Một số vấn đề cần thiết : Vấn đề 12 : Chứng minh và tính toán hình học Ví dụ : Cho tam giác ABC có AB =5cm. AC = 7cm và góc BAC = 600 . Một đường tròn tâm I bàng tiếp trong góc A của tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D Chứng minh AB + BD = AC + CD Xác định bán kính của đường tròn (I) Giải : a) Chứng minh AB + BD = AC + CD Gọi E và F là hai tiếp điểm của (I) với các tia AC và AB . Ta có : BF = BD ; CD = CE (1) Ta lại có AF = AE ó AB + BF = AC + CE (2) Từ (1) và (2) ta có AB + BD = AC + CD b) Bán kính của (I) Ta có CDABC=AB+BC+AC=AB+BD+CD+AC= AF + AE = 2AF Vẽ BH ^ AE, ta tính được BH = ABsin600 = ; AH = ABcos600 = . BC2=HC2+HB2=(AC-AH)2+HB2=. Suy ra BC= Do đó Vì ÐBAC = 600 và AF, AE là hai tiếp tuyến nên AI là phân giác ÐBAC hay ÐFBI = 300 . Do đó III- Bài tập áp dụng : Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH . Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH cắt AB và AC lần lượt tại E và F . Chứng minh rằng E, O, F thẳng hàng . Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại E và F cắt BC lần lượt tại M và N . Chứng minh MO // AB, NO // AC . Tam giác MON có đặc điểm gì quan trọng ? Cho AB = 8cm, AC = 16cm . Tính diện tích tứ giác MEFN . Giả sử A chuyển động nhưng luôn nhìn BC dưới một góc vuông . Tìm vị trí của A để diện tích tứ giác EMNF lớn nhất . Hướng dẫn : a) AEHF là hình chữ nhật b) ME,MH và NH, NF là các cặp tiếp tuyến c) SMNFE = 2SMNO=16cm2. d) SMNFE = (EM+FN).EF/2=OH.EF=2OH2 Bài 2 : Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O ; R), kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn, MO cắt tia AN tại E, NO cắt tia AM tại F . Chứng minh EF // MN . Biết OA = 7cm, R = 5cm . Hãy tính khoảng cách từ A đến MN Hướng dẫn : a) AO là đường trung trực của MN và D AME=DAFN . b) AH = AM .sinMAO Bài 3 : Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp trong đường tròn (O) . Từ A vẽ đường thẳng d // BC . Chứng minh rằng d là tiếp tuyến của đường tròn (O) . Tìm trên d điểm M sao cho MA = MC . Vẽ hình bình hành ABCD, chứng minh AC, MO, BD đồng quy . Hướng dẫn :a) Chứng minh d và BC cùng vuông góc với AO b) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O). c) MO, AC, BD đồng quy tại trung điểm I của AC Bài 4 : Cho đường tròn (O ; R) . Gọi B là điểm đối xứng của O qua điểm A bất kỳ trên (O) . Từ B vẽ các tiếp tuyến BM và BN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm) . Gọi H là giao điểm của OA và MN . Chứng minh tam giác BMN đều . b) Tứ giác AMON là hình gì ? Vì sao ? c ) Tính BM và OH theo R . Hướng dẫn : a) D ABC cân tại B và Ð MBO = 600 . b) AMON là hình thoi . c) Bài 5 : Cho nửa đường tròn (O ; R), đường kính AB . Vẽ về một phía của AB các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn và tia Oz vuông góc với AB . Gọi E là điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn . Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại E cắt Ax, By và Oz theo thứ tự tại C, D, M . Chứng minh rằng khi E thay đổi vị trí trên nửa đường tròn thì : Tam giác COD vuông và tích AC.BD không đổi . Tứ giác ACBD có diện tích nhỏ nhất khi nó là hình chữ nhật . Tính diện tích nhỏ nhất đó theo R . Hướng dẫn :a) OC và OD là hai tia phân giác của hai góc kề bù ; OC.OD = R2 b) ACDB là hình thang và Smin =2R2 . Bài 6 : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Vẽ cung tròn BD tâm C bán kính a . Gọi E là một điểm bất kỳ thuộc cung BD . Qua E vẽ tiếp tuyến với cung đó cắt AB, AC theo thứ tự tại M và N . a) Tính chu vi tam giác AMN . b) Tính số đo góc MCN . c) Chứng minh rằng Hướng dẫn : a) AM + AN + MN = 2a ; b) MCN = 450 c) Có MN = ME + NE = MB + ND và MN MN AM, MN > AN và MN = MB + MD nên 3MN > AM + MB + AN + ND = 2a => MN > 2a/3 Bài 7* : Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AK và AH (H và K là hai tiếp điểm) .Từ điểm M trên cung nhỏ HK của đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến CB (C, B nằm trên AK và AH) . Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi khi M di động trên cung nhỏ BC . Vận dụng kết quả trên hãy giải bài toán sau : Cho góc xAy và điểm M nằm trong góc đó . Qua M dựng đường thẳng cắt Ax và Ay theo thứ tự ở B và C sao cho chu vi tam giác ABC bằng 2a ( a là một số cho trước) . Hướng dẫn : a) CDABC = AB+BC+CA = AB+AC+CK+BH = 2AK . b) Lấy H, K trên Ax, Ay sao cho AH = AK= a . Dựng (O ; OH) với O là giao điểm của hai đường thẳng vuông góc với Ax tại H và Ay tại K ; Qua M vẽ tiếp tuyến với (O), cắt (O) tại B và C . Bài toán có một nghiệm hình khi M thuộc cung nhỏ HK, có hai nghiệm hình khi M nằm trong tam giác cong AHK bị giới hạn bởi hai tia AH, AK và cung nh