Ebook Bài tập Đại số sơ cấp

x y I x y x y x xy y II x y x y  =  + − + − = ⇔   + + − =  + − + − = Giải ( )I 2 1 5 2 1 5 2( ) 1 0 1 5 2 1 5 2 x y x y I x x x y  + =   + == ⇔ ⇔  − − =  −  =   − = Giải ( )II 2 2 2 ( ) 7 0( ) ( ) 2 ( ) 2 0 ( ) 5 0 ( ) 2 ( ) 2 0 x y xy II x y xy x y xy x y x y xy x y  + − − = ⇔  + − − + − = + + − = ⇔  + − − + − = Đặt 2, , ( 4 )S x y P xy S P= + = ≥ Như vậy ta có 122 2 3 25( ) 12 0 4 9 S PP S II S S S P  =  == − ⇔ ⇔ + − = = −  = Ta nhận 3 2 S P =  = suy ra ,x y là nghiệm của phương trình bậc hai 2 13 2 0 2 X X X X = − + = ⇔  = Vậy ta có 1 2 2 1 x x y y = =  ∨  = =  Hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là ( ) ( ) 1 5 1 5 1 5 1 51;2 , 2;1 , ; , ; . 2 2 2 2    + + − −            12) 4 4 2 3 10 2 3 4. x y x y  + + − =  + + − = (I) Điều kiện: 2 3. x y ≥ −  ≥ Đặt 4 4 2 3. u x v y  = +  = − (Với 0, 0u v≥ ≥ ). (*) 2 2 2 3. u x v y  = + ⇔  = − Hệ phương trình (I) trở thành 2 2 4 10 u v u v + =  + = 2 4( ) 2 10 34 u vu v uv uvu v + = + − =  ⇔ ⇔  =+ =  ⇔ 1 3 u v =  = ∨ 3 1. u v =  = 1 3 u v = +  = 4 4 2 1 2 1 1 3 81 843 3 x x x y yy  + = + = = −  ⇔ ⇔ ⇔   − = = − =   (Nhận). 3 1 u v = +  = 4 4 2 3 2 81 79 3 1 4.3 1 x x x y yy  + = + = =  ⇔ ⇔ ⇔   − = = − =   (Nhận). 123 Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( 1;84), (79;4).− 13) ( )( )( ) 2 2 1 1 2 6( ) 2 2 3 0 x y x y I x y x y  − − + − =  + − − − = Ta có ( )( )( ) ( ) ( )2 2 1 1 1 1 6 ( ) 1 1 5 x y x y I x y  − − − + − = ⇔  − + − = Đặt 1 1 X x Y y = −  = − , hệ phương trình đã cho trở thành ( ) ( ) ( )22 2 66 5 2 5 XY X YXY X Y X Y X Y XY  + = + =  ⇔  + = + − =   Đặt 2; 4 0 S X Y S P P XY = + − ≥ = , ta có hệ 2 2 3 6 6 . 6 2 12 32 5 5 5 12 0 PS P P PS S SS P S S S S  == = =   ⇔ ⇔ ⇔    = − =    − = − − = Như vậy ta có 3 1 2 1 1 1 2 2 3 2 2 1 1 2 1 1 3 2 X Y X X x x x x XY Y Y y y y y + = = = − = − = = =       ⇔ ∨ ⇔ ∨ ⇔ ∨       = = = − = − = = =       Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( ) ( )2;3 , 3;2 . 14) 2 2 2 1 7 1 13 xy x y x y xy y + + =  + + = · 0 :y = Hệ phương trình đã cho vô nghiệm. · 0 :y ≠ Hệ phương trình đã cho tương đương với 2 2 1 7 1 13 x x y y x x y y  + + =    + + =  . Đặt 2 2 2 22 2 1 1 1 ; 2 2 .x xa x b a x x a b y y y y y = + = ⇒ = + + ⇒ + = − Ta có hệ phương trình theo ẩn mới 2 2 7 7 7 4 513 20 0 a b a b a b a aa b a a + = + = + =   ⇔ ⇔   = ∨ = − − = + − =   124 2 2 1 4 4 3 0 14 3 13 3 3 5 1 5 12 0 35 ( )12 1. 1212 x y x x x a x xyb y y a x x xx VNyb x yy x y  + =  − + =  =  =    = =   = =     ⇔ ⇒ ⇔ ⇔  = −    + + = =+ = −    =     = =   =  Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( )11; , 3;1 . 3       15) ( ) ( )2 2 1 3 0 5 1 0 x x y x y x  + + − =   + − + =  . Điều kiện: 0.x ≠ Hệ phương trình đã cho tương đương với ( ) ( ) ( ) ( )2 22 22 1 3 0 1 3 0 51 5 x x y x x y x y x x y x x  + + − =  + + − =  ⇔  + + = + + =  . Đặt ( ).t x x y= + Ta có hệ phương trình ( )22 2 33 3 2 1 2 1 2.5 2 5 t xt x t x x x tx t tt x t x tx + =+ = + = = =    ⇔ ⇔ ⇔ ∨     = = =+ = + − =     Như vậy, ta có ( ) ( ) 21 2 1 3 1.2 1 2 x x x y x x y x yyx x = + = + = =   ∨ ⇔ ∨    == −= =     (Thỏa điều kiện) Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( )32; , 1;1 . 2   −    II.15. 1) 2 2 3 4 3 4 x xy y y xy x  − =  − = (1) ( ) ( )( )2 2 22 4 04(1) 3 43 4 x y x yx y x y y xy xy xy x   − + + =− = − −  ⇔ ⇔  − =− =   2 2 2 2 0 3 4 2 0 0 24 4 2.3 4 4 4 0 x y x y x y xy x x x y xy x y x yy xy x x x  = =   =     − = + = =    ⇔ ⇔ ⇔   = −= − − = − −        = −− = + + =    Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( ) ( )0;0 , 2; 2 .− − 125 2) 2 2 17 0 17 0 x y x y x y  + − =   + − =  (1) Điều kiện: 0, 0.x y≠ ≠ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 23 2 3 2 3 2 2 2 2 3 3 2 7 07 1 0(1) 7 1 0 7 1 0 1 24 3 0(*) 18 1 .7 1 0 2 x y x xy y xyx x y y xy y xy x y x x y x y x y x yy xy    − + + + = + − =   ⇔ ⇔  + − =  + − =  = = =   + + + =⇔ ⇔ ⇔   =  = + − =   (Do 0, 0x y≠ ≠ nên (*) vô nghiệm) Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là 1 1; . 2 2       3) 2 2 1 2 1 1 2 1 x y x y x y  = − + −  = − + − ( )1 Điều kiện: 1 1 x y ≥  ≥ ( )1 2 2 2 1 1 2 1 1 x x y y y x  − + = − ⇔  − + = − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 2 x y y x  − = − ⇔  − = − ( ) ( )42 1 1y x⇔ − = − ( )41 1y x⇔ − + = Thế giá trị x vừa tìm được vào ( )1 ta được: ( )81 1y y− = − ( )a Đặt: ( )1 0t y t= − ≥ ( ) 16a t t⇔ = ( )15 1 0t t⇔ − = 15 0 1 t t = ⇔  = 0 1 t t = ⇔  = 1 2 y y = ⇔  = 126 Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( )1;1 và ( )2;2 . Chú ý. Có thể giải bằng cách khác như sau: Trừ từng vế của hai phương trình của hệ đã cho ta được 2 2 2 21 1 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ).(*) x y y x x y x x x y y y f x f y − = − − − + − ⇔ − + − = − + − ⇔ = Xét hàm số 2( ) 2 1, [1; ).f t t t t t= − + − ∈ +∞ Hàm số này đồng biến trên tập xác định, do đó ta có (*) .x y⇔ = Từ đó tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho là ( )1;1 , ( )2;2 . 4) ( ) ( )3 1 1 1 2 1 2 x y x y y x  − = −   = + Điều kiện: 0 0 x y ≠  ≠ Ta có ( ) ( ) 1 11 1 1 0 1 x y x y x y xy y x y x ⇔ − = −   ⇔ − + =    = ⇔  = −  + Thế y x= vào phương trình ( )2 ta được ( ) ( )( ) ( ) 3 2 2 2 2 0 1 2 0 1 ì 2 0, x x x x x x v x x x ⇔ + − = ⇔ − + + = ⇔ = + + > ∀ Vậy, nghiệm của hệ phương trình là (1;1). + Thế 1y x = − vào phương trình ( )2 ta được ( ) 42 2 0x x⇔ + + = ( )3 Xét hàm số 4 3 3 3 1 1( ) 2 4 1 0 ; ( ) 0. 4 4 y f x x x y x x f′= = + + ⇒ = + = ⇔ = − − < Lập bảng biến thiên của hàm số ( )f x ta kết luận được đồ thị của hàm số không cắt trục hoành. Suy ra phương trình ( )3 vô nghiệm. 127 Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là (1;1). 5) 4 3 2 2 2 2 2 9 2 6 6 x x y x y x x xy x  + + = +  + = + (I) Xét 0,x = khi đó hệ phương trình trở thành 0 9 0 6 =  = (Vô nghiệm) Xét 0x ≠ , khi đó hệ phương trình (I) tương đương với 2 2 2 ( ) 2 9 (1) 6 6 (2) 2 x x y x x xy x  + = +   − + + =  Thay (2) vào (1) ta được 22 2 22 2 2 2 22 6 6 2 9 2 6 6 2 9 2 ( 6 6) 4(2 9) ( 3) 3 8( 3) 12 (3) x x x x x x x x x x x x x x x x   − + + + = +     + + ⇔ = +    ⇔ + + = +  ⇔ + − = + +  Đặt 3,t x= + khi đó (3) trở thành ( )22 4 2 3 3 8 12 6 9 8 12 ( 1) ( 3) 0 1 0 1 3 0 3 t t t t t t t t t t t − = + ⇔ − + = + ⇔ + − = + = = −  ⇔ ⇔  − = =  · Với 3t = ta được 3 3 0x x= + ⇔ = (Loại) · Với 1t = − ta được 1 3 4x x− = + ⇔ = − (Nhận), thay 4x = − vào (2) ta được 2( 4) 6( 4) 6 17 2( 4) 4y − − + − + = = − Vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là 174; . 4   −    6) 2 22 ( ) 2 1 2 2 xy x y x y I x y y x x y  + + = −  − − = − 128 Điều kiện: 1 0 x y ≥  ≥ (*) ( )I 2 ( )( ) 2 1 2 2 xy x y y x y x y x y y x x y  + + + = + − ⇔  − − = − ( 1) ( 1) ( )( ) 2 1 2 2 ( 1)( ) ( )( ) 2 1 2 2 ( )(2 1) 0 2 1 2 2 0 2 1 2 1 2 2 x y y y x y x y x y y x x y y x y x y x y x y y x x y x y y x x y y x x y x y x y x y y x x y + + + = + − ⇔  − − = − + + = + − ⇔  − − = − + − + = ⇔  − − = −  + =  = +⇔   − − = − Do điều kiện (*) nên ta loại trường hợp 0.x y+ = Như vậy ta chỉ có trường hợp 2 1 2 1 2 2 y x x y y x x y + =  − − = − 2 1 (2 1) 2 2 2(2 1) 2 2 1 2 ( 1) 2( 1) 2 1 ( 1)( 2 2) 0 2 1 ( 1 0) 2 2 0 y x y y y y y y y x y y y y x y y y x y y + = ⇔  + − = + − + = ⇔  + = + + = ⇔  + − = + = ⇔ + > − = 5 2 x y = ⇔  = (Nhận) Vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (5;2) . 4 3 2 2 3 2 1 7) ( ) 1 x x y x y I x y x xy  − + =  − + = − Ta có ( ) ( ) 22 3 3 2 1 ( ) 1 x xy x y I x y x xy  − + = ⇔  − − = − 129 Đặt 2 3 , u x xy v x y  = −  = khi đó ta có hệ phương trình ( ) 2 2 22 2 23 1 1 2 0 2 1 1 1 1 2 0 3 11 1 0 1 00 u u v u u u v u v u v u u u v v xy xu x xy v x xx y  =  + = + − = ⇔ ⇔ = −   − = − = −   = − = = −  ⇔ ∨  = = −   = −= − =   + ⇔ ⇔   = − ==   1 1 0 0 x x y y = = −  ⇔ ∨  = =  + ( ) 22 2 23 22 2 3 2 3 03 xy xu x xy v x xx y  = += − − = −   ⇔ ⇔   = − + + == −   (Hệ phương trình vô nghiệm) Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là (1;0); ( − 1;0). 8) 3 2 3 2 3 2 6 15 2 2 9 x x y x y x x y x y  − + − = −  + + + = Hệ phương trình đã cho tương đương với ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 2 15 2 2 9 2 3 15 1 2 9 2 x x y x x x y x x x y x x y  + − + = −  + + + =  + − = − ⇔  + + = Vì 0x y+ = không thỏa phương trình ( )2 , nên chia ( )1 cho ( )2 theo vế ta được 3 5 3 3 9 5 5 2 . x y x y x y x y y x − − = + ⇔ − = − − ⇔ = Thay 2y x= vào ( )2 ta được ( )( )2 3 2 2 9 2 3 0 1 2. x x x x x x y + + = ⇔ + − = ⇔ = ⇒ = 130 Vậy, nghiệm của hệ phương trình đã cho là ( )1;2 . 9) ( ) 2 2 2 2 3 4 1 3 2 9 8 3 x y x y I x y x y  + − + =  − − − = Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 4 1 ( ) 2 3 3 2 4 3 x x y y I x x y y  − + + = ⇔  − − + = Đặt 2 2 3 4 u x x v y y  = −  = + ta được hệ phương trình 2 2 3 13 3 131 1 3 1 2 23 2 3 0 4 0 0 4 u v u x x x x u v v y y y y  − ++ = = − =  = ∨ =  ⇔ ⇔ ⇔    − = = + =   = ∨ = − Vậy, hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là 3 13 3 13 3 13 3 13 ;0 , ;0 , ; 4 , ; 4 . 2 2 2 2        + − + − − −                       10) ( ) 2 3 3 2 19 x y y x y  − =  − = ( )I Ta có ( )I ⇔ ( )( )( ) 2 2 2 2 19(*) x y y x y x xy y  − =  − + + = Ta nhận xét rằng ( ; ) /x y x y= không là nghiệm của hệ phương trình đã cho, do đó chia theo vế của hai phương trình của hệ ta được ( ) 2 2 2 19 x y y x xy y − = + + 2 2 2 2 2 2 19 19 2 2 2 2 17 21 0 2 17 21 0 7 3 2 xy y x xy y x xy y x x y y x y x y ⇔ − = + + ⇔ − + =     ⇔ − + =         = ⇔  =  + 7 7x x y y = ⇔ = kết hợp với ( )* ta được hệ phương trình 131 3 3 3 3 3 7 7 7 18 119 18 1 18 x x y x y x y y y  = = =   ⇔ ⇔   − = =   =  + 3 3 2 2 x x y y = ⇔ = kết hợp với ( )* ta cũng được hệ phương trình 3 3 3 3 2 219 x y x y x y  = = ⇔  = − = Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là 3 3 7 1 ; , 18 18       ( )3;2 . 11) 3 3 2 2 3 1 ( ) 2 2 x y I x y xy y  + =  + + = ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 2 0 2 0 2 x y x xy y x y x xy y I y x xy y y x y x xy y x xy y xy y y x y x xy y xy y x y x y x y x y  + − + = + − + =  ⇔ ⇔  + + = + =  − + ⇒ = ⇔ − + = + + ⇔ − + − − = ⇔ − − = = ⇔  = + Trường hợp ,x y= ta được nghiệm của hệ phương trình là 3 34 4 ; . 2 2        + Trường hợp 2 ,x y= thay vào phương trình thứ nhất của hệ phương trình đã cho ta được ( )33 3 312 1 9 1 .9x x x x+ = ⇔ = ⇔ = Nghiệm của hệ phương trình là 3 39 2 9 ; . 3 3        Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là 3 34 4 ; , 2 2        3 39 2 9 ; . 3 3        12) 3 3 2 2 2 ( )x y x y I x y x y  − = −  + = − Khi đó hệ phương trình ( )I trở thành ( )( ) 23 2 1 0 0 11 0 y yy y y yy y y y  − = = =  ⇔ ⇔   = −= − + =   132 Như vậy, nghiệm của hệ là ( ) ( )0;0 , 0; 1 .− + Xét trường hợp 0x ≠ Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ ( )I với x ta được hệ phương trình tương đương 3 3 2 3 2 2 x y x y x xy x xy  − = −  + = − Sau khi trừ từng vế của hai phương trình và biến đổi tiếp ta được 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 2 3 2 3 2 0 x y x y x y x y x y x y x xy x xy y xy y xy y xy y xy   − = − − = − − = −   ⇔ ⇔   + = − + = − + − + =     ( ) ( )( ) 3 3 2 3 3 2 2 1 0 1 1 0 x y x y x y x y y y xy x y y x y  − = −  − = −  ⇔ ⇔  + − + = + + − =  · 0,y = suy ra 1,x = do đó ta được nghiệm ( )1;0 . · 1,y = − suy ra 1,x = do đó ta được nghiệm ( )1; 1 .− · 1 ,y x= − ta có phương trình ( )33 2 3 21 1 2 0 1, ( 0).x x x x x x x x x− − = − + ⇔ − + = ⇔ = ≠ Ta được nghiệm ( )1;0 . Vậy, hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là ( ) ( )0;0 , 0; 1 ,− ( )1;0 , ( )1; 1 .− II.16. 1) 3 ( ). 2 x y x y I x y x y  − = −  + = + + Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 2 33 222 2 0, 0 0, 0 ( ) 0 2 02 0, 0 1 0 2 30, 0 0, 0 1 21 1 1 2 2 2 x y x y x y x y I x y x y x y x y x y x yx y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x x x y x y y yx y x y  − ≥ + ≥  − ≥ + ≥   ⇔ − = − ⇔ − − − =    + − + − = + = + +  − ≥ + ≥   ⇔ − − − =    + =  − ≥ + ≥ − ≥ + ≥  ==   ⇔ = ∨ − = ⇔ ∨    =   =+ = + =   Vậy, nghiệm của hệ phương trình đã cho là 3 1(1;1), ( ; ). 2 2 133 2) 2 2 25 ( ) 10 x y xy y x y  + = −  + = ( )I ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 25 10 25 0 10 10 1515 15 10 15 10 015 15 10 1515 10 10 15 10 0 xy x y y x y I xy y xy y xx x xy y y yx x xy y xx xy y xy y y y  = − − − − + + =  ⇔ ⇔  = − = −    ==    =  = − + − = =       ⇔ ⇔ ⇔ ⇔   = −  = −    = −= −   = −   = − − − =    15 15 15 15 15 55 15 55 15 55 15 55 2 2 2 2 15 15 15 55 15 55 15 55 15 552 2 . 2 2 x x x x y y y y x x y y y y   = = −     = = −     − + + = =     − + +   = =   ⇔ ∨ ⇔ ∨      = = −      − − −  = =     − − −    = =     Vậy, hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là 15 55 15 55 15 55 15 5515; ; 15; ; 15; ; 15; . 2 2 2 2         − + − − + − − −                       3) 2(*) 3 3 4 x y x y  + =  + + + = Điều kiện: 0 0 0 3 0 0 3 0 x y x x y y ≥  ≥ ≥ ⇔  + ≥ ≥  + ≥ Bình phương hai vế của các phương trình của hệ ta được ( )( ) ( )( ) 2 4 3 3 2 3 3 16 2 4 2 3 3 10 x y xy x y x y x y xy x y x y  + + =  + + + + + + =  + + = ⇔  + + + + = Trừ vế theo vế của hai phương trình của hệ trên ta được 134 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 9 6 x y xy x y xy x y xy xy + + − = ⇔ + + = + ⇔ + + = + + ( ) ( )2 3 9 9 6 2 0 0 xy x y xy xy x y xy x y x y ⇔ + + + = + + ⇔ + − = ⇔ − = ⇔ = Thay x y= vào ( )∗ ta được 2 2 1 1.x x x⇔ = ⇔ = ⇔ = (Thỏa điều kiện) Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là ( )1;1 . 4) 2 2 2 2 3 3 3 ( ) 2 2 2 x xy x y I xy x y x  + + + =  + + + = Ta có ( ) ( ) ( ) ( )2 3 1 1 3 ( ) 2 1 1 2 x x y x I x x y x  + + + = ⇔  + + + = ( )( ) ( )( )2 1 3 3 (1) 1 2 2 (2) x x y x x y  + + =  ⇔  + + =  Ta thấy vế trái của các phương trình (1) và (2) khác 0 nên chia vế theo vế của các phương trình của hệ ta được 2 3 3 2 2 x y y x + = + ( ) ( )22 3 3 2x y y x⇔ + = + 26 2 6 3x y x y⇔ + = + 23 2 0y y⇔ − = ( )3 2 0y y⇔ − = 0 2 3 y y = ⇔  =  + Với 0y = , thay vào (1) ta được ( )1 1x x+ = 135 2 1 0x x⇔ + − = 1 5 2 1 5 2 x x  − + = ⇔  − − =  + Với 2 3 y = , thay vào (1) ta được ( ) 21 3 3 3 x x   + + =    2 2 23 3 3 3 3 x x x⇔ + + + = 29 11 7 0x x⇔ + − = 11 373 18 11 373 18 x x  − + = ⇔  − − =  Vậy, hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là 1 5 ;0 2   − +      , 1 5 ;0 2   − −      , 11 373 2 ; 18 3   − +      , 11 373 2 ; 18 3   − −      . ) 2 2 2 3 2 2 2 2 2 5 2 0 x y x y y y x y y  − + − =  + − − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 2 2 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 4 0 2 1 2 0 x y y y y y y y y y y x y y y y y y x y y y y  = + − ⇔  + − − + − + − =  = + − ⇔  − + + − − =  = + − ⇔  + − = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 02 2 1 1 0 1 0 22 0 2 xx y y x y y y y y x yy y  = = + −  = + −  = −  + =⇔ ⇔ ⇔= −   =  =  − =  = Vậy, nghiệm của hệ phương trình đã cho là ( )0; 1− và ( )0;2 . 136 6) 2 1 2 1 2 2 3 1 ( ) 2 2 3 1 y x x x x I y y y − −  + − + = +  + − + = + Ta có 2 1 2 1 1 2 2 3( ) 1 2 2 3 y x x x x I y y y − −  − + − + = ⇔  − + − + = Đặt 1 1 u x v y = −  = − thì hệ ( )I trở thành ( ) 2 2 1 3 (1) 1 3 (2) v u u u II v v  + + =  + + = Lấy ( )1 trừ ( )2 theo vế ta được 2 2 2 2 1 1 3 3 1 3 1 3 ( ) ( ) (3) v u u v u v u v u u v v f u f v − + + − + = − ⇔ + + + = + + + ⇔ = Xét hàm số 2( ) 1 3tf t t t= + + + 2 ( ) 1 3 ln 3 1 ttf t t ′ = + + + Ta có 2 2 1 1 1 t t t t + ≥ ⇒ ≤ + ( ) 0, .f t t′⇒ ≥ ∀ ∈ℝ Do đó, hàm số ( )f t luôn luôn tăng trên toàn bộ .ℝ Vì vậy, ( )3 .u v⇔ = Thay u v= vào ( )1 ta được ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 3 1 1 3 1 1 3 1 3 1 1(*) u u u u u u u u u u u u u u u u + + = ⇔ + + − + = − + ⇔ − = − + ⇔ + − = Xét hàm số ( )2( ) 3 1ug u u u= + − xác định trên .ℝ 137 ( )2 2( ) 3 ln 3 1 3 11u u ug u u u u ′ = + − + − +  ( )2 213 1 ln 3 1u u u u   = + − −  +  Ta có 2 1 0u u+ − ≥ Do 2 1 1 1u ≤ + mà ln 3 1> nên 2 1ln 3 0. 1u − ≥ + Vậy, ( ) 0.g u′ ≥ Suy ra hàm số ( )g u luôn luôn đồng biến trên .ℝ Do đó ( )∗ nếu có nghiệm thì có một nghiệm duy nhất. Ta thấy 0u = thỏa( ) ,∗ như vậy 0.u v= = Từ đó ta được 1.x y= = Vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( )1;1 . 7) 2 2 3 2 16 ( ) 2 4 33 xy x y I x y x y − − =  + − − = Ta có 2 2 2 6 4 32 (1)( ) 2 4 33 (2) xy x y I x y x y − − = ⇔  + − − = Cộng từng vế của các phương trình (1) và (2) ta được ( ) ( ) 2 2 2 2 8 8 65 8 65 0 13 5 x xy y x y x y x y x y x y + + − − = ⇔ + − + − = + = ⇔  + = − · 13 13x y x y+ = ⇔ = − . Thay 13x y= − vào (1), ta được ( ) ( ) 2 13 3 13 2 16 14 55 0 y y y y y y − − − − = ⇔ − + = Phương trình trên vô nghiệm. · 5 5x y x y+ = − ⇔ = − − . Thay 5x y= − − vào (1), ta được ( ) ( ) 2 5 5 3 2 16 4 1 0 2 3 2 3 y y y y y y y y − − − − − − = ⇔ + + =  = − − ⇔  = − + Với 2 3y = − − thì 3 3x = − + . Với 2 3y = − + thì 3 3x = − − . 138 Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( )3 3 ; 2 3 ,− + − − ( )3 3; 2 3 .− − − + 8) 3 2 3 2 3 6 4 x y x y xy x y  − + + =  + = + − − + Đặt 3 2 u x v y  = −  = + 0, 0u v≥ ≥ Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành 2 2 2 3 3 3 ( ) 3 3 3 2 u v u v uv u v u v uv u v uv + =  + = + + = ⇔  + = + + = ⇔  = ⇔ 1 2 u v =  = ∨ 2 1 u v =  = · Với 1, 2u v= = , ta được 3 1 4 22 2 x x yy  − = = ⇔  =+ =  · Với 2, 1u v= = , ta được 3 2 7 12 1 x x yy  − = = ⇔  = −+ =  Vậy, hệ phương trình có hai nghiệm là (4;2), (7; 1).− 9) ( ) ( ) 1 92 2 ( ) 1 52 2 x y xy I x y xy    + − =         − + =    (1) Điều kiện: 0 0 x y ≠  ≠ Ta có ( ) ( ) 1 1 92 2 1 2( ) 1 1 52 2 2 2 x y x y I x y x y  + − − =  ⇔   − − + =  139 Cộng (1) và (2) theo vế ta được 22 14 7 4 7 2 0 2 4 x x x x x x − = ⇔ − − = ⇔ = ∨ = − Thay 2x = vào (1), ta được 12 1 0y y − − = 2 12 1 0 1 . 2 y y y y⇔ − − = ⇔ = ∨ = − Thay 1 4 x = − vào (1), ta được 12 1 0y y − − = 2 12 1 0 1 . 2 y y y y⇔ − − = ⇔ = ∨ = − Vậy, hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là ( ) 1 1 1 12;1 , 2; , ;1 , ; . 2 4 4 2       − − − −            10) 2 3 2 2 ( ) 2 2 x xy I x xy y x  + =  + − = Cách 1. Ta có nhận xét rằng 0x = không thỏa hệ phương trình, do đó nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ ( )I với x ta được 3 2 3 2 2 2 2 x x y x x xy y x  + =  + − = Trừ từng vế của hai hệ phương trình cho nhau ta được phương trình ( )( )2 22 2 0 2 1 0.x y xy y x x y xy− + − = ⇔ − − = · Trường hợp 2 ,x y= ta được các nghiệm 2 3 3 2 3 3; , ; . 3 3 3 3     − −            · Trường hợp 1,xy = ta được các nghiệm ( ) ( )1;1 , 1; 1 .− − Vậy, hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là ( ) ( )1;1 , 1; 1 ,− − 2 3 3 2 3 3; , ; . 3 3 3 3     − −            Cách 2. ( ) ( ) 2 2 1 1 (1) ( ) 1 2 1 (2) x xy I x x y xy  − = − ⇔  − = − Thế (1) vào (2) ta được ( ) ( ) ( )( ) 21 2 1 1 2 0 1 x y x xy y xy xy x y xy = − = − ⇔ − − = ⇔  = + Thay 2x y= vào (1) ta được 2 2 2 3 1 34 1 1 2 3 3 3 y y y y y  =  − = − ⇔ = ⇔  = −  Từ đó ta được nghiệm là 2 3 3 2 3 3; , ; . 3 3 3 3     − −            140 + Thay 1xy = vào (1) ta được 2 11 0 1 x x x = − = ⇔  = − Từ đó ta được nghiệm ( ) ( )1;1 , 1; 1 .− − Vậy, hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là ( ) ( )1;1 , 1; 1 ,− − 2 3 3 2 3 3; , ; . 3 3 3 3     − −            11) 7 1 ( ) 78 x y y x xy I x xy y xy  + = +   + = Điều kiện: 0.xy > Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) . 78 x y xy I x y xy  + + − = ⇔  + − = −  Suy ra ,x y xy+ − là nghiệm của phương trình bậc hai 2 1313 13 7 78 0 6 366 9 4 4 9. x yX x y X X X xyxy x x y y + == + =  − − = ⇔ ⇔ ⇔  = − = − = −  = =  ⇔ ∨  = =  Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( ) ( )9;4 , 4;9 . 12) 1 1 3 (1) ( 1)( 1) 5 (2) x y x y x y  − + − =  + − − − = Điều kiện: 1, 1.x y≥ ≥ Hệ phương trình đã cho tương đương với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 ( 1)( 1) 1 9 2 ( 1)( 1) 11 ( 1)( 1) 5 ( 1)( 1) 5 11 11( 1)( 1) ( 1)( 1)2 2 11 2 11 105 2 11 111 1 2 3 21 x x y y x y x y x y x y x y x y x y x yx y x y x y x y x yx y x y xy x y xy x y x y   − + − − + − = + + − − =  ⇔  + − − − = + − − − =    − +  − + − − = − − =  ⇔ ⇔  − −  + − + + =+ − =   − + − + + = − + + = ⇔ ⇔  + = ( ) 2 7 10 2 56 2 7 5 27 x y x y xy x xxy x y y yx y  − +    + =  = = =  − = ⇔ ⇔ ⇔ ∨    + = = =+ =    141 Các giá trị của ,x y đều thỏa điều kiện. Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( )2;5 , ( )5;2 13) 2 6 3 4. x y y x y x y  + = +  + + − = Điều kiện: 2 6 0 0 0 x y x y x y  + ≥  + ≥  − ≥ Hệ phương trình đã cho tương đương với 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 0 3 6 6 9 9 2 16 8 3 3 5 9 5 4 5 4 4 y y x y y y x y x y x y x y x x y y y x x y x y x y y  + ≥ ≥ −    ⇔ + = + + ⇔ − =    + + − + − = + − =   ≥ − ≥ − =  ⇔ − = ⇔ = ⇔   =  = = ∨ = − Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là ( )5;4 . II.17. 2 2 2 2 2 ( ) 2 a x y y I ay x x  = +    = + Từ các phương trình của hệ ( )I ta suy ra điều kiện của ẩn là 0 0 x y >  > 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 x y y a I xy x a  = + ⇔  = + ( ) ( ) 2 2 22 2 0 x y y a x y xy x y  = + ⇔  − + + = Do 0 0 x y >  > ta suy ra 2xy x y+ + >0 Vậy, ta có hệ 2 2 22x y y a x y  = +  = 3 2 22x x a x y  − = ⇔  = Xét hàm số ( ) 3 22 ,y f x x x= = − 2 ' 6 2 ,y x x= − 2' 0 6 2 0y x x= ⇔ − = 0 1 3 x x = ⇔  =  142 Ta có 1 2 1 1 3 27 9 27 f   = − = −    Lập bảng biến thiên của hàm số ( )f x và dựa vào bảng biến thiên ta có đường thẳng 2y a= cắt đồ thị ( )f x tại một điểm duy nhất có hoành độ 0.x > Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất với mọi 0.a ≠ II.18. 2 2 2 4 ( ) 3 4 x xy y k I y xy  − + =  − = 1) Thay 1k = vào hệ ( )I ta được 2 2 2 4 1 3 4 x xy y y xy  − + =  − = (2). Với 0,x = thay vào hệ (2) ta được 2 2 1 4 y y  =  = (Vô lý). Với 0,x ≠ ta có (2) 2 2 2 3 1 3 4 x xy y xy y xy  − + − = ⇔  − = 2 2 4 3 4 1 y xy x xy  = + ⇔  − + = 2 2