Ebook Bài tập Đại số sơ cấp

MỤC LỤC

Trang

LỜI NÓI ĐẦU 1

BẢNG MỘT SỐKÍ HIỆU VÀ CHỮVIẾT TẮT SỬDỤNG

TRONG TÀI LIỆU 3

PHẦN I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ ĐỀBÀI4

Chương I. Hàm số 4

A. Tóm tắt lý thuyết 4

B. Bài tập 12

Chương II. Phương trình – Hệphương trình 17

A. Tóm tắt lý thuyết 17

B. Bài tập 24

Chương III. Bất đẳng thức – Bất phương trình 31

A. Tóm tắt lý thuyết 31

B. Bài tập 37

Chương IV. Phương trình, Bất phương trình vô tỷ43

A. Tóm tắt lý thuyết 43

B. Bài tập 45

Chương V. Phương trình, Bất phương trình mũvà lôgarit 51

A. Tóm tắt lý thuyết 51

B. Bài tập 55

Chương VI. Phương trình lượng giác 64

A. Tóm tắt lý thuyết 64

B. Bài tập 71

PHẦN II: LỜI GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN 76

Chương I. Hàm số 76

Chương II. Phương trình – Hệphương trình 98

Chương III. Bất đẳng thức – Bất phương trình 151

Chương IV. Phương trình, Bất phương trình vô tỷ188

Chương V. Phương trình, Bất phương trình mũvà lôgarit 242

Chương VI. Phương trình lượng giác 312

TÀI LIỆU THAM KHẢO 361

pdf278 trang | Chia sẻ: maiphuongdc | Lượt xem: 1984 | Lượt tải: 5download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Ebook Bài tập Đại số sơ cấp, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
x y I x y x y x xy y II x y x y  =  + − + − = ⇔   + + − =  + − + − = Giải ( )I 2 1 5 2 1 5 2( ) 1 0 1 5 2 1 5 2 x y x y I x x x y  + =   + == ⇔ ⇔  − − =  −  =   − = Giải ( )II 2 2 2 ( ) 7 0( ) ( ) 2 ( ) 2 0 ( ) 5 0 ( ) 2 ( ) 2 0 x y xy II x y xy x y xy x y x y xy x y  + − − = ⇔  + − − + − = + + − = ⇔  + − − + − = Đặt 2, , ( 4 )S x y P xy S P= + = ≥ Như vậy ta có 122 2 3 25( ) 12 0 4 9 S PP S II S S S P  =  == − ⇔ ⇔ + − = = −  = Ta nhận 3 2 S P =  = suy ra ,x y là nghiệm của phương trình bậc hai 2 13 2 0 2 X X X X = − + = ⇔  = Vậy ta có 1 2 2 1 x x y y = =  ∨  = =  Hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là ( ) ( ) 1 5 1 5 1 5 1 51;2 , 2;1 , ; , ; . 2 2 2 2    + + − −            12) 4 4 2 3 10 2 3 4. x y x y  + + − =  + + − = (I) Điều kiện: 2 3. x y ≥ −  ≥ Đặt 4 4 2 3. u x v y  = +  = − (Với 0, 0u v≥ ≥ ). (*) 2 2 2 3. u x v y  = + ⇔  = − Hệ phương trình (I) trở thành 2 2 4 10 u v u v + =  + = 2 4( ) 2 10 34 u vu v uv uvu v + = + − =  ⇔ ⇔  =+ =  ⇔ 1 3 u v =  = ∨ 3 1. u v =  = 1 3 u v = +  = 4 4 2 1 2 1 1 3 81 843 3 x x x y yy  + = + = = −  ⇔ ⇔ ⇔   − = = − =   (Nhận). 3 1 u v = +  = 4 4 2 3 2 81 79 3 1 4.3 1 x x x y yy  + = + = =  ⇔ ⇔ ⇔   − = = − =   (Nhận). 123 Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( 1;84), (79;4).− 13) ( )( )( ) 2 2 1 1 2 6( ) 2 2 3 0 x y x y I x y x y  − − + − =  + − − − = Ta có ( )( )( ) ( ) ( )2 2 1 1 1 1 6 ( ) 1 1 5 x y x y I x y  − − − + − = ⇔  − + − = Đặt 1 1 X x Y y = −  = − , hệ phương trình đã cho trở thành ( ) ( ) ( )22 2 66 5 2 5 XY X YXY X Y X Y X Y XY  + = + =  ⇔  + = + − =   Đặt 2; 4 0 S X Y S P P XY = + − ≥ = , ta có hệ 2 2 3 6 6 . 6 2 12 32 5 5 5 12 0 PS P P PS S SS P S S S S  == = =   ⇔ ⇔ ⇔    = − =    − = − − = Như vậy ta có 3 1 2 1 1 1 2 2 3 2 2 1 1 2 1 1 3 2 X Y X X x x x x XY Y Y y y y y + = = = − = − = = =       ⇔ ∨ ⇔ ∨ ⇔ ∨       = = = − = − = = =       Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( ) ( )2;3 , 3;2 . 14) 2 2 2 1 7 1 13 xy x y x y xy y + + =  + + = · 0 :y = Hệ phương trình đã cho vô nghiệm. · 0 :y ≠ Hệ phương trình đã cho tương đương với 2 2 1 7 1 13 x x y y x x y y  + + =    + + =  . Đặt 2 2 2 22 2 1 1 1 ; 2 2 .x xa x b a x x a b y y y y y = + = ⇒ = + + ⇒ + = − Ta có hệ phương trình theo ẩn mới 2 2 7 7 7 4 513 20 0 a b a b a b a aa b a a + = + = + =   ⇔ ⇔   = ∨ = − − = + − =   124 2 2 1 4 4 3 0 14 3 13 3 3 5 1 5 12 0 35 ( )12 1. 1212 x y x x x a x xyb y y a x x xx VNyb x yy x y  + =  − + =  =  =    = =   = =     ⇔ ⇒ ⇔ ⇔  = −    + + = =+ = −    =     = =   =  Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( )11; , 3;1 . 3       15) ( ) ( )2 2 1 3 0 5 1 0 x x y x y x  + + − =   + − + =  . Điều kiện: 0.x ≠ Hệ phương trình đã cho tương đương với ( ) ( ) ( ) ( )2 22 22 1 3 0 1 3 0 51 5 x x y x x y x y x x y x x  + + − =  + + − =  ⇔  + + = + + =  . Đặt ( ).t x x y= + Ta có hệ phương trình ( )22 2 33 3 2 1 2 1 2.5 2 5 t xt x t x x x tx t tt x t x tx + =+ = + = = =    ⇔ ⇔ ⇔ ∨     = = =+ = + − =     Như vậy, ta có ( ) ( ) 21 2 1 3 1.2 1 2 x x x y x x y x yyx x = + = + = =   ∨ ⇔ ∨    == −= =     (Thỏa điều kiện) Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( )32; , 1;1 . 2   −    II.15. 1) 2 2 3 4 3 4 x xy y y xy x  − =  − = (1) ( ) ( )( )2 2 22 4 04(1) 3 43 4 x y x yx y x y y xy xy xy x   − + + =− = − −  ⇔ ⇔  − =− =   2 2 2 2 0 3 4 2 0 0 24 4 2.3 4 4 4 0 x y x y x y xy x x x y xy x y x yy xy x x x  = =   =     − = + = =    ⇔ ⇔ ⇔   = −= − − = − −        = −− = + + =    Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( ) ( )0;0 , 2; 2 .− − 125 2) 2 2 17 0 17 0 x y x y x y  + − =   + − =  (1) Điều kiện: 0, 0.x y≠ ≠ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 23 2 3 2 3 2 2 2 2 3 3 2 7 07 1 0(1) 7 1 0 7 1 0 1 24 3 0(*) 18 1 .7 1 0 2 x y x xy y xyx x y y xy y xy x y x x y x y x y x yy xy    − + + + = + − =   ⇔ ⇔  + − =  + − =  = = =   + + + =⇔ ⇔ ⇔   =  = + − =   (Do 0, 0x y≠ ≠ nên (*) vô nghiệm) Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là 1 1; . 2 2       3) 2 2 1 2 1 1 2 1 x y x y x y  = − + −  = − + − ( )1 Điều kiện: 1 1 x y ≥  ≥ ( )1 2 2 2 1 1 2 1 1 x x y y y x  − + = − ⇔  − + = − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 2 x y y x  − = − ⇔  − = − ( ) ( )42 1 1y x⇔ − = − ( )41 1y x⇔ − + = Thế giá trị x vừa tìm được vào ( )1 ta được: ( )81 1y y− = − ( )a Đặt: ( )1 0t y t= − ≥ ( ) 16a t t⇔ = ( )15 1 0t t⇔ − = 15 0 1 t t = ⇔  = 0 1 t t = ⇔  = 1 2 y y = ⇔  = 126 Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( )1;1 và ( )2;2 . Chú ý. Có thể giải bằng cách khác như sau: Trừ từng vế của hai phương trình của hệ đã cho ta được 2 2 2 21 1 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ).(*) x y y x x y x x x y y y f x f y − = − − − + − ⇔ − + − = − + − ⇔ = Xét hàm số 2( ) 2 1, [1; ).f t t t t t= − + − ∈ +∞ Hàm số này đồng biến trên tập xác định, do đó ta có (*) .x y⇔ = Từ đó tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho là ( )1;1 , ( )2;2 . 4) ( ) ( )3 1 1 1 2 1 2 x y x y y x  − = −   = + Điều kiện: 0 0 x y ≠  ≠ Ta có ( ) ( ) 1 11 1 1 0 1 x y x y x y xy y x y x ⇔ − = −   ⇔ − + =    = ⇔  = −  + Thế y x= vào phương trình ( )2 ta được ( ) ( )( ) ( ) 3 2 2 2 2 0 1 2 0 1 ì 2 0, x x x x x x v x x x ⇔ + − = ⇔ − + + = ⇔ = + + > ∀ Vậy, nghiệm của hệ phương trình là (1;1). + Thế 1y x = − vào phương trình ( )2 ta được ( ) 42 2 0x x⇔ + + = ( )3 Xét hàm số 4 3 3 3 1 1( ) 2 4 1 0 ; ( ) 0. 4 4 y f x x x y x x f′= = + + ⇒ = + = ⇔ = − − < Lập bảng biến thiên của hàm số ( )f x ta kết luận được đồ thị của hàm số không cắt trục hoành. Suy ra phương trình ( )3 vô nghiệm. 127 Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là (1;1). 5) 4 3 2 2 2 2 2 9 2 6 6 x x y x y x x xy x  + + = +  + = + (I) Xét 0,x = khi đó hệ phương trình trở thành 0 9 0 6 =  = (Vô nghiệm) Xét 0x ≠ , khi đó hệ phương trình (I) tương đương với 2 2 2 ( ) 2 9 (1) 6 6 (2) 2 x x y x x xy x  + = +   − + + =  Thay (2) vào (1) ta được 22 2 22 2 2 2 22 6 6 2 9 2 6 6 2 9 2 ( 6 6) 4(2 9) ( 3) 3 8( 3) 12 (3) x x x x x x x x x x x x x x x x   − + + + = +     + + ⇔ = +    ⇔ + + = +  ⇔ + − = + +  Đặt 3,t x= + khi đó (3) trở thành ( )22 4 2 3 3 8 12 6 9 8 12 ( 1) ( 3) 0 1 0 1 3 0 3 t t t t t t t t t t t − = + ⇔ − + = + ⇔ + − = + = = −  ⇔ ⇔  − = =  · Với 3t = ta được 3 3 0x x= + ⇔ = (Loại) · Với 1t = − ta được 1 3 4x x− = + ⇔ = − (Nhận), thay 4x = − vào (2) ta được 2( 4) 6( 4) 6 17 2( 4) 4y − − + − + = = − Vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là 174; . 4   −    6) 2 22 ( ) 2 1 2 2 xy x y x y I x y y x x y  + + = −  − − = − 128 Điều kiện: 1 0 x y ≥  ≥ (*) ( )I 2 ( )( ) 2 1 2 2 xy x y y x y x y x y y x x y  + + + = + − ⇔  − − = − ( 1) ( 1) ( )( ) 2 1 2 2 ( 1)( ) ( )( ) 2 1 2 2 ( )(2 1) 0 2 1 2 2 0 2 1 2 1 2 2 x y y y x y x y x y y x x y y x y x y x y x y y x x y x y y x x y y x x y x y x y x y y x x y + + + = + − ⇔  − − = − + + = + − ⇔  − − = − + − + = ⇔  − − = −  + =  = +⇔   − − = − Do điều kiện (*) nên ta loại trường hợp 0.x y+ = Như vậy ta chỉ có trường hợp 2 1 2 1 2 2 y x x y y x x y + =  − − = − 2 1 (2 1) 2 2 2(2 1) 2 2 1 2 ( 1) 2( 1) 2 1 ( 1)( 2 2) 0 2 1 ( 1 0) 2 2 0 y x y y y y y y y x y y y y x y y y x y y + = ⇔  + − = + − + = ⇔  + = + + = ⇔  + − = + = ⇔ + > − = 5 2 x y = ⇔  = (Nhận) Vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (5;2) . 4 3 2 2 3 2 1 7) ( ) 1 x x y x y I x y x xy  − + =  − + = − Ta có ( ) ( ) 22 3 3 2 1 ( ) 1 x xy x y I x y x xy  − + = ⇔  − − = − 129 Đặt 2 3 , u x xy v x y  = −  = khi đó ta có hệ phương trình ( ) 2 2 22 2 23 1 1 2 0 2 1 1 1 1 2 0 3 11 1 0 1 00 u u v u u u v u v u v u u u v v xy xu x xy v x xx y  =  + = + − = ⇔ ⇔ = −   − = − = −   = − = = −  ⇔ ∨  = = −   = −= − =   + ⇔ ⇔   = − ==   1 1 0 0 x x y y = = −  ⇔ ∨  = =  + ( ) 22 2 23 22 2 3 2 3 03 xy xu x xy v x xx y  = += − − = −   ⇔ ⇔   = − + + == −   (Hệ phương trình vô nghiệm) Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là (1;0); ( − 1;0). 8) 3 2 3 2 3 2 6 15 2 2 9 x x y x y x x y x y  − + − = −  + + + = Hệ phương trình đã cho tương đương với ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 2 15 2 2 9 2 3 15 1 2 9 2 x x y x x x y x x x y x x y  + − + = −  + + + =  + − = − ⇔  + + = Vì 0x y+ = không thỏa phương trình ( )2 , nên chia ( )1 cho ( )2 theo vế ta được 3 5 3 3 9 5 5 2 . x y x y x y x y y x − − = + ⇔ − = − − ⇔ = Thay 2y x= vào ( )2 ta được ( )( )2 3 2 2 9 2 3 0 1 2. x x x x x x y + + = ⇔ + − = ⇔ = ⇒ = 130 Vậy, nghiệm của hệ phương trình đã cho là ( )1;2 . 9) ( ) 2 2 2 2 3 4 1 3 2 9 8 3 x y x y I x y x y  + − + =  − − − = Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 4 1 ( ) 2 3 3 2 4 3 x x y y I x x y y  − + + = ⇔  − − + = Đặt 2 2 3 4 u x x v y y  = −  = + ta được hệ phương trình 2 2 3 13 3 131 1 3 1 2 23 2 3 0 4 0 0 4 u v u x x x x u v v y y y y  − ++ = = − =  = ∨ =  ⇔ ⇔ ⇔    − = = + =   = ∨ = − Vậy, hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là 3 13 3 13 3 13 3 13 ;0 , ;0 , ; 4 , ; 4 . 2 2 2 2        + − + − − −                       10) ( ) 2 3 3 2 19 x y y x y  − =  − = ( )I Ta có ( )I ⇔ ( )( )( ) 2 2 2 2 19(*) x y y x y x xy y  − =  − + + = Ta nhận xét rằng ( ; ) /x y x y= không là nghiệm của hệ phương trình đã cho, do đó chia theo vế của hai phương trình của hệ ta được ( ) 2 2 2 19 x y y x xy y − = + + 2 2 2 2 2 2 19 19 2 2 2 2 17 21 0 2 17 21 0 7 3 2 xy y x xy y x xy y x x y y x y x y ⇔ − = + + ⇔ − + =     ⇔ − + =         = ⇔  =  + 7 7x x y y = ⇔ = kết hợp với ( )* ta được hệ phương trình 131 3 3 3 3 3 7 7 7 18 119 18 1 18 x x y x y x y y y  = = =   ⇔ ⇔   − = =   =  + 3 3 2 2 x x y y = ⇔ = kết hợp với ( )* ta cũng được hệ phương trình 3 3 3 3 2 219 x y x y x y  = = ⇔  = − = Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là 3 3 7 1 ; , 18 18       ( )3;2 . 11) 3 3 2 2 3 1 ( ) 2 2 x y I x y xy y  + =  + + = ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 2 0 2 0 2 x y x xy y x y x xy y I y x xy y y x y x xy y x xy y xy y y x y x xy y xy y x y x y x y x y  + − + = + − + =  ⇔ ⇔  + + = + =  − + ⇒ = ⇔ − + = + + ⇔ − + − − = ⇔ − − = = ⇔  = + Trường hợp ,x y= ta được nghiệm của hệ phương trình là 3 34 4 ; . 2 2        + Trường hợp 2 ,x y= thay vào phương trình thứ nhất của hệ phương trình đã cho ta được ( )33 3 312 1 9 1 .9x x x x+ = ⇔ = ⇔ = Nghiệm của hệ phương trình là 3 39 2 9 ; . 3 3        Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là 3 34 4 ; , 2 2        3 39 2 9 ; . 3 3        12) 3 3 2 2 2 ( )x y x y I x y x y  − = −  + = − Khi đó hệ phương trình ( )I trở thành ( )( ) 23 2 1 0 0 11 0 y yy y y yy y y y  − = = =  ⇔ ⇔   = −= − + =   132 Như vậy, nghiệm của hệ là ( ) ( )0;0 , 0; 1 .− + Xét trường hợp 0x ≠ Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ ( )I với x ta được hệ phương trình tương đương 3 3 2 3 2 2 x y x y x xy x xy  − = −  + = − Sau khi trừ từng vế của hai phương trình và biến đổi tiếp ta được 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 2 3 2 3 2 0 x y x y x y x y x y x y x xy x xy y xy y xy y xy y xy   − = − − = − − = −   ⇔ ⇔   + = − + = − + − + =     ( ) ( )( ) 3 3 2 3 3 2 2 1 0 1 1 0 x y x y x y x y y y xy x y y x y  − = −  − = −  ⇔ ⇔  + − + = + + − =  · 0,y = suy ra 1,x = do đó ta được nghiệm ( )1;0 . · 1,y = − suy ra 1,x = do đó ta được nghiệm ( )1; 1 .− · 1 ,y x= − ta có phương trình ( )33 2 3 21 1 2 0 1, ( 0).x x x x x x x x x− − = − + ⇔ − + = ⇔ = ≠ Ta được nghiệm ( )1;0 . Vậy, hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là ( ) ( )0;0 , 0; 1 ,− ( )1;0 , ( )1; 1 .− II.16. 1) 3 ( ). 2 x y x y I x y x y  − = −  + = + + Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 2 33 222 2 0, 0 0, 0 ( ) 0 2 02 0, 0 1 0 2 30, 0 0, 0 1 21 1 1 2 2 2 x y x y x y x y I x y x y x y x y x y x yx y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x x x y x y y yx y x y  − ≥ + ≥  − ≥ + ≥   ⇔ − = − ⇔ − − − =    + − + − = + = + +  − ≥ + ≥   ⇔ − − − =    + =  − ≥ + ≥ − ≥ + ≥  ==   ⇔ = ∨ − = ⇔ ∨    =   =+ = + =   Vậy, nghiệm của hệ phương trình đã cho là 3 1(1;1), ( ; ). 2 2 133 2) 2 2 25 ( ) 10 x y xy y x y  + = −  + = ( )I ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 25 10 25 0 10 10 1515 15 10 15 10 015 15 10 1515 10 10 15 10 0 xy x y y x y I xy y xy y xx x xy y y yx x xy y xx xy y xy y y y  = − − − − + + =  ⇔ ⇔  = − = −    ==    =  = − + − = =       ⇔ ⇔ ⇔ ⇔   = −  = −    = −= −   = −   = − − − =    15 15 15 15 15 55 15 55 15 55 15 55 2 2 2 2 15 15 15 55 15 55 15 55 15 552 2 . 2 2 x x x x y y y y x x y y y y   = = −     = = −     − + + = =     − + +   = =   ⇔ ∨ ⇔ ∨      = = −      − − −  = =     − − −    = =     Vậy, hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là 15 55 15 55 15 55 15 5515; ; 15; ; 15; ; 15; . 2 2 2 2         − + − − + − − −                       3) 2(*) 3 3 4 x y x y  + =  + + + = Điều kiện: 0 0 0 3 0 0 3 0 x y x x y y ≥  ≥ ≥ ⇔  + ≥ ≥  + ≥ Bình phương hai vế của các phương trình của hệ ta được ( )( ) ( )( ) 2 4 3 3 2 3 3 16 2 4 2 3 3 10 x y xy x y x y x y xy x y x y  + + =  + + + + + + =  + + = ⇔  + + + + = Trừ vế theo vế của hai phương trình của hệ trên ta được 134 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 9 6 x y xy x y xy x y xy xy + + − = ⇔ + + = + ⇔ + + = + + ( ) ( )2 3 9 9 6 2 0 0 xy x y xy xy x y xy x y x y ⇔ + + + = + + ⇔ + − = ⇔ − = ⇔ = Thay x y= vào ( )∗ ta được 2 2 1 1.x x x⇔ = ⇔ = ⇔ = (Thỏa điều kiện) Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là ( )1;1 . 4) 2 2 2 2 3 3 3 ( ) 2 2 2 x xy x y I xy x y x  + + + =  + + + = Ta có ( ) ( ) ( ) ( )2 3 1 1 3 ( ) 2 1 1 2 x x y x I x x y x  + + + = ⇔  + + + = ( )( ) ( )( )2 1 3 3 (1) 1 2 2 (2) x x y x x y  + + =  ⇔  + + =  Ta thấy vế trái của các phương trình (1) và (2) khác 0 nên chia vế theo vế của các phương trình của hệ ta được 2 3 3 2 2 x y y x + = + ( ) ( )22 3 3 2x y y x⇔ + = + 26 2 6 3x y x y⇔ + = + 23 2 0y y⇔ − = ( )3 2 0y y⇔ − = 0 2 3 y y = ⇔  =  + Với 0y = , thay vào (1) ta được ( )1 1x x+ = 135 2 1 0x x⇔ + − = 1 5 2 1 5 2 x x  − + = ⇔  − − =  + Với 2 3 y = , thay vào (1) ta được ( ) 21 3 3 3 x x   + + =    2 2 23 3 3 3 3 x x x⇔ + + + = 29 11 7 0x x⇔ + − = 11 373 18 11 373 18 x x  − + = ⇔  − − =  Vậy, hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là 1 5 ;0 2   − +      , 1 5 ;0 2   − −      , 11 373 2 ; 18 3   − +      , 11 373 2 ; 18 3   − −      . ) 2 2 2 3 2 2 2 2 2 5 2 0 x y x y y y x y y  − + − =  + − − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 2 2 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 4 0 2 1 2 0 x y y y y y y y y y y x y y y y y y x y y y y  = + − ⇔  + − − + − + − =  = + − ⇔  − + + − − =  = + − ⇔  + − = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 02 2 1 1 0 1 0 22 0 2 xx y y x y y y y y x yy y  = = + −  = + −  = −  + =⇔ ⇔ ⇔= −   =  =  − =  = Vậy, nghiệm của hệ phương trình đã cho là ( )0; 1− và ( )0;2 . 136 6) 2 1 2 1 2 2 3 1 ( ) 2 2 3 1 y x x x x I y y y − −  + − + = +  + − + = + Ta có 2 1 2 1 1 2 2 3( ) 1 2 2 3 y x x x x I y y y − −  − + − + = ⇔  − + − + = Đặt 1 1 u x v y = −  = − thì hệ ( )I trở thành ( ) 2 2 1 3 (1) 1 3 (2) v u u u II v v  + + =  + + = Lấy ( )1 trừ ( )2 theo vế ta được 2 2 2 2 1 1 3 3 1 3 1 3 ( ) ( ) (3) v u u v u v u v u u v v f u f v − + + − + = − ⇔ + + + = + + + ⇔ = Xét hàm số 2( ) 1 3tf t t t= + + + 2 ( ) 1 3 ln 3 1 ttf t t ′ = + + + Ta có 2 2 1 1 1 t t t t + ≥ ⇒ ≤ + ( ) 0, .f t t′⇒ ≥ ∀ ∈ℝ Do đó, hàm số ( )f t luôn luôn tăng trên toàn bộ .ℝ Vì vậy, ( )3 .u v⇔ = Thay u v= vào ( )1 ta được ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 3 1 1 3 1 1 3 1 3 1 1(*) u u u u u u u u u u u u u u u u + + = ⇔ + + − + = − + ⇔ − = − + ⇔ + − = Xét hàm số ( )2( ) 3 1ug u u u= + − xác định trên .ℝ 137 ( )2 2( ) 3 ln 3 1 3 11u u ug u u u u ′ = + − + − +  ( )2 213 1 ln 3 1u u u u   = + − −  +  Ta có 2 1 0u u+ − ≥ Do 2 1 1 1u ≤ + mà ln 3 1> nên 2 1ln 3 0. 1u − ≥ + Vậy, ( ) 0.g u′ ≥ Suy ra hàm số ( )g u luôn luôn đồng biến trên .ℝ Do đó ( )∗ nếu có nghiệm thì có một nghiệm duy nhất. Ta thấy 0u = thỏa( ) ,∗ như vậy 0.u v= = Từ đó ta được 1.x y= = Vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( )1;1 . 7) 2 2 3 2 16 ( ) 2 4 33 xy x y I x y x y − − =  + − − = Ta có 2 2 2 6 4 32 (1)( ) 2 4 33 (2) xy x y I x y x y − − = ⇔  + − − = Cộng từng vế của các phương trình (1) và (2) ta được ( ) ( ) 2 2 2 2 8 8 65 8 65 0 13 5 x xy y x y x y x y x y x y + + − − = ⇔ + − + − = + = ⇔  + = − · 13 13x y x y+ = ⇔ = − . Thay 13x y= − vào (1), ta được ( ) ( ) 2 13 3 13 2 16 14 55 0 y y y y y y − − − − = ⇔ − + = Phương trình trên vô nghiệm. · 5 5x y x y+ = − ⇔ = − − . Thay 5x y= − − vào (1), ta được ( ) ( ) 2 5 5 3 2 16 4 1 0 2 3 2 3 y y y y y y y y − − − − − − = ⇔ + + =  = − − ⇔  = − + Với 2 3y = − − thì 3 3x = − + . Với 2 3y = − + thì 3 3x = − − . 138 Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( )3 3 ; 2 3 ,− + − − ( )3 3; 2 3 .− − − + 8) 3 2 3 2 3 6 4 x y x y xy x y  − + + =  + = + − − + Đặt 3 2 u x v y  = −  = + 0, 0u v≥ ≥ Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành 2 2 2 3 3 3 ( ) 3 3 3 2 u v u v uv u v u v uv u v uv + =  + = + + = ⇔  + = + + = ⇔  = ⇔ 1 2 u v =  = ∨ 2 1 u v =  = · Với 1, 2u v= = , ta được 3 1 4 22 2 x x yy  − = = ⇔  =+ =  · Với 2, 1u v= = , ta được 3 2 7 12 1 x x yy  − = = ⇔  = −+ =  Vậy, hệ phương trình có hai nghiệm là (4;2), (7; 1).− 9) ( ) ( ) 1 92 2 ( ) 1 52 2 x y xy I x y xy    + − =         − + =    (1) Điều kiện: 0 0 x y ≠  ≠ Ta có ( ) ( ) 1 1 92 2 1 2( ) 1 1 52 2 2 2 x y x y I x y x y  + − − =  ⇔   − − + =  139 Cộng (1) và (2) theo vế ta được 22 14 7 4 7 2 0 2 4 x x x x x x − = ⇔ − − = ⇔ = ∨ = − Thay 2x = vào (1), ta được 12 1 0y y − − = 2 12 1 0 1 . 2 y y y y⇔ − − = ⇔ = ∨ = − Thay 1 4 x = − vào (1), ta được 12 1 0y y − − = 2 12 1 0 1 . 2 y y y y⇔ − − = ⇔ = ∨ = − Vậy, hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là ( ) 1 1 1 12;1 , 2; , ;1 , ; . 2 4 4 2       − − − −            10) 2 3 2 2 ( ) 2 2 x xy I x xy y x  + =  + − = Cách 1. Ta có nhận xét rằng 0x = không thỏa hệ phương trình, do đó nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ ( )I với x ta được 3 2 3 2 2 2 2 x x y x x xy y x  + =  + − = Trừ từng vế của hai hệ phương trình cho nhau ta được phương trình ( )( )2 22 2 0 2 1 0.x y xy y x x y xy− + − = ⇔ − − = · Trường hợp 2 ,x y= ta được các nghiệm 2 3 3 2 3 3; , ; . 3 3 3 3     − −            · Trường hợp 1,xy = ta được các nghiệm ( ) ( )1;1 , 1; 1 .− − Vậy, hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là ( ) ( )1;1 , 1; 1 ,− − 2 3 3 2 3 3; , ; . 3 3 3 3     − −            Cách 2. ( ) ( ) 2 2 1 1 (1) ( ) 1 2 1 (2) x xy I x x y xy  − = − ⇔  − = − Thế (1) vào (2) ta được ( ) ( ) ( )( ) 21 2 1 1 2 0 1 x y x xy y xy xy x y xy = − = − ⇔ − − = ⇔  = + Thay 2x y= vào (1) ta được 2 2 2 3 1 34 1 1 2 3 3 3 y y y y y  =  − = − ⇔ = ⇔  = −  Từ đó ta được nghiệm là 2 3 3 2 3 3; , ; . 3 3 3 3     − −            140 + Thay 1xy = vào (1) ta được 2 11 0 1 x x x = − = ⇔  = − Từ đó ta được nghiệm ( ) ( )1;1 , 1; 1 .− − Vậy, hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là ( ) ( )1;1 , 1; 1 ,− − 2 3 3 2 3 3; , ; . 3 3 3 3     − −            11) 7 1 ( ) 78 x y y x xy I x xy y xy  + = +   + = Điều kiện: 0.xy > Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) . 78 x y xy I x y xy  + + − = ⇔  + − = −  Suy ra ,x y xy+ − là nghiệm của phương trình bậc hai 2 1313 13 7 78 0 6 366 9 4 4 9. x yX x y X X X xyxy x x y y + == + =  − − = ⇔ ⇔ ⇔  = − = − = −  = =  ⇔ ∨  = =  Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( ) ( )9;4 , 4;9 . 12) 1 1 3 (1) ( 1)( 1) 5 (2) x y x y x y  − + − =  + − − − = Điều kiện: 1, 1.x y≥ ≥ Hệ phương trình đã cho tương đương với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 ( 1)( 1) 1 9 2 ( 1)( 1) 11 ( 1)( 1) 5 ( 1)( 1) 5 11 11( 1)( 1) ( 1)( 1)2 2 11 2 11 105 2 11 111 1 2 3 21 x x y y x y x y x y x y x y x y x y x yx y x y x y x y x yx y x y xy x y xy x y x y   − + − − + − = + + − − =  ⇔  + − − − = + − − − =    − +  − + − − = − − =  ⇔ ⇔  − −  + − + + =+ − =   − + − + + = − + + = ⇔ ⇔  + = ( ) 2 7 10 2 56 2 7 5 27 x y x y xy x xxy x y y yx y  − +    + =  = = =  − = ⇔ ⇔ ⇔ ∨    + = = =+ =    141 Các giá trị của ,x y đều thỏa điều kiện. Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( )2;5 , ( )5;2 13) 2 6 3 4. x y y x y x y  + = +  + + − = Điều kiện: 2 6 0 0 0 x y x y x y  + ≥  + ≥  − ≥ Hệ phương trình đã cho tương đương với 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 0 3 6 6 9 9 2 16 8 3 3 5 9 5 4 5 4 4 y y x y y y x y x y x y x y x x y y y x x y x y x y y  + ≥ ≥ −    ⇔ + = + + ⇔ − =    + + − + − = + − =   ≥ − ≥ − =  ⇔ − = ⇔ = ⇔   =  = = ∨ = − Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là ( )5;4 . II.17. 2 2 2 2 2 ( ) 2 a x y y I ay x x  = +    = + Từ các phương trình của hệ ( )I ta suy ra điều kiện của ẩn là 0 0 x y >  > 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 x y y a I xy x a  = + ⇔  = + ( ) ( ) 2 2 22 2 0 x y y a x y xy x y  = + ⇔  − + + = Do 0 0 x y >  > ta suy ra 2xy x y+ + >0 Vậy, ta có hệ 2 2 22x y y a x y  = +  = 3 2 22x x a x y  − = ⇔  = Xét hàm số ( ) 3 22 ,y f x x x= = − 2 ' 6 2 ,y x x= − 2' 0 6 2 0y x x= ⇔ − = 0 1 3 x x = ⇔  =  142 Ta có 1 2 1 1 3 27 9 27 f   = − = −    Lập bảng biến thiên của hàm số ( )f x và dựa vào bảng biến thiên ta có đường thẳng 2y a= cắt đồ thị ( )f x tại một điểm duy nhất có hoành độ 0.x > Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất với mọi 0.a ≠ II.18. 2 2 2 4 ( ) 3 4 x xy y k I y xy  − + =  − = 1) Thay 1k = vào hệ ( )I ta được 2 2 2 4 1 3 4 x xy y y xy  − + =  − = (2). Với 0,x = thay vào hệ (2) ta được 2 2 1 4 y y  =  = (Vô lý). Với 0,x ≠ ta có (2) 2 2 2 3 1 3 4 x xy y xy y xy  − + − = ⇔  − = 2 2 4 3 4 1 y xy x xy  = + ⇔  − + = 2 2

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdfdai_so_so_cap_5256.pdf
Tài liệu liên quan