Ebook Các phương pháp thống kê trong thuỷ văn

l−ợng thông tin khi thực hiện tính toán các tham số lựa chọn của phân bố. Do vậy đánh giá lựa chọn các tham số của phân bố đ−ợc thực hiện th−ờng xuyên với sai số này hoặc kia, xác định nó trong bất kỳ tính toán thuỷ văn nào là nhiệm vụ quan trọng bậc nhất. Bài toán này th−ờng bị phức tạp hoá bởi sự hiện diện của sự bất đối xứng trong chuỗi thuỷ văn và mối quan hệ nội tại trong dãy. Đối với các tr−ờng hợp đó các phép giải tích của lý thuyết −ớc l−ợng tập mẫu tất nhiên là ch−a có. Lời giải gần đúng các vấn đề đó trong nhiều tr−ờng hợp có thể nhận đ−ợc trên cơ sở ph−ơng pháp Monte-Carlo - ph−ơng pháp thực nghiệm thống kê.1 Đặc điểm thứ hai của việc áp dụng các ph−ơng pháp thống kê trong thuỷ văn là ở chỗ dãy quan trắc về dòng chảy sông ngòi trong một số tr−ờng hợp là không đồng nhất cả thời gian lẫn không gian. Điều này làm phức tạp hơn việc mô tả thống kê tập hợp các đại l−ợng thuỷ văn. Cho nên, tr−ớc khi tính toán thống kê th−ờng cần phải chọn lọc một cách kỹ l−ỡng thông tin ban đầu từ quan điểm đồng nhất về mặt vật lý và thống kê. Không tính đến điều này có thể dẫn tới các kết luận không chính xác. Để minh hoạ điều đó có ví dụ sau đây. Giả sử xét dòng chảy cực đaị của sông ngòi, trên đó trong một số năm xác định đã xây dựng hồ chứa để thực hiện điều tiết mùa dòng chảy sông ngòi. Trong tr−ờng hợp đó hoàn toàn tất nhiên là phân bố dòng chảy cực đại tr−ớc và sau khi xây dựng hồ chứa sẽ khác nhau và trộn hai phân bố vào một nhóm là không thể đ−ợc. Th−ờng rất khó xác định tr−ớc nguyên nhân phá vỡ trạng thái đồng nhất của chuỗi quan trắc. Trong những tr−ờng hợp nh− vậy đặc biệt cần thiết phải tính tới việc 1 Lần đầu tiên ph−ơng pháp Monte - Carlo đ−ợc trình bày bởi các nhà toán học Mỹ Dj. Neyman và S. Ulam. Ngày nay ph−ơng pháp này th−ờng đ−ợc gọi là ph−ơng pháp thực nghiệm thống kê . 7 sử dụng các tiêu chuẩn thống kê đồng nhất với việc phân tích vật lý kỹ l−ỡng chuỗi quan trắc đang nghiên cứu. Đặc điểm thứ ba của việc ứng dụng các ph−ơng pháp thống kê trong thuỷ văn liên quan tới sự có mặt của quan hệ nội tại các thành phần trong chuỗi, nó phá vỡ tính ngẫu nhiên của mẫu, kết quả là l−ợng thông tin độc lập giảm , tính bất ổn định của −ớc l−ợng thống kê tăng đồng thời thay đổi cấu trúc của chuỗi thuỷ văn. Những vấn đề này càng có ý nghĩa đặc biệt quan trọng khi điều tiết dòng chảy sông ngòi vì tính chất nhóm các năm ít và nhiều n−ớc phần nhiều đ−ợc xác định bởi quan hệ nội tại của chuỗi. Các đặc điểm đã nêu của việc mô tả thống kê hiện t−ợng thuỷ văn đ−ợc phản ánh trong các phần t−ơng ứng của cuốn sách này. Ngoài các luận điểm có tính nguyên tắc chung đã nêu, trong cuốn sách còn xét tới các thủ thuật cụ thể sử dụng đ−ờng cong phân bố và l−ới xác suất áp dụng trong thuỷ văn , các ph−ơng pháp kéo dài chuỗi quan trắc ngắn về thời kỳ nhiều năm, ph−ơng pháp phân tích tính đồng nhất và quan hệ ngẫu nhiên của chuỗi thuỷ văn với việc sử dụng các khái niệm cuả lý thuyết hàm ngẫu nhiên. Xét đến cả ph−ơng pháp thực nghiệm thống kê (ph−ơng pháp Monte - Carlo) ứng dụng giải một vài bài toán thuỷ văn. Giải quyết nhiều bài toán thuỷ văn thống kê sẽ không thực hiện đ−ợc nếu không sử dụng máy tính điện tử. Thực vậy, khó thể t−ởng t−ợng nếu dẫn một chuỗi ngắn về thời kỳ nhiều nămvới việc sử dụng vài t−ơng tự trên cơ sở toán học của ph−ơng pháp tuyến tính bôi mà không sử dụng máy tính điện tử. Việc sử dụng rộng rãi ph−ơng pháp thực nghiệm thống kê khi phân tích nhóm các năm nhiều n−ớc và ít n−ớc, sử dụng nhiều ph−ơng pháp lý thuyết hàm ngẫu nhiên để mô tả nh− dao động dòng chảy nhiều năm của sông ngòi (tính toán hàm tự t−ơng quan và t−ơng quan quan hệ, tính hàm phổ và phổ quan hệ. tính toán đồng phân và sai phân của các pha dao động tuần hoàn) sẽ mất ý nghĩa nếu thiếu maý tính điện tử. Việc tự động hoá tổng hợp các hệ thống lựa chọn, kiểm tra, xử lý, bảo tồn và khái quát thông tin thuỷ văn đ−ợc thực hiện ngày nay tại Tổng cục KTTV đồi hỏi việc áp dụng rộng rãi các ph−ơng pháp thống kê cũng nh− các ph−ơng tiện hiện đại của kỹ thuật tính toán - máy tính điện tử. Tuy nhiên diều đó không phải là −u thế chủ yếu của tự động hoá tổng hợp đo đạc thuỷ văn. 8 Thiết lập quỹ dữ liệu thuỷ văn trên các ph−ơng tiện kỹ thuật mang thông tin mở ra những khả năng to lớn giải quyết các bài toán thuỷ văn khác nhau theo một lãnh thổ rộng lớn, có thể là cả lãnh thổ Liên bang Xô viết, trên cơ sở sử dụng máy tính và các ph−ơng pháp thống kê hiện đại. Có thể tin rằng việc kết hợp các máy tính có tốc độ cao với các ph−ơng pháp phân tích thống kê hiện đại dẫn tới các sơ đồ tính toán và dự báo dòng chảy sông ngòi chất l−ợng cao. Khi trình bày nhiều ch−ơng, cuốn sách sử dụng rộng rãi các kết quả tính toán thực hiện trên máy tính. Tuy nhiên, trình bày có hệ thống cơ sở áp dụng máy tính trong các nghiên cứu thuỷ văn còn thiếu vì nó nằm ngoài khuôn khổ nội dung cuốn sách này. Hiện nay có rất nhiều tài liệu phổ biến theo lý thuyết xác suất và toán học thống kê, trong đó xem xét một cách khá trình tự cơ sở toán học của các thuật toán sử dụng khi giải các baì toán thuỷ văn nêu trên. Tuy nhiên khi sử dụng các phép toán đã đ−ợc xử lý rộng rãi của lý thuyết xác suất trong các nghiên cứu và tính toán thuỷ văn khả năng áp dụng nó còn xa mới trọn vẹn, đôi khi thậm chí còn ch−a chuẩn xác. Trong các tr−ờng hợp này việc làm sáng tỏ các đặc điểm xuất hiện khi áp dụng lý thuyết xác suất vào trong thuỷ văn và việc hình thành các thủ thuật phân tích thống kê trong thực tiễn có ý nghĩa quan trọng. Tiến tới mục đích đó và để khai thác tốt hơn các tài liệu trong cuốn sách dẫn ra nhiều thủ thuật thu đ−ợc từ hoạt động khoa học và thực tế hoặc đ−ợc thành lập theo các tài liệu quan trắc. Tất nhiên, trong các thủ thuật này hoàn toàn ch−a mở ra hết bản chất của các vấn đề xem xét, nó chỉ minh hoạ cho các tài liệu đang trình bày. Các vấn đề lý thuyết thống kê toán học không đ−ợc trình bày chi tiết mà chỉ sử dụng các kết quả cần thiết cho áp dụng thực tiễn. Để khai thác sâu hơn khía cạnh toán học của vấn đề đang xét cần tham khảo thêm các cuốn sách phổ cập khác. Trong cuốn sách chỉ trình bày các ph−ơng pháp thống kê th−ờng hay sử dụng nhất trong thuỷ văn và các ph−ơng pháp (theo ý các tác giả) th−ờng xuyên sử dụng nhất trong tính toán và dự báo thuỷ văn. 2. Một vài nét ngắn gọn về sự phát triển phân tích thống kê tài liệu thuỷ văn Sử dụng các thuật toán xử lý thống kê tài liệu quan trắc thuỷ văn liên quan tới việc hoàn thành việc khái quát đầu tiên, có nghĩa là về mặt lịch sử t−ơng ứng tới giai đoạn đầu tiên của phát triển thuỷ văn học. Khi đó để đặc tr−ng các đại l−ợng thuỷ văn chỉ có các tham số cơ bản nhất của chuỗi thống kê : giá trị trung bình, độ lệch quân 9 ph−ơng và các ma trận khác nhau. Trong giai đoạn này, dễ thấy mô tả thống kê đầy đủ nhất là đ−ờng cong đảm bảo trạng thái mực n−ớc (l−u l−ợng n−ớc) trong năm. Ng−ời ta cũng đã sử dụng một ít phân tích t−ơng quan. Khởi đầu cho việc sử dụng rộng rãi các phép toán xác suất và thống kê toán học liên quan tới sự xuất hiện công trình của A. Hazen[152-153], lần đầu tiên sử dụng lý thuyết xác suất để nghiên cứu các qui luật thống kê dao động nhiều năm của dòng chảy sông ngòi. A. Hazen tiếp nhận đ−ờng cong Gauxơ để mô tả phân bố thống kê chuỗi dòng chảy sông ngòi có tính chất đối xứng, chạy từ - ∞ đến ∞ và đ−ợc đặc tr−ng bởi hai tham số: giá trị trung bình của đại l−ợng biến đổi và độ lệch quân ph−ơng của nó (hoặc hệ số biến đổi). Để xác định suất đảm bảo thực nghiệm Hazen sử dụng công thức P m n = − 0 5, , với n - số thành viên của chuỗi; m- số thứ tự của thành viên chuỗi phân bố theo trật tự giảm (hoặc tăng) dần. Các công trình của Hazen đã đặt nền móng cho việc xây dựng các l−ới xác suất, cho phép làm thẳng các đ−ờng cong đảm bảovà đẽ dàng cho việc ngoại suy. A. Hazen dựng l−ới trên đó làm thẳng hoàn toàn đ−ờng cong phân bố chuẩn (đ−ờng cong Gauxơ). Giai đoạn quan trọng tiếp theo trong việc sử dụng các thủ thuật thống kê trong thuỷ văn là các công trình của A. Phoster [149-151] và Đ. L. Xocolovski [131-132]. A. Phoster xác định rằng chuỗi dòng chảy th−ờng không đối xứng và vì thế giới thiệu áp dụng cho việc xây dựng đ−ờng cong đảm bảo dòng chảy đ−ờng cong bất đối xứng Piêcson III. Ngoài ra, đ−ờng cong này với các giá trị xác định của tham số không mang giá trị âm, hơn hẳn so với phân bố chuẩn về tính t−ơng ứng với bản chất hiện t−ợng đang xét. Đối với khả năng sử dụng thực tiễn rộng rãi đ−ờng cong Piecson III, Phoster thiết lập bảng giá trị hàm cho phép theo các tham số cơ bản xác định bởi nó (giá trị trung bình, hệ số biến đổi và hệ số bất đối xứng ) dựng mọi đ−ờng cong. Bảng Phoster đ−ợc S. I. R−pkin[117] hiệu đính và đ−ợc sử dụng tốt trong tính toán thuỷ văn ở Liên Xô. Tiếp theo bảng này đ−ợc mở rộng bởi GGI đối với các giá trị cao hơn của hệ số bất đối xứng (tới Cs = 5,2). 10 Việc các nhà thuỷ văn sử dụng rộng rãi các phép toán lý thuyết xác suất và thống kê toán học ở Liên Xô bắt đầu từ lúc xuất hiện công trình của Đ.L. Xocolovski [132], trong đó trình bày sơ đồ tính toán Phoster với đ−ờng cong Piecson III. Đồng thời Xocolovski còn đ−a ra một thành phần hoàn toàn mới trong cấu trúc của Phoster, chỉ ra cách xác định đại l−ợng hệ số biến đổi theo công thức thực nghiệm đối với sông ngòi không có số liệu đo đạc thuỷ văn trực tiếp. Vào thời điểm xuất hiện công trình của Xocolovski cũng đã có đề xuất của Cotrerin để xác định chuẩn dòng chảy của sông ngòi ch−a đ−ợc nghiên cứu. Nh− vậy, xuất hiện khả năng dựng đ−ờng cong đảm bảo của dòng chảy thậm chí đối với sông ngòi hoàn toàn ch−a nghiên cứu thuỷ văn. Đối với việc đó chỉ cần nhận một vài tỷ lệ tiêu chuẩn giữa các đại l−ợng của hệ số biến đổi (Cv) và hệ số bất đối xứng (Cs). Tính cần thiết của cách giải nh− vậy đ−ợc xác định bởi tình huống là đại l−ợng hệ số bất đối xứng (Cs) theo chuỗi dòng chảy ngắn đang có đ−ợc xác định rất không chính xác. áp dụng với việc tính toán đại l−ợng dòng chảy năm có suất đảm bảo khác nhau tỷ lệ này đ−ợc đề xuất bằng hai lần (Cs = 2Cv), và t−ơng ứng với giới hạn d−ới của đại l−ợng ngẫu nhiên đang xét. Tiếp về sau, Xocolovski [131] phổ biến nghiên cứu tính ứng dụng của đ−ờng cong Piecson III để tính toán l−u l−ợng cực đại suất đảm bảo khác nhau. Lúc đầu việc áp dụng rộng rãi đ−ờng cong Piecson III đã có ý đến mong muốn loại bỏ nh−ợc điểm của nó là nó nhận giá trị âm với các giá trị suất đảm bảo lớn khi mà hệ số bất đối xứng của chuỗi ngẫu nhiên nhỏ hơn hai lần giá trị hệ số biến đổi (Cs<2Cv). Tính chất nêu trên của đ−ờng cong đang xét dẫn tới nhận giá trị âm của dòng chảy (hoặc là một đại l−ợng d−ơng cực lớn, đối với việc mô tả chuỗi thống kê bởi đ−ờng cong Piecson III) khi ngoại suy phần thấp của đ−ờng cong đảm bảo ngoài giới hạn quan trắc. Thử nghiệm đầu tiên theo h−ớng này do G. N. Brocovits [26-29]. Hàm phân bố xác suất các đại l−ợng thay đổi trong khoảng 0<x<∞, ông thể hiện d−ới dạng khai triển theo đa thức (nhiều thành viên) Lager. Thành phần đầu tiên của khai triển trùng với biểu thức của đ−ờng cong Piecson III với Cs = 2Cv là mô hình xuất phát để biến đổi tiếp theo bằng cách nhập các thành phần tiếp theo của khai triển. Đề nghị của Brocovits áp dụng với ba tham số (giá trị trung bình, hệ số biến đổi, hệ số bất đối xứng) đ−ợc xem xét bởi Velicanov[33], ông thực hiện biến đổi đ−ờng cong Piecson III thành biểu thức tổng quan hơn bằng cách nhân tung độ của đ−ờng 11 cong xuất phát với một thừa số nhiễu có dạng nhiều thành phần Ao + A1x + A2x 2 + A3x 3 + ... Tuy nhiên lời giải mà Velicanov thu đ−ợc, nh− đã đ−ợc G.A. Alecxayev chứng minh, không hoàn toàn loại trừ đ−ợc nh−ợc điểm đã nêu của đ−ờng cong Piecson III . Cách do Brocovits và Velicanov khởi x−ớng đ−ợc E.Đ. Xapharov chọn [119]. Xuất phát từ biểu thức chung của đ−ờng cong phân bố xác suất, xuất hiện khi khai triển một hàm bất kỳ (thay đổi trong khoảng 0,∞) theo đa thức Lager, Xapharov đi đến ph−ơng trình đ−ờng cong phân bố xác suất trùng với Velicanov khi biến đổi đ−ờng cong Piecson III bằng ph−ơng pháp biến đổi bằng thừa số nhiễu . Khi ứng dụng ph−ơng trình này Xapharov lập một bảng chuẩn để dựng đ−ờng cong đảm bảo với Cv thay đổi trong khoảng từ 0,05-1,0 và với các tỷ lệ Cv/Cs khác nhau. Đồng thời ông đề xuất thuật toán đồ giải giải tích xác định hệ số biến đổi (Cv) và hệ số bất đối xứng (Cs) áp dụng cho phân bố xác suất đang nghiên cứu. Do các biến đổi đã nêu không loại trừ đ−ợc nh−ợc điểm cơ bản đã nêu ở trên của đ−ờng cong Piecson III , khi Cs ~ 2Cv thì dẫn tới kết quả tính toán không khác mấy đ−ờng cong Piecson III nên chúng không nhận đ−ợc sự ứng dụng rộng rãi. Nhiệm vụ biến đổi đ−ờng cong Piecson III để loại bỏ nh−ợc điểm bản chất của nó là giá trị âm khi Cs < 2Cv đ−ợc giải quyết bởi S.N. Krixki và M. Ph. Menkel[78], họ thực hiện biến đổi biến ban đầu x (dấu hiệu phân bố) bằng biến thế z theo hệ thức z=axb, với a và b - tham số phụ thuộc vào đại l−ợng hệ số biến đổi và hệ số bất đối xứng dãy thực nghiệm của biến x ban đầu. Việc áp dụng thực tế đ−ờng cong Krixki - Menkel đ−ợc nhận tên gọi là phân bố gamma ba tham số1 trở nên khả thi sau ấn phẩm của Đ.V. Korenhistov [64] bảng tung độ các đ−ờng cong này đối với các giá trị khác nhau của hệ số biến đổi Cv và hệ thức Cv/Cs. Trong các bảng này gồm giá trị hệ số biến đổi Cv từ 0,10 đến1,20. E.G. Blokhinov và N.V. Nhicolskaia [24] đã mở rộng bảng tới Cv=2,0. Bên cạnh việc biên soạn h−ớng tới việc loại bỏ nh−ợc điểm đã nêu của đ−ờng cong Piecson III, ng−ời ta còn nghiên cứu với mục đích là tạo ra các sơ đồ khác mô tả 1 Tên gọi này tuy nhiên là ch−a đầy đủ, vì mô hình xuất phát - đ−ờng cong Piecson III là phân bố gamma, biểu diễn ở dạng chung cũng qua ba tham số (x, Cv, Cs). Cho nên hoàn toàn không nhất thiết nh− Krixki và Menkel đã làm là trói buộc khái niệm đ−ờng cong Piecson III với điều kiện Cs = 2Cv. Nói riêng, áp dụng vào nhiệm vụ tính toán dòng chảy trong nhiều tr−ờng hợp hoàn toàn hợp lý với Cs ≥ 2Cv . 12 các qui luật thống kê mang tính chất của chuỗi. ta đã biết những cố gắng thể hiện hàm mật độ xác suất f(x) của đại l−ợng x thay đổi trong khoảng từ -∞ đến ∞ ở dạng chung hơn so với đ−ờng cong phân bố chuẩn1 (đ−ờng cong Gauxơ). Cách giải quyết này đã đ−ợc M. V. Mialcovski [90] áp dụng và ông sử dụng ph−ơng pháp khai triển hàm f(x) về chuỗi Gramm-Sarle trong dạng đa thức (đa thành viên) ermit. Thành viên đầu tiên của khai triển này trùng với biểu thức của qui luật phân bố chuẩn. Do đó ph−ơng pháp này, về bản chất, dẫn đến biến đổi (biến dạng) của qui luật phân bố chuẩn Gauxơ ở dạng phân bố bất đối xứng bằng cách xét thêm các thành viên chuỗi phụ thuộc vào các mômen bậc cao hơn so với các mômen xác định đ−ờng cong chuẩn xuất phát. Phép biến dạng đ−ờng cong chuẩn đã nêu với sự trợ giúp của khai triển hàm phân bố đại l−ợng (x), thay đổi trong khoảng -∞ <x<∞, về chuỗi Gramm-Sarle có thể xem nh− là chuyển đổi từ hàm phân bố ban đầu (Gauxơ) đến một qui luật phân bố chung hơn (nh− là phân bố bất đối xứng) bằng cách nhân tung độ mô hình phân bố xuất phát với một hàm f(x) nào đó, gọi là nhiễu. Hàm này th−ờng đ−ợc biểu thị d−ới dạng một liệt đại số. T−ơng tự, có thể xem phép biến đổi trên của việc biến đổi phân bố Piecson III với sự trợ giúp của khai triển về chuỗi theo đa thức Lager. Lời giải với sự sử dụng đ−ờng cong phân bố Sarle , Mialcovski đạt đến giai đoạn thuận tiện cho các tính toán thực tiễn. Ông đã thành lập các bảng cho phép xác định tung độ đ−ờng cong đảm bảo phụ thuộc vào hệ số bất đối xứng và độ nhọn - chính là các tham số của đ−ờng cong này. Mặc dù vậy, đề xuất này không phổ biến trong thực tiễn tính toán thuỷ văn do việc xây dựng đ−ờng cong dựa trên việc −ớc l−ợng các đại l−ợng hệ số bất đối xứng và độ nhọn mà chúng theo chuỗi thực nghiệm đ−ợc xác định với độ chính xác rất thấp. Ngoài ra, biến đổi do Mialcovski đề x−ớng trong một số tr−ờng hợp không loại bỏ đ−ợc khả năng nhận giá trị âm với một vài giá trị nào đó của biến. Nh− A.M. Basin[16] đã chứng minh, đ−ờng cong Sarle không chiếm −u thế nào và chỉ có tính chất thực nghiệm. 1 Thuật ngữ đ−ờng cong "chuẩn" là do Piecson đề xuất và ông nói:" Nhiều năm tr−ớc đây tôi gọi là đ−ờng cong chuẩn là đ−ờng cong Gauxơ - Laplas. Tên gọi này thuận tiện vì để lại gốc quốc tế và không thuận tiện vì coi nh− các phân bố khác bị hiểu là không chuẩn. Tất nhiên điều này không đúng."[99, tr.21]. 13 Bên cạnh những vấn đề đã nêu, sử dụng đ−ờng cong chuẩn để giải các bài toán thuỷ văn gắn liền với biến đổi logarit hoặc là ph−ơng trình đ−ờng cong chuẩn, hoặc là giá trị dòng chảy ban đầu. Rõ ràng phân bố xác suất chuẩn logarit chỉ có các đại l−ợng ngẫu nhiên dao động trong miền giá trị d−ơng (thí dụ nh− l−u l−ợng n−ớc trong sông ngòi), dologarit không có giá trị âm. Trong tr−ờng hợp thứ nhất ph−ơng trình qui luật chuẩn đ−ợc thế biến x bởi logx. Kết quả là thu đ−ợc một phân bố chuẩn logarit (chuẩn- loga) bất đối xứng bắt đầu từ 0 và không bị chặn trên. Trong tr−ờng hợp thứ hai, có nghĩa là sử đụng chuỗi đầu vào không phải là x mà là logx, giá trị dao động của các giá trị hiển nhiên d−ơng 0 ≤ x < ∞ đạt đ−ợc -∞ < lgx < ∞, làm trơn tính bất đối xứng của chuỗi và sau đó mô tả bởi đ−ờng cong phân bố chuẩn. H−ớng gắn với biến đổi logarit dựa trên phân tích toán học đ−ợc nhà toán học Đan Mạch A. Phiser thực hiện; Sleyd [155] áp dụng cho tính toán dòng chảy sông ngòi . Thông tin về điều này chứa trong bài báo của S.N. Krixki và M. Ph. Menkel [84]. Khả năng sử dụng đ−ờng cong logarit chuẩn để mô tả các qui luật dao động thống kê lũ do m−a đã đ−ợc các nhà bác học Mỹ Berdon và Kumperon nghiên cứu. ở Liên Xô vấn đề về khả năng sử dụng đ−ờng cong chuẩn để đánh giá độ lặp lại của lũ do m−a trong tr−ờng hợp biến đổi đại l−ợng chuỗi đầu vào thành logarit đ−ợc E.G. Blokhinov nghiên cứu chi tiết. Trong công trình đó Blokhinov đ−a ra đề nghị sử dụng hoàn thiện các đ−ờng cong loga-chuẩn. Cần nhận thấy rằng trong lĩnh vực tính toán thuỷ văn đề xuất về biến đổi logarit các đại l−ợng biến đôỉ thuộc về S. I. R−pkin[116], ng−ời đã sử dụng nó để xây dựng sơ đồ tính toán l−u l−ợng cực đại của n−ớc với các xác suất an toàn khác nhau. Kết quả phân tích đó R−pkin đi đến kết luận về khả năng mô tả qui luật thống kê của logarit các đại l−ợng cực đại l−u l−ợng n−ớc nhờ đ−ờng cong Piecson III. Một trong những −u thế của đề nghị này, theo R−pkin, là ở chỗ đ−ờng cong Piecson III bị chặn trên khi P → 0. Tuy nhiên tính chất này của đ−ờng cong nói trên cũng nh− các đ−ờng cong khác bị chặn trên sẽ rất khó dùng trrong thực tế vì xác định giới hạn trên của đại l−ợng biến đổi th−ờng gắn với việc phải thực hiện đủ một số động tác bất kỳ khi ngoại suy đ−ờng cong đảm bảo hoặc khi sử dụng ph−ơng pháp nhóm điểm. Bên cạnh các sơ đồ phân bố xác suất kể trên các nhà thuỷ văn xô viết còn xét tới một vài cách khác đối với khả năng sử dụng để −ớc l−ợng dao động ngẫu nhiên dòng 14 chảy sông ngòi. Thế nên, G. A. Alecxayev[10] đã ủng hộ phân tích chi tiết đ−ờng cong Gudrits. Ông xem xét sơ đồ xác suất lý thuyết thoả mãn qui luật phân bố Gudrits và thành lập bảng chuẩn các tung độ chuẩn hoá cho phép dựng đ−ờng cong đảm bảo trên cơ sở đánh giá 3 tham số: giá trị trung bình, hệ số biến đổi và hệ số bất đối xứng. G. A. Alecxayev chứng minh rằng đ−ờng cong Gudrits, khác với đ−ờng cong Piecson III, không âm ngay cả với Cs 2Cv -0,9. Tuy nhiên do thiếu những −u thế cơ bản so với đ−ờng cong Piecson III và đ−ờng cong Krixki-Menkel nên đ−ờng cong Gudrits không đ−ợc phổ biến trong thực tiễn tính toán thuỷ văn để ngoại suy đ−ờng cong đảm bảo. Thời gian gần đây, G.G. Svanhidze và G. L. Grigolia [44,124] đã nghiên cứu khả năng sử dụng phân bố Jonshon bị chặn cả trên lẫn d−ới. Để −ớc l−ợng tham số phân bố đã cho họ đã sử dụng lần đầu tiên bốn mômen. Giới hạn trên và d−ới của phân bố này xác định theo cực tiểu của chỉ tiêu phù hợp χ2 với các giới hạn phân bố khác nhau. Khi đó xác định ảnh h−ởng của các giới hạn lên tham số phân bố ( x Cv Cs, , ) và hệ số t−ơng quan giữa các thành viên trong chuỗi. Sự tập trung lớn trong các tài liệu thuỷ văn dành cho việc giải thích cơ sở sử dụng các sơ đồ thống kê khác nhau ( cụ thể là đ−ờng cong Piecson III và phân bố gamma ba tham số ) để đánh giá các đặc tr−ng khí t−ợng thuỷ văn độ lặp hiếm, có nghĩa là trong vùng ngoại suy. Bản chất của các nghiên cứu này là ở chỗ không thể chứng minh sự t−ơng ứng của các qui luật phân bố chuỗi dòng chảy sông ngòi bởi sơ đồ thống kê này hoặc kia với các cấu trúc lý thuyết. Kết luận nh− thế với mức độ tin cậy này hoặc kia có thể đ−ợc chỉ trên cơ sở phân tích chuỗi thống kê đang có của đại l−ợng nghiên cứu. Kiểm tra sự t−ơng ứng của các đ−ờng cong thực nghiệm và lý thuyết theo tài liệu quan trắc ở một số tuyến đo khí t−ợng thuỷ văn đ−ợc Xocolovski [132] tiến hành khi trình bày ph−ơng pháp Phoster. Tuy nhiên, do độ dài thời đoạn quan trắc không lớn ở một số tuyến đo, đặc biệt là vào thời kỳ Xocolovski thực hiện công trình (hoặc là tính hạn chế rõ ràng của mẫu về ý nghĩa thống kê), việc so sánh nh− vậy không thể đ−ợc coi là đủ cơ sở tin cậy về tính áp dụng của sơ đồ lý thuyết đ−ờng cong phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên trong thuỷ văn. Cho nên vào năm 1941 G. N. Brocovits và G.N. Velicanov [30] đã cố gắng mở rộng khả năng ph−ơng pháp so sánh trực tiếp đ−ờng cong đảm bảo thực nghiệm và giải tích bằng cách sử dụng số liệu về l−u l−ợng n−ớc theo vài tuyến trộn vào một tập hợp để xây dựng đ−ờng cong đảm bảo thực nghiệm (ph−ơng pháp trạm năm). Khi đó trong 15 một tổ hợp nhập các chuỗi l−u l−ợng có các giá trị hệ số biến đổi ít khác nhau, từ kết quả phân tích trên Brocovits và Velicanov đi tới kết luận về khả năng sử dụng đ−ờng cong Piecson III với Cs = 2Cv để mô tả qui luật dao động ngẫu nhiên của l−u l−ợng n−ớc (cụ thể là l−u l−ợng cực đại). Tiếp theo S.N. Krixki và M. Ph. Menkel [83] đã tiến hành nghiên cứu rộng rãi tính ứng dụng của đ−ờng cong Piecson III cũng nh− đ−ờng cong mang tên họ là gamma ba tham số để đánh giá dao động ngẫu nhiên của dòng chảy sông ngòi. Kết quả của sự phân tích này đ−ợc thực hiện với việc sử dụng ph−ơng pháp trạm năm và một vài chỉ tiêu đồng nhất thống kê xác định rằng đ−ờng cong Krixki và Menkel là sơ đồ tiện ích để mô tả các qui luật thống kê dao động dòng chảy sông ngòi. T−ơng tự đối với đ−ờng cong Piecson III với Cs ≥ 2Cv. G. P. Kalinhin [58] đã thử xây dựng mô hình phân bố thống kê mới của dao động ngẫu nhiên dòng chảy năm và cực đại. Các nghiên cứu do ông thực hiện là hoàn thành bảng tung độ đ−ờng cong đảm bảo khái quát l−u l−ợng n−ớc cực đại và trung bình năm. Các bảng này là các tr−ờng hợp riêng của các đ−ờng cong Piecson III trong giới hạn khoảng biến đổi của hệ số bất đối xứng nhỏ. Do vậy, kết quả nghiên cứu này chỉ có thể coi nh− thêm một khẳng định (trên tài liệu thực nghiệm) khả năng sử dụng đ−ờng cong Piecson III để mô tả dao động ngẫu nhiên của dòng chảy năm và cực đại. Krixki và Menkel dành sự chú ý nhiều cho vấn đề đánh giá thống kê độ chính xác việc xác định mẫu các tham số đ−ờng cong phân bố[78, 79]. Tr−ớc khi xuất hiện các công trình của Krixki và Menkel với việc xác định các sai số ngẫu nhiên của các −ớc l−ợng mẫu các tham số thống kê của chuỗi các đại l−ợng thuỷ văn ng−ời ta sử dụng các mối quan hệ dùng cho các tập tuân theo qui luật phân bố chuẩn Gauxơ. Krixki và Menkel [78] dựa trên ph−ơng pháp mômen và xuất phát từ luật phân bố nhị thức khi Cs = 2Cv nhận đ−ợc biểu thức sai số ngẫu nhiên xác định độ lệch quân ph−ơng (chuẩn), hệ số biến đổi và hệ số bất đối xứng, độ nhọn và tung độ đ−ờng cong đảm bảo. Vào năm 1968, Krixki và Menkel [79] đã công bố các công thức hiệu chỉnh sai số chuẩn −ớc l−ợng mẫu hệ số biến đổi và tung độ đ−ờng cong đảm bảo Piecson III nhận đ−ợc có tính đến hệ số t−ơng quan giữa các −ớc l−ợng mẫu trung bình và chuẩn (độ lệch quân ph−ơng). Sự phát triển nghiên cứu tiếp theo trong lĩnh vực đánh giá độ chính xác của −ớc l−ợng mẫu tham số các đ−ờng cong phân bố cũng nh− giải quyết hàng loạt vấn đề 16 khác liên quan tới lĩnh vực giải thích các qui luật thống kê đặc thù cho chuỗi các đặc tr−ng thuỷ văn , liên quan tới việc phổ cập vào thực tiễn tính toán thuỷ văn và thuỷ lợi là ph−ơng pháp Monte-Carlo (mô hình hoá toán học). Lần đầu tiên cơ sở ph−ơng pháp này đ−ợc trình bày khá đầy đủ trong các công trình của G.G. Svanhide [123]. Dựa trên ph−ơng pháp Monte-Carlo, E. G. Blokhinov [18] khi sử dụng khả năng thực nghiệm số trên máy tính điện tử thu đ−ợc biểu thức đối với sai số ngẫu nhiên với hiệu chỉnh về sự trộn −ớc l−ợng mẫu các tham số chỗi thống kê các đặc tr−ng thuỷ văn. Trong các công trình G.G Svanhide [120, 129] và Khomerika [141] đ−a ra ph−ơng án mô hình hoá chuỗi thuỷ văn có tính đ