Ebook Động lực học ứng dụng về sóng mặt đại dương - Quyển 1

về phía phải vμ phía trái. Ta cũng định nghĩa ),( αxf1 lμ nghiệm của bμi toán phân tán sang trái: ),( αxf1 ∼ xeT R e T xixi 1 1 1 1 ,α−α + ∼ −∞ , (7.8a) ∼ +∞∼+∞ (7.8b) vμ ),(2 αxf lμ nghiệm của bμi toán phân tán sang phải: ),( αxf2 ∼ xe xi ,α− ∼ −∞ (7.9a) ∼ xe T Re T xixi 1 2 2 2 ,αα− + ∼ +∞ . (7.9b) Trong cơ học l−ợng tử 1f vμ 2f đ−ợc gọi lμ các hμm Jost. Bây giờ các hμm 1f vμ 2f lμ những nghiệm độc lập tuyến tính vì các toán tử Wronksian của chúng 1 122121 2 T iffffffW α−=′−′≡),( (từ x ∼ −∞ ) 2 2 T iα −= (từ x ∼ +∞ ) nói chung không triệt tiêu. Ph−ơng trình trên ngụ ý lμ 21 TT = , (7.10) tức các hệ số truyền qua bên phải vμ bên trái bằng nhau ngay cả khi )(xh không đối xứng. Ngoμi ra, vì không phụ thuộc tuyến tính giữa 1f vμ 2f ta có thể biểu diễn X trong ph−ơng trình (7.7) bằng tổ hợp tuyến tính 21 DfCfX += . (7.11) So sánh các giá trị tiệm cận của các ph−ơng trình (7.11) vμ (7.7), ta có −− =+= BD T RCA T C 1 1 1 , , ++ ===+ BT DA T RC 22 2 1 , . +A vμ −B có thể giải ra bằng cách khử C vμ D : +−−+−+ +=+= BTARBBRATA 2121 , vμ kết quả nμy có thể biểu diễn d−ới dạng ma trận: [ ]     =    + − − + B A S B A (7.12a) với [ ]    = 21 21 TR RT S . (7.12b) Nh− tr−ớc đây, ][S lμ ma trận tản mát hay ma trận −S lμ tổng quát hoá của các ph−ơng trình (2.13) vμ (2.15) cho dạng độ sâu cụ thể. 4.7.3 Các hμi bẫy nh− lμ những cực ảo của )]([ αS Trong kết quả đối với thềm hình chữ nhật, giả sử ta thay 11 α−=γ i sao cho điều kiện giá trị riêng (6.9) trở thμnh 011 22 2222 =−−+ αα− aiai eses )()( với 22 11 h hs α α = . Nếu xét tới các ph−ơng trình (4.21) vμ (4.22), ph−ơng trình trên t−ơng đ−ơng với sự triệt tiêu các mẫu số của R vμ T trong bμi toán phân tán, tức các hμi bẫy sẽ ứng với các cực ảo d−ơng của 96 R vμ T trong mặt phẳng phức α . Vậy hai bμi toán khác nhau có thể kết nối lại về toán học hay không, đó lμ vấn đề đáng tò mò. Bây giờ ta đ−a ra lý thuyết cho độ sâu tuỳ ý )(xh với ∞→h khi ∞→h . Các nghiệm Jost ),( αxf1 vμ ),( α−xf2 độc lập tuyến tính vì toán tử Wronskian của chúng α−=α ′ α−−α−′α=α−α ixfxfxfxfxfxfW 2111111 ),(),,(),(),()],(),,([ không triêt tiêu sau khi sử dụng các giá trị tiệm cận tại +∞~x . Nghiệm tuỳ ý thí dụ nh− ),( αxf2 có thể biểu diễn bằng một tổ hợp tuyến tính của ),( αxf1 vμ ),( α−xf1 . Xét diễn biến tại ∞~x , dễ dμng thấy rằng ),(),(),( α−+α=α xf T xf T Rxf 1 2 1 2 2 2 1 , hay ),(),(),( α−+α=α xfxfRxfT 11222 . (7.13) Đạo hμm các ph−ơng trình trên theo x , ta có ),(),(),( α−′+α′=α′ xfxfRxfT 11222 . (7.14) Ta giải 2T vμ 2R từ các ph−ơng trình (7.13) vμ (7.14): )},(),,({ αα α −= xfxfW iT 21 2 2 , )},(),,({ )},(),,({ αα αα− −= xfxfW xfxfWR 21 21 2 . Nếu có các cực đối với 2T , thì chúng phải ứng với các giá trị không của: 021 =αα )},(),,({ xfxfW . Giả sử các cực đ−ợc ký hiệu lμ nα . Thứ nhất, chúng cũng phải lμ các cực của 2R , do đó của )]([ αS . Thứ hai, tại các cực nμy 01 2 =T/ vμ =22 TR / hữu hạn, thμnh thử 2f có dáng tiệm cận 2f ∼ xe xi n ,α− ∼ −∞ , ∼ xe T R xi n n , 2 2 α α     ∼ +∞ . (7.15) Giả sử rằng các cực nμy phức với các phần ảo d−ơng sao cho 2f giảm theo hμm mũ tới không khi ∞→x , tức 0 >γγ+δ=α nnnn i , . Từ ph−ơng trình (7.6) dễ dμng rút ra 222 XiXXXXa )(Im]([ , α=′′− ∗∗ . (7.16) Bây nếu cho 2fX = , tích phân hai vế của (7.16) từ −∞ đến ∞ vμ sử dụng tính biến thiên kiểu hμm mũ tại ∞→x , ta đ−ợc ∞ ∞− =α 0 2 2 2 dxfnIm , tức: 0 2 =αnIm hay 0=δn (7.17) Vậy, các cực ảo hoμn toμn vμ các hμi bẫy giảm đơn điệu tại x lớn. Với một giá trị riêng nh− nn iγ=α , hμm riêng X có thể lấy bằng thực. Nhân ph−ơng trình (7.6a) với X vμ tích phân từng phần, ta có 0 2 2 22 =    ω −β+′  ∞ ∞− ∞ ∞ ∞− xdX gh axdXa )( . Vì 02222 >ω−β→ω−β ∞∞ )/()/( ghgha khi ±∞→x , đẳng thức trên có nghĩa rằng 022 <ω−β ∞ )/( gha cho một khoảng x nμo đó; nói cách khác X tầm th−ờng bằng 0. Điều kiện tồn tại của các hμi bẫy (7.5) một lần nữa đ−ợc khẳng định. 97 4.7.4 Các tính chất của )]([ αS với α thực Trở lại ph−ơng trình (7.7) với bμi toán tản mát, bây giờ ta khảo sát một số tính chất khác của ma trận S . Xét α thực, từ các ph−ơng trình (7.6) vμ liên hợp phức của nó, có thể chỉ ra rằng const =′− ∗∗ )( , XXXXa . (7.18) Cho bằng nhau các giá trị tiệm cận của vế trái tại x~ −∞ vμ x~ +∞ , ta đ−ợc 2222 +−−+ +=+ BABA , (7.19) biểu thức nμy nói rằng năng l−ợng của các sóng tới bằng năng l−ợng của các sóng đi ra. Nếu tính tới ph−ơng trình (7.12a), ph−ơng trình (7.19) có thể viết thμnh { } { }     =     =+ + − +− − + −+−+ * * * * * ][][,, B A SSBA B A BABA T 22 , (7.19) trong đó −TS][ ma trận chuyển vị của ][S . Suy ra    == 10 01 ISS T ][][ * , (7.20) đ−ợc gọi lμ tính chất đơn vị của ma trận S . Theo định nghĩa của ][S , ph−ơng trình (7.20) có nghĩa rằng    =      10 01 21 21 22 11 ** ** TR RT TR RT , (7.21) từ đây nhận đ−ợc ba quan hệ độc lập: 1 2 1 2 1 =+ RT , (7.22a) 1 2 2 2 2 =+ RT , (7.22b) 02121 =+ ** TRRT . (7.22c) Các ph−ơng trình (7.22a) vμ (7.22c) một lần nữa biểu diễn sự bảo toμn năng l−ợng. Theo ph−ơng trình (7.10), ph−ơng trình (7.22c) có nghĩa rằng 21 RR = . (7.23) Từ các ph−ơng trình (7.7), biến thiên tiệm cận của liên hợp phức của X lμ: *X ∼ xeBeA xixi ,** α − α− − + ∼ −∞ , (7.24a) ∼ xeBeA xixi ,** α+ α− + + ∼ +∞ , (7.24b) So sánh với các ph−ơng trình (7.7), rõ rμng lμ **** ,,, ++−− BABA có thể đ−ợc thế tuần tự cho ++−− ABAB ,,, , do đó ph−ơng trình (7.12a) có thể đ−ợc viết lại     =     + − − + * * * * ][ A B S A B (7.25) hay     =     + − − + * * * * * ][ A B S A B . (7.25b) Mặt khác, ta viết lại nghiệm −X các ph−ơng trình (7.7) nh− sau X ∼ xeAeB xixi ,)()( α−− − α−− − + ∼ −∞ , (7.26a) xeAeB xixi ,)()( α−−+ α− + + ∼ +∞ , (7.26b) nó đ−ợc xem nh− lμ bμi toán với ω đ−ợc thay bằng )( ω− , vμ α đ−ợc thay bằng α− . Bây giờ − B vμ +A lμ các sóng tới vμ −A vμ +B lμ các sóng đi ra. Bằng cách t−ơng tự đối với ph−ơng trình (7.12) ta có     α−=     + − − + A B S A B )]([ . (7.27) Khi so sánh các ph−ơng trình (7.25b) vμ (7.27), ta đi đến kết luận )]([)]([ * α−=α SS . (7.28) 98 Tóm lại, ph−ơng trình (7.18) lμ hệ quả của công thức Green, đã dẫn đến những thông tin quan trọng về các tr−ờng phía xa. Cách tiếp cận nμy sẽ đ−ợc khai thác thêm trong ch−ơng 7. Bμi tập 7.1 Xét một kênh có mặt cắt ngang biến đổi chỉ trong một phần hữu hạn của x vμ có độ rộng, độ sâu hằng số tại vô cùng: ),(),( 11 hbhb → khi x~ −∞ , vμ ),( 22 hb→ khi +∞→x . Lấy ),( 11 TR vμ ),( 22 TR lμ các hệ số tản mát trái vμ phải. Chứng minh rằng ,)( 2122 2 111 1 TAkRAk =− trong đó 111 hbA = vμ 222 hbA = (7.29a) 22 11 2 1 Ak Ak T T = (7.29b) vμ 21 RR = , (7.30a) 2 221 1 RTT −= . (7.30b) 4.8 Các sóng rìa trên nền độ dốc không đổi Nh− lμ một tr−ờng hợp cụ thể của độ sâu biến đổi liên tục, ta xét một bãi biển thẳng dμi với độ nghiêng không đổi (Eckart, 1951). Đặt đ−ờng bờ trung bình trùng với trục y vμ vùng n−ớc nằm trong miền 0>x . Đáy đ−ợc mô tả bằng const 0 =>−=−= sxsxhz ,, . (8.1) Vì các hệ số lμ hằng số theo trục y vμ t , ta thử tìm nghiệm d−ới dạng: )()( tyiex ω−βη=ζ . (8.2) Ph−ơng trình (1.9) cho 0 2 2 =η    β−ω+η′+η′′ x sg x . (8.3) Sử dụng phép chuyển đổi )(, / ξ=ηβ=ξ ξ− fex 2 2 , (8.4) ph−ơng trình (8.3) đ−ợc viết lại thμnh 0 2 1 2 1 2 =   −β ω +′ξ−+′′ξ f sg ff )( , (8.5) ph−ơng trình nμy thuộc lớp các ph−ơng trình hypergeometric (xem thêm về ph−ơng trình Kummer, trong (Abramowitz vμ Stegum, 1972)). Tr−ờng hợp tổng quát sẽ có hai nghiệm, một trong số đó lμ nghiệm đơn tại đ−ờng bờ 0=ξ vμ phải loại bỏ. Các nghiệm không tầm th−ờng lμm cho η hữu hạn tại 0=ξ vμ bằng không khi ∞→ξ tồn tại khi ω ứng với những giá trị rời rạc sau: ...,,,,, 3 2 1 0 2 1 2 2 =+=β ω nn sg (8.6) Các hμm riêng liên quan tỉ lệ với các đa thức Laguerre   −ξ−+ξ−ξ−=ξ −− 2 22 1 2 2 1 1 nnn n n nnn n L ! )( !! )()(   −++ξ−−− − !)(... ! )()( nnnn nn 3 222 3 21 ; (8.7) thí dụ, ,,, 22 1 210 2111 ξ+ξ−=ξ−== LLL ... Một số ít hμi đầu tiên đ−ợc vẽ trên hình 8.1, hμi bậc cμng cao thì cμng giảm nhanh hơn theo h−ớng ra khơi. Vì các hμm riêng nμy ứng với các hμi nμo chỉ phù hợp với vùng gần bờ, nên chúng đ−ợc gọi lμ các sóng rìa (edge waves). Các hμm riêng nμy trực giao theo nghĩa sau 99 ∞ ξ− δ=ξ 0 nmmn dLLe . (8.8) Với nm = ph−ơng trình (8.8) sẽ nói lên rằng mỗi hμi có một năng l−ợng hữu hạn. Các sóng rìa đ−ợc quan tâm trong hải d−ơng học vùng bờ vì chúng có biên độ lớn nhất, do đó gây n−ớc dâng mạnh nhất ở bờ. Ng−ời ta cũng cho rằng các sóng nμy lμ nguyên nhân gây ra các dòng chảy gián đoạn trong vùng ven bờ khi đổ nhμo các sóng ngắn hơn. Stokes (1847) đã phát hiện các sóng rìa nh− vậy với các bãi biển có góc nghiêng lớn, còn Ursell (1952) phát hiện phổ đầy đủ gồm cả phần gián đoạn vμ liên tục các sóng rìa. Hình 8.1 Trắc diện của một số hμi sóng rìa Trong tự nhiên tồn tại một số cơ chế phát sinh các sóng rìa. ở qui mô lớn (b−ớc sóng điển hình 200 hải lý, chu kỳ 6 giờ, biên độ 3 foot) sóng rìa có thể gây bởi ứng lực gió trực tiếp lên mặt n−ớc. Munk, Snodgrass, Carrier (1956) vμ Greenspan (1958) đã nghiên cứu hiệu ứng biến thiên khí áp khi bão di chuyển song song bờ; kết quả của họ thích hợp với sóng bão. Sóng rìa qui mô nhỏ hơn có thể đ−ợc kích hoạt bởi một cơ chế cộng h−ởng phi tuyến các hμi thμnh phần (Guza vμ Bowen, 1976; Minzoni vμ Whitham, 1977), vấn đề nμy sẽ xét ở ch−ơng 7. Sóng rìa qui mô vừa, chu kỳ 1−5 phút, có thể cũng do nhóm các sóng lừng ngắn kích hoạt thông qua cơ chế phi tuyến vμ sẽ đ−ợc xét ở ch−ơng 12. 4.9 Các đ−ờng đẳng sâu dạng cung tròn 4.9.1 Những nét chung Dạng phức tạp hơn so với các đ−ờng đẳng sâu thẳng vμ song song lμ loại địa hình với các đ−ờng đẳng sâu tròn đồng tâm. Trong hệ toạ độ cực ),( θ r , )(rhh = ; ph−ơng trình sóng dμi trở thμnh 0 2 2 =ηω+ ∂ η∂′ +η∇ hgrh h , (9.1) với 2 2 22 2 2 11 θ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ rrrr . (9.2) Xét )()( tnierR ω−θ=η (9.3) với −n nguyên, sao cho R thoả mãn 0 1 2 22 =    − ω +′   ′ ++′′ R r n hg R h h r R . (9.4) hay 0 2 22 =    − ω +′′ Rr r hn g Rrh )( . (9.4') Bây giờ diễn biến của R sẽ lμ dạng hμm mũ hay dạng dao động 100 thuỳ thuộc > dạng dao động 2 2 gn ω < 2r h dạng hμm mũ (9.5) Xét một đảo ngầm với độ sâu h tăng đơn điệu <<< )()( rhh 00 )(∞h . Với n cố định, 2rh / diễn biến nh− trên hình 9.1. Nghiệm lμ dao động ở phía ngoμi đ−ờng tròn tới hạn 0rr = với 02 22 rr r hn g =    = ω , . (9.6) So sánh với địa hình một chiều, thừa số 21 r/ thay đổi hẳn tình hình vμ không còn hiện t−ợng bẫy sóng hoμn chỉnh nữa. Hình 9.1 Biến thiên 2rh / theo r với đảo ngầm Xét đảo với bờ tại ar = , sao cho 0=)(rh khi ar <<0 vμ tăng đơn điệu khi ar > . Khi đó, 22 rhn / biến thiên nh− trên hình 9.2. Với )/(max/ 222 rhgn <ω , mặt tự do sẽ có dạng dao động ở gần bờ 1rra << , có dạng giảm theo hμm mũ trong vùng 21 rrr << vμ lại có dạng dao động ở phía ngoμi ( 2rr > ). Do đó, đáy nghiêng của đảo có vai trò nh− một vật chắn độ dμy hữu hạn để bẫy các sóng có tần số đủ thấp, hoặc các sóng tần số ω cố định, nh−ng n đủ lớn. Với n lớn, vật chắn tỏ ra dầy hơn vμ hiệu quả hơn trong việc bẫy năng l−ợng, tức ít rò rỉ năng l−ợng hơn. Những hiện t−ợng nμy có hệ quả quan trọng đối với sự cộng h−ởng của các sóng bẫy trên các mũi đất ngầm khi các sóng tới từ phía ngoμi. Hình 9.2 Biến thiên 2/ rh theo r với đảo có bán kính đ−ờng bờ a Longuet–Higgins (1967) đã xét một thí dụ cụ thể về một thμnh tạo dạng chân đế tròn độ sâu biến thiên gián đoạn arhh <<= 0 1 , arh >= 2 , với 1 2 1 < h h (9.7) nh− trên hình 9.3a. Biến thiên của 2rh / thể hiện trên hình 9.3b. Với ω đủ thấp, hoặc n đủ cao, thì cũng có một vùng hình vòng arr <<1 bên trên chân đế tồn tại dạng dao động. Vùng vòng có dao động nμy bao quanh một nhân trung tâm có chuyển động đơn điệu ( 10 rr << ) vμ bị tách khỏi vùng biển dao động )( 2rr > bởi một barier 2rra << . Nếu 21 hh / rất nhỏ, thì barier sẽ cao, bẫy sóng sẽ rất hiệu quả, nh−ng vẫn ch−a hoμn hảo, vμ sự cộng h−ởng của các hμi cao hơn ở gần rìa phía trên chân đế có thể rất mãnh liệt. Cơ chế bẫy năng l−ợng nμy có ý nghĩa thực tiễn trong kỹ thuật vùng khơi, nơi các điều kiện địa chất có thể quyết định vị trí xây dựng công trình trên mũi đất. Mối nguy hiểm tiềm ẩn vốn có của vị trí nh− vậy không phải bao giờ các nhμ thiết kế cũng biết rõ. Trong chuyến khảo sát tháp Texas trên Brown Bank, ngoμi khơi bờ đông n−ớc Mỹ, nhóm điều tra đã thấy sóng 101 trong cơn bão Noreaster lay động các trụ thép vμ đ−ờng ống lên xuống cỡ 100 bộ vμ có nguy cơ lμm sập công trình. Những cột trụ nμy có sức nặng cỡ vμi tấn mỗi chiếc, đ−ợc đặt để bảo vệ chân đế các đ−ờng ống. Hiện t−ợng nμy cho thấy một minh chứng về cơ chế cộng h−ởng đã bμn luận ở đây (Meyer, 1970). Hình 9.3 Chân đế tròn ngầm: a) hình vẽ; b) biến thiên 2rh / theo r Trong mục sau, ta mô tả chi tiết hơn thí dụ của Longuet– Higgins, ở đây nghiệm giải tích t−ơng đối đơn giản. Với các dạng địa hình tròn trơn khác, phép xấp xỉ WKB có thể hợp lý. Tuy nhiên, đối với dạng địa hình hai chiều tổng quát hơn nữa thì không thể tránh khỏi sử dụng ph−ơng pháp số. 4.9.2 Sự tản mát các sóng tới phẳng bởi chân đế tròn Xét một chân đế tròn nh− trên hình 9.3. Đỉnh của chân đế tại độ sâu 2hz −= . Giả sử vùng n−ớc lân cận có độ sâu không đổi 1h . Với các sóng điều hoμ đơn tần số ω , số sóng sẽ bằng 21 22 /)/(ghk ω= tại vùng bên trên chân đế ar < vμ bằng 21 11 /)/(ghk ω= ở xung quanh chân đế ar > . Giả sử các sóng tới lan đến từ phía x~ −∞ với biên độ đơn vị sao cho xike 1=η′ . (9.8) Trong vùng ar > , phải có các sóng bị phát xạ (tản mát) truyền đi tới r ~∞ . Do đó nếu Rη+=′η1 , (9.9) thì Rη phải thoả mãn ph−ơng trình sau trong hệ toạ độ cực 0 11 2 12 2 2 2 1 2 =η+ θ∂ η∂ +    ∂ η∂ ∂ ∂ =η+η∇ R RR RR k rr r rr k , (9.10) vμ phải lμ sóng đi ra khi ∞→r . Bên trên chân đế, li độ thoả mãn ph−ơng trình 0 11 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 =η+ θ∂ η∂ +   ∂ η∂ ∂ ∂ =η+η∇ k rr r rr k . (9.11) Tại rìa của chân đế ar = phải t−ơng hợp về áp suất vμ thông l−ợng: 21 η=η , (9.12) r h r h ∂ η∂ = ∂ η∂ 2 21 1 1 , ar = . (9.13) Bằng cách tách các biến, dễ dμng chứng minh rằng nghiệm tổng quát của các ph−ơng trình (9.10) vμ (9.11) phải chứa các tổ hợp tuyến tính của các hμm Bessel, tức Rη ∼ )](),([cos rkYrkJn nn 11 θ , 2η ∼ )](),([cos rkYrkJn nn 22 θ . Trong phụ lục 4.A sẽ chứng tỏ rằng sóng tới có thể khai triển thμnh chuỗi sóng không gian, mỗi sóng có phụ thuộc góc theo ...,,,,cos 2 1 0 =θ nn : ∞θ θε== 0 )(cos)(cos rkJniee n n n ikrikx (9.14) trong đó −εn các ký hiệu Jacobi xác định bằng 2 10 =ε=ε n, , , ..., n 21= 102 Ta giả định nghiệm sau cho η : arrkHBrkJni nnn n n >+θε=η ∞ 11 0 11 )],()([cos)( )( , (9.15) arrkJAni nn n n <θε=η ∞ 2 0 2 )],([cos)( , (9.16) trong đó nA vμ nB phải xác định. Trong ph−ơng trình (9.16) chỉ có các nJ đ−ợc giữ lại để bảo đảm hữu hạn tại 0=r . Trong ph−ơng trình (9.15), chỉ có các )(1nH đ−ợc giữ lại sao cho các sóng phân tán đi ra. Vì )(2nH không bao giờ đ−ợc sử dụng ở đây, ta sẽ bỏ chỉ số trên ở các hμm Hankel vμ viết một cách đơn giản )()( )( rkHrkH nn 2 1 2 ≡ . (9.17) Các hệ số nA vμ nB phải chọn sao cho các điều kiện t−ơng hợp tại −= ar các ph−ơng trình (9.12) vμ (9.13) thoả mãn; vậy )()()( akHBakJakJA nnnnn 112 += , )]()([)( akHBakJhkakJAhk nnnnn 1111222 ′+′=′ , trong đó các dấu phẩy chỉ các đạo hμm theo đối số. Với các ký hiệu akv k k h h hk hks 2 2 1 21 1 2 11 22 =    =    == , / (9.18) các nghiệm cho nA vμ nB sẽ lμ: nn nnnn n sv isvHsvJsvHsvJA Δπ − = Δ ′ − ′ − = 2)()()()([ , (9.19a) vμ n nnnn n svJvJssvJvJB Δ ′ − ′ = )()()()( , (9.19b) trong đó )()()()( svHvJssvHvJ nnnnn ′+′−=Δ . (9.19c) Trên đây ta đã sử dụng đồng nhất thức Wronskian πζ=ζζ′−ζ′ζ iHJHJ nnnn 2)()()()( , (9.20) ta có thể kiểm chứng bằng cách viết ph−ơng trình Bessel d−ới dạng Sturm-Liouville vμ sử dụng diễn biến tiệm cận của nJ vμ nH . Khi các ph−ơng trình (9.19a)−(9.19c) đ−ợc thế vμo ph−ơng trình (9.15) vμ ph−ơng trình (9.16), nghiệm cho η đ−ợc hoμn toμn xác định. Hình 9.4 Đồ thị của An cho tr−ờng hợp 6121 // =hh vμ 4,2,0 =n vμ 6 cho thấy biên độ cộng h−ởng nh− một hμm của tần số sóng tới (theo Longuet−Higgins, 1967) 103 Các phản hồi dao động trên chân đế đ−ợc Longuet – Higgins (1967) tính toán (hình 9.4). L−u ý rằng với hμi bậc thấp nhất 0=n , tỉ lệ khuếch đại cộng h−ởng gần bằng 8, trong khi tăng n dẫn đến các đỉnh cộng h−ởng rõ hơn vμ cao hơn. Tất nhiên, sự co hẹp của đỉnh có nghĩa lμ hμi t−ơng ứng khó đ−ợc kích hoạt ngoại trừ chuỗi sóng tới chính xác khớp tần. Nếu chỉnh tần tốt, thì sóng tới yếu nh−ng dμi theo thời gian có thể gây phản hồi lớn. Đặc tính nμy có thể thấy tr−ớc trên hình 9.3, ở đó n lớn dẫn đến một barie ngoμi dầy hơn, lμm năng l−ợng các sóng tới khó mμ vμo đ−ợc. Mặt khác, một khi năng l−ợng sóng bị bẫy trong barie ngoμi, thì nó khó có thể thoát đ−ợc. Những đặc điểm nμy còn có những nét khác biệt khác nữa nếu ta xét sự kích hoạt các sóng ngắn bởi các sóng tới có thời gian tồn tại ngắn, điều sẽ đ−ợc bμn trong ch−ơng 5 về các bμi toán cộng h−ởng trong cảng. Khi một số thừa số khuếch đại có trị số lớn, thì ta tính tới các hiệu ứng phi tuyến vμ hoặc hiệu ứng ma sát ở gần các đỉnh cộng h−ởng, nếu sóng tới thuộc loại ổn định. 4.10 Đón sóng tới trên cấu trúc địa hình nhỏ − xấp xỉ Parabolic Tr−ớc khi xét ph−ơng pháp số tổng quát, ta trình bμy phép phân tích gần đúng cho tr−ờng hợp đảo nhỏ hay cho một chân đế, sóng tới h−ớng dọc theo trục dọc của địa hình. Mới đầu ph−ơng pháp nμy xuất hiện trong kỹ thuật điện từ, sau đó phát triển tiếp trong âm học (xem tổng quan trong Tappert, 1977). Sự áp dụng ở đây dựa theo công trình của Mei vμ Tuck (1980), vμ đánh giá phê phán của Bigg (1982). ý t−ởng t−ơng tự cũng đã áp dụng với sóng n−ớc sâu (Haren vμ Mei, 1981) vμ các sóng phi tuyến yếu (Yue vμ Mei, 1980). Tr−ớc hết, xét một đảo với các mặt biên thẳng đứng nằm trong vùng biển nông độ sâu không đổi h . Độ dμi đảo L đ−ợc giả thiết lớn hơn nhiều so với một nửa bề ngang B vμ b−ớc sóng tới k/π2 , cụ thể lμ: 1 1 21 >>ω=<<μ= − /)(ghLkL L B . (10.1) Với tr−ờng hợp đón sóng tới trên vật cản nhỏ, sóng tới có thể gần giữ nguyên h−ớng truyền tiếp với biên độ bị điều biến nhẹ trong cả hai ph−ơng ngang, tức ikxeyxAyx ),(),( =η (10.2) trong đó A biến thiên chậm theo x vμ y . Thế (10.2) vμo ph−ơng trình (1.11), ta đ−ợc 02 =++ xxyyx AAikA . (10.3) Bây giờ kích th−ớc dμi của A dọc x lμ L , ),(/ kLAAki xxx 2 Ο= từ đó xxA có bậc quan trọng thứ hai. Để nhận nghiệm không tầm th−ờng, ta giữ lại yyA ; qui mô dμi dọc y khi đó bằng [ ]21 /)( −Ο kLL . Giả sử ta đ−a ra các kích th−ớc dμi phía ngoμi nh− sau: )/(, / LyY L xX 2 αμ== , (10.4) vμ biểu diễn α−μ =η iKXeYXA ),( (10.5) với α−μ= KkL vμ )(1Ο=K ; gần đúng dẫn đầu của ph−ơng trình (10.3) sẽ lμ 02 =+ YYX AiKA (10.6) với sai số t−ơng đối lμ )( αμΟ . Đây gọi lμ xấp xỉ parabolic vμ miền đ−ợc định nghĩa bằng biểu thức (10.4) sẽ gọi lμ miền parabolic. T−ơng tự với ph−ơng trình truyền nhiệt, hiển nhiên có các điều kiện biên vμ ban đầu sau: ∞<== yxA 0 1 , (10.7) 104 ∞↑>→ yxA 0 1 , (10.8) trong đó biên độ sóng tới đã đ−ợc lấy bằng đơn vị. Điều kiện phát xạ thông th−ờng lμ thích hợp cho miền tại đó Lyx =Ο ),( , tuy nhiên miền nμy nằm ngoμi miền parabolic. Giả sử miền đối xứng qua trục x, ta chỉ cần quan tâm phía 0>y . Khi đó điều kiện không thông l−ợng trên bờ t−ờng đảo đòi hỏi xxd Wd y ∂ η∂ = ∂ η∂ tại )(xWy = . (10.9) Đặt 10 <<= bxbBxW ),()( (10.10) vμ sử dụng ph−ơng trình (10.5), ta có theo các biến chuẩn hoá: ,/ AbKi Y A 21 ′μ= ∂ ∂ α− tại )(/ xbY 21 α−μ= (10.11) với sai số t−ơng đối bậc )( αμΟ . Với 2=α , cả hai vế của ph−ơng trình (10.11) đ−ợc cân bằng AbKi Y A ′= ∂ ∂ tại )(xbY = . (10.12) Bμi toán giá trị biên, giá trị ban đầu nh− định nghĩa bằng các ph−ơng trình (10.6), (10.7), (10.8) vμ (10.12) nói chung có thể giải bằng các ph−ơng pháp số cho sự dẫn nhiệt một chiều theo trục Y . ở đây X đóng vai trò thời gian vμ tính toán tiến hμnh theo X qua các b−ớc rời rạc lớn hơn nhiều so với b−ớc sóng, do đó sẽ kinh tế hơn so với giải số trực tiếp với ph−ơng trình Helmholtz. Với tr−ờng hợp đặc biệt một nửa miền parabolic, ,Xb = bμi toán gần đúng có thể đ−ợc giải nhanh bằng ph−ơng pháp t−ơng tự nh− trong mục 2.4; kết quả lμ: 1 1 22 22 2 2 1 − ∞ ξγ ∞ ξ    ξ+   ξ+=  deiKedeiKA iKiKX iK /// . (10.13) Nh− vậy, biên độ dọc theo đảo giữ nguyên không đổi. Nếu không giả thiết đảo nhỏ, thì miền trụ parabolic có thể đ−ợc giải chính xác theo các toạ độ parabolic (xem Jones, 1964, tr. 467). Bây giờ ta trở lại bμi toán với chân đế có đỉnh ngập ở độ sâu hh <0 . Giả sử nửa bề ngang B nhỏ hơn nhiều so với 2/αμ ( 2<α ); chân đế giống nh− một vệt mỏng đối với ng−ời quan sát ở phía ngoμi trong miền parabolic, gây ra một dòng =∂∂ YA / )(XV dọc X với 0≠V đối với 10 X . Bμi toán nμy giống nh− bμi toán truyền nhiệt trong một thanh bán bán vô hạn có biến thiên dòng nhiệt đ−ợc cho ở một đầu. Nghiệm chính tắc lμ 10 22 1 1 2 0 21 21 <<ξ−ξ− ξξ π + −=  XXiKYX VdK iYXA X , )( exp )( )( )( ),( // . (10.14) Gần chân đế, các biến bên trong thích hợp lμ L yY L xX μ == , . (10.15) Giả sử nghiệm bên trong có dạng α−μ =η iKXeYXA ),( , (10.16) khi đó ở phía ngoμi chân đế, nghiệm nμy phải thoả mãn ph−ơng trình (1.11), ta đ−ợc )(, XbY X A X AiK Y A >= ∂ ∂μ+ ∂ ∂μ+ ∂ ∂ α− 02 2 2 22 2 2 . (10.17) Bỏ các số hạng bậc ),( α−μΟ 2 ta có )( bYCBA −+= . (10.18) Phía trên chân đế, ph−ơng trình Helmholtz có cùng dạng nh− ph−ơng trình (1.11), nh−ng k2 phải đ−ợc thay bằng 0 22 0 ghk /ω= . Thế ph−ơng trình (10.16) vμo, khi đó ta có 105 )()( AA h hK Y A α−α− μΟ=μ    −+ ∂ ∂ 212 0 2 2 2 1 . (10.19) Nghiệm, đối xứng qua trục X , lμ bYY h hKAA <<    μ    −= α− 0 1 12 21 0 ,cos )( / , (10.20) trong đó −)(XA biên độ dọc trục. Nếu yêu cầu các nghiệm bên trong (10.18) vμ (10.20) phải liên tục vμ có thông l−ợng vuông góc cân bằng tại bY = , ta đ−ợc biểu thức với bậc đại l−ợng dẫn đầu lμ         −μ= α− b h hKAB 21 0 1 1 / cos , (10.21) vμ hCb h hK h hKAh =        −μ    −μ− α−α− 21 0 1 21 0 1 0 11 // sin . (10.22) Bây giờ ta thực hiện t−ơng hợp phép xấp xỉ trong của ph−ơng trình (10.14) cho Y nhỏ, 1 2 1 1 0 2121 >>++ξ− ξξ π + −≅  YVYX VdK iYXA X ..., )( )( )( ),( // . (10.23) với phép xấp xỉ bên của ph−ơng trình (10.20) cho giá trị lớn ,1>>Y YCBA +≅ , (10.24) ta đ−ợc  ξ− ξξπ++= X X Vd K iB 0 21212 1 1 // )( )( )( (10.25) vμ 21 /α−μ=VC . (10.26) Từ các ph−ơng trình (10.21), (10.22), (10.25) vμ (10.26) CB , vμ A có thể đ−ợc khử để có kết quả  +=ξ− ξξπ+ X XVXZ X Vd K i 0 2121 1 2 1 )()( )( )( )( // , (10.27) trong đó         −μ − μ = α− α b h hK hhKh hXZ 21 0 1 21 00 2 1ctg 1 / / / )/( )( . (10.28) Ta đòi hỏi rằng )1(Ο=Z để lμm cho tất cả số hạng trong ph−ơng trình (10.27) có cùng bậc đại l−ợng, vậy 32 /=α vμ ,/32 0 −μ= h h (10.29) tức, chân đế phải nông hơn nhiều so với nền đáy xung quanh. Thông l−ợng V có thể giải bằng số từ ph−ơng trình tích phân (xem Mei vμ Tuck, 1980); sau đó có thể tính biên độ A dọc trục của chân đế. Bigg (1982) đã đánh giá lý thuyết nμy so với các nghiệm số của ph−ơng trình Helmholtz đầy đủ. Ông nhắc nhở rằng chỉ có thể sử dụng ph−ơng trình (10.27) khi ph−ơng trình (10.29) thoả mãn vμ VA , không đ−ợc biến đổi nhanh trên chân đế. Bằng số cho thấy, khi K tăng tới giá trị để 01 ctg 21 0 1 =        −μ α− max / b h hK , thì V vμ A trở thμnh vô giới hạn tại vị trí mμ chân đế rộng nhất. Mặc