Ebook Vật lý thống kê và nhiệt động lực

) phải tăng trong suốt quá trình nên: ( ) 0 E )E(lnEE E )E(ln if ≥′∂ ′Ω′∂+−∂ Ω∂ Vậy, từ định nghĩa của nhiệt lượng: ifif EEQEEQ ′−′=′−= ; , ta có 0QQ ii ≥′β′+β , và từ 0QQ =′+ , ta có kết quả 0Q)( ii ≥β′−β . (IV.7) Từ hệ thức trên, ta suy ra kết quả quan trọng là nếu hệ S nhận nhiệt, tức là Q > 0 (vì Q = Ef -Ei nên khi hệ nhận nhiệt: Ef > Ei ), ta phải có iiii TT ′>⇒β′>β (IV.8) tức là nhiệt lượng được truyền từ S ’ sang S khi nhiệt độ của S ’ lớn hơn nhiệt độ của hệ S . Ta nói rằng hệ S ’ “nóng hơn” hệ S . Vậy khái niệm nhiệt độ chỉ ra chiều truyền của nhiệt lượng. Để đo lường nhiệt độ, ta thường dùng phương trình traạng thái của khí lý tưởng. Theo quy ước quốc tế, nhiệt độ tuyệt đối được chọn tại điểm ba của nước là 273,16 và tính bằng độ Kelvin. Nhiệt độ bách phân (độ Celcius) được tính: C)16,273t( −=θ . IV.A.3 Khái niệm entropi Xét hệ S tương tác nhiệt và tương tác cơ với hệ S ’ sao cho hệ S thực hiện quá trình chuẩn tĩnh từ trạng thái có năng lượng và tham số ngoại là E và αx đến trạng thái có E+dE và αα + dxx . Vì số trạng thái vi mô khả dĩ bây giờ phụ thuộc cả E và αx : )x,E( αΩ=Ω nên α =α α ∑ ∂ Ω∂+∂ Ω∂=Ω xd x lndE E lnlnd n 1 . Với lực suy rộng αX được liên kết tới tham số ngoại αx định nghĩa bởi α α ∂ Ω∂=β x lnX (IV.9) và E ln ∂ Ω∂=β , (IV.10) Ta có ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +β=Ω ∑ =α αα n 1 dxXdElnd . Nhưng vì công thực hiện bởi hệ là ∑ α αα=δ dxXW nên [ ] QWdElnd βδ=δ+β=Ω . vì WdE δ+=Ωδ là nhiệt lượng thu bởi hệ S . Vậy TdS)(lnd1Q =Ωβ=δ . Từ đó T QdS δ= , và như vậy: WTdSWQdE δ−=δ−δ= (IV.11) Chú ý rằng, mặt dù Qδ không phải là một vi phân chính xác ta vẫn có dS là một vi phân chính xác, vì S là một tham số đặc trưng cho trạng thái của hệ: ∫∫ δ==− f i f i if T QdSSS . (IV.12) IV.A.4 Khái niệm nhiệt dung Xét trạng thái vĩ mô của hệ vật lý khảo sát được mô tả bởi nhiệt độ T và các tham số vĩ mô khác được ký hiệu là y. Nhiệt dung của hệ được định nghĩa bởi y0Ty y T Qlim T QC ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Δ δ=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂≡ →Δ , (IV.13) nghĩa là ta giữ y không đổi, cung cấp cho hệ một nhiệt lượng rất nhỏ Qδ và xét sự thay đổi của nhiệt độ của hệ. Vì TdSQ =δ nên y y T STC ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂≡ . (IV.14) Từ hệ thức tổng quát trên, ta định nghĩa nhiệt dung đẳng tích Cv của hệ khi thể tích V giữ không đổi: VV V T ST T QC ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ δ≡ , (IV.15) và nhiệt dung đẳng áp Cp của hệ khi giữ áp suất p của hệ không đổi: pp p T ST T QC ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ δ≡ . (IV.16) IV.B Cơ sở của nhiệt động lực học IV.B.1 Các nguyên lý của nhiệt động lực học Nhắc lại rằng ta đã có hệ thức thống kê giữa entropi S và số trạng thái vi mô khả dĩ Ω: Ω= lnkS , là hệ thức thiết lập mối liên hệ giữa tính vi mô (đặc trưng bởi Ω) và tính vĩ mô (đặc trưng bởi S) của hệ vật lý thông qua hằng số Boltzmann k. • Xét ba hệ A, B và C. Khi hai hệ A và B tiếp xúc nhiệt và ở trạng thái cân bằng, ta có hệ thức giữa các nhiệt độ TA và TB của A và B: TA = TB. Nếu A và C tiếp xúc nhiệt và ở trạng thái cân bằng, và gọi TC là nhiệt độ của hệ C, ta có: TA = TC. Vậy: TB = TC. Từ nhận xét trên ta có thể phát biểu “nguyên lý thứ 0 của nhiệt động lực học” “Khi hai hệ cùng cân bằng nhiệt với một hệ thứ ba thì hai hệ này cân bằng nhiệt với nhau” • Khi một hệ tương tác nhiệt và tương tác cơ với một hệ khác và hệ thay đổi trạng thái vĩ mô thì năng lượng E, đại lượng đặc trưng cho trạng thái vĩ mô của hệ, biến thiên một lượng QWE +−=Δ , (IV.17) trong đó, W là công do hệ thực hiện và Q là nhiệt do hệ nhận. Vậy, nếu hệ là cô lập: W = 0 và Q = 0, ta có: 0E =Δ tức là: constE =Δ . Vậy, ta có nội dung của nguyên lý thứ nhất của nhiệt động lực học như sau: “Một trạng thái cân bằng vĩ mô có thể được đặc trưng bởi một đại lượng là nội năng E của hệ, có tính chất như sau: Đối với hệ cô lập: constE = Và nếu hệ tương tác và từ trạng thái vĩ mô này chuyển sang trạng thái vĩ mô khác: QWE +−=Δ với W là công của hệ thực hiện và Q là nhiệt lượng thu được bởi hệ”. Theo các nhận xét ở phần IV.A.3 ở trên về entropi, ta có thể phát biểu nguyên lý thứ hai của nhiệt động lực học như sau: “Với entropi S là đại lượng đặc trưng cho trạng thái cân bằng vĩ mô của hệ, ta có: ¾ Khi hệ đoạn nhiệt (không tương tác nhiệt với bất kỳ một hệ nào khác) thực hiện một quá trình từ trạng thái vĩ mô này đến trạng thái vĩ mô khác, entropi của hệ luôn tăng: 0S ≥Δ . ¾ Nếu hệ thực hiện một quá trình chuẩn tĩnh vô cùng bé và nhận một lượng nhiệt Qδ , độ biến thiên của entropi được tính: T QdS δ= với T là đại lượng được gọi là nhiệt độ tuyệt đối của hệ.” • Ta biết rằng với f là số bậc tự do của hệ có năng lượng E, số trạng thái vi mô khả dĩ của hệ được tính: fE=Ω . Vậy: Elnfln =Ω E f E ln =∂ Ω∂=β , vậy: 2E f E =∂ β∂ , tức là: 0 E <∂ β∂ . Nếu gọi E0 là mức năng lượng cơ bản (mức năng lượng thấp nhất), thì tương ứng với E0, chỉ có một hoặc một số trạng thái vi mô nào đó (nếu mức năng lượng này suy biến). Có nghĩa rằng nếu năng lượng E tiến về E0 thì Ω trở nên rất nhỏ: 0ln →Ω , tức là 0S → . Ta cũng có E T kT 1 E T TE 2 ∂ ∂−=∂ ∂ ∂ β∂=∂ β∂ . Theo trên: 0 E <∂ β∂ , nên ta phải có 0 E T >∂ ∂ . (IV.19) Có nghĩa rằng khi năng lượng E giảm về mức cơ bản E0, nhiệt độ T của hệ giảm rất nhanh. Từ đó ta có thể phát biểu nguyên lý thứ ba của nhiệt động lực học: “Khi nhiệt độ tuyệt đối T giảm về 0, ta có entropi S của hệ giảm về 0”. Chú ý rằng ta phải thận trọng khi xét hệ ở nhiệt độ rất thấp, vì khi đó các hiệu ứng lượng tử xuất hiện rất rõ, các spin của hạt nhân bắt đầu có ảnh hưởng và giá trị của entropi của hệ khi này là do sự định hướng của các spin hạt nhân. Vì vậy, khi này ta sẽ có thể cho giá trị của entropi bằng S0, với S0 độc lập với mọi tham số của hệ: S0 lnkS Ω= , (IV.20) trong đó, ΩS là số trạng thái vi mô liên quan đến spin của hạt nhân nguyên tử. IV.B.2 Hệ thức cơ bản của nhiệt động lực học Vì số trạng thái vi mô khả dĩ Ω là hàm của năng lượng E và của tham số ngoại xα: Ω = Ω(E, xα), và theo hệ thức tính lực suy rộng: α α ∂ Ω∂ β= x ln1X , nên ta sẽ thiết lập được hệ thức giữa các đại lượng Xα, xα ,và nhiệt độ T. Cụ thể là khi tham số ngoại là thể tích V của hệ: xα ≡ V, ta có công thức tính áp suất: V ln1p ∂ Ω∂ β= (IV.21) là hàm theo T và V: p = p(T,V). Từ đó, ta sẽ thiết lập được hệ thức giữa p, V, và T: f(p,T,V) = 0 . (IV.22) gọi là phương trình trạng thái của hệ vật lý ta đang xét. Khi hệ thực hiện quá trình chuẩn tĩnh vô cùng bé, ta có độ biến thiên của năng lượng là WQdE δ−δ= Với xα ≡ V là tham số ngoại: pdVW =δ , Đồng thời, vì: TdSQ =δ , ta có ngay hệ thức cơ bản của nhiệt động lực học: (IV.23) Mặt khác, ta có công thức tính độ biến thiên của hàm: E = E(S,V) theo hai biến độc lập S và V là dV V EdS S EdE SV ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂= Như vậy: VS ET ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂= , và SV Ep ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−= . III.B.3 Các hàm nhiệt động lực • Ta xét trường hợp khi (S,p) là hai biến độc lập. Vì VdppdV)pV(d += , nên Vdp)pV(dTdSdE +−= VdpTdS)pVE(d +=+⇒ . Ta đặt (IV.24) là entalpi của hệ. Như vậy VdpTdSdH += . Mặt khác, vì H = H(S,p), nên dp p HdS S HdH Sp ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂= . Vậy pS HT ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂= , và Sp HV ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂= . • Bây giờ ta xét trường hợp (T,V) là các biến độc lập. Vì SdTTdS)TS(d += , nên : pdVSdT)TS(ddE −−= pdVSdT)TSE(d −−=−⇒ . Nếu ta đặt (IV.25) là năng lượng tự do của hệ, ta có pdVSdT)F(d −−= . Nhưng vì F là hàm theo các biến (T,V): dV V FdT T FdF TV ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂= , nên ta có: pdVTdSdE −= pVEH += TSEF −= VT FS ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−= , và TV Fp ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−= . • Cuối cùng, ta xét trường hợp các biến độc lập là (T,p): Vdp)pV(dSdT)TS(dpdVTdSdE +−−=−= . VdpSdT)pVTSE(d +−=+−⇒ . Với năng luợng tự do Gibbs được định nghĩa là: , , (IV.26) ta có VdpSdTdG +−= . Và vì G = G(T,p), ta suy ra được pT GS ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−= , và Tp GV ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−= . IV.B.4 Các hệ số nhiệt Nếu ta định nghĩa hệ số nở thể tích đẳng áp: pT V V 1 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂=α , (IV.27) và hệ số nén đẳng nhiệt Tp V V 1 ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−=κ , (IV.28) ta có thể chứng minh được biểu thức liên hệ giữa nhiệt dung đẳng áp Cp và nhiệt dung đẳng tích CV như sau: κ α=− 2 Vp VTCC . (IV.29) IV.C Khảo sát nhiệt động lực hệ khí lí tưởng cổ điển IV.C.1 Khái niệm Khí lí tưởng là hệ gồm N phân tử đồng nhất, độc lập (tức là thế năng tương tác giữa các phân tử là không đáng kể so với tổng năng lượng của chuyển động tịnh tiến và nội năng của mỗi phân tử). Khi hệ khí này được khảo sát bởi cơ học thống kê cổ điển, ta có hệ khí lí tưởng cổ điển (hay còn được gọi là hệ khí lí tưởng không suy biến). Ta sẽ khảo sát các khí lí tưởng lượng tử trong các chương cuối. Chú ý rằng các phân tử này có thể là đơn nguyên tử (trường hợp các khí hiếm như He, Ne, Ar, …) hoặc hai nguyên tử (trường hợp các khí H2, N2, HCl, …), hoặc ba nguyên tử (trường hợp các khí CO2, H2O, …), … Nếu các phân tử là đa nguyên tử, nội năng của mỗi phân tử phải gồm năng lượng chuyển động quay và năng lượng chuyển động dao động. Để các phân tử có thể xem là độc lập nhau, khoảng cách trung bình giữa các phân tử phải đủ lớn, tức là hệ khí phải đủ loãng. pVTSEG +−= IV.C.2 Khảo sát thống kê cổ điển Trong phép tính gần đúng cổ điển, số trạng thái vi mô khả dĩ Ω(E) để hệ có năng lượng trong khoảng (E, E+dE) sẽ tỉ lệ với thể tích pha trong không gian pha tương ứng với năng lượng trong khoảng (E, E+dE): N21N21N2 dEE E 1 dP...dPdP.dQ...dQdQ.rd...rdrd)E( rrr∫ + ∝Ω trong đó, dQi, dPi là các độ biến thiên của tọa độ và của động lượng tương ứng với chuyển động nội phân tử khi phân tử không phải là đơn nguyên tử. Vì ta có: Vrd i =∫ r là thể tích của bình chứa khí nên )E(V)E( Nϕ∝Ω , với: N21N21N2 dEE E 1 dP...dPdP.dQ...dQdQ.pd...pdpd)E( rrr∫ + =ϕ độc lập đối với thể tích V. Vậy: Cln)E(lnVlnN)E(ln +ϕ+=Ω , với C là hằng số tỉ lệ. Từ công thức tính áp suất p liên kết với tham số ngoại là thể tích V: V ln1p ∂ Ω∂ β= , ta có V N1p β= . Ta suy ra phương trình trạng thái của khí lí tưởng: (IV.30a) Đối với một mol khí lí tưởng, N = NA là hằng số Avogadro, ta có: kTNpV A= (IV.30b) trong đó, R là hằng số chất khí, được tính: R = 8,31 J/K . Ta cũng có thể viết phương trình trạng thái dưới dạng: RTpV η= , với η là số mol khí của hệ. NkTpV = RTpV = IV.C.3 Các định luật thực nghiệm của khí lí tưởng Từ phương trình trạng thái trên, ta có thể tìm lại được các định luật xây dựng từ thực nghiệm đối với những khí thực đủ loãng: • Định luật Boyle-Mariotte: Ở nhiệt độ không đổi, tích số giữa áp suất và thể tích là hằng số: pV = const. • Định luật Gay-Lussac: Ở áp suất không đổi, thể tích chiếm bởi một khối khí nhất định tỉ lệ thuận với nhiệt độ: V ∝ T. • Định luật Charles: Ở thể tích không đổi, áp suất của một khối khí tỉ lệ thuận với nhiệt độ: p ∝ T. • Định luật Dalton: Xét một hỗn hợp gồm hai chất khí lí tưởngtrong một thể tích V, ở nhiệt độ T. Ta có thể viết cho mỗi chất khí: RTVp 11 η= và RTVp 22 η= . Khi tương tác giữa các phân tử có thể bỏ qua, hỗn hợp khí cũng tạo nên một hệ khí lí tưởng nên RT)(pV 21 η+η= . Từ đó 2121 21 2 2 1 1 ppppp V RT η+η=η+η +=η=η= . Vậy: 21 ppp += . Tức là áp suất của mỗi hỗn hợp khí là tổng của các áp suất riêng phần. IV.C.4 Nội năng của khí lý tưởng Theo công thức (IV.26): )E(CV)E( Nϕ=Ω , và từ công thức: E ln ∂ Ω∂=β , ta có E )E(ln ∂ ϕ∂=β . (IV.31) Tức là β là hàm chỉ của năng lượng E: )E(β=β (IV.32) hoặc ngược lại, ta có năng lượng E là hàm của nhiệt độ T: )T(EE = . (IV.33) Để có biểu thức rõ hơn về sự phụ thuộc của năng lượng E đối với nhiệt độ T của hệ, ta nhớ lại rằng trong chương I, ta đã thiết lập biểu thức (I.7b) cho khí lí tưởng đơn nguyên tử (không tính đến chuyển động nội phân tử). 2N3N EAV)E( =Ω . Khi này E 1 2 N3 E ln =∂ Ω∂=β , hay NkT 2 3E = . (IV.34) Ta có thể liên hệ đến định lí phân bố đều để tìm lại biểu thức trên, vì mỗi phân tử có ba bậc tự do của chuyển động tịnh tiến nên năng lượng trung bình phải bằng kT 2 3 . Và vì hệ có N phân tử nên ta tìm lại được hệ thức trên. Đối với khí lí tưởng nói chung, ta có: NkTE α= , (IV.35) với 2 3=α đối với khí lí tưởng đơn nguyên tử, và 2 5=α đối với khí hai nguyên tử. Khi này, ta có thể chứng minh hệ thức giữa nhiệt dung đẳng áp Cp và nhiệt dung đẳng tích CV (hệ thức Robert-Mayer): NkCC Vp =− (IV.36a) hoặc đối với một mol khí: RCC Vp =− , (IV.36b) chứng tỏ rằng hiệu số của Cp và CV là độc lập đối với nhiệt độ T. Hệ thức Robert-Mayer ở trên là trường hợp cụ thể của khí lí tưởng của trường hợp tổng quát hơn mà ta đã thấy (công thức (IV.25) ). IV.D Lý thuyết động học chất khí Trong phần này của chương, ta sẽ khảo sát sự phân bố vận tốc của các phân tử của một hệ khí lí tưởng cổ điển ở trạng thái cân bằng. Nên biết rằng từ năm 1860, với các nhận xét tổng quát về tính đối xứng, Maxwell đã khám phá ra định luật phân bố vận tốc của các phân tử khí lí tưởng ở trạng thái cân bằng. Đến năm 1872, Boltzmann đã đặt giả thiết rằng các tán xạ của các phân tử không ảnh hưởng đến sự phân bố cân bằng và đã chứng minh được định luật trên. Ở đây, ta khảo sát sự phân bố vận tốc này như một kết quả trực tiếp của phân bố chính tắc. Cũng cần hiểu rằng định luật này có thể áp dụng cho tất cả các lưu chất cổ điển, khí thực hay là chất lỏng. IV.D.1 Phân bố Gauss của vận tốc Xét một lưu chất gồm N phân tử đồng nhất có khối luợng m, chiếm thể tích V và cân bằng nhiệt với một hệ điều nhiệt có nhiệt độ T. Giả sử rằng chuyển động của các phân tử của hệ có thể được mô tả bởi cơ học cổ điển. Khi đó, mỗi trạng thái vi mô của hệ được đặc trưng bởi các vị trí ir r và các vận tốc iv r của các phân tử. Năng lượng của hệ được tính )r,...,r,r(Uvm 2 1)v,...,v,v,r,...,r,r(E N2i N 1i iN21N2i rrrrrrrrrr ∑ = += , (IV.37) trong đó )r,...,r,r(U N2i rrr là thế năng tương tác giữa các hạt (và cũng là với trường lực ngoài). Trong không gian pha 6N chiều, phân bố chính tắc cho ta tính xác suất tìm thấy hệ ở trong một thể tích pha nguyên tố quanh điểm pha biểu diễn trạng thái trên là N21N2iN2i N 1i 2 iN21N2i vd...vdvdrd...rdrd)]r,...,r,r(U vm 2 1exp[A)v,...,v,v,r,...,r,r(dP rrrrrrrrr rrrrrrr . + +β−= ∑ = (IV.38) Lấy tích phân biểu thức trên theo tất cả các giá trị của ir r của N phân tử, ta tính được xác suất để các phân tử có vận tốc trong khoảng ( ir r , ii rdr rr + ) là N21 N 1i 2 iN21 vd...vdvdvm2 1expB)v,...,v,v(dP rrrrrrr ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ β−= ∑ = . (IV.39) Lại lấy tích phân theo vận tốc của tất cả các phân tử trừ phân tử ta xét, ta có xác suất để phân tử này có vận tốc trong khoảng ( iv r , ii vdv rr + ): ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ β−= 2 vmexpC)v(dP 2rr . Hằng số C được tính từ điều kiện chuẩn hóa: 23 2 mC ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π β= . Tức là ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π= kT2 vmexp kT2 m)v(dP 223 rr . (IV.40) Vậy, số phân tử )v(dN r của hệ có vận tốc trong khoảng ( iv r , ii vdv rr + ) được tính: )v(NdP)v(dN rr = (IV.41) Công thức trên biểu thị định luật phân bố Maxwell của vận tốc. Số phân tử )v(dN x của hệ có thành phần của vận tốc theo trục Ox ở trong khoảng ( xv , xx dvv + ) có được bằng cách tích phân biếu thức (IV.41) theo yv và zv : x 2 x x dvkT2 mvexp kT2 mN)v(dN ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −π= (IV.42) Đường biểu diễn của hàm: x x x1 Ndv )v(dN )v( =ϕ là một phân bố Gauss đối xứng quanh 0v x = . Ta có các kết quả sau cho giá trị trung bình xv và độ thăng giáng 2 x )v(Δ=σ : 0v x = (IV.43a) m kTv)v( 2x 2 x ==Δ=σ . (IV.43b) Chú ý rằng kết quả (IV.43b) ở trên hoàn toàn phù hợp với định lí phân bố đều cho năng lượng: kT 2 1mv 2 1E 2xx ==đ . (IV.44) Trên hình vẽ, ta có đường biểu diễn của )x(1ϕ cho khí O2 ở 100 K và 400 K. zyx 2 z 2 y 2 x 23 dvdvdv. kT2 )vvv(m exp kT2 mN)v(dN ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ++−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π= r IV.D.2 Phân bố thống kê của độ lớn của vận tốc Từ phương trình (IV.41), ta có thể viết trong tọa độ cầu của vận tốc: ϕθθ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π= ddvdsinvkT2 mvexp kT2 mN)v(dN 2 22/3r . Khi lấy tích phân theo tất cả mọi phương: θ ∈ ( 0, π ), và ϕ ∈ ( 0, π ), ta có được hàm phân bố dN(v) phân tử có độ lớn vận tốc trong khoảng (v, v+dv): dv kT2 mvexpv4 kT2 mN)v(dN 2 2 2/3 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡−π⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π= . (IV.45) Trên hình vẽ, ta có đường biểu diễn của hàm Ndv )v(dN)v(2 =ϕ . Đó là hàm phân bố Maxwell cho khí O2 ở các nhiệt độ 100K và 400K. Ta có thể kiểm chứng rằng đường biểu diễn đạt giá trị cực đại bằng e kT/m8 khi độ lớn của vận tốc có giá trị m kT2v m = . Ta cũng tính được các giá trị trung bình của v và của v2: m kT22)v(vdN N 1v 0 π == ∫ ∞ , (IV.46a) m kT3)v(dNv N 1v 0 22 == ∫ ∞ . (IV.47b) So sánh (IV.47b) với (IV.43b), ta nhận xét rằng 2 x 2 v3v = . Điều này hoàn toàn đương nhiên, vì ta có: 2 z 2 y 2 x 2 vvvv ++= , và tất cả các phương của không gian đều tương đương nhau (đẳng hướng). • Các kết quả lý thuyết trên của phân bố Maxwell đã được đối chứng với thực nghiệm, chẳng hạn bằng phương pháp đo bề rộng Doppler của vạch quang phổ phát xạ bởi các phân tử của một chất khí (vì mỗi phân tử luôn chuyển động nên khi phân tử phát ra vạch quang phổ có tần số ν0, ta lại quan sát được vạch phổ có tần số ν do hiệu ứng Doppler− Xem lại các giáo trình cơ học đại cương). BÀI TẬP BT IV.1 Chứng minh rằng khi một hệ S tương tác nhiệt và tương tác cơ với một hệ S ’ sao cho chỉ có thể tích V của hệ S thay đổi, ta sẽ có công thức tính độ biến thiên của năng lượng pdVTdSdE −= . BT IV.2 1) Hãy chứng minh hệ thức (IV.29): κ α=− 2 Vp VTCC . 2) Hãy chứng minh hệ thức Robert-Mayer (IV.36a): NkCC Vp =− cho hệ khí lí tưởng. BT IV.3 Hãy chứng minh hệ thức sau cho hệ nhiệt động lực (p, V, T): 1 T V. V p. p T pTV −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ . BT IV.4 Xét hệ khí lí tưởng có nội năng: NkTE α= . Chứng minh rằng : α +α==γ 1 C C V p . γ được gọi là hệ số Poisson. BT IV.5 Xét một khối không khí có khối lượng 10 kg được xem như khí lí tưởng hai nguyên tử, thực hiện một quá trình nhiệt động học khi nhận một nhiệt luợng bằng 10 kJ và cung cấp một công bằng 8 kJ. Đồng thời, trong khi thực hiện một quá trình, vận tốc của khối khí này thay đổi từ 5 m/s đến 15 m/s. Hãy tính độ biến thiên nhiệt độ của khối khí. BT IV.6 Một khối khí lí tưởng đơn nguyên tử được giữ ở áp suất bằng 1,2 bar và ở nhiệt độ 300K trong một bình chứa hình trụ có thể tích ban đầu là : Vi = 1 l , nhờ một khối lượng M đặt trên một piston có khối lượng m = 1 kg. Piston có độ cao ban đầu là hi = 50 cm. Khi lấy M đi, khối khí giãn nở theo một quá trình chuẩn tĩnh cho đến khi áp suất và thể tích ở trạng thái cân bằng lần lượt là pf và Vf. Biết rằng áp suất p0 = 1 bar là áp suất khí quyển. 1) Hãy tính khối lượng M và áp suất pf ở trạng thái cuối. 2) Tính các tỉ số Vf/Vi và Tf/Ti. Tf và Ti là nhiệt độ lúc sau và nhiệt độ lúc đầu của khối khí. Suy ra công nhận được bởi hệ khí. VẤN ĐỀ IV.A Khảo sát nhiệt động lực của một ngôi sao Quá trình co rút hấp dẫn (gravitational contraction). Lực hấp dẫn là nguyên nhân của sự co rút của một ngôi sao. Sau đây, ta sẽ khảo sát sự biến thiên của khối lượng riêng, áp suất, và nhiệt độ của ngôi sao trong quá trình co rút này. Ta giả sử quá trình là chuẩn tĩnh. Gọi )t(λ là thừa số co rút được định nghĩa bởi: )t(R)t(R 0λ= , với R0 là bán kính tại thời điểm t = 0, và R là bán kính tại thời điểm t. Gọi R ru = là khoảng cách rút gọn đến tâm, với r là bán kính của ngôi sao. Khối lượng riêng của ngôi sao tại thời điểm t được tính: )u(f R4 M3)u,t( 3π=ρ , và tại thời điểm ban đầu: )u(f R4 M3)u,0( 3 0π =ρ . Gọi hằng số vạn vật hấp dẫn là G. 1) Tính )u,t(ρ theo )u,0(ρ và )t(λ . 2) Sử dụng sự cân bằng của áp suất và lực của trường hấp dẫn, từ định lí Gauss-Ostrogradski, hãy viết biểu thức của áp suất )u,t(p theo )u,0(p và )t(λ . Giả sử rằng áp suất hoàn toàn là do lực hấp dẫn. 3) Tính nhiệt độ )u,t(T theo )u,0(T và )t(λ . Giả sử rằng ngôi sao được tạo bởi một chất khí mà ta xem như là khí lí tưởng. VẤN ĐỀ IV.B Chu trình Carnot với tác nhân là khí lý tưởng (KLT). Biểu thức của entropi nhiệt động lực và nguyên lý II của NĐLH Một động cơ nhiệt (là máy biến nhiệt thành công) mà tác nhân là KLT, thực hiện chu trình Carnot (12341) giữa một nguồn nóng (nhiệt độ 1T ) và một nguồn lạnh (nhiệt độ 12 TT < ), gồm hai quá trình đẳng nhiệt thuận nghịch (1,2) và (3, 4) và hai quá trình đoạn nhiệt thuận nghịch (2, 3) và (4, 1). Chu H.IV.3 trình này được trình bày trên đồ thị (V, p) như hình vẽ. Hiệu suất của động cơ được định nghĩa: 1 21 Q QQ +=η với 1Q : nhiệt lượng mà tác nhân nhận vào từ nguồn nóng và 2Q : nhiệt lượng mà tác nhân nhả cho nguồn lạnh (vậy theo qui ước, 0Q1 ). 1/ Xét hai quá trình (1, 2) và (3, 4). Dùng phương trình trạng thái của KLT và biểu thức của công nguyên tố δW = -pdV để chứng minh rằng: 1 2 11 V VlnNkTQ = và 3 4 22 V VlnNkTQ = , V1 V2 V3 (T1) (T2) 1 2 3 4 p V với N là số phân tử khí và k là hằng số Boltzmann. Suy ra biểu thức của η theo 1T , 2T và các thể tích 1V , 2V , 3V và 4V . Nhận xét về giá trị của η . 2/ Biết rằng nội năng U của KLT chỉ phụ thuộc theo nhiệt độ T theo hệ thức NkTU α= (*) với α là một tham số phụ thuộc vào tính chất của phân tử khí, chứng tỏ rằng nhiệt dung đẳng tích vC và nhiệt dung đẳng áp pC của KLT là không phụ thuộc vào nhiệt độ. Tìm lại hệ thức Robert-Mayer: NkCC vp =− và công thức của hệ số Poisson: α+==γ 11 C C v p . 3/ Bằng cách so sánh độ biến thiên nguyên tố của nội năng dU tính theo hệ thức (*) và theo nguyên lý I của NĐLH: pdVQdU −δ= , hãy chứng minh rằng trong một quá trình đoạn nhiệt, constVT =α . Từ đó, chứng tỏ là hiệu suất η của chu trình Carnot là chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ 1T , 2T của hai nguồn nhiệt. Suy ra rằng: 0 T Q T Q