Giải bài toán bằng cách lởp phương trình, hệ phương trình

chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45m. Tính diện tích thửa ruộng, biết rằng nếu chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng 3 lần thì chu vi thửa ruộng không thay đổi. Cách 1. Gọi chiều rộng HCN là x (x>0;m) Chiều dài HCN là x + 45(m) Chu vi HCN là [x + (x+45)].2=4x+90 (m) Nếu chiều dài giảm đi hai lần thì chiều dài có kích th-ớc là x 45 2  (m) Nếu chiều rộng tăng 3 lần thì chiều rộng có độ dài là 3x (m) Chu vi HCN lúc này là x 45 3x .2 7x 45(m) 2         . Vì chu vi HCN không thay đổi nên ta có pt: 4x + 90 = 7x + 45 Giải pt ta có: x = 15. Cách 2. Gọi chiều dài của thửa ruộng là x(m) Chiều rộng của thửa ruộng là y(m) ( x>45, x>y>0) => 45 3 2 x y x y x y        Giải hệ ta đ-ợc x = 60, y = 15 (thoả mãn) Vậy diện tích của thửa ruộng là: 60.15 = 900(m2). Bài 13) Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do ỏp dụng kĩ thuật mới nờn tổ I đó vượt mức 18% và tổ II đó vượt mức 21%. Vỡ vậy trong thời gian quy định họ đó hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch ?. Giải: Gọi số sp tổ I làm theo kế hoạch là x (xN*, x < 600; sp) Số sản phẩm tổ II làm theo kế hoạch là 600 – x (sp) Thực tế: Tổ I làm đ-ợc 118%x (sp) Tổ II làm đ-ợc 121%(600-x) (sp) Vì thực tế hai tổ làm đ-ợc 600+120 = 720 (sp) nên ta có pt: 118%x+121%(600-x) = 720. Giải pt ta có x = 200sp. Cách 2: Giải bằng cách lập hpt. Bài 14) Một xe mỏy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thờm 14km/giờ thỡ đến sớm 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4km/giờ thỡ đến muộn 1 giờ. Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình Truy cập trang để ụn luyện thi vào 10 Toỏn – Văn – Anh tốt nhất! 10 Tớnh vận tốc dự định và thời gian dự định. Giải: Gọi thời gian dự định là x (x >2;h) vận tốc dự định là (y > 4;km/h) * Quóng đường AB dài là: x.y (km) * Nếu vận tốc giảm đi 4km/h thỡ thời gian đi sẽ tăng lờn 1 giờ nờn ta cú: (x + 1)(y - 4) = x.y -4x + y = 4 * Nếu vận tốc tăng thờm 14km/h thỡ thời gian đi sẽ bớt đi 2 giờ nờn ta cú: (x - 2)(y + 14) = x.y 14x - 2y = 28 Theo bài ra ta cú hệ phương trỡnh: 4x y 4 (1) 14x 2y 28 (2) 8x 2y 8 (1') 14x 2y 28 (2')              Cộng từng vế của hai phương trỡnh ta cú: 6x = 36  x = 6 Thay x = 6 vào (1) ta cú y = 28 Đỏp số: Thời gian dự định là 6 giờ và vận tốc dự định là 28km/giờ. Bài 15) Một tam giỏc cú chiều cao bằng 2 5 cạnh đỏy. Nếu chiều cao giảm đi 2 dm và cạnh đỏy tăng thờm 3 dm thỡ diện tớch của nú giảm đi 14 dm2.Tớnh chiều cao và cạnh đỏy của tam giỏc. Giải: Cách 1: Gọi cạnh đáy của tam giác là x (x>0,dm) Chiều cao của tam giác là: 2 x 5 (dm) Diện tích của tam giác là 21 2 1. x.x x 2 5 5  (dm2) Sau khi thay đổi độ dài: Chiều cao của tam giác là 2 x 5 -2 (dm) Cạnh đáy của tam giác là x + 3 (dm) Diện tích của tam giác lúc này là : 1 2 .( x 2).(x 3) 2 5   (dm2) Vì diện tích của tam giác giảm 14dm2 nên ta có ph-ơng trình: 21 1 2x .( x 2).(x 3) 14 5 2 5     Giải pt ta có: 55 x 2  Cách 2:Gọi chiều cao và cạnh đỏy của tam giỏc đó cho là x và y (x > 0; y > 0, tớnh bằng dm). Theo bài ra ta cú hệ phương trỡnh: 2 2x y x y5 5 1 1 xy (xy 3x 2y 6) 28xy (x 2)(y 3) 14 2 2                   Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình Truy cập trang để ụn luyện thi vào 10 Toỏn – Văn – Anh tốt nhất! 11 2 x 11 x y 5 55 y 3x 2y 22 2             (thỏa món điều kiện). Trả lời: Chiều cao của tam giỏc là 11 dm và cạnh đỏy của tam giỏc là 55 dm 2 . Bài 16) Hai người cựng làm chung một cụng việc sẽ hoàn thành trong 4 giờ. Nếu mỗi người làm riờng để hoàn thành cụng việc thỡ thời gian người thứ nhất làm ớt hơn người thứ hai 6 giờ.Hỏi nếu làm riờng thỡ mỗi người phải làm trong bao lõu sẽ hoàn thành cụng việc? Giải : Cách 1: Giải bằng cách lập hệ pt. Gọi thời gian ng-ời thứ nhất làm một mình xong công việc là x (x>4;h) Gọi thời gian ng-ời thứ hai làm một mình xong công việc là y (y>4;h). Mỗi giờ ng-ời thứ nhất làm đ-ợc 1 x (công việc) Mỗi giờ ng-ời thứ hai làm đ-ợc 1 y (công việc). Mỗi giờ hai ng-ời cùng làm đ-ợc 1 4 (công việc) Ta có pt: 1 1 1 x 4   y (1) Nếu làm một mình thì ng-ời thứ nhất làm ít thời gian hơn ng-ời thứ hai là 6 giờ nên ta có pt: y – x = 6 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ ph-ơng trình: 1 1 1 x y 4 y x 6        . Giải hpt ta có x = 6; y = 12 Cách 2. Gọi thời gian người thứ nhất làm một mỡnh để hoàn thành cụng việc là x ( x > 4;h) người thứ hai làm một mỡnh để hoàn thành cụng việc hết (x + 6) giờ. Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được 1 x cụng việc Trong 1 giờ, người thứ hai làm được 1 x + 6 cụng việc Trong 1 giờ, nờu làm chung cả hai người làm được 1 4 cụng việc. Nờn ta cú phương trỡnh: 1 x + 1 x + 6 = 1 4  4(x + 6) + 4x = x(x + 6)  x2 – 2x – 24 = 0 Phương trỡnh cú hai nghiệm: x1 = 6 (t/m) ; x2 = – 4 (loại). Vậy thời gian người thứ nhất làm một mỡnh để hoàn thành cụng việc là 6 giờ  thời gian người thứ hai làm một mỡnh để hoàn thành cụng việc là 6 + 6 = 12( giờ) Bài 17) Hai vũi nước cựng chảy vào một bể (ban đầu khụng chứa nước) thỡ sau 6 giờ đầy bể. Nếu chảy một mỡnh cho đầy bể thỡ vũi I cần nhiều thời gian hơn vũi II là 5 giờ. Hỏi nếu chảy một mỡnh để đầy bể thỡ mỗi vũi cần bao nhiờu thời gian ? Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình Truy cập trang để ụn luyện thi vào 10 Toỏn – Văn – Anh tốt nhất! 12 Giải: Gọi thời gian chảy một mỡnh đầy bể của vũi II là x (x>6;h) Thời gian chảy một mỡnh đầy bể của vũi I là x + 5 (giờ) Trong một giờ, vũi I chảy được 1 x 5 bể, vũi II chảy được 1 x bể, cả hai vũi chảy được 1 6 bể. Ta cú phương trỡnh : 1 x 5 + 1 x = 1 6  x2 – 7x – 30 = 0  = 49 + 120 = 169   = 13  x1 = -3 (loại) , x2 = 10 (thoả món). Vậy để chảy một mỡnh đầy bể vũi II cần 10 giờ, vũi I cần 10 + 5 = 15 (giờ) Cách 2: Giải bằng cách lập hệ pt: T-ơng tự bài 16. Bài 18) Một cụng việc nếu giao cho hai đội cụng nhõn làm chung thỡ làm xong trong 4 giờ 48 phỳt. Hỏi nếu làm riờng thỡ mỗi đội hoàn thành cụng việc trong bao lõu ? Biết rằng thời gian làm riờng xong cụng việc của đội II nhiều hơn thời gian của đội I là 4 giờ. Giải: Đổi 4 giờ 48 phỳt = 24 5 giờ. Gọi thời gian làm riờng xong cụng việc của đội I là x (x > 24 5 ;h) Thời gian làm riờng xong cụng việc của đội II là x + 4 ( giờ) Trong một giờ, đội I làm được 1 x cụng việc, đội II làm được 1 x 4 cụng việc, cả hai đội làm được 5 24 cụng việc. Ta cú phương trỡnh : 1 x + 1 x 4 = 5 24 . 5x2 – 28x - 96 = 0 / = 196 + 480 = 676  / = 26. x1 = 8 (thoả món) , x2 = -2,4 (loại). Vậy để làm một mỡnh hoàn thành cụng việc đội I cần 8 giờ, đội II cần 12 giờ. 19) Hai vật chuyển động trên một đ-ờng tròn có đ-ơng kính 2m , xuất phát cùng một lúc từ cùng một điểm . Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây lại gặp nhau. Nếu chúng chuyển động ng-ợc chiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật. Giải Gọi vận tốc của vật I là x ( m/s).(x> 0). Gọi vận tốc của vật II là y ( m/s).(y> 0), (x>y). Sau 20 s hai vật chuyển động đ-ợc quãng đ-ờng là 20x, 20y ( m ). Vì nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây lại gặp nhau do đó ta có ph-ơng trình: 20x – 20y = 20 Sau 4 s hai vật chuyển động đ-ợc quãng đ-ờng là 4x, 4y ( m ). Vì nếu chúng chuyển động ng-ợc chiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau do đó ta có ph-ơng trình: 4x + 4y = 20 Theo bài ra ta có hệ ph-ơng trình:        2044 202020 yx yx Giải hệ PT ta đ-ợc:        2 3 y x ; Vậy vận tốc của hai vật là: 3 (m/s) và 2 (m/s). Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình Truy cập trang để ụn luyện thi vào 10 Toỏn – Văn – Anh tốt nhất! 13 20) Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A, sau 5 giờ 20 phút một ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp thuyền cách bến A 20 km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12 km/h. Giải Gọi vận tốc của của thuyền là x ( km/h).(x> 0). Ta có vận tốc của ca nô là x + 12 (km/h). Thời gian thuyền đi hết quãng đ-ờng 20 km là: x 20 ( h). Thời gian ca nô đi hết quãng đ-ờng 20 km là: 12 20 x ( h). Vì sau 5 giờ 20 phút một ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp thuyền cách bến A 20 km, do đó ta có ph-ơng trình: x 20 - 12 20 x = 3 16 ; giải PTBH x2 + 12x – 45 =0 ta đ-ợc x = 3 (TM). Vậy vận tốc của ca nô là 15 km/h. 21) Quãng đ-ờng AB dài 270 km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B. Ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 12 km/h, nên đến tr-ớc ô tô thứ hai 40 phút. Tính vận tốc của mỗi Ô tô. Giải Gọi vận tốc của ô tô thứ nhất là x ( km/h).( điều kiện :x > 12). Ta có vận tốc của ô tô thứ hai là x - 12 (km/h). Thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đ-ờng AB là: x 270 ( h). Thời gian ô- tô thứ hai đi hết quãng đ-ờng AB là: 12 270 x ( h). Vì hai ô tô cùng xuất phát và ô tô thứ nhất đến B tr-ớc ô tô thứ hai là 40 P nên ta có PT: 12 270 x - x 270 = 3 2 Giải PTBH ta đ-ợc x= 6+12 34 Vậy vận tốc của ô tô thứ nhất 6+12 34 km/h, ô tô thứ hai là 12 34 - 6 km/h. 22) Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 km, cả đi và về mất 8 giờ 20 phút. Tính vận tốc của tàu thuỷ khi n-ớc yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng n-ớc là 4 km/h. Giải Gọi vận tốc của tàu thuỷ khi n-ớc yên lặng là x ( km/h).(x> 4). Vận tốc tàu thuỷ khi đi xuôi dòng: x + 4 ( km/h). Vận tốc tàu thuỷ khi đi ng-ợc dòng: x - 4 ( km/h). Thời gian tàu thuỷ đi xuôi dòng là: 4 80 x (h), Thời gian tàu thuỷ đi ng-ợc dòng là: 4 80 x (h). Vì tổng thời gian cả xuôi dòng và ng-ợc dòng là 8 giờ 20 phút do đo ta có ph-ơng trình: 4 80 x + 4 80 x = 3 25 . Giải PTBH: đ-ợc: x = 20 (TM). Vậy vận tốc tàu thuỷ khi n-ớc yên lặng là: 20 km/h. 23) Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến sông A đến bến sông B ,ca nô I chạy với vận tốc 20 km/h, ca nô II chạy với vận tốc 24 km/h. Trên đ-ờng đi ca nô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy với vận tốc nh- cũ. Tính chiều dài quãng sông AB, biết rằng hai ca nô đến B cùng một lúc. Giải Gọi chiều dài quãng sông A B là x ( km).(x> 0). Ta có thời gian canô I chạy từ A đến B là: 20 x ( h), Thời gian canô II chạy từ A đến B là: 24 x ( h). Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình Truy cập trang để ụn luyện thi vào 10 Toỏn – Văn – Anh tốt nhất! 14 Trên đ-ờng đi ca nô II dừng lại 40 phút và cùng đến B do đó ta có ph-ơng trình: 20 x - 24 x = 3 2 Giải PTBN ta đ-ợc x = 80 km. Vậy quãng đ-ờng AB là 80km. 24) Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đến địa điểm B dài 240 km. Mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 12 km/h nên đến địa điểm B tr-ớc ô tô thứ hai là 100 phút. Tính vận tốc của mỗi ô tô. Giải Gọi vận tốc của ô tô thứ hai là x ( km/h).(x> 0). Ta có vận tốc của ô tô thứ nhất là x + 12 km/h. Thời gian ô tô thứ hai đi hết quãng đ-ờng AB là: x 240 ( h). Thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đ-ờng AB là: 12 240 x ( h). Vì ô tô thứ nhất đến địa điểm B tr-ớc ô tô thứ hai là 100 phút do đó ta có PT: x 240 - 12 240 x = 3 5 Giải PTBH ta đ-ợc x= 36. Vậy vận tốc của ô tô thứ nhất 48 km/h, ô tô thứ hai là 36 km/h. 25) Một ca nô xuôi dòng 42 km rồi ng-ớc dòng trở lại 20 km hết tổng cộng 5 giờ. Biết vận tốc của dòng chảy là 2 km/h. Tính vận tốc của ca nô lúc dòng n-ớc yên lặng. Giải Gọi vận tốc của ca nô khi n-ớc yên lặng là x ( km/h).(x> 2). Vận tốc ca nô khi đi xuôi dòng: x + 2 ( km/h). Vận tốc ca nô khi đi xuôi dòng: x - 2 ( km/h). Thời gian ca nô đi xuôi dòng là: 2 42 x (h). Thời gian ca nô đi ng-ợc dòng là: 2 20 x (h). Vì tổng thời gian cả xuôi dòng và ng-ợc dòng là 5 giờ do đó ta có ph-ơng trình: 2 42 x + 2 20 x = 5. Giải PTBH: 5x2 - 62x + 24 = 0 ta đ-ợc: x = 12 (TM). Vậy vận tốc ca nô khi n-ớc yên lặng là: 12 km/h. 26) Hai ng-ời đi xe đạp cùng xuất phát một lúc đi từ A đến B dài 30 km, vận tốc của họ hơn kém nhau 3 km/h nên đến B sớm muộn hơn nhau 30 phút. Tính vận tốc của mỗi ng-ời. Giải Gọi vận tốc của ng-ời đi chậm là x ( km/h).(x> 0). Ta có vận tốc của ng-ời đi nhanh là x + 3 (km/h). Thời gian ng-ời đi nhanh từ A đến B là 3 30 x (h). Thời gian ng-ời đi chậm từ A đến B là x 30 (h). Vì hai ng-ời đến B sớm, muộn hơn nhau 30 phút do đó ta có ph-ơng trình: x 30 - 3 30 x = 2 1 Giải PTBH: x2 + 3x - 180 = 0 ta đ-ợc x = 12 ( TM) Vậy vận tốc của ng-ời đi nhanh là 15km/h, vận tốc của ng-ời đi chậm là:12 km/h. 27) Một ng-ời đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 78 km. sau đó 1 giờ ng-ời thứ hai đi từ tỉnh B đến tỉnh A hai ng-ời gặp nhau tại địa điểm C cách B 36 km. Tính thời gian mỗi ng-ời đã đi từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau, biết vận tốc ng-ời thứ hai lớn hơn vận tốc ng-ời thứ nhất là 4 km/h. Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình Truy cập trang để ụn luyện thi vào 10 Toỏn – Văn – Anh tốt nhất! 15 Giải Gọi vận tốc của ng-ời đi từ A là x ( km/h).(x> 0). Thời gian ng-ời đi từ A, tính từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau là: x 42 (h). Vận tốc của ng-ời đi từ B là x + 4 ( km/h). Thời gian ng-ời đi từ B, tính từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau là: 4 36 x (h). Vì hai ng-ời gặp nhau tại C, ng-ời thứ hai đi sau ng-ời thứ nhất 1 giờ do đó ta có ph-ơng trình: x 42 - 4 36 x =1; Giải PTBH: x2 - 2x - 168 = 0 ta đ-ợc x= 14 (TM). Vậy thời gian ng-ời đi từ A từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau là: 3 giờ. thời gian ng-ời đi từ B từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau là: 2 giờ. 28) Quãng đ-ờng AB dài 120 km. Hai Ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B,Ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn Ô tô thứ hai là 10 km/h nên đến B tr-ớc Ô tô thứ hai 24 phút. Tính vận tốc mỗi xe. Giải Gọi vận tốc của ô tô thứ nhất là x ( km/h).(x> 10). Ta có vận tốc của ô tô thứ hai là x - 10 ( km/h). `Thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đ-ờng AB là: x 120 ( h). Thời gian ô tô thứ hai hết quãng đ-ờng AB là: 10 120 x ( h). Vì ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai là 10 km/h nên đến B tr-ớc ô tô thứ hai 24 phút do đó ta có ph-ơng trình: 10 120 x - x 120 = 5 2 Giải PT BH: x2 - 10x - 300 = 0 ta đ-ợc x= 60 (TM). Vậy vận tốc của ô tô thứ nhất là : 60 km/h ,vận tốc của ô tô thứ hai là : 50 km/h. 29) Một ng-ời dự định đi từ A đến B với thời gian đẵ định. Nếu ng-ời đó tăng vận tốc thêm 10 km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ. Nếu ng-ời đó giảm vận tốc đi 10 km/h thì đến B muộn hơn dự định 2 giờ. Tính vận tốc, thời gian dự định đi và độ dài quãng đ-ờng AB. Giải : Gọi vận tốc dự định đi từ A đến B của ng-ời đó là x ( km/h).(x> 10). Gọi thời gian dự định đi từ A đến B của ng-ời đó là y (h).(y> 1). Ta có độ dài của quãng đ-ờng AB là x.y ( km) Vì nếu ng-ời đó tăng vận tốc thêm 10 km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ do đó ta có PT (x + 10).(y-1) =xy. (1) Vì nếu ng-ời đó giảm vận tốc đi 10 km/h thì đến B muộn hơn dự định 2 giờ do đó ta có PT (x - 10).(y+2) =xy (2) Theo bài ra ta có hệ ph-ơng trình:      xyyx xyyx )2)(10( )1)(10( ;giải hệ ph-ơng trình ta đ-ợc      4 30 y x Vậy vân tốc dự định là 30 km/h, thời gian dự định là 4 giờ, Quãng đ-ờng AB là 120 km. 30) Một ca nô xuôi dòng 1 km và ng-ợc dòng 1km hết tất cả 3,5 phút. Nếu ca nô xuôi 20 km và ng-ợc 15 km thì hết 1 giờ. Tính vận tốc dòng n-ớc và vận tốc riêng của ca nô. Giải : Gọi vận tốc riêng của ca nô là x ( km/phút), ( x> 0). Gọi vận tốc riêng của dòng n-ớc là y ; ( km/phút), ( y> 0) ; (x> y). Ta có vận tốc của ca nô khi đi xuôi dòng là x+ y ( km/phút), ng-ợc dòng là x - y ( km/phút). Thời gian ca nô xuôi dòng 1 km là yx  1 ( phút ). Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình Truy cập trang để ụn luyện thi vào 10 Toỏn – Văn – Anh tốt nhất! 16 Thời gian ca nô ng-ợc dòng 1 km là yx  1 ( phút ). Vì tổng thời gian xuôi dòng 1 km và ng-ợc dòng 1km hết tất cả 3,5 phút do đó ta có ph-ơng trình ( 1) là yx  1 + yx  1 =3,5 Vì tổngthời gian ca nô xuôi dòng 20 km và ng-ợc 15 km thì hết 1 giờ do đó ta có ph-ơng trình (2) yx  20 + yx  15 =60 Theo bài ra ta có hệ ph-ơng trình:                .60 1520 5.3 11 yxyx yxyx giải hệ ph-ơng trình ta đ-ợc      12/1 12/7 y x (Tm đk) Vậy vận tốc của dòng n-ớc là:1/12 ( km/ phút ) , Vận tốc riêng của ca nô là:7/12 (km/ phút) 31) Bạn Hồng dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian đã định. Sau khi đi 1 giờ, Hồng nghỉ 10 phút, do đó để đến B đúng hẹn Hồng phải tăng vận tốc thêm 6 km/h. Tính vận tốc lúc đầu của Hồng . Giải : Gọi vận tốc lúc đầu của Hồng là x ( km/h), ( x> 0) Thời gian Hồng dự định đi từ A đến B là x 120 ( giờ); Sau 1 giờ Hồng đi đ-ợc quãng đ-ờng là x km, quãng đ-ờng còn lại Hồng phải đi là ( 120 - x) km; Thời gian Hồng đi trên quãng đ-ờng còn lại ( 120 - x) km là 6 120   x x ( giờ ); Vì trên đ-ờng đi Hồng nghỉ 10 phút, do đó để đến B đúng hẹn Hồng phải tăng vận tốc thêm 6 km/h nên ta có ph-ơng trình: x 120 = 1 + 6 1 + 6 120   x x , giải PT BH: x2 + 42x - 4320 = 0 ta đ-ợc: x1 = 48, x2 = - 90 ( loại ). Vậy vận tốc lúc đầu của Hồng là 48 km/h. 32) Tìm hai cạnh của một tam giác vuông biết cạnh huyền bằng 13 cm và tổng hai cạnh góc vuông bằng 17. Giải : Gọi cạnh góc vuông thứ nhất của tam giác là x ( cm ), ( 0< x < 17 ). Ta có cạnh góc vuông còn lại là: ( 17 - x ) ( cm). Vì cạnh huyền của tam giác vuông là 13, theo định lý Pytago ta có ph-ơng trình: x2 + ( 17 - x )2 = 132 Giải PTBH: x2 - 17x + 60 = 0 ta đ-ợc: x1 = 12, x2 = 5. ( thỏa mãn điều kiện ) Vậy độ dài các cạnh góc vuông lần l-ợt là 12 cm, 5 cm. 33) Một khu v-ờn hình chữ nhật có chu vi 280 m. Ng-ời ta làm một lối đi xung quanh v-ờn (thuộc đất v-ờn ) rộng 2 m, diện tích còn lại để trồng trọt là 4256 m2. Tính kích th-ớc ( các cạnh) của khu v-ờn đó Giải : Gọi một cạnh của khu v-ờn là x, ( 0<x< 140;m) Ta có cạnh còn lại của khu v-ờn là: ( 140 - x) (m) Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình Truy cập trang để ụn luyện thi vào 10 Toỏn – Văn – Anh tốt nhất! 17 Do lối xung quanh v-ờn rộng 2 m nên các kích th-ớc các cạnh còn lại để trồng trọt là: ( x -4 ) và (140 - x - 4 ) ( m ). Vì diện tích còn lại để trồng trọt là 4256 m2 do đó ta có ph-ơng trình: ( x -4 ). (136 - x ) = 4256. Giải PTBH: x2 - 140x + 4800 = 0 ta đ-ợc x2 = 80, x2 = 60. ( thỏa mãn điều kiện ) Vậy các cạnh của khu v-ờn HCN là 80 m, 60 m. 34) Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m. Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng nếu chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi. Giải : Gọi chiều rộng và chiều dài của thửa ruộng hình chữ nhật lần l-ợt là x và y, ( m ), (0< x< y < 125). Vì chu vi thửa ruộng hình chữ nhật là 250 m do đó ta có ph-ơng trình: x + y = 125. Vì chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi do đó ta có ph-ơng trình: 2. x + 3 y = 125. Theo bài ra ta có hệ ph-ơng trình:        125 3 2 125 y x yx Giải hệ ph-ơng trình ta đ-ợc      75 50 y x ( thỏa mãn điều kiện ) Vậy dịên tích của thửa ruộng HCN là; 50. 75 = 3750 m2. 35) Cho một tam giác vuông. Khi ta tăng mỗi cạnh góc vuông lên 2 cm thì diện tích tăng 17 cm2. Nếu giảm các cạnh góc vuông đi một cạnh đi 3 cm một cạn 1 cm thì diện tích sẽ giảm đi 11cm2. Tìm các cạnh của tam giác vuông đó. Giải : Gọi các cạnh của tam giác vuông lần l-ợt là x, y; ( cm ), x, y > 3. Vì khi tăng mỗi cạnh góc vuông lên 2 cm thì diện tích tăng 17 cm2 do đó ta có ph-ơng trình: 2 1 ( x+ 2 ) ( y + 2 ) = 2 1 xy + 17. Vì nếu giảm các cạnh góc vuông đi một cạnh đi 3 cm một cạn 1 cm thì diện tích sẽ giảm đi 11cm2 do đó ta có ph-ơng trình: 2 1 ( x - 3 ) ( y - 1 ) = 2 1 xy - 11. Theo bài ra ta có hệ ph-ơng trình:      253 15 yx yx , giải hệ ph-ơng trình ta đ-ợc:      5 10 y x ( thỏa mãn điều kiện ) Vậy ta có các cạnh của tam giác là: 5, 10 ( cm). 36) Một đội máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày cày đ-ợc 52 ha, vì vậy đội không những cày xong tr-ớc thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm đ-ợc 4 ha nữa. Tính diện tích thửa ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch. Giải: Gọi diện tích mà đội phải cày theo kế hoạch là x ( ha ), ( x> 0). Thời gian đội dự định cày là: 40 x ( giờ ). Diện tích mà đội thực cày là: ( x + 4 ), ( ha ). Thời gian mà đội thực cày là: 52 4x ( giờ). Vì khi thực hiện đội đẵ cày xong tr-ớc thời hạn 2 ngày do đó ta có ph-ơng trình: 40 x - 52 4x = 2. Giải PTBN ta đ-ợc x= 360( thỏa mãn điều kiện ) Vậy diện tích mà đội dự định cày theo kế hoạch là: 360 ha. Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình Truy cập trang để ụn luyện thi vào 10 Toỏn – Văn – Anh tốt nhất! 18 37) Hai ng-ời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ng-ời thứ nhất làm trong 3 giờ, ng-ời thợ thứ hai làm trong 6 giờ thì học làm đ-ợc 25% khối l-ợng công việc. Hỏi mỗi ng-ời thợ làm một mình công việc đó trong bao lâu. Giải: Gọi thời gian để ng-ời thứ nhất làm một mình xong công việc là x, ( giờ), x > 16. Gọi thời gian để ng-ời thứ hai làm một mình xong công việc là y, ( giờ), y > 16. Trong 1 giờ ng-ời thứ nhất và ng-ời thứ hai làm đ-ợc khối l-ợng công việc t-ơng ứng là: x 1 , y 1 Vì hai ng-ời làm chung trong 16 giờ thì xong KLCV do đó ta có ph-ơng trình: x 1 + y 1 = 16 1 (1) Sau 3 giờ ng-ời thứ nhất làm đ-ợc 3. x 1 (KLCV). Sau 6 giờ ng-ời thứ hai làm đ-ợc 6. y 1 (KLCV). Vì ng-ời thứ nhất làm trong 3 giờ, ng-ời thợ thứ hai làm trong 6 giờ thì học làm đ-ợc 25% khối l-ợng công việc do đó ta có ph-ơng trình: x 3 + y 6 = 4 1 . (2) Từ (1) và (2) ta có hệ ph-ơng trình:          . 4 163 16 111 yx yx giải hệ ph-ơng trình ta đ-ợc:      48 24 y x ( thỏa mãn điều kiện ) Vậy thời gian để Ng-ời thứ nhất làm một mình xong công việc là: 24 ( giờ ). Thời gian để Ng-ời thứ hai làm một mình xong công việc là: 48 ( giờ) . 38) Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công. Hãy tính số công nhân của đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 ng-ời thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày. Giải: Gọi số công nhân của đội là x (xN*, ng-ời) Số ngày hoàn thành công việc với x ng-ời là: x 420 ( ngày ). Số công nhân sau khi tăng 5 ng-ời là: x + 5 (ng-ời) Số ngày hoàn thành công việc với x + 5 ng-ời là: 5 420 x ( ngày ). Vì nếu đội tăng thêm 5 ng-ời thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày do đó ta có ph-ơng trình: x 420 - 5 420 x = 7. Giải PTBH ta đ-ợc: x1 = 15( thỏa mãn điều kiện ); x2 = - 20 ( loại ). Vậy số công nhân của đội là 15 ng-ời. 39) Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định xong trong 12 ngày. Họ cùng làm chung với nhau đ-ợc 8 ngày thì đội 1 đ-ợc điều động đi làm công việc khác, đội 2 tiếp tục làm. Do cải tiến kỹ thuật, năng suất tăng gấp đôi nên đội 2 làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì sau bao nhiêu ngày sẽ làm xong công việc nói trên ( với năng suất bình th-ờng). Giải: Gọi thời gian để đội I làm một mình xong công việc là x (x > 12, ngày) Gọi thời gian để đội II làm một mình xong công việc là y (y > 12, ngày) Trong 1 ngày đội I và đội II làm đ-ợc khối l-ợng công việc t-ơng ứng là: x 1 , y 1 . Vì hai đội dự định làm chung trong 12 ngày thì xong KLCV ,do đó ta có ph-ơng trình ( 1) Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình Truy cập trang để ụn luyện thi vào 10 Toỏn – Văn – Anh tốt nhất! 19 x 1 + y 1 = 12 1 Phần công việc hai đội làm chung trong 8 ngày là 12 8 = 3 2 (KLCV). Phần việc còn lại đội II phải làm là: 1 - 3 2 = 3 1 ( KLCV). Vì năng suất tăng gấp đôi nên đội II đẵ làm xong 3 1 phần việc còn lại trong 3,5 ngày do đo ta có ph-ơng trình: 3. 2 1 . y 1 = 3 1 . Theo bài ra ta có hệ ph-ơng trình:          . 3 17 12 111 y yx Giải hệ ph-ơng trình ta đ-ợc:      21 28 y x ( thỏa mãn điều kiện ) Vậy thời gian để đội I làm một mình xong công việc là: 28 ( ngày ). Thời gian để đội II làm một mình xong công việc là: 21 ( ngày) . 40) An và Tâm cù