Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đổi biến

Vấn đề 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN ® Giới thiệu phương pháp: Khác với phương pháp đặt ẩn phụ (tức là đặt biến t là một giá trị lượng giác nào đó, chẳng hạn đặt t = sinx) thì phương pháp đổi biến mang những nét đặc trưng riêng. Nó vừa mang dáng vẻ của cách giải phương trình hàm, vừa mang hình thức của cách giải các phương trình lượng giác. Thật sự đây là một trong những phương pháp đáng lưu tâm nhất cho những ai yêu thích phương trình lượng giác. Hy vọng với phương pháp này, các bạn sẽ ứng dụng một cách hiệu quả cho các bài toán thuộc về lượng giác nói riêng và những bài toán suy rộng nói chung. ® Hình thành ý tưởng: Ta sẽ sử dụng một biến bất kỳ (chẳng hạn là t). Khi đó, nếu đặt t là 1 cung lượng giác nào đó thì phương trình ban đầu sẽ biến thành phương trình chứa các cung t, 2t, 3t, , kt. Rồi sử dụng công thức nhân đôi, nhân ba. ® Kiến thức cần nhớ: ¤ 3sin3 3sin 4sina a a  ¤ 3cos3 4cos 3cosa a a  ¤ Giá trị lượng giác của các cung liên quan đặc biệt. ® Bài tập ví dụ: Bài 1 : Giải phương trình : 38cos ( ) cos3 3 x x  (*) Hướng dẫn: Theo hình thành ý tưởng ta nghĩ ngay đến việc đặt ( ) 3 t x   Khi đó: 3 3x t   . Phương trình (*) trở thành 38cos cos(3 )t t   3 3 3 2 8cos cos3 0 8cos 4cos 3cos 0 3cos (4cos 1) 0 t t t t t t t            cos 2(cos2 1) 1 0t t    Đây trở về phương trình tích mà các bạn đã biết cách giải. Qua đó, ta thấy được việc đặt biến t giúp biến đổi phương trình thành dạng công thức nhân đôi, nhân ba. Đó là mục tiêu của phương pháp này! Bài 2: Giải phương trình: 632cos sin 6 1 4 x x      (*) Gợi ý: Đặt 4 t x      Khi đó, 36 6 2 x t   (*) 6 332cos sin 6 1 2 t t        . Nhận thấy 3sin 6 2 t     =cos6t ,đến đây thì tự hỏi làm gì có công thức nhân 6 mà giải được bài này ?! Thật ra, nếu các bạn biến đổi 3 6 1 cos2cos 2 tt      và 3cos6 cos3.2 4cos 2 3cos2t t t t   thì mọi chuyện đã rõ như ban ngày! Mạnh dạn lập phương thu về được phương trình 24cos 2 5cos2 1 0t t   Kết quả: 4 x k   hoặc 4 x k     , kZ ®Bài tập đổi biến không chứa  : Đối với những bài toán dạng này, mục tiêu của chúng ta vẫn là đưa về công thức nhân đôi hoặc nhân ba! Bài 3: Giải phương trình: 2 4cos cos 3 xx  (*) Hướng dẫn: Kinh nghiệm rút ra từ phương pháp này là hạ bậc trước khi đặt để tìm ra “chìa khóa” ! Việc tìm ra giá trị cung cơ sở đặt là t được xem như đi tìm “chìa khóa”. Không khó cũng không dễ, tùy thuộc vào kiến thức của mỗi người. Đối với bài này,  2 1 1 2cos 1 cos2 1 cos3. 2 2 3 xx x        Đặt 2 3 xt  thì mọi chuyện xem như đã dễ dàng . Việc kế tiếp là dùng công thức nhân ba và nhân đôi để giải. Kết quả : 3x k hoặc 3 4 2 kx     với k Z . ®BÀI TẬP Áp dụng phương pháp đổi biến, các bạn hãy tìm ra “chìa khóa” của mỗi bài đi nào ! Bằng cách giải các phương trình sau: a) sin 2 5sin cos3 3 6 x x x              b)sin 3 sin2 .sin 4 4 x x x             c)sin3 2cos 6 x x     *d)2cos sin3 cos3 6 x x x      Gợi ý câu d) : Vẫn đặt 6 t x      . Từ đó suy ra 3t. Xét cost = 0 không là nghiệm phương trình. Chia 2 vế cho 3cos t biến thành hàm số theo tan.  Vấn đề 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẰNG CÁCH BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG CÁC PHẦN TỬ KHÔNG ÂM.  Nội dung phương pháp: Cũng giống như phương pháp đưa về tổng bình phương nhưng phương pháp này tỏ ra tổng quát hơn! Nó có dạng như sau: 1 2 3 ... 0nA A A A     Nếu chúng ta đưa được phương trình thành dạng như trên và với điều kiện 0iA  ( 1,2,3,..., )i n hoặc 0iA  ( 1,2,3,..., )i n thì ta chỉ cần giải hệ 1 2 0 0 ... 0n A A A       Chú ý: Trong quá trình giải phương trình lượng giác dạng này, ta cần lưu ý các giá trị không âm như sau: (1+sinx), (1+cosx), (1-sinx) hay (1-cosx). Ngoài ra, ta đã biết sinx và cosx có tập xác định là [-1;1] nên khi càng lũy thừa nó lên thì giá trị của nó càng nhỏ. Ví dụ: 2 3sin sin 0x x  Để giúp các bạn hiểu rõ phương pháp, chúng tôi xin giới thiệu một số ví dụ sau: Ví dụ: 1) Giải phương trình: cos2x + sinx = -2 Hướng dẫn: Thật vậy, bài toán này tương đối dễ, các bạn có thể dễ dàng dùng công thức nhân đôi để biến phương trình thành phương trình bậc 2 theo sin. Nhưng, các bạn có nghĩ rằng đó là cách giải tối ưu nhất chưa ? Các bạn có thể giải như sau: 1 cos2 0 (1 cos2 ) (1 sin2 ) 0 2 ( ) 1 sin 0 2 x pt x x x k k Z x                 *Nhận xét: Nếu ta thay cos2x thành cos8x thì việc giải thông thường tỏ ra rất khó khăn! Cho nên có thể thấy cách trên đây là hiệu quả nhất! 2) Giải phương trình: sin4x (cosx - 2sin4x) +cos4x (1 +sinx - 2cos4x) = 0 (*) Hướng dẫn: Ban đầu phương trình tỏ ra rất phức tạp, nhưng các bạn hãy để ý nếu phân phối vào thì ta được điều lý thú hơn! Đó chính là sự xuất hiện của những hạng tử (sin24x +cos24x) và (sin4x cosx +cos4x sinx). Do đó, việc cần làm trước tiên là phân phối vào. Sau đây là lời giải cụ thể: PT  (sin4x cosx + cos4x sinx) - 2(sin24x + cos24x) + cos4x = 0 Hay sin5x+cos4x=2 . Đến đây thì rõ như ban ngày rồi đấy ! Áp dụng Ví dụ 1) Ta sẽ tìm được nghiệm của PT là x = 2  +k2 (kZ). 3) Giải phương trình: cos2x - 4cosx - 2xsinx + x2 + 3 = 0 Hướng dẫn: Mới nhìn vào ta thấy có sự xuất hiện của những hạng tử (x2 - 2xsinx) và (cos2x - 4cosx) mà có thể nó là hình bóng của hằng đẳng thức. Do vậy, thử thêm sin2x vào phương trình. Ta được: x2 - 2xsinx + 1+ cos2x - 4cosx + 2 = 0  (x2 - 2xsinx + sin2x) + (2cos2x - 4cosx +2) = 0 hay 2(cosx - 2)2 + (sinx - x)2 = 0 Đến đây thì ta có thể giải như VD 1) Kết quả: x = 0. *Nhận xét Theo kinh nghiệm của chúng tôi thì khi gặp dạng như trên, chúng ta chỉ cần dùng một trong các phương pháp là: đánh giá, phân tích thành tổng các đại lượng không âm hoặc dùng phương pháp khảo sát hàm số ! Theo bạn thì sao? 4) Giải phương trình: 10 10 6 6 2 2 sin cos sin cos 4 4cos 2 sin 2 x x x x x x    (*) Hướng dẫn Nhận thấy phương trình (*) rất phức tạp ! Cho nên điều cần thiết phải làm là rút gọn càng gọn càng tốt ! Thật vậy, các bạn hãy thử tự mình biến đổi xem: 6 6sin cosx x = ? 2 24cos 2 sin 2x x = ? Từ đó suy ra : 2 10 10 2 31 sin 2sin cos 14 4 4 3sin 2 4 xx x x     hay 10 10sin cosx x =1 (**) Đến đây thì ta xem lại ở phần Chú ý và đưa ra nhận định 2 10sin sin 0x x  ; 2 10cos cos 0x x  . Tác động vào chúng ta sẽ phân tích: 2 21 sin cosx x  Từ đó, (**) (sin2x – sin10x) + (cos2x - cos10x) = 0. Đến đây các bạn có thể dễ dàng biến đổi tiếp để ra kết quả x = 2 k (kZ). 5) Giải phương trình: sin3x + cos3x = 2 - sin4x Hướng dẫn: Ý tưởng bài này tương tự như VD 4). Các bạn hãy phân tích 2 thành 2 21 sin cosx x  . Sau đó bằng cách chuyển vế đổi dấu cơ bản các bạn sẽ được: 2 3 2 3 4(sin sin ) (cos cos ) (1 sin ) 0x x x x x      Và dễ dàng giải ra được: 2 2 x k   , kZ Đến đây thì các bạn đã hình cung phần nào về cách giải phương trình lượng giác bằng cách phân tích thành tổng các số hạng không âm rồi chứ ? Sau đây, xin mời các bạn luyện tập với những bài tập sau: Bài Tập: 1) sinx + sin2x + sin3x + ... ...+ sin(nx) = n (nN). 2) 4cosx + 2cos2x + cos4x = 7. 3) 2sin5x + 3cos8x = 5. Gợi ý: PT tương đương 2(2 - sin5x) + 3(3 - cos8x) = 0. 4) cos24x + cos28x =sin212x + sin216x + 2. Gợi ý: chú ý là (2 - cos24x - cos28x) ≥ 0 (?). 5) sinx + cosx = 2 (2 – sin3x) . Gợi ý: Dùng công thức: sinx + cosx = 2sin( x + 4  ). Vấn đề 3: NHỮNG PHƯƠNG PHÁP KHÁC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Phương trình (lượng giác) là bài toán thường xuất hiện trong các kì thi tuyển sinh, thi học sinh giỏi. Có rất nhiều phương pháp giải phương trình như dùng phép biến đổi phương trình đại số đưa về dạnh tích, dạng đa thức, dùng bất đẳng thúc, dùng tích đơn điệu của hàm số và một số phương trình có thể giải bằng cách đưa về giải hệ phương trình. Bài toán 1. Giải PT: 2sin 2x  + 25 cos x = 2. Lời giải. Tư tưởng là triệt phá dấu căn, nên ta đặt: a= 2sin 2x  và b= 25 cos x . Từ đó ta được hệ: 2 2 2 2 a b a b       . Đến đây ta dễ dàng giải được. Kết quả: PT vô nghiệm. Bài toán 2. Giải PT:   2 23 33 cos sin 3 2x x    . Lời giải. Ý tưởng cũng như bài toán trên là phải triệt tiêu dấu căn, nên ta đặt: a =   23 cos x và b = 23 sin 3x  . Từ đó ta cũng được hệ: 3 3 3 2 2 a b a b         . Từ đây ta có thể giải được. Bài toán 3. Giải PT: 2tan x – 2 2 tan = 0 x  . Lời giải. Đối với bài toán này nếu như các bạn sử dụng cách làm như bài toán 1 và 2, thì có khả thi hay không ?. Thật vậy, nếu đặt 2 tan x = a, lúc đó ta được: 2 2 2 tan tan 2 a x x a      . Đây chính là hệ đối xứng mà ta đã biết cách giải. Nên nhớ rằng ĐK là: tanx 2. Kết quả: x = 4 k  hoặc x = arctan(1 5 2  )+k (k Z ). Như vậy chúng ta đã cùng nhau tìm hiểu xong phần nào về những phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực. Mặc dù những kiến thức chúng tôi truyền tải thật sự chưa đủ cho các bạn ứng dụng nhưng cũng mong rằng đây sẽ là tài liệu cho các bạn tham khảo để dễ dàng hình dung được phương pháp. Trong quá trình soạn thảo nhóm chúng tôi có thể mắc nhiều thiếu sót, mong các bạn thông cảm và nhiệt tình đóng góp để hoàn thiện hơn cho những chuyên đề sau! Bài chuyên đề có tham khảo từ nhiều nguồn sách: - Chuyên đề luyện thi vào Đại Học (Trần Văn Hạo) - Học tốt Đại Số và Giải Tích (Lê Hồng Đức- nhóm Cự Môn) - Bài viết chuyên đề lớp 10CT trường PTNK- TPHCM  Mọi chi tiết xin liên hệ: Nhóm chuyên đề ProOne Lớp 11T1 trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm niên học 2007 - 2008. 