Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 9

ường THCS Thanh Mỹ23 ta có: 1 1 1 1 1.2 x y x y      Hay 1 14 xy => 4xy  Mặt khác ta có: x > 0, y > 0 => 0, 0x y  . áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: 2 2 4 4x y xy    Vậy: Min A = 4 khi : 41 1 1 2 x y x y x y       VD2 : Tìm GTNN của của biểu thức : 2 2A x x 1 x x 1      Ta có: 2 2 1 3 3x x 1 x x R2 4 4            2 2 1 3 3x x 1 x x R2 4 4            Áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số 2 2x x 1, x x 1    ta có : 2 2 2 2 4 24x x 1 x x 1 2 x x 1. x x 1 2 x x 1 2               Max A = 2 khi 4 2 2 2 x x 1 1 x 0 x x 1 x x 1            VD3 Tìm giá trị nhỏ nhất của : x y zA y z x   với x, y, z > 0. Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương: 3x y z x y zA 3 . . 3y z x y z x     Do đó x y z x y zmin 3 x y zy z x y z x             Cách 2 : Ta có : x y z x y y z yy z x y x z x x                . Ta đã có x y 2y x  (do x, y > 0) nên để chứng minh x y z 3y z x   ta chỉ cần chứng minh : y z y 1z x x   (1) (1)  xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)  xy + z2 – yz – xz ≥ 0  y(x – z) – z(x – z) ≥ 0  (x – z)(y – z) ≥ 0 (2) Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ24 (2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đó (1) đúng. Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của x y zy z x  . VD 4: Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1. Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x, y, z ta có: 1 = x + y + z ≥ 3. 3 xyz (1) Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x+y, y +z, z + x ta có : 2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3. 3 (x y)(y z)(z x)   (2) Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều không âm) : 2 ≥ 9. 3 A  A ≤ 32 9     max A = 32 9     khi và chỉ khi x = y = z = 1 3 . VD 5: Tìm GTNN của xy yz zxA z x y   với x, y, z > 0 , x + y + z = 1. Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy : xy yz xy yz2 . 2yz x z x   . Tương tự : yz zx zx xy2z ; 2xx y y z    . Suy ra 2A ≥ 2(x + y + z) = 2. min A = 1 với x = y = z = 13 . VD 6: Tìm GTNN của 2 2 1 2A 4xyx y xy   với : x > 0, y > 0, x + y < 1 Ta có:      2 42 1 1 1 1 1 42 .2 41 1 12 x y xy x y xy x y xyx y xy x y x y x y xy                      Ta có: 2 2 2 2 1 2 1 1 1 5A 4xy 4xyx y xy x y 2xy 4xy 4xy                   =>        2 2 2 22 2 4 1 5 4 5 11A 2 4xy. 2 11x 2xy y 4xy x y x y x y x y              VD 7: : Cho 12x   , Tìm GTLN của 2A = 2x 5 2 + 2 x+3 - 2x x  Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ25 Giải : Ta có :   2A = 2x 5 2 + 2 x+3 - 2x = 2x 1 2 + 2 x+3 - 2x x x    Với 12x   ta có: 2x 1 0 2 0 x     áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số 2x 1, x+2  Ta có:   2x 1 x+2 2x 1 x+22     Hay :   3x 3 2x 1 x+22    Dấu “ = ” xảy ra khi 2x 1 x+2 x=1   áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số x 3, 4  Ta có:  x 3 4 4 3 2 32 x x       Hay : x 7 2 32 x    . Dấu “ = ” xảy ra khi x 3 4 x=1   Do đó: x 7 A 2   3x 32  - 2x = 5. Dấu “ = ” xảy ra khi x=1 VD 8: : Cho x, y, z > 0 và x + y + z =1 Tìm GTNN của: 1 4 9S = x y z  Ta có: S =   1 4 9x + y + z x y z      = 4 4 9 91+4+9+ y x z y x zx y y z z x                    áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương 4,y xx y ta có : 4 42 . 4y x y xx y x y   Tương tự ta có : 4 9 4 92 . 12z y z yy z y z   ; 9 92 . 6x z x zz x z x    S  1 + 4 + 9 + 4 + 12 + 6 =36 Dấu “=” sảy ra khi : 2 2 2 2 2 2 4 1 4 324 9 4 9 13 69 19 11 21 y x x y yy x y xz y z y z x xy z x z x y zx z x y z zz x x y z                                    Vậy Min S = 36 khi 1 1 1, ,3 6 2y x z   Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ26 Không phải lúc nào ta cũng dùng trực tiếp được bất đẳng thức Côsi đối với các số trong đề bài. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thê vân dụng BĐT Cô-si rồi tìm cực trị của nó: Biện pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu thức đó VD1 : Tìm giá trị lớn nhất của A 3 5 7 3x x    , ĐKXĐ : 3 5 0 5 77 3 0 3 3 x xx        Bình phương hai vế ta có : A2 = 2 +   2 3 5 7 3x x  Với 5 73 3x  . áp dụng bất đẳng thức côsi cho  3 5x  và  7 3x ta có:       3 5 7 3 2 3 5 7 3x x x x      hay   2 2 3 5 7 3x x    A2  4 =>A  2 Dấu “=” xảy ra khi : 3x - 5 = 7 - 3x hay x = 2 VD2: Tìm GTNN của biểu thức: 2 2A = -x 2 8 -x 2x x     (*) ĐKXĐ :      2 2 2 4 0-x 2 8 0 2 4 1 21 21 2 0-x 2 0 x xx x xxx xx                           Khi đó  2 2-x 2 8 -x 2 6 0x x x        => A > 0 Từ (*) =>    2 2 2 2 2A = -x 2 8 -x 2 2 -x 2 8. -x 2x x x x              2= -2x 3 10 2 2 4 1 2x x x x x                  = 2 2 1 4 2 2 2 2 . 1 4x x x x x x x x                     2 22= 4 2 2 2 . 1 4 1 4 2x x x x x x x             224 1 4 2 2x x x       A = 2   24 1 4 0x x x x       BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyên ) Bài 1 Tìm GTNN, GTLN của hàm số : 1 1y x x    Bài 2: Tìm GTLN của hàm số : 2 4y x x    Bài 3: Tìm GTLN của hàm số : A 5 23x x    Bài 4: Tìm GTLN của hàm số : A 2 3 23 2x x    Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ27 Bài 5: Tìm GTLN của hàm số : A 5 7 17 5x x    Bài 6: Tìm GTLN của hàm số : A 3 2 20 3x x    Bài 7:Tìm GTLN của : A x 1 y 2    biết x + y = 4 Bài 8 Tìm GTNN của : 2 2A = -x 4 21 -x 3 10x x     Bài 9( 76/29) Tìm GTNN của : x y zA = y z x  với x, y, z dương và x + y + z  12 Bài 10: ( 65/ 28) Tìm GTLN, GTNN của : A x 4 y 3    biết x + y = 15 Biện pháp 2: nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác không. VD Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: x - 9A = 5x Giải: ĐKXĐ: 9x  Ta có: x - 9A = 5x = 1 x - 9x - 9 3.3 12 33 6 5x 5 5 30 x x x       Dấu “=” xảy ra khi x - 9 3 183 9 x x      BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 7x - 5A = 7x-9 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 3 x - 9B = 27x Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức dã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số: 1) Tách 1 hạng tử thành tổng nhiều hạng tử bằng nhau VD1: cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức: 4 3 3x 16A = x  Giải : Ta có 4 3 3 3 3x 16 16 16A = 3x x x xx x x        Áp dụng BĐT Cô-si Ta có : 43 3 16 16A = x+x+x+ 4 . . . 4.2 8x xx x x   Vậy Min A = 8 3 16 2x xx    Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ28 VD2: ( đề thi ĐHTH Hà Nội 1993) Tìm Max và Min 2A = x y( 4 - x - y ) với , 0 và x + y 6x y   Xét 0 4x y   Ta có : 4x +y+ 4 - x - y x 2 2A = 4. . .y( 4 - x - y ) 4. 42 2 4 x x             Dấu “=” xẩy ra khi x = y = 4 - x - y y = 1 ; x =22  Xét 4 6x y   Rễ thấy: 4 – x - y 2  ( 1) Dấu ‘=’ xảy ra khi x + y = 6 => 2A = x y( 4 - x - y ) đạt GTNN khi x2y đạtGTLN Ta có :   33 2 2 x+yx+x+2y 3x.x.2y 3x y = 2 2 2           =32 hay x2y  32 (2) Từ (1) và (2) => 2x y( 4 - x - y )  -64 Dấu ‘=’ xảy ra khi 6 42 2 x y x x y y        VD3 . Tìm GTLN của A = x2(3 – x) biết x ≤ 3. Giải : Xét 0 ≤ x ≤ 3. Viết A dưới dạng : A = 4. x2 . x 2 .(3 – x). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm x2 , x 2 , (3 – x) ta được : x 2 . x 2 .(3 – x) ≤ 3x x 3 x2 2 13          . Do đó A ≤ 4 (1) BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyên ) Bài 1( 71/28) Cho x > 0 , y > 0 và x + y  6 Tìm GTNN của 12 16P 5 3x y x y    Bài 2( 70/28) Cho x > 0 , Tìm GTNN của 3 2000N x x  Bài 3( 68/ 28) Cho x  , Tìm GTNN của 2 2 17Q 2( 1) x x x    Bài 4( 69/ 28) Tìm GTNN của 6 34M 3 x x x    Bài 5( 72/ 29) Cho x > y và x.y =5 , Tìm GTNN của 2 21,2Q x xy yx y    Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ29 Bài 6( 79/ 29) Cho x ,y thỏa mãn biểu thức: x + y =1 và x > 0 , Tìm GTLN của 2 3B x y 2) Tách 1 hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với 1 hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của 1 hạng tử khác có trong biểu thức đã cho. VD1: Cho 0 < x < 2 , Tìm GTNN của 9 2B 2 x x x  Ta có : 9 2 9 2B 1 1 2 . 72 2 x x x x x x x x          Min B= 7  9 2 12 2 x x xx x    BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyến ) Bài 1( 74/ 29) Cho 0 < x <1, Tìm GTLN của 3 4B 1 x x  Bài 2( 73/ 29) Cho x >1, Tìm GTLN của 25A 4 1x x   Bài 3: Cho x > 0, Tìm GTNN của biểu thức: 22x 6 5A = 2x x  Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức: x - 4B = x Bài 5: Tìm GTNN của biểu thức: 2x 3 4A = x x  (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH) Bài 6: Tìm GTNN của biểu thức: 1 3A = x+1 2 x ( với x > -1 ) Bài 7: Tìm GTNN của biểu thức: 2B = x-1 2 x ( với x > 1 ) Bài 8: Tìm GTNN của biểu thức: 5C = 2x-1 3 x ( với x > 12 ) Bài 9: Tìm GTNN của biểu thức: 5D = 1 - x x x ( với 0 < x < 1 ) Biện pháp 4: Thêm 1 hạng tử vào biểu thức đã cho: VD1 : Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2 Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 2 P x y zy z z x y x     Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ30 Ta có : 2x y z + 4 y z  2 2 . 2.4 2 x y z x xy z    2y x z + 4 x z  2 2 . 2.4 2 y x z y yx z    2z y x + 4 y x 2 2 . 2.4 2 z y x z zy x    => 2 2 2 4 4 4 x y z y z x z y x x y zy z z x y x                 Hay: 2 2 2 2 x y z x y z x y zy z z x y x              => 2 2 2 P 12 2 x y z x y z x y zx y zy z z x y x               Vậy Min P = 1  2 2 2 4 2 4 3 4 x y z y z y x z x y zx z z y x y x             Lưu ý: Nếu ta lần lượt thêm ( x + y), ( z + y), ( x + z) vào 2 2 2z x y, , y+x y+z z+x ta vẫn khử được (x + y), ( z + y), ( x + z) nhưng không tìm được x, y, z để dấu dấu đẳng thức xảy ra đồng thời. Khi đó không tìm được giá trị nhỏ nhất. VD2 : Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn a b 1x y  (a và b là hằng số dương). Giải . Cách 1 : A = x + y = 1.(x + y) =  a b ay bxx y a bx y x y          . Theo bất đẳng thức Cauchy với 2 số dương : ay bx ay bx2 . 2 abx y x y   . Do đó  2A a b 2 ab a b     . Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ31  2min A a b  với ay bx x y x a aba b 1x y y b ab x, y 0              Cách 2 : Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :  2 2a b a bA (x y).1 (x y) x. y. a bx y x y                . Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của A. VD3 Tìm GTNN của 2 2 2x y zA x y y z z x     biết x, y, z > 0 , xy yz zx 1   . Giải Theo VD1 BIỆN PHÁP 4: 2 2 2x y z x y z x y y z z x 2       . Theo bất đẳng thức Cauchy x y y z z xxy ; yz ; zx nên x y z xy yz zx 2 2 2           . xy yz zxx+y+z 1hay 2 2 2    min A = 12 1x y z 3    . VẬN DỤNG BDT A B A+B  ĐỂ TÌM CỰC TRỊ Bài 1: Tìm GTNN của hàm số : 2 22 1 2 1y x x x x      Cách 1: 2 22 1 2 1 1 1y x x x x x x          Nếu: x < -1 thì 1 1 1 1 2 2y x x x x x            Nếu: -1 x 1  thì 1 1 1 1 2y x x x x         Nếu: x > 1 thì 1 1 1 1 2 2y x x x x x          Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi -1 x 1  Cách 2 : áp dụng BĐT a b a b   ( Dấu “=” sảy ra khi a.b 0 ) Ta có : 1 1 1 1 2y x x x x         Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ32 Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi -1 x 1  Bài 2: Cho x, y > 0 và 2x + xy = 4 . Tìm GTLN của A = x2y Cách 1: Từ 2x + xy = 4 => xy = 4 -2x Thế vào A ta có : A = x(4 -2x ) = 2 –    2 22 2 2. 2 2x x     =  22 2 2x  => Max A = 2 khi 12 2 0 22 4 xx yx xy         Cách 2: Ta có : A = 1 .2 .2 x xy . Vì x, y > 0 => 2x, xy > 0. áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số 2x, xy ta có:   22 222 22 . 2 .2 2 4.2 x xyx xy x xyx xy x xy x y         Thay số ta có : 22 x y =A Vậy Max A =2 khi 2 12 4 2 x xy x x xy y        BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ: Bài 1: Tìm GTNN của HS: a, 2 24 4 1 4 12 9y x x x x      b, 2 24 4 6 9y x x x x      Bài 2: Tìm GTNN của HS: a, 2 24 20 25 8 16y x x x x      b, 2 225 20 4 25 30 9y x x x x      Bài 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của A x 2 x 1 x 2 x 1      Chuyên đề 1: RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I – Phương pháp giải: - Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu có) để tìm nhân tử chung. - Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung. II – Các dạng bài toán thường gặp: 1-Ruùt goïn phaân thöùc. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ33 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 3 1: ) 2 1 3 1 ( 2 1) 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1 )( 1 ) ( 1)( 1) ( 1) ( 1) a aCâu b a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                                3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 4 4 7 14 8 ( ) (4 4) ( 8) (7 14 ) ( 1) 4( 1) ( 2)( 2 4) 7 ( 2) ( 4)( 1) ( 2)( 5 4) ( 4)( 1)( 1) ( 2)( 4)( 1) 1 2 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                                  2 2 2 2 2 2 ( )1: ) 4 4 ( )( ) ( 2 ) (2 ) (2 ) 2 x a xCâu a a x ax x a x x a x a x a x a x a a x a              Câu: c) 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 5 2 2 9 12 4 (2 4 ) ( 2) (2 4 ) (5 10 ) (2 4) 2 ( 2) ( 2) 2 ( 2) 5 ( 2) 2( 2) ( 2)(2 1) ( 2)(2 5 2) (2 1) (2 1)( 2) 1 2 y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y                                Với: y -2 và y - 12 2- Chứng minh. Câu2 : a) Hãy chứng minh: 3 2 3 2 4 4 1 27 14 8 a a a a aa a a        Giải: Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ34 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )(1 ) 1 ( )(1 ) 1 1 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ( 1)(1 ) ( 1)(1 ) 1 1 x a a a x x a a a x x x a a a a x x x a a a a x x x a a x a a x x a a x a a x a a a a x a a a a x a a x a a a a a a                                                 Câu2 : b) Chứng minh phân thức sau không phụ thuộc vào x: 2 2 2 2 2 2 ( )(1 ) 1 ( )(1 ) 1 x a a a x x a a a x         Giải: Vậy: Phân thức không phụ thuộc vào x. Câu2: c) Chứng minh rằng nếu 1 1 1 1x y z x y z     thì trong ba số x, y, z ít nhất cũng có một cặp số đối nhau . Giải: Từ: 1 1 1 1x y z x y z     Ta có: 1yz xz xyxyz x y z      Từ đó ta có: ( )( )x y z yz xz xy xyz     Hay ( )( ) 0x y z yz xz xy xyz      Biến đổi vế trái: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) x y z yz xz xy xyz xyz x z x y y z xyz xy yz xz xyz xyz xyz xz y z yz x y x z xy xyz z xy xz y yz x xy xz y yz xy xz y yz x z x y y z x z                                         Vậy: ( )( )( ) 0x y y z x z    Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ35 3 2 3 2 2 2 6 4 ( 6) ( 4) 2 3 6 ( 2)( 2) ( 2) 3( 2) ( 2)( 2) 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                   3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( ) 3 ( ) ( )[( ) ( ) ] 3 ( ) ( )( ) a b c abc a b c a b ab a b ab abc a a b ab b c a b ab abc a b c ab a b c a b c a b a b c c ab a b c a b c a b c ab bc ca                                            Tích ba nhân tử bằng 0 chứng tỏ rằng ít nhất phải có một nhân tử bằng 0, từ đó suy ra ít nhất có một cặp đối nhau. 3- Tính giá trị. Câu3 : a) Tính giá trị của phân thức C = 3 2 3 6 4 x x x x x    với x = 2008 Giải: C = Với x = 2008 thì C = 20112010 Câu 3: b) Cho a+b+c = 5. Tính giá trị của phân thức 3 3 3 2 2 2 3a b c abc a b c ab bc ac         Ta có: Vậy: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 ( )( ) 5( ) a b c abc a b c a b c ab bc ac a b ca b c ab bc ac a b c ab bc ac                        Câu3: c) Cho a, b, c, x, y, z thỏa mãn 1x y za b c   và 0 a b c x y z   Tính: 2 2 2 2 2 2 x y z a b c  Giải: Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ36 2 2 2 2 4 4 2 2 4 2 2 4 2 4 4 4 2 2 ( ) 1 2 2 1 2 2 1 ( 1)( 2) 1 2 mn n n m m n n m mn n mn m n m n n n m m                  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 2 2 2 1 2 ( ) 1 2 ( ) 1 x y z a b c x y z a b c x y z xy xz yz ab ac bca b c x y z xyz c b a abc z y xa b c x y z xyz a b c abc x y za b c                             Mà: 0a b cx y z   Vậy: 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c   4- Tổng hợp Câu4 : a) Cho biểu thức A = 2 2 2 2 4 4 2 ( ) 1 2 2 mn n n m m n n m       a1) Rút gọn A. a2) Chứng minh rằng A dương. a3) Với giá trị nào của m thì A đạt giá trị lớn nhất? Giải: a1) A = a2) Ta có: m2  0, m. Nên: m2 + 2 > 0, m. Do đó: 2 1 2m  > 0, m. Vậy: A > 0, m. a3) Ta có: m2  0, m. Nên: m2 + 2  2, m. Do đó: 2 1 1 22m  , m. Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ37 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 13 :3 1 1 3 ( 2)( 1) 2.3 3.3 .( 1) 1 3 1.3 .( 1) 2 4 3 3 2 6 9 9 1 3 1.3 .( 1) 2 4 3 ( 8 2)( 1) 3 1 3 .( 1)(2 4 ) 3 2(1 2 )(1 2 ) 2.3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                              2 2 3 1 .(1 2 ) 3 1 2 3 1 3 ( 1) 3 1 3 x x x x x x x x x x x x x         Hay: A  12 , m. Vậy: A đạt giá trị lớn nhất khi A = 12 Suy ra: m2 + 2 = 2 hay m = 0 Câu4: b) Cho M = 22 2 2 4 3 13 :3 1 1 3 x x x x x x x x           . b1) Rút gọn biểu thức M. b2) Tìm giá trị của M với x = 2008. b3) Với giá trị nào của x thì M < 0 ? b4) Với giá trị nào của x thì M nhận giá trị nguyên? Giải: b1) Điều kiện: x 0, x -1, x 12 M = b2) Với x = 2008. M = 2008 1 6693   b3) M < 0 khi x – 1 < 0 tức là x < 1. Kết hợp với điều kiện. Vậy: M nhận giá trị âm với mọi x < 1 trừ các giá trị 0, -1, 12 . b4) M nhận giá trị nguyên khi (x-1)  3 hay x -1 = 3k (k Z) Vậy: x = 3k +1 (kZ) Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ38 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 : . . ab ab a ba aa b a b a b a ab ab ab a ab a b a b a b a b a a b a b a b a a b                               Câu5: a) Rút gọn biểu thức sau: M = 2 2 2 2: ab ab a ba aa b a b a b           Giải: M = Câu5: b) Chứng tỏ: 2 2 1 3 21 a a a    , a R  Giải: Ta có:  2 21 0 1 2a a a     (1) Chia cả hai vế của (1) cho 2(a2+1), ta được: 2 1 2 1 a a  Do đó: 2 1 1 12 1 a a   2 2 3 1 2 1 a a a     Vậy: 2 2 1 3 21 a a a    , a R  Câu5: c) Tính giá trị của biểu thức sau: 3 2 2 x a x a bQ x b x a b          với 2 a bx  Giải: Với 2 a bx  , ta có: 2 2 a b b ax a a     2 2 a b a bx b b     2. 12 x a b a x b a b       Ta lại có: Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ39 1 1 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 1 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 0 a b a c b c b a c a c b a b c a b c a b c a b c b c c a a b a b b c c a b c c a a b a b b c c a                                     3 3 3( )2 22 2 2 a b b a b ax a b a b         3 3 3( )2 22 2 2 a b a b a bx a b a b         2 3( ) 2. 12 2 3( ) x a b b a x a b a b         Vậy: Q = (-1)3-(-1) = -1+1 = 0 Câu6: a) Rút gọn biểu thức sau: A = 1 1 1( )( ) ( )( ) ( )( )a b a c b c b a c a c b       Với a, b, c đôi một khác nhau. Giải: A = (a, b, c đôi một khác nhau) Câu6: b) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc a, b, c. B = 2 2 24 1 4 1 4 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b c a b a c b c b a c a c b          Với a, b, c đôi một khác nhau. Giải: Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ40 2( )( )4. ( )( )( ) ( )( )( )4. 4( )( )( ) a b cb c ab ca a b b c c a a b b c c a a b b c c a                    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 4 1 4 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4. ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 1 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4. 0( )( ) ( )( ) ( )( ) (4. a b cB a b a c b c b a c a c b a b c a b a c b c b a c a c b a b a c b c b a c a c b a b c a b c a b c a b c a b c a b c                                                 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( )( )( ) 4. ( )( )( ) 4. ( )( )( ) ( ) ( ) ( )4. ( )( )( ) ( )[ ( )4. b c a c a b a b b c c a a b a c b c ab ac bc a b b c c a a c b c ab a b ac bc a b b c c a c a b ab a b c a b a b b c c a a b c a b ab                                                2 ] ( )( )( ) c a b b c c a       ( a, b, c đôi một khác nhau ) Câu6: c) Tính giá trị của biểu thức sau: 2 2 2 2 x a x bP x a x b     với 4abx a b  Giải: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 )( 2 ) ( 2 )( 2 ) ( 2 )( 2 ) 2 2 4 2 2 4 2( ) 4 2( 4 ) 2( ) 4 x a x bP x a x b x a x b x a x b x a x b x bx ax ab x bx ax ab x a b x ab x ab x a b x ab                          Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ41 Thay 4abx a b  vào P ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 162 4( ) 16 8 4( ) 162 4( ) 16 4( ) 2 a b aba bP a b ab aba b a b aba b a b aba b                CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1) Nhắc lại giá trị tuyệt đối: Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ42 x khi x 0x -x khi x < 0   Ví dụ: a) 8 8; 10 10 2x+1 khi 2x+1 0b) 2x+1 -(2x+1) khi 2x+1<0      2) Giải phương trình: A(x) b (b 0),  A(x) B(x)  a) Cách giải phương trình: A(x) b (b 0),  A(x) bA(x) b A(x) b       Ví dụ: Giải phương trình: 3x+1 5 Giải 43x+1 5 x=3x+1 5 33x+1 5 x=-2        b) Cách giải phương trình: A(x) B(x)  Cách 1: B(x) oB(x) 0A(x) B(x) A(x)=B(x)A(x)= B(x) A(x)=-B(x)        Cách 2: A(x) 0 A(x)=B(x)A(x) B(x) A(x)<0 -A(x)=B(x)     Ví dụ: Giải phương trình: 3x+2 5x-1 Giải 2x - 3 3x+2 0 3x=3x+2=5x-1 23x+2 5x-1 23x+2<0 x<- 3-3x-2=5x-1 1x=- 8             3, Giải phương trình dạng: A(x) B(x) Cách giải: A(x)=B(x)A(x) B(x) A(x)=-B(x)    (Loaïi) (Nhaä n) Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ43 Ví dụ: Giải phương trình: 2-3x 5 2x  Giải x=-32-3x=5 2x2-3x 5 2x 72-3x=-(5 2x) x= 5        4,: Giải phương trình: A(x) B(x) b  Cách giải 1: Bước 1: Lập bảng phá dấu giá trị tuyệt đối Bước 2: Giải các phương trình theo các khoảng trong bảng Ví dụ: Giải phương trình: x+1 x-1 10  Giải Bước 1: Lập bảng phá dấu x -1 1 x+1 -x-1 0 x+1 x+1 x-1 -x+1 -x+1 0 x-1 x+1 + x-1 -2x 2 2x Böôùc 2: Giaûi caùc phöông trình theo caùc khoaûng  x<-1: -2x=10  x=-5 thoả đk x<-1  1 x 1:2=10   Vô nghiệm  X>1: 2x=10  x=5 thoã đk x>1 Vậy phương trình có 2 nghiệm x=5 và x=-5 Cách giải 2: Đưa về 4 trường hợp sau TH1: A(x) 0B(x) 0   ta giải phương trình A(x) + B(x) =b TH 2: A(x) 0B(x)<0  Ta giải phương trình A(x) – B(x) =b TH 3: A(x)<0B(x) 0   Ta giải phương trình – A(x) + B(x) = b TH 4: A(x)<0B(x)<0  Ta giai phương trình sau –A(x) – B(x) = b