Giáo án môn Toán 10 - Bài: Dấu của tam thức bậc hai

Bài: DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI I. KHỞI ĐỘNG. Nhìn vào bảng các biểu thức sau, đánh dấu X vào ô đúng nếu nó là nhị thức bậc nhất và đánh dấu X vào ô sai nếu nó không phải là nhị thức bậc nhất. Biểu thức Đúng Sai ( ) 2 3f x x= − − 2( ) 2 3f x x= − − 2( ) 3f x x x= − ( ) 2f x x= + 2( ) 2 3f x x x= − − +Như các em đã học nhị thức bậc nhất là biểu thức có dạng ( ) ( , , 0)f x ax b a b a= +   và đã biết cách xét dấu nhị thức bậc nhất. Các biểu thức trong bảng trên không phải là nhị thức bậc nhất đều là những tam thức bậc hai. Vậy tổng quát thế nào là tam thức bậc hai và dấu của tam thức bậc hai ra sao, chúng ta sẽ tìm hiểu ở phần tiếp theo. II. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC I.ĐỊNH LÍ VỀ DẤU TAM THỨC BẬC HAI 1. Tam thức bậc hai: +Cho HS đọc khái niệm tam thức bậc hai. +Hãy nêu ví dụ về tam thức bậc hai với hệ số a âm, ví dụ với hệ số a dương? 2. Dấu của tam thức bậc hai. Ví dụ xét tam thức bậc hai 2( ) 4 4.f x x x= − + − +Nhận xét về dấu của , và tìm nghiệm của tam thức bậc hai? +Hướng dẫn HS tam thức này có 0 = nên nó có nghiệm kép và nghiệm kép là 2.x = Ta có thể phân tích như sau ( ) 22( ) 4 4 2 .f x x x x= − + − = − − +Điền vào bảng sau: x Dấu của a Dấu của ( )f x Dấu của ( )af x 2x  - - + +Cho HS quan sát đồ thị hàm bậc hai 2( ) 4 4.f x x x= − + − -Một cách tổng quát, trường hợp tam thức bậc hai 2( )f x ax bx c= + + có biệt thức 0, = đều có thể phân tích thành 2 ( ) . 2 b f x a x a   = +    Chú ý rằng với 2 b x a  − thì 2 0 2 b x a   +     nên dấu của ( )f x chỉ phụ thuộc vào dấu của a.(với 2 b x a = − thì ( ) 0.)f x = +HS điền vào câu trả lời cho câu hỏi ở bảng sau: x − 2 b a − + ( )f x so sánh với dấu của a? 0 so sánh với dấu của a? (cùng dấu với a) (cùng dấu với a) +Minh họa bằng đồ thị, (gv chiếu 2 đồ thị và cho HS quan sát) và giải thích cho HS trường hợp a<0, parabol có một điểm thuộc trục hoành còn tất cả cả các điểm còn lại đều nằm phía dưới trục hoành nghĩa là ( ) 0.f x  Tương tự cho trường hợp a>0, parabol có một điểm thuộc trục hoành còn tất cả cả các điểm còn lại đều nằm phía trên trục hoành nghĩa là ( ) 0.f x  a0, 0 = -GV dẫn giải: Xét trường hợp tam thức bậc hai 2( )f x ax bx c= + + có biệt thức 0.  Khi đó, giả sử nghiệm của tam thức là 1 2,x x (giả sử 1 2x x ), đều có thể phân tích thành ( )( )1 2( ) .f x a x x x x= − − -HS xét dấu ( )( )1 2 ?x x x x− − x − 1x 2x + 1x x− - 0 + | + 2x x− - | - 0 + ( )( )1 2x x x x− − + 0 - 0 + -GV dẫn dắt cho HS: +Trên các khoảng ( ) ( )1 2; , ; ,x x− + thì ( )( )1 2 0x x x x− −  , nên dấu của ( )( )1 2( )f x a x x x x= − − sẽ cùng dấu với a. +Trên khoảng ( )1 2;x x thì ( )( )1 2 0x x x x− −  , nên dấu của ( )( )1 2( )f x a x x x x= − − sẽ trái dấu với a. -Cho HS quan sát đồ thị minh họa: a0, 0  -Xét trường hợp tam thức bậc hai 2( )f x ax bx c= + + có biệt thức 0.  Khi đó, tam thức vô nghiệm, và đồ thị hàm số bậc hai 2( )f x ax bx c= + + sẽ hoàn toàn nằm phía trên hoặc hoàn toàn nằm phía dưới trục hoành, tức ( )f x sẽ chỉ mang một dấu. Cho các em quan sát hai đồ thị hàm bậc hai sau và dự đoán về dấu của ( )f x so với dấu của hệ số a. 0  0  +GV cho HS phát biểu dấu định lí về dấu tam thức bậc hai. +Nêu các bước xét dấu tam thức bậc hai? • Bấm máy để tìm nghiệm; • Lập bảng xét dấu theo nguyên tắc “trong trái, ngoài cùng” (trái hay cùng là so sánh dấu của của ( )f x so với dấu của hệ số a.) (xét trong hay ngoài phải so sánh với các nghiệm của tam thức) +Yêu cầu HS xét dấu các biểu thức: ( ) 2 2 2 1) 3 2 2 10 2) ( ) 3 f x x x x x g x x x = − + − + + = − • 2 1 3 2 0 2 x x x x = − + − =   = x − 1 2 + ( )f x - 0 + 0 - Vậy: ( ) 0f x  khi ( )1;2 ;x ( ) 0f x  khi ( ) ( );1 2 : ;x −  + ( ) 0f x = khi 1x = hoặc 2.x = • Xét dấu ( )g x theo thương của hai tam thức bậc hai. x − 0 3 + 2 2 10x x+ + + | + | + 2 3x x− + 0 - 0 + ( )g x + || - || + Vậy: ( ) 0g x  khi ( )0;3 ;x g( ) 0x  khi ( ) ( );0 3: ;x −  + ( )g x không xác định khi 0x = hoặc 3.x = II. Bất phương trình bậc hai một ẩn: 1. Bất phương trình bậc hai một ẩn: +Tương tự như bất phương trình bậc nhất một ẩn, cho HS phát biểu khái niệm “bất phương trình bậc hai một ẩn”. (Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng 2 0ax bx c+ +  (hoặc 2 2 20, 0, 0)ax bx c ax bx c ax bx c+ +  + +  + +  , trong đó a, b, c là những số thực đã cho, 0.a  ) +HS cho vài ví dụ về bất phương trình bậc hai một ẩn. 2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn: +Cho HS nhìn vào bảng xét dấu của ( ) 2 3 2,f x x x= − + − hãy nêu tập nghiệm của bất phương trình 2 3 2 0?x x− + −  +Nêu cách giải một bất phương trình bậc hai một ẩn? • Xét dấu tam thức bậc hai, chọn khoảng nghiệm thích hợp. +HS giải các bất phương trình sau: 21) 3 5 0x x− + −  22)3 4 7 0x x+ −  23) 4 4 0x x+ +  24)3 4 7 0x x+ +  III. LUYỆN TẬP: Câu 1: Dấu của tam thức bậc hai: 2( ) 5 6f x x x= − + − được xác định như sau: A. ( ) 0f x  với 2 3x  và ( ) 0f x  với 2x  hoặc 3x  . B. ( ) 0f x  với 3 2x−   − và ( ) 0f x  với 3x  − hoặc 2x  − . C. ( ) 0f x  với 2 3x  và ( ) 0f x  với 2x  hoặc 3x  . D. ( ) 0f x  với 3 2x−   − và ( ) 0f x  với 3x  − hoặc 2x  − . Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình 22 3 1 0x x− + −  là tập hợp nào sau đây? A. 1 ;1 . 2 T   =     B. 1 ; . 2 T   = −    C. 1 ;1 . 2 T   =    D. ( )1; .T = + Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình 22 1 0x x− + −  là tập hợp nào sau đây? A. .T = B.  \ 1 .T = C. ( )1; .T = − + D. .T = Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 2 3 0x mx m− + + = có nghiệm. A. ( ; 2].m − − B. [6; ).m + C.  2;6 .m − D. ( ; 2] [6; ).m − −  + Câu 5: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình ( )2 2 22 1 2 3 5 0x m m x m m− − + + − − = có hai nghiệm trái dấu. A. 5 1; . 2 m    −    B. 5 ;1 . 2 m    −    C. ( ) 5 ; 1 ; . 2 m    − −  +    D. 5 1; . 2 m    −    IV. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG: Anh A là một diễn viên đóng thế sẽ nhảy ra khỏi tòa nhà cao 20 m. Một chiếc máy ảnh tốc độ cao đã sẵn sàng để quay phim anh ta cách mặt đất từ 15 m đến 10 m. Hỏi khi nào máy ảnh quay phim anh A? HD giải Nếu gọi d(m) là khoảng cách của anh A so với mặt đất, và t(s) là thời gian tính từ lúc bắt đầu nhảy. Ta có công thức 2 0 0 2 1 2 20 - 5 d d v t at t = + + = Ta cần tìm t, thỏa: 210 20-5 15t  Ta có: 2 2 2 10 20 - 5 15 10 20 5 20 - 5 15 1 2. t t t t     −       V. TÌM TÒI MỞ RỘNG. Câu 1: Tìm giá trị nguyên của k để bất phương trình ( )2 22 4 1 15 2 7 0x k x k k− − + − −  nghiệm đúng với mọi .x A. 2k = . B. 3k = . C. 4k = . D. 5k = . Hướng dẫn giải Chọn B Vì bất phương trình có dạng 2 0,ax bx c+ +  trong đó 1 0a =  nên để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thì: 0  ( ) 2 24 1 15 2 7 0k k k − − + +  2 4k   Vì k nên 3k = . Câu 2: Tìm m để ( ) 21 0,m x mx m x+ + +    ? A. 1m  − . B. 1m  − . C. 4 3 m  − . D. 4 3 m  . Hướng dẫn giải Chọn C Với 1,m = − không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Với 1m  − , ( ) 2 0 1 0, 0 a m x mx m x  + + +        2 1 0 3 4 0 m m m +    − −  1 4 3 0 m m m  −     −   4 3 m  − . Câu 3: Tìm m để ( ) ( )2 2 2 3 4 3 0,f x x m x m x= − − + −    ? A. 3 2 m  . B. 3 4 m  . C. 3 3 4 2 m  . D. 1 3m  . Hướng dẫn giải Chọn D ( ) ( )2 2 2 3 4 3 0,f x x m x m x= − − + −    0 24 16 12 0m m − +  1 3m   Câu 4: Cho 2( ) 2 ( 2) 4f x x m x m= − + + + − . Tìm m để ( )f x âm với mọi ?x . A. 14 2m−   . B. 14 2m−   . C. 2 14m−   . D. 14m  − hoặc 2m  . Hướng dẫn giải Chọn A Vì ( )f x là tam thức bậc hai có hệ số 2 0a = −  nên để ( ) 0,f x x   thì 0  ( ) ( ) 2 2 8 4 0m m + + −  2 12 28 0m m + −  14 2m−   . . Câu 5: Với giá trị nào của m thì bất phương trình 2 0x x m− +  vô nghiệm? A. 1m  . B. 1m  . C. 1 4 m  . D. 1 4 m  . Hướng dẫn giải Chọn D Bất phương trình 2 0x x m− +  vô nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình 2 0, .x x m x− +    Bất phương trình 2 0x x m− +  có dạng 2 0,ax bx c+ +  trong đó 1 0a =  nên để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thì: 0  1 4 0m −  1 4 m  .