Giáo án môn Toán - Bài: Phương trình

Phương trình Trong toán học, một phương trình là một cách viết thể hiện hai hàm số bằng nhau đối với một số giá trị (hoặc không có giá trị nào) của các biến số. Viết một cách tổng quát một phương trình là: Hoặc luôn có thể đơn giản hoá thành: với: Các giá trị của các biến số ở đó hai hàm số bằng nhau được gọi là nghiệm số của phương trình. Việc tìm ra các nghiệm số của phương trình gọi là giải phương trình. Nghiệm số, nếu tồn tại, có thể tìm thấy bằng biến đổi toán học và biểu diễn bằng các hàm toán học cơ bản hoặc tìm thấy dưới dạng số bằng phương pháp số, ngay cả khi không thể biểu diễn bằng hàm toán học cơ bản. Cần chú ý phân biệt phương trình với đẳng thức, sự thể hiện rằng giá trị hai hàm số luôn bằng nhau với mọi biến số. Khi cẩn thận, nên sử dụng dấu " " thay cho dấu "=" khi viết đẳng thức, như trong (3) ở trên. Trong ngôn ngữ lập trình cho máy tính, người ta hay quy ước dùng dấu "==" cho phương trình và dấu "=" cho đẳng thức. Biểu diễn phương trình như vậy trong lập trình nhiều khi được nhận giá trị đúng khi hai vế bằng nhau và sai khi hai vế khác nhau. Bất phương trình Khái niệm Trong toán học, người ta định nghĩa bất phương trình thông qua khái niệm hàm mệnh đề (mệnh đề chứa biến). Bài này trình bày một cách đơn giản nhất về các bất phương trình. Bất phương trình một ẩn trên trường số thực Bất phương trình một ẩn là một mệnh đề chứa biến x so sánh hai hàm số f(x) và g(x) trên trường số thực dưới một trong các dạng Giao của hai tập xác định của các hàm số f(x) và g(x) được gọi là tập xác định của bất phương trình. Tuy nhiên các bất phương trình trên đều có thể chuyển về dạng tương đương f(x)> 0 (hoặc f(x) ≥ 0). Cũng như trong phương trình, biến x trong bất phương trình cũng được gọi là ẩn, hàm ý là một đại lượng chưa biết. Sau đây ta sẽ xét bất phương trình dạng tổng quát f(x)> 0. Nếu với giá trị x =a, f(a) > 0 là bất đẳng thức đúng thì ta nói rằng a nghiệm đúng bất phương trình f(x) > 0, hay a là nghiệm của bất phương trình. Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình được gọi là tập nghiệm hay lời giải của bất phương trình, đôi khi nó cũng được gọi là miền đúng của bất phương trình. Trong nhiều tài liệu người ta cũng gọi tập nghiệm của bất phương trình là nghiệm của bất phương trình. Giải một bất phương trình nghĩa là tìm tập nghiệm của nó. • Ví dụ: Bất phương trình 4.x+ 2 > 0 nghiệm đúng với mọi số thực x> -0.5. Tập nghiệm của bất phương trình là { x | x > -0.5 } = (0.5 ; ) Bất phương trình của nhiều ẩn Khái niệm bất phương trình có thể mở rộng thành bất phương trình n biến trên hoặc trên tập bất kỳ của biến x nhưng các hàm f(x) và g(x) phải nhận giá trị trên các tập sắp thứ tự toàn phần. Phân loại bất phương trình Các bất phương trình một ẩn đều có thể chuyển về dạng f(x)>0 hoặc f(x)≥0. Khi đó phân loại của bất phương trình được quy về phân loại của hàm f(x) 1. Các bất phương trình đại số bậc k là các bất phương trình trong đó f(x) là đa thức bậc k. 2. Các bất phương trình vô tỷ là các bất phương trình có chứa phép khai căn 3. Các bất phương trình mũ là các bất phương trình có chứa hàm mũ (chứa biến trên lũy thừa. 4. Các bất phương trình logarithm là các bất phương trình có chứa hàm logarithm(chứa biến trong dấu logarith. Cách giải một số bất phương trình đại số bậc thấp Sau đây chỉ nói về các bất phương trình dạng f(x) > 0. Các kết quả tương tự cho các bất phương trình với dấu ≥. Bất phương trình bậc nhất một ẩn Bất phương trình bậc nhất một ẩn là bất phương trình dạng: trong đó a ≠ 0. • Nếu a > 0, tập nghiệm của bất phương trình này là: . • Nếu a < 0, tập nghiệm của bất phương trình này là: . Bất phương trình bậc hai một ẩn Bất phương trình bậc hai một ẩn là bất phương trình dạng: trong đó a ≠ 0. Đặt Δ = b2 - 4.a.c. Ta có các trường hợp sau: • Nếu Δ < 0 và o a < 0 thì bất phương trình không nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: . o a > 0 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: . • Nếu Δ = 0 và o a < 0 thì bất phương trình không nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: . o a > 0 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: . • Nếu Δ > 0, gọi x1, x2 (x1 < x2) là hai nghiệm của phương trình bậc hai a.x2 + b.x + c = 0 với Khi đó • Nếu a > 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là: • Nếu a < 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là: Tập nghiệm của bất phương trình bậc hai khi Δ dương và a dương Tập nghiệm của bất phương trình bậc hai khi Δ dương và a âm Phương trình đại số Một phương trình đại số với n biến số là một phương trình có dạng: f(x1, x2, ..., xn) = 0 trong đó f(x1,x2,...,xn) là một đa thức của n ẩn x1, x2, ..., xn. với là các hệ số thực (hoặc phức), các số mũ ei là các số nguyên không âm và tổng trên là hữu hạn. Bậc của phương trình đại số Tổng các số mũ của các ẩn e1+e2+...+en của mỗi số hạng, được gọi là bậc của số hạng đó. Bậc lớn nhất của mỗi số hạng được gọi là bậc của phương trình. Nghiệm của các phương trình đại số một ẩn với hệ số nguyên được gọi là số đại số. Số đại số phân biệt với số siêu việt (số không phải là nghiệm của một phương trình đại số). Niels Henrik Abel và Évariste Galois đã chứng minh được rằng không có phương pháp đại số tổng quát nào để giải phương trình đại số với bậc lớn hơn bốn Phương trình tuyến tính Đồ thị y=ax+b Một phương trình tuyến tính (hay còn gọi là phương trình bậc một hay phương trình bậc nhất) là một phương trình đại số có dạng: f(x) = ax+b = 0. Với b là một hằng số (hay hệ số bậc 0), a là hệ số bậc một. Phương trình bậc một được gọi là phương trình tuyến tính vì đồ thị của phương trình này (xem hình bên) là đường thẳng (theo tiếng Hán Việt, tuyến nghĩa là thẳng). Nghiệm Nghiệm của phương trình trên là: Trường hợp đặc biệt (trường hợp suy biến) Khi a bằng 0, thì phương trình trên tương đương: b = 0 Phương trình này không có nghiệm khi b khác không, và có vô số nghiệm (mọi số x) khi b bằng 0. Trên thực tế, khi a bằng 0, phương trình trên đã không còn là phương trình bậc một nữa; nó đã trở thành phương trình bậc 0. Khi a khác 0, phương trình luôn có một nghiệm duy nhất. Mở rộng cho hệ phương trình tuyến tính Phương trình tuyến tính có thể mở rộng ra trường hợp nhiều n biến: f(x ,x ,...,x ) = a x + a x + ... + a x + b = 01 2 n 1 1 2 2 n n Thường dạng viết trên hay gặp trong hệ phương trình tuyến tính, vì để xác định nghiệm duy nhất của phương trình trên cần nhiều (n) phương trình cùng lúc.