Giáo án Toán 11 - Chương III: Dãy số – Cấp số cộng – Cấp số nhân

CHƯƠNG III. DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN I. Phương pháp chứng minh qui nạp Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p ≥ 1 bằng phương pháp qui nạp, ta tiến hành theo 2 bước Bước 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = p. Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ p (gọi là giả thiết qui nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1 II. Dãy số Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là dãy số vô hạn Trong đó u1 là số hạng đầu và un là số hạng tổng quát III. Cách cho một dãy số 1. Dãy số cho bằng công thức số hạng tổng quát 2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả: mô tả cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy số. 3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi a. Cho số hạng đầu hay vài số hạng đầu b. Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng hoặc vài số hạng đứng trước nó. IV. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn 1. Dãy số tăng và dãy số giảm Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu un+1 > un với mọi số nguyên dương n Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu un+1 < un với mọi số nguyên dương n Dãy số (un) với un = 2n là dãy số tăng vì un+1 – un = 2(n + 1) – 2n = 2 > 0 nên un+1 > un. 2. Dãy số bị chặn Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho: un ≤ M, với mọi số nguyên dương n. Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho: m ≤ un, với mọi số nguyên dương n. Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. V. Cấp số cộng 1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với số không đổi d. Số d gọi là công sai của cấp số cộng. Công thức truy hồi: un+1 = un + d với mọi số nguyên dương n. Nếu d = 0 thì cấp số cộng là dãy số không đổi. 2. Số hạng tổng quát: Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức: un = u1 + (n – 1)d với n ≥ 2 3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng uk–m + uk+m = 2uk (với k > m ≥ 1) 4. Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: Sn = u1 + u2 + u3 + + un = VI. Cấp số nhân 1. Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạn thứ 2, mỗi số hạn đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với số không đổi q. Số q gọi là công bội của cấp số nhân. Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có un+1 = unq, với mọi số nguyên dương n. 2. Số hạng tổng quát: un = u1qn–1 với n ≥ 2 3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân: (uk)² = uk–m.uk+m (k > m ≥ 1) 4. Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân Cho cấp số nhân (un) với công bội q ≠ 1. Sn = u1 + u2 + ... + un =