Giáo án Toán 11 - Đường thẳng vuông góc mặt phẳng

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG Định nghĩa: D ^ mp(a) Û D vuông góc với mọi đường thẳng Ì mp(a). Định lý 1: Nếu dường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc với mp(P). Hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ 3. Þ a ^ BC Các tính chất: t/c1: Có duy nhất một mp(P) đi qua điểm O cho trước và vuông góc với đ ường thẳng a cho trước. t/c2: Có duy nhất một đường thẳng D đi qua điểm O cho trước và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước. Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng + là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó. + (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB Þ mọi điểm của (P) luôn cách đều A và B. (tức là (P) là mp trung trực của đoạn AB, M Î mp (P) Þ MA = MB). 3. Mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc: Tính chất 3: a) Þ (P) ^ b b) Þ a // b Tính chất 4: a) Þ d ^ (Q) b) Þ (P) // (Q) Tính chất 5: a) Þ b ^ a b) Þ a // (P) BÀI TẬP Bài 1. Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và tam giác ABC vuông ở B. a. Chứng minh BC (SAB) b. Gọi AH là đường cao của SAB. Chứng minh: AH (SBC) Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, BC. Biết SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng: a. SO (ABCD) b. IJ (SBD) Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD. a. Chứng minh rằng: CD (SAD), BD (SAC) b. Chứng minh: SC (AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK) c. Chứng minh: HK (SAC). Bài 4. Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều, gọi I là trung điểm BC a. Chứng minh: BC (AID) b. Vẽ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh: AH (BCD) Bài 5. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là điểm thuộc mp(ABC) sao cho OH (ABC). Chứng minh rằng: a. BC (OAH) b. H là trực tâm của ABC c. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Lý thuyết: Phương pháp chứng minh: D ^ mp(a) Û D vuông góc với mọi đường thẳng Ì mp(a) PP chứng minh: Để chứng minh a ^ b ta chứng minh a ^ với một mặt phẳng chứa b. Định lý 1: ( định lý ba đường vuông góc ) P) b a a’ Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong mp(P) . khi đó điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên mp(P) (với a’ là hình chiếu của a lêm mp(P)) Định lý 2: Đường thẳng vuông góc một trong hai đường song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. BÀI TẬP Bài 1. Cho tứ diện ABCD có ABC, DBC là hai tam giác đều, gọi I là trung điểm BC. Chứng minh BC ^ AD. Vẽ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh AH ^ BD. Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác vuông và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, BC. CM: SI ^ (ABCD), AD ^ (SAB), DJ ^ (SIC) Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a. Mặt bên SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân tại S. Gọi I, J là trung điểm của AB và CD. a) Tính các cạnh của tam giác SIJ, từ đó suy ra tam giác SIJ là tam giác vuông. b) Chứng minh rằng SI ^ (SCD), SJ ^ (SAB). c) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh SH ^ AC. Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a. Mặt bên SAB là tam giác đều, . Gọi H,K lần lượt là trung điểm của AB; AD. Chứng minh SH ^ (ABCD). Chứng minh AC ^ SK, CK ^ SD. Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB = a, . Mặt bên SBC vuông tại B, SCD là tam giác vuông tại D có . Chứng minh: SA ^ (ABCD). Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD lần lượt tại I và J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Xác định các giao điểm K, L của SB, SD với mặt phẳng (HIJ). Chứng minh rằng AK ^ (SBC), AL ^ (SCD). Tính diện tích tứ giác AKHL. Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA ^ (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD. CM: BC^(SAB), CD^(SAD), BD ^ (SAC). CMR: AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra ba đường AH, AI, AK cùng chứa trong một mặt phẳng. CMR: HK ^ (SAC). Từ đó suy ra HK ^ AI. Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có SA ^ (ABCD) và SA = a, đáy ABCD là hình thang vuông, đường cao AB = a, BC = 2a. Ngoài ra còn có SC vuông góc với BD. Chứng minh rằng tam giác SBC vuông. Tính AD. Gọi M là một điểm trên đoạn SA, đặt AM = x (0 £ x £ a). Tính độ dài của đường cao DE trong tam giác BDM theo a và x. Bài 8. Cho hình chóp S.ABC, SA ^ (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm các tam giác ABC, SBC . Đường thẳng HK cắt SA tại S’. Chứng minh: SB ^ (CHK), SC ^ (BHK) Chứng minh: S’B ^ SC, S’C ^ SB Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA ^ (ABCD). Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. CM: Tam giác SBC và SCD vuông CM: AB’ ^ SC, AD’ ^ SC Bài 10. (D-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, , AD=2a, AB=BC=a. Chứng minh rằng: tam giác SCD vuông. Bài 11. (B-2007) Cho hình chóp đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. CMR: Bài 12. (A-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAD đều, . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC và CD. Chứng minh rằng: