Giáo án Toán 11 - Tiết 34 - Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Trường: ĐHSP Thái Nguyên Khoa Toán – Khóa 49 Người soạn: Nguyễn Thị Thu Hình học 11 Người hướng dẫn: Trần Việt Cường Ngày soạn: 20/11/2017 Tiết 34. §3: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG I. MỤC TIÊU Qua bài học, HS sẽ: Về kiến thức Hiểu được khái niệm phép chiếu vuông góc, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Hiểu được định lí ba đường vuông góc. Về kỹ năng Xác định được hình chiếu vuông góc của một điểm, một đường thẳng, một tam giác. Bước đầu vận dụng được định lí ba đường vuông góc. Xác định được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Về tư duy, thái độ Được rèn luyện tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong học tập. Được rèn luyện tư duy trừu tượng, óc suy luận, phán đoán, trí tưởng tượng hình. Kích thích được hứng thú học tập, thấy được mối liên hệ giữa các kiến thức trong toán học. Định hướng phát triển năng lực Phát triển năng lực tư duy trừu tượng, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, năng lực phân tích, năng lực hợp tác, năng lực đánh giá, II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH Giáo viên: Đồ dùng dạy học, sách giáo khoa, bảng phụ, các câu hỏi gợi ý giúp học sinh tự tiếp cận kiến thức. Học sinh: Đồ dùng học tập, sách giáo khoa. III. TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG DẠY VÀ HỌC Ổn định: Ổn định tổ chức lớp, kiểm tra sĩ số. Kiểm tra bài cũ (Lồng ghép vào các hoạt động) Bài mới HOẠT ĐỘNG 1: HÌNH THÀNH ĐỊNH NGHĨA PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC GV yêu cầu HS nhắc lại định nghĩa về phép chiếu song song, tính chất phép chiếu song song. Đặt vấn đề: Thế nào là phép chiếu vuông góc, các tính chất của phép chiếu song song có còn đúng với phép chiếu vuông góc hay không? a A ∆ B A’ B’ GV dẫn dắt HS tiếp cận kiến thức: Từ định nghĩa về phép chiếu song song Tìm hình chiếu của điểm A trên theo phương . Tìm hình chiếu của điểm B trên theo phương . GV gọi HS lên bảng thực hiện. Cần chú ý đến phương chiếu, vật chiếu, hình chiếu và mặt phẳng chiếu GV gọi HS nhận xét GV gợi động cơ: Kí hiệu đường thẳng đi qua đi qua Khi đó, là hình chiếu vuông góc của lên . Phép chiếu song song theo phương lên như trên người ta gọi là phép chiếu vuông góc lên . Vậy thế nào là phép chiếu vuông góc. GV gọi HS phát biểu theo ý hiểu của mình. GV đưa ra yêu cầu: Dựa vào hình vẽ, hãy xác định hình chiếu vuông góc của AB lên a? Cho , xác định hình chiếu vuông góc của lên Nhận xét mối quan hệ giữa phép chiếu song song và phép chiếu vuông góc GV đưa ra nhận xét GV đặt vấn đề: Trong hình học phẳng có tồn tại ba đường thẳng đôi một vuông góc với nhau không? Câu hỏi đặt ra, trong không gian có tồn tại ba đường thẳng đôi một vuông góc với nhau không? HS chú ý nghe giảng, ghi chép bài. HS nhắc lại định nghĩa về phép chiếu song song, tính chất phép chiếu song song. a A ∆ B HS chú ý quan sát và lên bảng thực hiện a A ∆ B A’ B’ HS quan sát và nhận xét HS phát biểu theo ý hiểu. HS thực hiện theo yêu cầu của GV: là hình chiếu vuông góc của AB lên a. Hình chiếu vuông góc của lên là . Phép chiếu vuông góc lên là phép chiếu song song theo phương lên mà Không V. Phép chiếu vuông góc và định lý ba đường vuông góc. 1. Phép chiếu vuông góc Cho và đường thẳng vuông góc với . Lấy 2 điểm trong không gian. Tìm hình chiếu của điểm A và B trên theo phương . b b’ * Định nghĩa: Cho đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng a. Phép chiếu song song theo phương của ∆ lên mặt phẳng a được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng a. Nhận xét: Phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song. Chú ý: Người ta gọi “Phép chiếu lên mặt phẳng ” thay cho tên gọi “Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng ” và gọi H’ là hình chiếu của H trên mặt phẳng thay cho tên gọi H’ là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng . HOẠT ĐỘNG 2: ĐỊNH LÍ BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC GV trình bày nội dung định lí ba đường vuông góc. GV gợi ý: Trong không gian có tồn tại ba đường thẳng vuông đôi một góc với nhau hay không? Dựa vào trực quan hãy chỉ ra ba đường thẳng đôi một vuông góc với nhau trên hình vẽ. GV gợi ý phương pháp chứng minh định lý Nêu cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc? GT là hình chiếu của trên KL CMR: Lấy . Gọi là hình chiếu của trên . Nhận xét gì về quan hệ giữa và . Nếu , làm thế nào chứng minh Tương tự chứng minh chiều ngược lại. GV gọi HS chứng minh GV yêu cầu HS vận dụng định lý để giải quyết VD1. Áp dụng định lý đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta hoàn toàn có thể chứng minh được. Chứng minh bằng định lý 3 đường vuông góc: Theo định nghĩa từ thì ta có điều gì? Ta nói A là hình chiếu của S lên Tìm hình chiếu của SB trên Mà vuông cân tại B Áp dụng định lý 3 đường vuông góc đối với . HS chú ý nghe giảng HS thực hiện theo sự hướng dẫn của GV Có Các đường thẳng và đôi một vuông góc với nhau. Chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia. Hoặc chứng minh góc giữa chúng bằng 900. a A b b' B a A' B' HS thực hiện theo hướng dẫn của GV A là hình chiếu vuông góc của S lên AB là hình chiếu vuông góc của SB lên Áp dụng định lí ba đường vuông góc ta có 2. Định lí ba đường vuông góc * Định lý: Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng a và b là đường thẳng không thuộc a đồng thời không vuông góc với a. Gọi b' là hình chiếu vuông góc của b trên a. Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b'. Chứng minh: Lấy . Gọi là hình chiếu của trên . Ta có: Ta có: VD1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B và có cạnh SA vuông với mặt phẳng (ABC). Chứng minh BC ^ SB. Giải: S A C B H Ta có: A là hình chiếu vuông góc của S lên AB là hình chiếu vuông góc của SB lên Mặt khác, vuông cân tại B Áp dụng định lí ba đường vuông góc ta có (đpcm) HOẠT ĐỘNG 3: XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG GV đặt vấn đề: Ta đã biết góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a' và b' cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b. Vậy thì góc giữa đường thẳng và mặt phẳng được xác định như thế nào? GV gợi ý: Trong VD1 trên ta có , dự đoán gì về góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng . SB không vuông góc với mặt phẳng , ta nói là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng có gì đặc biệt, nó được xác định như thế nào? GV khái quát định nghĩa Tức là ta nói góc giữa đường thẳng và mặt phẳng chính là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó. ta quy về việc tìm góc giữa 2 đường thẳng GV khái quát các bước xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Cần: Tìm hình chiếu của đường thẳng Xác định góc giữa 2 đường thẳng Nếu φ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng a thì d nhận các giá trị trong khoảng nào? GV đưa ra VD2. Tìm hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC). Kết luận gì về góc giữa SC và (ABC) Vận dụng cách tìm góc của 2 đường thẳng ở tiết trước để tìm số đo SCA GV gọi HS lên bảng tính SCA HS chú ý nghe giảng HS thực hiện theo hướng dẫn của GV Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng là A a d' d b H O j được tạo bởi SB và AB là hình chiếu của nó trên 00≤φ≤900 HS vận dụng cách tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để thực hiện VD2 AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC) Là góc giữa hai đường thẳng SC và AC, tức là SCA S A C B H BC = AB = a Þ AC = a2. Vì SA ^ (ABC) Þ SA ^ AC Þ ∆SAC vuông tại A. Þ SCA=450. 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Định nghĩa: Cho đường thẳng d và mặt phẳng a. Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng a thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng a bằng 900. Trong trường hợp mặt phẳng d không vuông góc với mặt phẳng a thì góc giữa d và hình chiếu d' của nó trên a gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng a. * Cách xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng a: Bước 1: Xác định giao điểm O của d và a. Bước 2: Trên d lấy điểm A bất kì (A không trùng O). Tìm hình chiếu H của A trên a. Đường thẳng OH là hình chiếu của d trên a. Bước 3: Kết luận: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng a chính là góc giữa OH và d. Do đó AOH là góc cần tìm. Chú ý: Nếu φ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng a thì ta luôn có 00≤φ≤900. VD2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, cạnh SA vuông với mặt phẳng (ABC). Biết AB = a, SA = a2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC). Giải: Ta có A là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC). Þ AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC). Do đó góc cần tìm là góc giữa hai đường thẳng SC và AC. Þ góc SCA là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC). Mặt khác, ta có: BC = AB = a Þ AC = a2. Vì SA ^ (ABC) Þ SA ^ AC Þ ∆SAC vuông tại A. tanSCA= Þ SCA=450. Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là 450. IV. CỦNG CỐ Sau bài học này, HS cần: Hiểu được định nghĩa phép chiếu vuông góc, định lý ba đường vuông góc, cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Biết cách vận dụng phép chiếu vuông góc, định lý ba đường vuông góc, cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng vào việc giải một số bài toán. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Hình chiếu vuông góc của một điểm lên mặt phẳng là gì? A. 1 điểm B.2 điểm C. 1 đường thẳng D. Đáp án khác Câu 2. Cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng a, hỏi hình chiếu vuông góc của d trên a là gì? A. 1 đường thẳng B. 1 điểm C. 2 điểm D. Đáp án khác Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, , . Góc giữa SC và có số đo là: A. B. C. D. Đáp án khác V. DẶN DÒ Đọc lại bài và hoàn thành các bài tập Bài tập về nhà: Bài 4, 7 (SGK/105).