Giáo án Toán 11 - Tiết 43: Cấp số nhân

Người soạn: Ngày soạn: Tiết 43: CẤP SỐ NHÂN I. Mục tiêu Về kiến thức Học sinh cần: - Hiểu được khái niệm cấp số nhân. - Biết được tính chất, công thức xác định số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân. - Biết được một số ứng dụng của cấp số nhân trong trong thực tế. Về kỹ năng - Rèn luyện cho học sinh kĩ năng nhận biết một dãy số là cấp số nhân. - Học sinh biết vận dụng định nghĩa, tính chất và công thức về số hạng tổng quát, công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân để giải quyết các bài tập liên quan đến cấp số nhân. - Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tính toán nhanh, chính xác, trình bày lời giải khoa học. Về tư duy, thái độ - Học sinh được rèn luyện khả năng tư duy logic và phát triển năng lực trí tuệ chung như: Phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa, - Học sinh được học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo. - Học sinh được rèn luyện tính cẩn thận, chính xác trong quá trình tính toán, có thái độ nghiêm túc trong học tập, tích cực tham gia xây dựng bài. II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh 1. Chuẩn bị của giáo viên - Xác định mục tiêu bài dạy, xây dựng nội dung, kế hoạch bài học lựa chọn phương pháp, phương tiện dạy học: Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tham khảo. đồ dùng dạy học, máy chiếu, 2. Chuẩn bị của học sinh - Ôn bài cũ, xem trước bài mới, sách, vở ghi và đồ dùng học tập. III. Phương pháp - Vận dụng linh hoạt các phương pháp nhằm giúp học sinh tự giác, tích cực, chủ động trong việc chiếm lĩnh tri thức, như: Thuyết trình, vấn đáp, gợi mở nêu vấn đề, hoạt động nhóm ..trong đó phương pháp chính là gợi mở nêu vấn đề. IV. Tiến trình dạy học 1. Ổn định tổ chức (1 phút) Giờ lên lớp Lớp Sĩ số Học sinh vắng 2. Giới thiệu bài mới (2 phút) Thông qua câu chuyện ngắn: “ Cuộc mua bán kì lạ giữa nhà tỉ phú và nhà toán học”. BÁN MUA NGÀY 1: 10 000 000đ 500đ NGÀY 2: 10 000 000đ 1 000đ NGÀY 3: 10 000 000đ 2 000đ AI LÀ NGƯỜI CÓ LÃI? . NGÀY 20: 10 000 000đ Dẫn dắt học sinh vào bài học cấp số nhân. 3. Bài mới Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh HĐ 1: Tiếp cận khái niệm và tính chất của cấp số nhân (20 phút) ? GV: Đưa ra ví dụ và gọi HS trả lời. Ví dụ 1: Hãy quan sát các dãy số sau và cho biết đặc điểm của mỗi số hạng trong từng dãy số đó? a) 2; 4; 8; 16; 32; . b) 1; 3; 9; 27; 81 ? GV: Những dãy số có đặc điểm tương tự như trên được gọi là một cấp số nhân. . ? GV: Đưa ra định nghĩa CSN. 1. Định nghĩa Cấp số nhân (CSN) là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q không đổi, nghĩa là: (un) là cấp số nhân Û un = un-1.q với n ≥ 2, q gọi là công bội của CSN. ? Trong các dãy số sau, dãy số nào là một CSN? 3; 6; 12; 24; 48 b) 7; 0; 0; 0; 0;.. 1; 1; 1; 1; 1; d) 0; 0; 0; 0; 0;.. 2; 4; 6; 8; 10. f) 4; -12; 36; -108 v Chú ý: - Nếu q = 0 thì (un): u1; 0; 0; 0;.. - Nếu q = 1 thì (un): u1; u1; u1; - Nếu u1 = 0, q ∈R thì (un): 0; 0; 0;.. ? HS: Suy nghĩ và giải quyết ví dụ: a, 4 = 2.2 b, 3 = 1. 3 8 = 4.2 9 = 3. 3 16 = 8.2 27 = 9. 3 32 = 16.2 81 = 27. 3 ? HS: Phát biểu định nghĩa cấp số nhân theo ý hiểu của mình ? HS: Ghi nhận kiến thức. ? ? HS: Hoạt động nhóm, suy nghĩ và giải quyết : a) u1 = 3, q = 2. b) u1 = 7, q = 0. c) u1 = 1, q = 1. d) u1 = 0, q ∈R. e) Không là CSN. f) u1 = 4, q = -3. g) u1 = 1, q ? GV: Cho (un) là một CSN với công bội q. Hãy biểu diễn mối liên hệ giữa ba số hạng liên tiếp uk , uk-1và uk+1? ? GV: Dẫn dắt học sinh chuyển sang mục 2. 2. Tính chất Định lý 1: uk2 = uk-1. uk+1 , k ≥2. ? HS: Suy nghĩ và trả lời câu hỏi. uk = uk-1.q uk+1= uk.q - Với q ≠ 0, Suy ra: uk2 = uk-1. uk+1 , k ≥2 - Với q = 0, đẳng thức cũng đúng. ? HS: Ghi nhận kiến thức. HĐ 3: Xây dựng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân (8 phút) ? GV: Quay trở lại bài toán ban đầu. Nếu coi cuộc mua bán giữa nhà tỉ phú và nhà toán học là một dãy số mà mỗi số hạng trong dãy số là số tiền mà nhà tỉ phú phải trả cho nhà toán học. Dãy số này có phải là một CSN hay không? ? a) Hãy tính số tiền mà nhà tỉ phú phải trả cho nhà toán học ở ngày thứ 5? b) Hãy tính số tiền mà nhà tỉ phú phải trả cho nhà toán học ở ngày thứ 20? c) Hãy tính số tiền mà nhà tỉ phú phải trả cho nhà toán học ở ngày thứ n? ?GV: Hướng dẫn HS dự đoán u20 = u1.q19 và un=u1.qn-1. ?GV: Dẫn dắt học sinh chuyển sang mục 3. 3. Số hạng tổng quát Định lý 2: Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q ≠ 0 thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bởi công thức ? Cho cấp số nhân (un) biết: a) u1 = 2, q = 5. Tính u9? b) u3 = 1, q = 2. Tính u10? ? HS: Suy nghĩ và trả lời. ? HS: a) u5 = 8 000 ? HS: Ghi nhận kiến thức. ? HS: Áp dụng ĐL 2: a) u9 = u1.q8 = 2.58. b) Ta có: u3 = u1.q2 = 1 u10 = u1.q9 = HĐ 4: Xây dựng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (10 phút) ? GV: Để tính số tiền mà nhà tỉ phú thu được sau 20 ngày thì phải làm thế nào? ? GV: Dẫn dắt HS vào định lý 3. 4. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân Định lý 3: Nếu (un) là một cấp số nhân với công bội q ≠ 1 thì Sn được tính theo công thức ? GV: Chứng minh định lý: Cho (un) là một CSN với công bội q. Gọi Sn là tổng n số hạng đầu của (un). Khi đó: Sn = u1 + u2 + u3 ++ un Sn = u1 + u1.q + u1.q2 +.....+ u1.qn-1 Nhân cả hai vế với q ta được: q.Sn = u1.q + u1.q2 +.....+ u1.qn-1 + u1.qn Trừ hai vế của hai đẳng thức trên ta được: (1 – q).Sn = u1.(1 – qn) Trở lại bài toán ban đầu. Hãy tính số tiền nhà tỉ phú phải trả cho nhà toán học sau 20 ngày? ? GV: Hãy tính số tiền nhà tỉ phú thu được sau 20 ngày? ? GV: Vậy ai là người có lãi? ? HS : Cộng tất cả số tiền mà nhà tỉ phú thu được từ ngày thứ nhất đến ngày thứ 20. ? HS: ghi nhận kiến thức. ?HS: áp dụng công thức ở định lý 3 Số tiền mà nhà tỉ phú phải trả cho nhà toán học sau 20 ngày là: ? HS: Số tiền nhà tỉ phú thu được sau 20 ngày là: 20 × 10 000 000 = 200 000 000 ? HS: Nhà toán học là người có lãi. 4. Củng cố (3 phút) + Giáo viên đưa ra nhận xét và ứng dụng của CSN trong thực tế và trong các khoa học khác (trình chiếu slide). + Qua bài học các em cần: - Hiểu được định nghĩa và công thức truy hồi của một CSN. - Hiểu được tính chất của mỗi phần tử trong một CSN. - Biết tìm số hạng bất kì của một CSN dựa vào công thức tính số hạng tổng quát của một CSN. - Biết cách tính tổng n số hạng đầu của một CSN. 5. Hướng dẫn về nhà (1 phút) - Học lại lý thuyết. - Làm các bài tập trong SGK trang 120 – 121. - Đọc trước bài mới.