Giáo án Toán 12 - Chương III: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng nguyên hàm

CHƯƠNG III – GIẢI TÍCH 12 1 CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM Định nghĩa: ( ) ( ) ( ) ( )'f x dx F x C F x f x= +  = Tính chất: ( ) ( )'f x dx f x C= + ( )( ) ( )'f x dx f x= ( ) ( ) ( ). 0k f x dx k f x dx k=   ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +     ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx− = −     Mở rộng bảng nguyên hàm: Cho ( ) ( ) .f x dx F x C= + Khi đó ( ) ( ) ( ) 1 . 0f ax b dx F ax b C a a + = + +  ( ) ( ) ( ) 1 . 1 1 ax b ax b dx C a     + + = +  − + ( ) ( ) 1 sincos ax b dx ax b C a + = + + 1 1 lndx ax b C ax b a = + + + ( ) ( ) 1 sin ax b dx cos ax b C a + = − + + 1 1 2dx ax b C aax b = + + +  ( ) ( )2 1 1 tandx ax b C cos ax b a = + + + ( ) 1 2 . 3 ax bdx ax b ax b C a + = + + + ( ) ( )2 1 1 cot sin dx ax b C ax b a = − + + + 1ax b ax be dx e C a + += + ( ) ( ) 2 1tan tanax b dx ax b x C a + = + − + 1 ln mx n mx n aa dx C m a + + = + ( ) ( ) 2 1cot cotax b dx ax b x C a + = − + − + CHƯƠNG III – GIẢI TÍCH 12 2 Một số công thức bổ xung tan lnxdx cosx C= − + ( )( ) 1 1 ln ax b dx C ax b cx d ad bc cx d + = + + + − + cot ln sinxdx x C= + 2 2 ln dx x x a C x a = + + + +  1 ln tan sin 2 x dx C x = + 2 2 2ln 2 2 x a x adx x a x x a C+ = + + + + + 1 ln tan 2 4 x dx C cos x   = + +     Phương pháp tìm nguyên hàm: Phương pháp đổi biến số: Nếu ( ) ( )f u du F u C= + và ( )u u x= có đạo hàm liên tục trên K thì ( ) ( ) ( )'f u x u x dx F u x C= +       Phương pháp tính nguyên hàm từng phần: udv uv vdu= −  Một số dạng toán thường gặp: Dạng 1: Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và tính chất: - Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên hàm về dạng tổng,hiệu của các biểu thức chứa x. - Đưa mỗi biểu thức chứa x về dạng cơ bản. - Áp dụng các công thức nguyên hàm. Bài tập: Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau: 1. 1 5 3 34 2x x x dx−   + −     2. ( )3 2x x dx− 3. 24 6 2 x x dx x + −  4. 2 1x x dx e −  5. ( )( )2 1 3 x xe e dx+ − 6. ( ) 2 1 2 x x x e e dx e − −  7. 3 5 x xe e x dx x x −  −     8. 2 2 1 sin . dx x cos x 9. 2 2 2 1 x x dx x − + + 10. ( )( ) 11 2 1 3 2 x dx x x − − + 11. 3 2 2 6 2 3 x dx x x − − − 12. sin3 . 5x cos xdx CHƯƠNG III – GIẢI TÍCH 12 3 13. 2 2 1 6 9 x dx x x + + + 14. 3 6 3 3 2 x dx x x + − + 15. 4 2 1 4 4 1 dx cos x cos x− + Dạng 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số: Dạng tích phân Cách đặt ( ) ( ) 'f x dx f x ( )t f x= ( )'dt f x dx= ( ) ( ) 'f x dt dx f x t  =  ( ) ( )'t xf e t x dx   ( )t t x= ( )'dt t x dx= ( ) ( ) ( )' .t x tf e t x dx f e dt  =   ( ) ( )'f t x t x dx   ( )t t x= ( )'dt t x dx= ( ) ( ) ( )'f t x t x dx f t dt =    ( ) ( )'nf t x t x dx    ( ) nt t x= ( ) ( )1 'n nt t x nt dt t x dx− =  = ( ) ( ) ( ) 1' nnnf t x t x dx f t nt dt−  =   ( )ln dx f x x lnt x= dx dt x = ( ) ( )ln dx f x f t dt x  =  ( )sin .cosf x xdx sint x= cosdt xdx= ( ) ( )sin .cosf x xdx f t dt =  ( )sinf cosx xdx t cosx= sindt xdx= − ( ) ( )sinf cosx xdx f t dt = −  ( ) 2tan dx f x cos x tant x= 2 dx dt cos x = ( ) ( )2tan dx f x f t dt cos x  =  ( ) 2cot sin dx f x x cott x= 2sin dx dt x = − ( ) ( )2cot sin dx f x f t dt x  = −  ( )ax axf e e dx axt e= axdt e dx a = ( ) ( ) 1ax axf e e dx f t dt a  =  Có thể thay cách đặt ( )t t x= bởi ( ).t m t x n= + Bài 2: Tìm các nguyên hàm sau: 1. 2sin 1 3cos x dx x+ 2. 3 21 x dx x+ 3. ( ) 3 2 1 2 3 x dx x x + + − 4. tan 2cos xe dx x 5. 2xxe dx 6. 2sin .sin2xe xdx 7. ( ) 3 2 1 x dx x +  8. 3 4 1x dx x x − + 9. 3 2 9x x dx+ 10. ( ) 6 5 31x x dx− 11. 24 1x x dx− 12. 1 1 dx x x +  CHƯƠNG III – GIẢI TÍCH 12 4 13. 2ln 1 ln x dx x x −  14. ( )2 2 ln 1 1 x x dx x + + 15. ( ) 2ln 1 ln 1 x dx x x+ +  Dạng 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần: Dạng tích phân Cách đặt ( ) ax bP x e dx+ ( ) ax b u P x dv e dx+  =  = ( ) ( ) ( ) sin . . mx n P x dx cos mx n  +  +  ( ) ( ) ( ) sin . u P x mx n dv dx cos mx n  =   + =  +  ( ) ( ).lnnP x ax b dx+ ( ) ( ) ln . nu ax b dv P x dx  = +  = ( ) ( ) sin . .ax b mx n e dx cos mx n +  +  +  ( ) ( ) sin . ax bu e mx n dv dx cos mx n + =   + =  + Ghi nhớ: Khi gặp ( ).sinmx ne ax b dx+ + hoặc ( ). mx ne cos ax b dx+ + luôn phải thực hiện phương pháp nguyên hàm từng phần hai lần liên tiếp. Bài 3: Tìm các nguyên hàm sau: 1. ( ) 22 xx e dx+ 2. ( )2 1x cosxdx− 3. ( ) 23 1 lnx xdx− 4. ( ) ( )4 1 ln 1x x dx− + 5. ( ) 2 sin 1 3x x dx− 6. sin xe xdx .udv u v vdu= −  CHƯƠNG III – GIẢI TÍCH 12 5 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Công thức tìm nguyên hàm nào sau đây chưa đúng ? A. 1 ln .dx x C x = + B. ( ) 1 1 . 1 x x dx C     + = +  − + C. ( )0 1 . ln x x aa dx C a a = +   D. 2 1 tan .dx x C cos x = + Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) ( )2 3 2 0 .f x x x x = +  A. ( ) 2 23ln .f x dx x x C= + + B. ( ) 2 2 3 .f x dx x C x = + + C. ( ) 2 3 .f x dx x C x = − + D. ( ) 2 3 .f x dx x C x = + + Câu 3: Tìm họ nguyên hàm ( )F x của hàm số ( ) ( ) ( ) 3 3 1 0 . x f x x x − =  A. ( ) 2 3 1 3ln . 2 F x x x C x x = − + + + B. ( ) 2 3 1 3ln . 2 F x x x C x x = − − − + C. ( ) 2 3 1 3ln . 2 F x x x C x x = − + − + D. ( ) 2 3 1 3ln . 2 F x x x C x x = − − + + Câu 4: Hàm số ( ) tanxF x e x C= + + là nguyên hàm của hàm số ( )f x nào dưới đây? A. ( ) 2 1 . sin xf x e x = − B. ( ) 2 1 . sin xf x e x = + C. ( ) 2 1 .xf x e cos x = + D. ( ) cot .xf x e x= + Câu 5: Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) ( ) 2 2 . 1 x x f x x + = + A. ( ) 2 1 . 1 x x F x x + + = + B. ( ) 2 1 . 1 x x G x x + − = + CHƯƠNG III – GIẢI TÍCH 12 6 C. ( ) 2 1 . 1 x x H x x − − = + D. ( ) 2 . 1 x K x x = + Câu 6: Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1f x x= + . A. ( ) ( )2 211 ln 1 . 2 2 x F x x x x= + + + + B. ( ) ( )2 21 1 ln 1 . 2 2 x G x x x x= + + + + C. ( ) ( )21 ln 1 . 2 H x x x= + + D. ( ) 2 1 . 1 K x x = + Câu 7: Khi tìm họ nguyên hàm 2 1x x dx+ bằng phương pháp đổi biến 2 1u x= + ,bạn Nam đưa ra các khẳng định sau: + Khẳng định 1: .du dx= + Khẳng định 2: 2 21 .x x dx u du+ =  + Khẳng định 3: ( ) 3 2 2 1 1 . 6 x x x dx C + + = + Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định nêu trên ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 8: Biết ( ) ( )2 ln 3 1 .f x dx x x C= − + Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây: A. ( ) ( )3 6 ln 9 1 .f x dx x x C= − + B. ( ) ( )3 3 ln 9 1 .f x dx x x C= − + C. ( ) ( )3 6 ln 3 1 .f x dx x x C= − + D. ( ) ( )3 2 ln 9 1 .f x dx x x C= − + Câu 9: Cho hàm số ( ) 3 2 sin .f x x= + Tìm họ nguyên hàm ( )' 2 1f x dx+ . A. ( ) ( )' 2 1 6 2 2 1 .f x dx cos x C+ = + + + B. ( ) ( ) 3 ' 2 1 2 sin 2 1 . 2 f x dx x C+ = + + + C. ( ) ( ) ( ) 3cos 2 1 ' 2 1 . 2 sin 2 1 x f x dx C x + + = + + +  D. ( ) ( ) 3 ' 2 1 2 2 1 . 2 f x dx cos x C+ = − + + CHƯƠNG III – GIẢI TÍCH 12 7 Câu 10: Với phép đặt 4 1t x= + ,tích phân 2 4 1 1 dx x + +  được đưa về dạng ,1 b a dt t   +  +   trong đó , .a b Tính giá trị của biểu thức 3 2 .a b+ A. 3 2 2.a b+ = B. 3 2 1.a b+ = C. 3 2 5.a b+ = D. 3 2 1.a b+ = − Câu 11: Tính ( )F x xcosxdx=  ta được kết quả A. ( ) sin .F x x x cosx C= + + B. ( ) sin .F x x x cosx C= − + C. ( ) sin .F x x x cosx C= − + + D. ( ) sin .F x x x cosx C= − − + Câu 12: Chọn công thức đúng dùng để tính nguyên hàm ( ) ( )1 sin 2 .F x x xdx= + A. ( ) ( )1 2 1 2 . 2 2 x cos x F x cos xdx + = −  B. ( ) ( )1 2 1 2 . 2 2 x cos x F x cos xdx + = − +  C. ( ) ( )1 2 1 2 . 2 2 x cos x F x cos xdx + = +  D. ( ) ( )1 2 1 2 . 2 2 x cos x F x cos xdx + = − −  Câu 13: Biết ( ) ( ) ( ) ( ) 24 1 ln 2 1 2 ln 2 1 . 4 x x x x dx f x dx − − − = −  Hãy xác định ( )2018 .f A. ( ) 4034 2018 . 3 f = B. ( ) 4035 2018 . 2 f = C. ( ) 4036 2018 . 3 f = D. ( ) 4037 2018 . 2 f = Câu 14: ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) ( )2 2 3 0 , x f x x x + =  biết ( )1 1.F = ( )F x là biểu thức nào sau đây ? A. ( ) 3 2 2.F x x x = − + B. ( ) 3 2ln 2.F x x x = + + C. ( ) 3 2 4.F x x x = + − D. ( ) 3 2ln 4.F x x x = − + CHƯƠNG III – GIẢI TÍCH 12 8 Câu 15: ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) ( )2 0 , b f x ax x x = +  biết ( ) ( ) ( )1 1, 1 4, 1 0.F F f− = = = ( )F x là biểu thức nào sau đây ? A. ( ) 23 3 7 . 4 2 4 x F x x = + + B. ( ) 23 3 7 . 4 2 4 x F x x = − − C. ( ) 23 3 1 . 2 2 2 x F x x = − − D. ( ) 23 3 7 . 4 2 4 x F x x = + − Câu 16: Biết ( ) ( ) ( )1 ln 1 1 .f x dx x x C= + + − +   Tính ( )0 .f A. ( )0 1.f = B. ( )0 0.f = C. ( )0 .f e= D. ( )0 ln 2.f = Câu 17: Cho hàm số ( ) .f x cosx= Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) 2 ' .g x f x=    A. ( ) 1 sin 2 . 2 4 x g x dx x C= − + B. ( ) 1 sin2 . 2 4 x g x dx x C= + + C. ( ) 1 sin2 . 2 g x dx x x C= + + D. ( ) 1 sin2 . 2 g x dx x x C= − + Câu 18: Cho ( )2 1 ln 2 1 4 ; , . 2 1 4 dx a x b x C a b x = − + − + +  − +  Tính .a b+ A. 3.a b+ = B. 3.a b+ = − C. 0.a b+ = D. 2.a b+ = Câu 19: Cho ( ) ( )1 12 1 ; , .x xx e dx e ax b C a b− −− = + +  Tính .a b+ A. 3.a b+ = − B. 3.a b+ = C. 0.a b+ = D. 5.a b+ = Câu 20: Cho hàm số ( ) ( ) .f x a x b cosx= + Tính 2 2S a b= + , biết rằng: ( ) sin 2sinf x dx x x x cosx C= + + + A. 3.S = B. 4.S = C. 5.S = D. 6.S = CHƯƠNG III – GIẢI TÍCH 12 9 MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ Câu 1: Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 /m s thì người lái đạp phanh;từ thời điểm đó,ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc ( ) ( )5 10 / ,v t t m s= − + trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây,kể từ lúc đạp phanh.Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn,ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét ? A. 0,2 .m B. 2 .m C. 10 .m D. 20 .m Câu 2: Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là ( ).N t Biết rằng ( ) 7000 ' 2 N t t = + và lúc đầu đám vi trùng có 300 000 con.Hỏi sau 10 ngày,đám vi trùng có khoảng bao nhiêu con ? A. 332542 .con B. 312542 .con C. 302542 .con D. 322542 .con Câu 3: Số lượng vi khuẩn HP có trong dạ dày của một bệnh nhân sau t ngày được đếm bởi công thức ( ),N t trong đó ( ) 40 000 ' 2 3 N t t = + .Một người bị đau dạ dày,khi đi khám,nhờ các xét nghiệm chuyên biệt biết được người này có 2550 con vi khuẩn HP trong dạ dày,nhưng lúc này cơ thể chưa phát bệnh.Biết rằng số lượng HP có trong dạ dày ở ngưỡng an toàn là 50 000 con,nếu vượt quá số lượng đó thì người bệnh sẽ ở tình trạng nguy hiểm.Hỏi nếu sau 15 ngày người đó mới đi khám lại thì có đang trong tình trạng nguy hiểm hay không ?Nếu có thì số lượng vi khuẩn vượt quá ngưỡng an toàn khoảng bao nhiêu con ? A. Không. B. Có 407 .con C. Có807 .con D. Có508 .con Câu 4: Một ô tô đang chạy với vận tốc 5 /m s thì tăng tốc;từ thời điểm đó,ô tô chuyển động nhanh dần với gia tốc ( ) ( )2 3 / 1 a t m s t = + .Hỏi sau 10 giây ô tô đạt được vận tốc là bao nhiêu? A. 12,2 / .m s B. 14,2 / .m s C. 15,2 / .m s D. 13,2 / .m s Câu 5: Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 /m s thì tăng tốc với gia tốc ( ) ( )2 3 / 1 a t m s t = + .Hỏi sau 10 giây, vật đi được quãng đường là bao nhiêu ? A. 4297 . 3 S m= B. 4300 . 3 S m= C. 4304 . 3 S m= D. 4301 . 3 S m= CHƯƠNG III – GIẢI TÍCH 12 10 TÍCH PHÂN Định nghĩa: Cho hàm số f liên tục trên khoảng K và , .a b K Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số ( ) ( )F b F a− được gọi là tích phân của hàm số f từ a đến b và được kí hiệu là ( ) . b a f x dx Ta gọi: a là cận dưới,b là cận trên, f là hàm số dưới dấu tích phân, ( )f x dx là biểu thức dưới dấu tích phân, x là biến số lấy tích phân. Nhận xét: a b thì ta gọi ( ) b a f x dx là tích phân của f trên đoạn  ;a b . Hiệu số ( ) ( )F b F a− còn được kí hiệu là ( ) . b a F x Khi đó ( ) b a f x dx = ( ) b a F x = ( ) ( )F b F a− Tích phân không phụ thuộc biến số: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). b b b a a a f x dx f t dt f u du F b F a= = = = −   Tính chất: Cho k là hằng số ( ) 0. a a f x dx = ( ) ( ) . b a a b f x dx f x dx= −  ( ) ( ). . b b a a k f x dx k f x dx=  ( ) ( ) ( ) ( ) . b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx+ = +     ( ) ( ) ( ) . b c b a a c f x dx f x dx f x dx= +   ( ) ( ) 1 , 0. a b a b f a x b dx f x dx a a     + + + =   CHƯƠNG III – GIẢI TÍCH 12 11 MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Tính tích phân bằng định nghĩa và tính chất. ( ) b a f x dx = ( ) b a F x = ( ) ( )F b F a− Bài 1: Tính các tích phân sau: 1. 4 1 1 dx x  2. ln 2 0 2xdx 3. 4 0 sin xdx   4. ( ) 1 3 0 4 xx e dx− Bài 2: Biết ( )F x là nguyên hàm của hàm số ( ) .xf x e= Tính ( ) ( )2ln2 ln2F F− . Bài 3: Tính các tích phân sau: 1. 2 1 1 3x dx x   −     2. ( ) 0 sin 2cosx x dx  + 3. ( ) 2 2 1 1 ln 1 lnx te xdx e t dt+ −  Bài 4: Tính các tích phân sau: 1. 2 0 1x dx− 2. 3 2 0 x x dx− 3. 2 2 4 2 3x x dx − + − 4. 0 1 2cos x dx  + Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến. a. Đổi biến dạng 1: Tính tích phân ( ) ( )1 2. b a I f x f x dx=  B1: Đưa tích phân về dạng ( ) ( ). ' b a I f u x u x dx=    B2: Đặt ( ) ( )' .t u x dt u x dx=  = Đổi cận: ( ) ( )1 2, .Khi x a t u a t khi x b t u b t=  = = =  = = Khi đó ( ) ( )1 2. b a I f x f x dx=  ( ) ( ). ' b a f u x u x dx=    ( ) 2 1 . t t f t dt=  CHƯƠNG III – GIẢI TÍCH 12 12 Một số dấu hiệu cơ bản và cách chọn t. STT Dấu hiệu Cách chọn t 1 Hàm số chứa mẫu t là mẫu số 2 Hàm số dạng ( )( ), .f x u x ( ) ( )2 .t u x t u x=  = 3 Hàm số dạng ( ) ( ) . n f x u x=    ( ).t u x= 4 Hàm số lượng giác có góc xấu t là góc xấu 5 Hàm số mũ,mà mũ xấu t là mũ xấu 6 Hàm số ( )log 0 1a u a  ,mà u xấu t = u 7 Hàm số dạng ( ) sin cos sin cos a x b x f x c x d x e + = + + tan 0 . 2 2 x x t cos   =     8 Hàm số dạng ( ) ( )( ) 1 f x x a x b = + + Tổng quát,đặt t x a x b= + + + . Với 0 0x a x b+   +  ,đặt t x a x b= + + + Với 0 0x a x b+   +  ,đặt ( ) ( )t x a x b= − + + − + 9 Hàm số dạng ( ) ( ).sinf x R cosx x= t cosx= 10 Hàm số dạng ( ) ( )sin .f x R x cosx= sint x= 11 Hàm số dạng ( ) ( ) 2 1 tan .f x R x cos x = tant x= 12 Hàm số dạng ( ) ( ) 2 1 cot . sin f x R x x = cott x= 13 Hàm số chứa xe hoặc xa xt e= hoặc xt a= 14 Hàm số chứa ln x và 1 x ln .t x= CHƯƠNG III – GIẢI TÍCH 12 13 Bài 5: Tính các tích phân sau: 1. 2 2 3 1 3 1x dx x x + + 2. ( ) 2 2 4 1 sin 2x dx x   + 3. ( ) 2 0 1 sin x cosxx e dx  −+ 4. ( ) 1 2018 2 0 4 6 3 1 x dx x x + + +  5. 1 2 0 4x x dx+ 6. ( )( ) 1 2018 0 1 1x x dx+ − 7. tan4 2 0 xe dx cos x   8. 2 3 0 sin .x cosxdx   9. 2 0 cos sin x x dx cosx x x  + Bài 6: Tính các tích phân sau ( Đặt giảm bậc ) 1. 3 4 2 2 1 x dx x − 2. ( ) 1 2 2 330 6 1 2 9 x dx x x − − −  Chú ý: + Tích phân có sẵn dạng ( )f u x   ,sử dụng tính chất ( ) ( ) 1 , 0. a b a b f a x b dx f x dx a a     + + + =   Ví dụ áp dụng: 1. Cho hàm số ( )f x liên tục trên và ( ) 7 3 2.f x dx = Tính ( ) 3 1 2 1 .f x dx+ Giải: Áp dụng tính chất trên ta có: ( ) ( ) ( ) 3 2.3 1 7 1 2.1 1 3 1 1 1 2 1 2 1. 2 2 2 f x dx f x dx f x dx + + + = = =  =   2. Cho hàm số ( )f x liên tục trên và ( ) 3 1 3 1 3.f x dx− = Tính ( ) 0 6 2 .f x dx − − Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3.3 1 8 8 1 3.1 1 2 2 1 1 3 1 3 9 3 3 f x dx f x dx f x dx f x dx − − − = = =  =    CHƯƠNG III – GIẢI TÍCH 12 14 Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 0 2 2 8 6 6 1 6 2 8 2 2 2 9.f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx −  + − − −  − + − = − + = − = − = =     Bài 7: Cho hàm số ( )f x liên tục trên và ( ) 4 1 1 2 2.f x dx− = Tính ( ) 1 7 .f x dx − −  Bài 8: Cho hàm số ( )f x liên tục trên và ( ) 1 0 2.f x dx = Tính ( ) 4 0 2 sin cos .f cos x x xdx   + Tích phân của hàm số chẵn và hàm số lẻ: ( )f x là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn  ; − thì ta có: ( ) ( ) 0 2f x dx f x dx   − =  và ( ) ( ) ( ) 0 0; 0 1x f x dx f x dx a a     − =   +  ( )f x là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn  ; − thì ta có: ( ) 0f x dx  − = MỘT SỐ BÀI TẬP TÍCH PHÂN GIẢI ĐƯỢC BẰNG MÁY TÍNH Câu 1: Cho biết ( ) ( ) 2 0 4 2 3sin 2 ln sin 2 ln . a cos x x x cosx dx c b  − + = − Với *, , , a a b c b  tối giản.Tính .T a b c= + + A. 71.T = B. 21.T = C. 69.T = D. 11.T = − Giải: B1: Tính ( ) ( ) 2 0 4 2 3sin 2 ln sin 2 .cos x x x cosx dx A  − + =→ B2: MODE 7, ( ) ln a f x A x b   = + =    . CHƯƠNG III – GIẢI TÍCH 12 15 Start:0 End: 20 Step:1 Khi đó ( ) ( ) 3 16 2 16 1,5 16 ax c x ba ff x cb == =    =   ==   =  ( )3 2 16 21T B = + + =  Một số chú ý khi chọn phạm vi của lệnh MODE 7: Nếu , ,a b  chọn : 0 : 20 :1 Start End Step      Nếu , ,a b  chọn : 10 :10 :1 Start End Step −     Nếu , ,a b  chọn : 5 :5 : 0,5 Start End Step −     hoặc : 5 :5 : 0,25 Start End Step −     hoặc : 5 :5 : 0,2 Start End Step −     Câu 2: Cho biết ( ) ( ) 2 0 4 2 3sin 2 ln sin 2 ln 2 . a cos x x x cosx dx c b  + + = − Với *, , , a a b c b  tối giản.Tính .T a b c= + + A. 9.T = B. 11.T = − C. 5.T = D. 7.T = Giải:B1: Tính ( ) ( ) 2 0 4 2 3sin 2 ln sin 2 .cos x x x cosx dx A  + + =→ B2: MODE 7, ( ) ln 2 a f x x A b   = − =    . CHƯƠNG III – GIẢI TÍCH 12 16 Start:0 End: 20 Step:1 Khi đó ( ) ( ) 3 4 2 16 1,5 4 ax c x ba ff x cb == =    =   ==   =  ( )3 2 4 9T A = + + =  Câu 3: Cho 3 1 1 1 4ln . 3 x a dx x b − = + +  Với , , a a b b  tối giản.Tính 2 .T a b= + A. 0.T = B. 13.T = C. 14.T = D. 20.T = − Giải: Tính 3 1 1 . 3 x dx A x − =→ +  ( ) 1 4 4 2 2.4 5 13 . 5 A a e a b B b −  = =  + = + =  Câu 4: Cho 5 1 2 2 1 4 ln 2 ln5. x dx a b x − + = + Với , .a b Tính .T a b= + A. 9.T = B. 11.T = C. 3.T = − D. 5.T = Giải: B1 Tính 5 1 2 2 1 . x dx A x − + =→ B2: MODE 7 : ( ) ( ) ln 2 ln 5 A x f x b − = = : 10 :10 :1 Start End Step −     ( ) ( ) ( ) 8 8 3 5 . 3 x a a T a b D f x b b = =    = + = + − =   = = − Câu 5: Cho ( ) 2 2 1 1 1 ln . 21 a dx bx x = + +  Tính .S a b= + CHƯƠNG III – GIẢI TÍCH 12 17 A. 7.S = B. 5.S = C. 9.S = D. 4.S = Giải: B1: Tính ( ) 2 2 1 1 1 . 21 dx A x x − =→ +  B2: ( ) 3 7 . 4 Aa e S a b A b = =  = + =  Câu 6: Cho 3 2 2 3 ln 2 . 2 1 x dx a b x x − = + − +  Với , .a b Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 . 2 a b = − B. 1. b a = − C. 2 1. a b = − D. 2 .a b= Giải: B1: Tính 3 2 2 3 . 2 1 x dx A x x − =→ − +  B2: MODE 7 ( ) ( )ln 2f x A x b= − = : 10 :10 :1 Start End Step −     ( ) ( ) 1 1 . 1 x a a b B f x b b a = =    = −   = = − Câu 7: Cho 3 2 2 ln 2 ln3. 1 x dx a b x = − −  Với , .a b Khi đó ,a b đồng thời là 2 nghiệm của phương trình nào sau đây? A. 2 4 3 0.x x− + = B. 2 3 2 0. 4 x x− + = C. 2 3 0. 4 x x− − = D. 2 2 3 0.x x− − = Giải: B1: Tính 3 2 2 . 1 x dx A x =→ −  B2: MODE 7 ( ) ( ) ln 3 . ln 2 A x f x a + = = CHƯƠNG III – GIẢI TÍCH 12 18 :1 :10 : 0,5 Start End Step      ( ) ( ) ( ) 3 0,5 2 . 1,5 1 2 ax b x B f x a f x b  == =         = =   =  Câu 8: Cho 2 2 0 ln , 1 x dx a b x = + +  với , .a b Khi đó 2S a b= + thuộc khoảng nào sau đây? A. ( )8;10 . B. ( )6;8 . C. ( )4;6 . D. ( )2;4 . Giải: B1: Tính 2 2 0 1 x dx A x =→ +  B2: MODE 7 ( ) A xf x e −= : 10 :10 :1 Start End Step −     ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 3 2;4 . 3 3 x a x a S D f x b f x b = =  =     =     = = =  Câu 9: Cho 1 0 1 2 ln , 33 2 1 dx a b x = + + +  với , .a b Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 3.a b+ = B. 3.a b− = C. 5.a b− = D. 5.a b+ = Giải: B1: Tính 1 0 1 . 3 2 1 dx A x =→ + +  B2: MODE 7 ( ) 2 ln 3 f x A x= − : 10 :10 :1 Start End Step −     ( ) ( ) ( ) 3 2 5 . 2 3 x b x a a b D f x a f x b = =  =     + =    = = =  CHƯƠNG III – GIẢI TÍCH 12 19 Câu 10: Cho 1 0 1 ln , 21x dx e a b e + = + +  với , .a b Tính 3 3.a b+ A. 3 3 0.a b+ = B. 3 3 28.a b+ = C. 3 3 1.a b+ = D. 3 3 9.a b+ = Giải: B1: Tính 1 0 1 x dx A e =→ +  B2: MODE 7 ( ) ( ) 1 ln 2 e f x A x a + = − = : 10 :10 :1 Start End Step −     ( ) ( ) ( )3 3 1 1 0 . 1 1 x b x a a b A f x a f x b = = −  =     + =    = = = −  Câu 11: Cho 5 1 ln3 ln5, 3 1 dx a b x x = + +  với , .a b Tính 2 23 .a ab b+ + Giải: B1: Tính 5 1 3 1 dx A x x =→ +  B2: MODE 7 ( ) ( ) ln 3 ln 5 A x f x b − = = : 10 :10 :1 Start End Step −     ( ) ( ) 2 2 2 2 3 5. 1 1 x a x a a ab b f x b f x b = =  =     + + =   = = − = −  Câu 12: Cho 2 0 sin ln 2, 2sin x dx a b x cosx  = + +  với , .a b Tính .a b+ Giải: B1: Tính 2 0 sin . 2sin x dx A x cosx  =→ +  CHƯƠNG III – GIẢI TÍCH 12 20 B2: MODE 7 ( ) ( ) ln 2 A x f x b − = = : 0 :5 : 0,2 Start End Step      ( ) ( ) 1 0,2 5 0. 0,2 1 5 a x a x a b f x b f x b  == =       + =   = = −   = −  Câu 13: Cho 5 2 1 3 ln5 ln 2, 3 dx a b x x = + +  với , .a b Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2 0.a b+ = B. 2 0.a b− = C. 0.a b− = D. 0.a b+ = Giải: B1: Tính 5 2 1 3 . 3 dx A x x =→ +  B2: MODE 7 ( ) ( ) ln 5 ln 2 A x f x b − = = : 10 :10 :1 Start End Step −     ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 1 x a x a a b D f x b f x b = =  =     + =    = = − =  Câu 14: Cho 1 3 2 0 1 1 ln 2. 2 11 x dx ax = − ++  Tính .a Giải: 3 3 2 1 ln 2 1 1. 1 2 1 a x dx x = − = − +  Câu 15: Cho ( ) 2 1 ln ln , ln 2 e x dx a b x x = + +  với , .a b Mệnh đề nào sau đây đúng? CHƯƠNG III – GIẢI TÍCH 12 21 A. 2 3 3.a b+ = B. 1 1.b a − = C. 2 24 9 11.a b+ = D. 2 1.ab = Giải: B1: Tính ( ) 2 1 ln ln 2 e x dx A x x =→ +  . B2: MODE 7 ( ) ( )lnf x A x b= − = :1 :10 : 0,5 Start End Step      ( ) ( ) ( ) 3 1,5 12 1 . 0,33333... 1 3 a x a x b B f x b f x a b  == =       − =    = = −   = −  Câu 16: Cho 1 3 1 2 0 ,x a e dx e b + = với , : 2.a b a b − = − Tính .a b+ Giải: 1 3 1 0 2 2 42 10.3 63 2 xe dx a aa a bb bb e a b +  ==  = =    + =  = − = −  Câu 17: Cho 2 2 1 ln ln 2, x b dx a cx = + với *, , , b a b c c   tối giản.Tính 2 3 .a b c+ + Giải: B1: Tính 2 2 1 ln x dx A x =→ B2: MODE 7 ( ) ln 2 b f x A x c   = − =    : 5 :5 : 0,5 Start End Step −     ( ) ( ) 1 0,5 2 2 3 4. 0,5 1 2 x a a x a b cb f x bf x c c  = = − = −      + + =   ==   =  CHƯƠNG III – GIẢI TÍCH 12 22 Câu 18: Cho ( ) 2 1 4 1 ln . , e x x dx a e b+ = + với , .a b Tính ( )4M ab a b= + + . Giải: B1: Tính ( ) 1 4 1 ln e x x dx A+ =→ B2: MODE 7 ( ) ( )2.f x A e x b= − = : 10 :10 :1 Start End Step −     ( ) ( ) 3 3 5. 1 1 x a x a M f x b f x b = =  =     =   = = − = − 